6.6: قسمة كثيرات الحدود
- Page ID
- 200431
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- قسمة كثير الحدود على رقم أحادي
- قسمة كثير الحدود على معادلة ذات حدين
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- إضافة:\(\dfrac{3}{d}+\dfrac{x}{d}\)
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.7.1. - التبسيط:\(\dfrac{30 x y^{3}}{5 x y}\)
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 6.5.37. - اجمع بين المصطلحات المتشابهة:\(8 a^{2}+12 a+1+3 a^{2}-5 a+4\)
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.3.37.
قسمة كثير الحدود على رقم أحادي الحد
في القسم الأخير، تعلمت كيفية تقسيم الحد الأحادي على الحد الأحادي. عندما تستمر في بناء معرفتك بكثيرات الحدود، فإن الإجراء التالي هو تقسيم كثير الحدود من مصطلحين أو أكثر على معادلة أحادية الحد.
تعتمد الطريقة التي سنستخدمها لتقسيم كثير الحدود على صيغة أحادية الحد على خصائص إضافة الكسر. لذلك سنبدأ بمثال لمراجعة إضافة الكسور.
\(\begin{array}{ll}{\text { The sum, }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}} \\ {\text { simplifies to }} & {\dfrac{y+2}{5}}\end{array}\)
الآن سنفعل ذلك في الاتجاه المعاكس لتقسيم كسر واحد إلى كسور منفصلة.
سنذكر خاصية إضافة الكسور هنا تمامًا كما تعلمتها وبالعكس.
إذا كانت a و b و c عبارة عن أرقام حيث\(c\neq 0\)، إذن
\[\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \quad \text { and } \quad \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\]
نستخدم النموذج الموجود على اليسار لجمع الكسور، ونستخدم النموذج الموجود على اليمين لتقسيم كثير الحدود على رقم أحادي الحد.
\(\begin{array}{ll}{\text { For example, }} & {\dfrac{y+2}{5}} \\ {\text { can be written }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}}\end{array}\)
نستخدم هذا الشكل من جمع الكسور لتقسيم كثيرات الحدود على وحيدات الحد.
لتقسيم كثير الحدود على رقم أحادي، قسّم كل حد من كثير الحدود على الحد الأحادي.
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{7 y^{2}+21}{7}\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} & \dfrac{7 y^{2}+21}{7}\\\text{Divide each term of the numerator by the denominator.} & \dfrac{7 y^{2}}{7}+\dfrac{21}{7} \\ \text {Simplify each fraction. } & y^{2}+3 \end{array}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{8 z^{2}+24}{4}\)
- إجابة
-
\(2 z^{2}+6\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{18 z^{2}-27}{9}\)
- إجابة
-
\(2 z^{2}-3\)
تذكر أنه يمكن تمثيل القسمة في صورة كسر. عندما يُطلب منك قسمة كثير الحدود على صيغة أحادية الحد وهي ليست بالفعل في صورة كسر، فاكتب كسرًا يحتوي على كثير الحدود في البسط وحد الحد في المقام.
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} & \left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\\\text { Rewrite as a fraction. } & \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}}{6 x}-\dfrac{36 x^{2}}{6 x}\\ \text { Simplify. } &3 x^{2}-6 x\end{array}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(27 b^{3}-33 b^{2}\right) \div 3 b\)
- إجابة
-
\(9 b^{2}-11 b\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(25 y^{3}-55 y^{2}\right) \div 5 y\)
- إجابة
-
\(5 y^{2}-11 y\)
عندما نقسم على السالب، يجب أن نكون حذرين للغاية مع العلامات.
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} &\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Simplify. Remember, subtracting a negative is like adding a positive! }& -3 d^{2}+4 d\end{array}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{25 y^{2}-15 y}{-5}\)
- إجابة
-
\(-5 y^{2}+3 y\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{42 b^{2}-18 b}{-6}\)
- إجابة
-
\(-7 b^{2}+3 b\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} &\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Separate the terms. }& \dfrac{105 y^{5}}{5 y^{2}}+\dfrac{75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Simplify. }& 21 y^{3}+15 y\end{array}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{60 d^{7}+24 d^{5}}{4 d^{3}}\)
- إجابة
-
\(15 d^{4}+6 d^{2}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{216 p^{7}-48 p^{5}}{6 p^{3}}\)
- إجابة
-
\(36 p^{4}-8 p^{2}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} &\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\\ \text { Rewrite as a fraction. }& \dfrac{15 x^{3} y-35 x y^{2}}{-5 x y}\\\text { Separate the terms. Be careful with the signs! }& \dfrac{15 x^{3} y}{-5 x y}-\dfrac{35 x y^{2}}{-5 x y}\\ \text { Simplify. } & -3 x^{2}+7 y\end{array}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(32 a^{2} b-16 a b^{2}\right) \div(-8 a b)\)
- إجابة
-
\(-4 a+2 b\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(-48 a^{8} b^{4}-36 a^{6} b^{5}\right) \div\left(-6 a^{3} b^{3}\right)\)
- إجابة
-
\(8 a^{5} b+6 a^{3} b^{2}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} &\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{36 x^{3} y^{2}}{9 x^{2} y}+\dfrac{27 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y}-\dfrac{9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\ \text { Simplify. } & 4 x y+3 y-y^{2}\end{array}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{40 x^{3} y^{2}+24 x^{2} y^{2}-16 x^{2} y^{3}}{8 x^{2} y}\)
- إجابة
-
\(5 x y+3 y-2 y^{2}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{35 a^{4} b^{2}+14 a^{4} b^{3}-42 a^{2} b^{4}}{7 a^{2} b^{2}}\)
- إجابة
-
\(5 a^{2}+2 a^{2} b-6 b^{2}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5 x}\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll}&\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5x}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{10 x^{2}}{5 x}+\dfrac{5 x}{5 x}-\dfrac{20}{5 x}\\ \text { Simplify. } &2 x+1-\dfrac{4}{x}\end{array}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{18 c^{2}+6 c-9}{6 c}\)
- إجابة
-
\(3 c+1-\dfrac{3}{2 c}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\dfrac{10 d^{2}-5 d-2}{5 d}\)
- إجابة
-
\(2 d-1-\dfrac{2}{5 d}\)
قسمة كثير الحدود على معادلة ذات حدين
لتقسيم كثير الحدود على ذات الحدين، نتبع إجراءً مشابهًا جدًا للقسمة الطويلة للأرقام. لذلك دعونا ننظر بعناية إلى الخطوات التي نتخذها عندما نقسم عددًا مكونًا من 3 أرقام، 875، على رقم مكون من رقمين، 25.
| نحن نكتب القسم الطويل |  |
| نحن نقسم أول رقمين، 87، على 25. |  |
| نضرب 3 في 25 ونكتب المنتج تحت 87. |  |
| الآن نطرح 75 من 87. |  |
| ثم نسقط الرقم الثالث من الأرباح، 5. |  |
| كرر العملية بتقسيم 25 إلى 125. |  |
نتحقق من القسمة بضرب حاصل القسمة في المقسوم.
إذا قمنا بالقسمة بشكل صحيح، يجب أن يساوي المنتج الأرباح.
\[\begin{array}{l}{35 \cdot 25} \\ {875}\checkmark\end{array}\]
الآن سنقسم ثلاثية الحدود بمعادلة ذات حدين. أثناء قراءة المثال، لاحظ مدى تشابه الخطوات مع المثال العددي أعلاه.
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(x^{2}+9 x+20\right) \div(x+5)\)
- إجابة
-
اكتبها كمشكلة قسمة طويلة. تأكد من أن الأرباح في شكلها القياسي. 
قسّم x 2 على x. قد يكون من المفيد أن تسأل نفسك: «ما الذي أحتاجه لضرب x للحصول على x 2؟» ضع الإجابة، x، في حاصل القسمة على الحد x. 
اضرب x مرات x + 5. قم بترتيب الشروط المماثلة ضمن توزيعات الأرباح. 
اطرح × 2 + 5 × من x 2 + 9 x. 
ثم قم بإسقاط الفصل الأخير، 20.
اقسم 4 × على x. قد يكون من المفيد أن تسأل نفسك: «ما الذي أحتاجه
لضرب x للحصول على 4 x؟»ضع الإجابة، ٤، في حاصل القسمة على الحد الثابت. 
اضرب 4 مرات × + 5. 
اطرح 4 × + 20 من 4 × + 20. 
تحقق من: اضرب حاصل القسمة في المقسوم. (× + 4) (× + 5) يجب أن تحصل على الأرباح. × 2+ 9 × + 20 ✓
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(y^{2}+10 y+21\right) \div(y+3)\)
- إجابة
-
y+7
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(m^{2}+9 m+20\right) \div(m+4)\)
- إجابة
-
م+5
عندما يحمل المقسوم علامة الطرح، يجب أن نكون أكثر حذرًا عندما نضرب القسمة الجزئية ثم نطرح. قد يكون من الأكثر أمانًا إظهار أننا نغير العلامات ثم نضيف.
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \div(x-3)\)
- إجابة
-
اكتبها كمشكلة قسمة طويلة. تأكد من أن الأرباح في شكلها القياسي. 
اقسم 2 × 2 بواسطة x.
ضع الإجابة، 2 x، في حاصل القسمة على الحد x.
اضرب 2 × مرات × − 3. قم بترتيب الشروط المماثلة ضمن توزيعات الأرباح. 
اطرح ٢ × ٢ − ٦ × من ٢ × ٢ − ٥ ×.
قم بتغيير العلامات ثم قم بإضافتها.
ثم قم بإسقاط الفصل الدراسي الأخير.
اقسم x على x.
ضع الإجابة، 1، في حاصل القسمة على الحد الثابت.
اضرب 1 مرة × − 3. 
اطرح x − 3 من x − 3 عن طريق تغيير العلامات والجمع. 
للتحقق، اضرب (x − 3) (2 x + 1). يجب أن تكون النتيجة 2 × 2 − 5 × − 3.
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(2 x^{2}-3 x-20\right) \div(x-4)\)
- إجابة
-
2x+5
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(3 x^{2}-16 x-12\right) \div(x-6)\)
- إجابة
-
3x+2
عندما قسمنا 875 على 25، لم يكن لدينا أي متبقٍ. لكن في بعض الأحيان يؤدي تقسيم الأرقام إلى ترك الباقي. وينطبق الشيء نفسه عندما نقسم كثيرات الحدود. في التمرين\(\PageIndex{25}\)، سيكون لدينا قسم يترك الباقي. نكتب الباقي في صورة كسر مع المقسوم باعتباره المقام.
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(x^{3}-x^{2}+x+4\right) \div(x+1)\)
- إجابة
-
اكتبها كمشكلة قسمة طويلة. تأكد من أن الأرباح في شكلها القياسي. 
قسّم x 3 على x.
ضع الإجابة، x 2، في حاصل القسمة على الحد x 2.
اضرب x 2 مرات x + 1. قم بترتيب الشروط المماثلة ضمن توزيعات الأرباح.
اطرح x 3+ x 2 من x 3 − x 2 عن طريق تغيير العلامات والجمع.
ثم قم بإسقاط الفصل الدراسي التالي.
قسّم −2 × 2 على x.
ضع الإجابة، −٢ x، في خارج القسمة على الحد x.
اضرب −2 × مرات × + 1. قم بترتيب الشروط المماثلة ضمن توزيعات الأرباح.
اطرح −2 × 2 − 2 x من −2 × 2+ x عن طريق تغيير العلامات والجمع.
ثم قم بإسقاط الفصل الدراسي الأخير.
اقسم 3 × على x.
ضع الإجابة، ٣، في حاصل القسمة على الحد الثابت.
اضرب 3 مرات × + 1. قم بترتيب الشروط المماثلة ضمن توزيعات الأرباح.
اطرح 3 x + 3 من 3 x + 4 عن طريق تغيير العلامات والإضافة.
اكتب الباقي في صورة كسر باستخدام المقسوم باعتباره المقام.
للتحقق، اضرب\((x+1)\left(x^{2}-2 x+3+\dfrac{1}{x+1}\right)\)
. يجب أن تكون النتيجة\(x^{3}-x^{2}+x+4\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(x^{3}+5 x^{2}+8 x+6\right) \div(x+2)\)
- إجابة
-
\(x^{2}+3 x+2+\dfrac{2}{x+2}\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(2 x^{3}+8 x^{2}+x-8\right) \div(x+1)\)
- إجابة
-
\(2 x^{2}+6 x-5-\dfrac{3}{x+1}\)
انظر إلى الأرباح في المثال والمثال والمثال. تمت كتابة المصطلحات بترتيب تنازلي للدرجات، ولم تكن هناك درجات مفقودة. سيكون العائد في المثال\(x^{4}-x^{2}+5 x-2\). إنه يفتقد\(x^{3}\) المصطلح. سنضيف\(0x^{3}\) كعنصر نائب.
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(x^{4}-x^{2}+5 x-2\right) \div(x+2)\)
- إجابة
-
لاحظ أنه لا يوجد\(x^{3}\) مصطلح في توزيع الأرباح. سنضيف\(0x^{3}\) كعنصر نائب.
اكتبها كمشكلة قسمة طويلة. تأكد من أن توزيع الأرباح في شكل قياسي مع عناصر نائبة للمصطلحات المفقودة. 
قسّم x 4 على x.
ضع الإجابة، x 3، في حاصل القسمة على الحد x 3.
اضرب x 3 مرات x + 2. اصطف المصطلحات المشابهة.
اطرح المصطلح التالي ثم اسقطه.
قسّم −2 × 3 على x.
ضع الإجابة، −٢ × ٢، في خارج القسمة على الحد x ٢.
اضرب −2 × 2 مرات × + 1. اصطف المصطلحات المشابهة.
اطرح المصطلح التالي واسقطه.
اقسم 3 × 2 على x.
ضع الإجابة، ٣ x، في حاصل القسمة على الحد x.
اضرب 3 × مرات × + 1. اصطف المصطلحات المشابهة.
اطرح المصطلح التالي واسقطه.
قسّم − x على x.
ضع الإجابة، −1، في خارج القسمة على الحد الثابت.
اضرب −1 مرة × + 1. اصطف المصطلحات المشابهة.
قم بتغيير العلامات، أضف.
للتحقق، اضرب\((x+2)\left(x^{3}-2 x^{2}+3 x-1\right)\) يجب أن تكون النتيجة\(x^{4}-x^{2}+5 x-2\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(x^{3}+3 x+14\right) \div(x+2)\)
- إجابة
-
\(x^{2}-2 x+7\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(x^{4}-3 x^{3}-1000\right) \div(x+5)\)
- إجابة
-
\(x^{3}-8 x^{2}+40 x-200\)
في التمرين\(\PageIndex{31}\)، سنقسم على\(2a−3\). عندما نقسم، سيتعين علينا النظر في الثوابت والمتغيرات.
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(8 a^{3}+27\right) \div(2 a+3)\)
- إجابة
-
هذه المرة سنعرض التقسيم كله في خطوة واحدة. نحتاج إلى إضافة عنصرين نائبين من أجل التقسيم.
للتحقق، اضرب\((2 a+3)\left(4 a^{2}-6 a+9\right)\)
يجب أن تكون النتيجة\(8 a^{3}+27\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(x^{3}-64\right) \div(x-4)\)
- إجابة
-
\(x^{2}+4 x+16\)
ابحث عن حاصل القسمة:\(\left(125 x^{3}-8\right) \div(5 x-2)\)
- إجابة
-
\(25 x^{2}+10 x+4\)
يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع تقسيم كثيرات الحدود:
- قسمة كثير الحدود على رقم أحادي الحد
- قسمة كثير الحدود على حد واحد 2
- قسمة كثير الحدود على ذات الحدين
المفاهيم الرئيسية
- إضافة الكسر
- إذا كانت a و b و c عبارة عن أرقام حيث\(c\neq 0\)، ثم
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}\) و\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\)
- إذا كانت a و b و c عبارة عن أرقام حيث\(c\neq 0\)، ثم
- قسمة كثير الحدود على مقياس أحادي الحد
- لتقسيم كثير الحدود على رقم أحادي، قسّم كل حد من كثير الحدود على الحد الأحادي.