7.1: العامل المشترك الأكبر والعامل حسب التجميع
- Page ID
- 200193
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- أوجد العامل المشترك الأكبر لتعبيرين أو أكثر
- عامل: العامل المشترك الأكبر من دالة كثيرة الحدود
- عامل حسب التجميع
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- ضع 56 في الأعداد الأولية.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.2.19. - أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين ١٨ و٢٤.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.2.28. - قم بالتبسيط\(−3(6a+11)\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.10.40.
أوجد العامل المشترك الأكبر لتعبيرين أو أكثر
في وقت سابق قمنا بمضاعفة العوامل معًا للحصول على منتج. الآن، سنقوم بعكس هذه العملية؛ سنبدأ بمنتج ثم نقسمه إلى عوامله. يُطلق على تقسيم المنتج إلى عوامل اسم التخصيم.
لقد تعلمنا كيفية حساب الأرقام للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لرقمين أو أكثر. سنقوم الآن بتحليل التعبيرات وإيجاد العامل المشترك الأكبر لتعبيرين أو أكثر. الطريقة التي نستخدمها مشابهة لما استخدمناه للعثور على LCM.
العامل المشترك الأكبر (GCF) لتعبيرين أو أكثر هو أكبر تعبير يمثل عاملًا لجميع التعبيرات.
أولاً سنجد GCF لعددين.
أوجد معامل التركيز الجغرافي للعددين ٥٤ و٣٦.
- إجابة
-
لاحظ أنه نظرًا لأن GCF هو عامل لكلا العددين، يمكن كتابة 54 و36 كمضاعفات للعدد 18.
\[\begin{array}{l}{54=18 \cdot 3} \\ {36=18 \cdot 2}\end{array}\]
أوجد معامل التركيز الإجمالي للعددين ٤٨ و٨٠.
- إجابة
-
16
أوجد معامل التركيز الجغرافي للعددين ١٨ و٤٠.
- إجابة
-
2
نلخص الخطوات التي نستخدمها للعثور على GCF أدناه.
أوجد العامل المشترك الأكبر (GCF) لتعبيرين.
- الخطوة 1. ضع كل معامل في الأعداد الأولية. اكتب جميع المتغيرات ذات الأسس في صورة موسعة.
- الخطوة 2. ضع قائمة بجميع العوامل - مطابقة العوامل الشائعة في عمود. في كل عمود، ضع دائرة حول العوامل المشتركة.
- الخطوة 3. قلل العوامل المشتركة التي تشترك فيها جميع التعبيرات.
- الخطوة 4. اضرب العوامل.
في المثال الأول، كان GCF ثابتًا. في المثالين التاليين، سنحصل على متغيرات في العامل المشترك الأكبر.
ابحث عن العامل المشترك الأكبر لـ\(27x^3\) و\(18x^4\).
- إجابة
-
ضع كل معامل في الأعداد الأولية واكتب المتغيرات ذات الأسس في صورة موسعة. ضع دائرة حول العوامل المشتركة في كل عمود. قلل من العوامل المشتركة. اضرب العوامل. يبلغ إجمالي الناتج المحلي 27\(x^{3}\)
و18\(x^{4}\) 9\(x^{3}\).
ابحث عن GCF:\(12 x^{2}, 18 x^{3}\)
- إجابة
-
\(6x^2\)
ابحث عن GCF:\(16 y^{2}, 24 y^{3}\)
- إجابة
-
\(8y^2\)
ابحث عن GCF لـ\(4 x^{2} y, 6 x y^{3}\)
- إجابة
-
ضع كل معامل في الأعداد الأولية واكتب المتغيرات ذات الأسس في صورة موسعة. ضع دائرة حول العوامل المشتركة في كل عمود. قلل من العوامل المشتركة. اضرب العوامل. معامل التركيز العالمي للعامين 4\(x^{2} y\)
و6\(x y^{3}\) هو 2\(x y .\)
ابحث عن GCF:\(6 a b^{4}, 8 a^{2} b\)
- إجابة
-
\(2ab\)
ابحث عن GCF:\(9 m^{5} n^{2}, 12 m^{3} n\)
- إجابة
-
\(3m^3 n\)
ابحث عن GCF لـ:\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\)
- إجابة
-
ضع كل معامل في الأعداد الأولية واكتب المتغيرات ذات الأسس في صورة موسعة. ضع دائرة حول العوامل المشتركة في كل عمود. قلل من العوامل المشتركة. اضرب العوامل. إطار التعاون العالمي الخاص بـ\(21 x^{3}, 9 x^{2}\)
و 15\(x\) هو 3\(x\)
ابحث عن العامل المشترك الأكبر:\(25 m^{4}, 35 m^{3}, 20 m^{2}\)
- إجابة
-
\(5m^2\)
ابحث عن العامل المشترك الأكبر:\(14 x^{3}, 70 x^{2}, 105 x\)
- إجابة
-
\(7x\)
عامل العامل المشترك الأكبر من دالة كثيرة الحدود
تمامًا كما هو الحال في الحساب، حيث يكون من المفيد أحيانًا تمثيل رقم في شكل عامل (على سبيل المثال، 12 كـ 2 · 6 أو 3 · 4)، 2 · 6 أو 3 · 4)، في الجبر، يمكن أن يكون من المفيد تمثيل متعدد الحدود في شكل عامل. إحدى الطرق للقيام بذلك هي العثور على GCF لجميع المصطلحات. تذكر أننا نضرب دالة كثيرة الحدود في صيغة أحادية الحد كما يلي:
\[\begin{array}{cc}{2(x+7)} & {\text { factors }} \\ {2 \cdot x+2 \cdot 7} & { } \\ {2 x+14} & {\text { product }}\end{array}\]
سنبدأ الآن بمنتج، مثل\(2 x+14\)، وننتهي بعوامله، 2\((x+7)\). للقيام بذلك، نطبق خاصية التوزيع «في الاتجاه المعاكس».
نذكر خاصية التوزيع هنا تمامًا كما رأيتها في الفصول السابقة و «بالعكس».
إذا كانت\(a,b,c\) الأرقام حقيقية، إذن
\[a(b+c)=a b+a c \quad\text{ and }\quad a b+a c=a(b+c)\]
يتم استخدام النموذج الموجود على اليسار للتكاثر. يتم استخدام النموذج الموجود على اليمين كعامل.
إذن كيف تستخدم خاصية التوزيع لحساب كثير الحدود؟ ما عليك سوى العثور على GCF لجميع المصطلحات وكتابة متعدد الحدود كمنتج!
عامل:\(4 x+12\)
- إجابة
-
عامل:\(6 a+24\)
- إجابة
-
\(6(a+4)\)
عامل:\(2 b+14\)
- إجابة
-
\(2(b+7)\)
عامل هو العامل المشترك الأكبر من دالة كثيرة الحدود.
الخطوة 1. ابحث عن GCF لجميع مصطلحات كثيرة الحدود.
الخطوة 2. أعد كتابة كل مصطلح كمنتج باستخدام GCF.
الخطوة 3. استخدم خاصية التوزيع «العكسية» لتحليل التعبير.
الخطوة 4. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
نحن نستخدم «عامل» كاسم وفعل.
عامل:\(5 a+5\)
- إجابة
-
أوجد معامل التركيز الإجمالي للعددين ٥ أ و٥. أعد كتابة كل مصطلح كمنتج باستخدام GCF. استخدم خاصية التوزيع «في الاتجاه المعاكس» لحساب GCF. تحقق من ذلك بضرب العوامل للحصول على متعدد الحدود الأصلي. 5\((a+1)\) \(5 \cdot a+5 \cdot 1\) \(5 a+5 \checkmark\)
عامل:\(14 x+14\)
- إجابة
-
\(14(x+1)\)
عامل:\(12 p+12\)
- إجابة
-
\(12(p+1)\)
تحتوي التعبيرات في المثال التالي على عدة عوامل مشتركة. تذكر أن تكتب GCF كمنتج لجميع العوامل المشتركة.
عامل:\(12 x-60\)
- إجابة
-
أوجد معامل التركيز الجغرافي للعدد ١٢ × و٦٠. أعد كتابة كل مصطلح كمنتج باستخدام GCF. عامل عامل GCF. تحقق من ذلك بضرب العوامل. 12 (x−5) \(12 \cdot x-12 \cdot 5\) \(12 x-60 \checkmark\)
عامل:\(18 u-36\)
- إجابة
-
\(8(u-2)\)
عامل:\(30 y-60\)
- إجابة
-
\(30(y-2)\)
الآن سنأخذ العامل المشترك الأكبر في الاعتبار من المعادلة الثلاثية. نبدأ بإيجاد GCF لجميع المصطلحات الثلاثة.
عامل:\(4 y^{2}+24 y+28\)
- إجابة
-
نبدأ بإيجاد GCF لجميع المصطلحات الثلاثة.
ابحث عن GCF لـ\(4 y^{2}, 24 y\) و 28 أعد كتابة كل مصطلح كمنتج باستخدام GCF. عامل عامل GCF. تحقق عن طريق الضرب. 4\(\left(y^{2}+6 y+7\right)\) \(4 \cdot y^{2}+4 \cdot 6 y+4 \cdot 7\) \(4 y^{2}+24 y+28 \checkmark\)
عامل:\(5 x^{2}-25 x+15\)
- إجابة
-
\(5\left(x^{2}-5 x+3\right)\)
عامل:\(3 y^{2}-12 y+27\)
- إجابة
-
\(3\left(y^{2}-4 y+9\right)\)
عامل:\(5 x^{3}-25 x^{2}\)
- إجابة
-
أوجد معامل التركيز الإجمالي للعددين ٥\(x^{3}\) و٢٥\(x^{2}\) أعد كتابة كل مصطلح. عامل عامل GCF. تحقق. 5\(x^{2}(x-5)\) \(5 x^{2} \cdot x-5 x^{2} \cdot 5\) \(5 x^{3}-25 x^{2}\checkmark\)
عامل:\(2 x^{3}+12 x^{2}\)
- إجابة
-
\(2x^2(x+6)\)
عامل:\(6 y^{3}-15 y^{2}\)
- إجابة
-
\(3y^2(2y-5)\)
عامل:\(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\)
- إجابة
-
في مثال سابق وجدنا أن GCF هو 3\(x\).\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\)
أعد كتابة كل مصطلح باستخدام GCF، 3 x. عامل عامل GCF. تحقق. 3\(x\left(7 x^{2}-3 x+5\right)\) \(3 x \cdot 7 x^{2}-3 x \cdot 3 x+3 x \cdot 5\) \(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\checkmark\)
عامل:\(20 x^{3}-10 x^{2}+14 x\)
- إجابة
-
\(2x(10x^2-5x+7)\)
عامل:\(24 y^{3}-12 y^{2}-20 y\)
- إجابة
-
\(4y(6y^2-3y-5)\)
عامل:\(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\)
- إجابة
-
ابحث عن GCF لـ\(8 m^{3}, 12 m^{2} n, 20 m n^{2}\) أعد كتابة كل مصطلح. عامل عامل GCF. تحقق. 4\(m\left(2 m^{2}-3 m n+5 n^{2}\right)\) \(4 m \cdot 2 m^{2}-4 m \cdot 3 m n+4 m \cdot 5 n^{2}\) \(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\checkmark\)
عامل:\(9 x y^{2}+6 x^{2} y^{2}+21 y^{3}\)
- إجابة
-
\(3y^2(3x+2x^2+7y)\)
عامل:\(3 p^{3}-6 p^{2} q+9 p q^{3}\)
- إجابة
-
\(3p(p^2-2pq+3q^2\)
عندما يكون المعامل الرئيسي سالبًا، فإننا نأخذ السالب في الاعتبار كجزء من GCF.
عامل:\(-8 y-24\)
- إجابة
-
عندما يكون المعامل الرئيسي سالبًا، سيكون GCF سالبًا.
عند تجاهل علامات المصطلحات، نجد أولاً أن GCF لـ 8 y و 24 هو 8. بما أن المقدار −8 y − 24 يحتوي على معامل البداية السالب، فإننا نستخدم −8 كمعامل GCF. أعد كتابة كل مصطلح باستخدام GCF.
عامل عامل GCF. تحقق. \(-8(y+3)\) \(-8 \cdot y+(-8) \cdot 3\) \(-8 y-24 \checkmark\)
عامل:\(-16 z-64\)
- إجابة
-
\(-16(z+4)\)
عامل:\(-9 y-27\)
- إجابة
-
\(-9(y+3)\)
عامل:\(-6 a^{2}+36 a\)
- إجابة
-
المعامل الرئيسي سالب، وبالتالي فإن GCF سيكون سالبًا.؟
نظرًا لأن المعامل الرئيسي سالب، فإن GCF يكون سالبًا، −6 a.
أعد كتابة كل مصطلح باستخدام GCF. عامل عامل GCF. تحقق. \(-6 a(a-6)\) \(-6 a \cdot a+(-6 a)(-6)\) \(-6 a^{2}+36 a v\)
عامل:\(-4 b^{2}+16 b\)
- إجابة
-
\(-4b(b-4)\)
عامل:\(-7 a^{2}+21 a\)
- إجابة
-
\(-7a(a-3)\)
عامل:\(5 q(q+7)-6(q+7)\)
- إجابة
-
إن GCF هو q+7 ذو الحدين.
عامل GCF، (q + 7). تحقق بنفسك عن طريق الضرب.
عامل:\(4 m(m+3)-7(m+3)\)
- إجابة
-
\( (m+3)(4m-7) \)
عامل:\(8 n(n-4)+5(n-4)\)
- إجابة
-
\( (n-4)(8n+5) \)
عامل حسب التجميع
عندما لا يكون هناك عامل مشترك لجميع مصطلحات كثيرة الحدود، ابحث عن عامل مشترك في بعض المصطلحات فقط. عندما تكون هناك أربعة مصطلحات، فإن الطريقة الجيدة للبدء هي فصل متعدد الحدود إلى جزأين بحدين في كل جزء. ثم ابحث عن GCF في كل جزء. إذا كان من الممكن أخذ متعدد الحدود في الاعتبار، ستجد عاملًا مشتركًا يظهر من كلا الجزأين.
(لا يمكن حساب جميع كثيرات الحدود. تمامًا مثل بعض الأرقام الأولية، تكون بعض كثيرات الحدود أولية.)
عامل:\(x y+3 y+2 x+6\)
- إجابة
-
عامل:\(x y+8 y+3 x+24\)
- إجابة
-
\( (x+8)(y+3) \)
عامل:\(a b+7 b+8 a+56\)
- إجابة
-
\( (a+7)(b+8) \)
عامل حسب التجميع.
الخطوة 1. مصطلحات المجموعة مع العوامل المشتركة.
الخطوة 2. ضع في اعتبارك العامل المشترك في كل مجموعة.
الخطوة 3. ضع في اعتبارك العامل المشترك من التعبير.
الخطوة 4. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
عامل:\(x^{2}+3 x-2 x-6\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll}{\text { There is no GCF in all four terms. }} & x^{2}+3 x-2 x-6\\ {\text { Separate into two parts. }} & \underbrace{x^{2}+3 x}\underbrace{-2 x-6} \\ \\ {\text { Factor the GCF from both parts. Be careful }} \\ {\text { with the signs when factoring the GCF from }}& \begin{array}{c}{x(x+3)-2(x+3)} \\ {(x+3)(x-2)}\end{array} \\ {\text { the last two terms. }} \\ \\ \text { Check on your own by multinlying. }\end{array}\)
عامل:\(x^{2}+2 x-5 x-10\)
- إجابة
-
\( (x-5)(x+2) \)
عامل:\(y^{2}+4 y-7 y-28\)
- إجابة
-
\( (y+4)(y-7) \)
يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع أكبر العوامل المشتركة (GFCs) والعوملة حسب التجميع.
- العامل المشترك الأكبر (GCF)
- تحليل إجمالي الناتج المحلي الخاص بالمعادلة ذات الحدين
- العامل المشترك الأكبر (GCF) لكثيرات الحدود
مسرد المصطلحات
- العوم
- التخصيم هو تقسيم المنتج إلى عوامل؛ بمعنى آخر، إنها عملية عكسية للتكاثر.
- العامل المشترك الأكبر
- العامل المشترك الأكبر هو أكبر تعبير يمثل عامل تعبيرين أو أكثر وهو العامل المشترك الأكبر (GCF).