6.1: جمع وطرح كثيرات الحدود
- Page ID
- 200517
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- تحديد كثيرات الحدود والأحادية وثنائية الحدود وثلاثية الحدود
- تحديد درجة كثيرات الحدود
- جمع وطرح وحيدات الحدود
- جمع وطرح كثيرات الحدود
- إيجاد قيمة كثيرة الحدود لقيمة معطاة
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- قم بالتبسيط:\(8x+3x\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.3.37. - طرح:\((5n+8)−(2n−1)\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.10.52. - اكتب في شكل موسع:\(a^{5}\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.3.7.
تحديد كثيرات الحدود، وحيدات الحدود، وثنائية الحدود، وثلاثية الحدود
لقد تعلمت أن المصطلح ثابت أو نتاج ثابت ومتغير واحد أو أكثر. عندما يكون من الشكل\(ax^{m}\)، حيث\(a\) يكون ثابتًا\(m\) وهو رقم صحيح، يُطلق عليه اسم أحادي الحد. بعض الأمثلة على الأحادية هي\(8,−2x^{2},4y^{3}\)، و\(11z^{7}\).
الحد الأحادي هو مصطلح في النموذج\(ax^{m}\)، حيث\(a\) يكون ثابتًا\(m\) وهو رقم صحيح موجب.
يُعد العدد الأحادي، أو وحيدين أو أكثر من وحيدات الحد معًا بالجمع أو الطرح، عددًا كبيرًا من الحدود. تحتوي بعض كثيرات الحدود على أسماء خاصة، استنادًا إلى عدد المصطلحات. الحد الأحادي هو متعدد الحدود بمصطلح واحد بالضبط. تحتوي المعادلة ذات الحدين على مصطلحين بالضبط، بينما تحتوي المعادلة الثلاثية على ثلاثة مصطلحات بالضبط. لا توجد أسماء خاصة لكثيرات الحدود بأكثر من ثلاثة مصطلحات.
- كثير الحدود —عبارة عن دالة أحادية الحد، أو وحدتين أو أكثر، مجتمعة بالجمع أو الطرح، هي دالة كثيرة الحدود.
- أحادي الحد - يُطلق على كثير الحدود الذي يحتوي على مصطلح واحد بالضبط اسم أحادي الحد.
- المعادلة ذات الحدين - يُطلق على كثير الحدود الذي يحتوي على حدين بالضبط اسم ذات حدين.
- ثلاثي الحدود - يُطلق على كثير الحدود الذي يحتوي على ثلاثة حدود بالضبط اسم ثلاثي الحدود.
فيما يلي بعض الأمثلة لكثيرات الحدود.
\[\begin{array}{lllll}{\text { Polynomial }} & {b+1} &{4 y^{2}-7 y+2} & {4 x^{4}+x^{3}+8 x^{2}-9 x+1} \\ {\text { Monomial }} & {14} & {8 y^{2}} & {-9 x^{3} y^{5}} & {-13}\\ {\text { Binomial }} & {a+7}&{4 b-5} & {y^{2}-16}& {3 x^{3}-9 x^{2}} \\ {\text { Trinomial }} & {x^{2}-7 x+12} & {9 y^{2}+2 y-8} & {6 m^{4}-m^{3}+8 m}&{z^{4}+3 z^{2}-1} \end{array} \nonumber\]
لاحظ أن كل رقم أحادي وذي حدين وثلاثي الحدود هو أيضًا كثير الحدود. إنهم مجرد أعضاء مميزين في «عائلة» كثيرات الحدود وبالتالي لديهم أسماء خاصة. نحن نستخدم الكلمات أحادية الحدين وذات الحدين وثلاثية الحدود عند الإشارة إلى هذه الكثيرات الخاصة ونطلق فقط على جميع كثيرات الحدود الباقية.
حدِّد ما إذا كان كل كثير الحدود عبارة عن معادلة أحادية أو ذات حدين أو ثلاثية الحدود أو غيرها من كثيرات الحدود.
- \(4y^{2}−8y−6\)
- \(−5a^{4}b^{2}\)
- \(2x^{5}−5x^{3}−3x + 4\)
- \(13−5m^{3}\)
- ف
- إجابة
-
\(\begin{array}{lll}&{\text { Polynomial }} & {\text { Number of terms }} & {\text { Type }} \\ {\text { (a) }} & {4 y^{2}-8 y-6} & {3} & {\text { Trinomial }} \\ {\text { (b) }} & {-5 a^{4} b^{2}} & {1} & {\text { Monomial }} \\ {\text { (c) }} & {2 x^{5}-5 x^{3}-9 x^{2}+3 x+4} & {5} & {\text { Ponomial }} \\ {\text { (d) }} & {13-5 m^{3}} & {2} & {\text { Binomial }} \\ {\text { (e) }} & {q} & {1} & {\text { Monomial }}\end{array}\)
حدِّد ما إذا كان كل كثير الحدود عبارة عن معادلة أحادية أو ذات حدين أو ثلاثية الحدود أو غيرها من كثيرات الحدود:
- 5 ب
- \(8 y^{3}-7 y^{2}-y-3\)
- \(-3 x^{2}-5 x+9\)
- \(81-4 a^{2}\)
- \(-5 x^{6}\)
- إجابة
-
- أحادية الحد
- متعدد الحدود
- ثلاثية الحدود
- معادلة ذات حدين
- أحادية الحد
حدِّد ما إذا كان كل كثير الحدود عبارة عن معادلة أحادية أو ذات حدين أو ثلاثية الحدود أو غيرها من كثيرات الحدود:
- \(27 z^{3}-8\)
- \(12 m^{3}-5 m^{2}-2 m\)
- \(\frac{5}{6}\)
- \(8 x^{4}-7 x^{2}-6 x-5\)
- \(-n^{4}\)
- إجابة
-
- معادلة ذات حدين
- ثلاثية الحدود
- أحادية الحد
- متعدد الحدود
- أحادية الحد
تحديد درجة كثيرات الحدود
يتم تحديد درجة متعدد الحدود ودرجة شروطه من خلال أسس المتغير. إن الحد الأحادي الذي لا يحتوي على متغير، مجرد ثابت، هو حالة خاصة. درجة الثابت هي 0، أي أنه لا يحتوي على متغير.
- درجة المصطلح هي مجموع أسس المتغيرات الخاصة به.
- درجة الثابت هي 0.
- درجة تعدد الحدود هي أعلى درجة من جميع مصطلحاتها.
دعونا نرى كيف يعمل هذا من خلال النظر إلى العديد من كثيرات الحدود. سنأخذ الأمر خطوة بخطوة، بدءًا من الحدود الأحادية، ثم ننتقل إلى كثيرات الحدود بمزيد من المصطلحات.
يكون كثير الحدود في الشكل القياسي عندما تتم كتابة مصطلحات كثيرة الحدود بترتيب تنازلي للدرجات. اعتد على كتابة المصطلح بأعلى درجة أولاً.
أوجد درجة كثيرات الحدود التالية.
- 10 سنوات
- \(4 x^{3}-7 x+5\)
- −15
- \(-8 b^{2}+9 b-2\)
- \(8 x y^{2}+2 y\)
- إجابة
-
- \(\begin{array}{ll} & 10y\\ \text{The exponent of y is one. } y=y^1 & \text{The degree is 1.}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & 4 x^{3}-7 x+5\\ \text{The highest degree of all the terms is 3.} & \text{The degree is 3.}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & -15\\ \text{The degree of a constant is 0.} & \text{The degree is 0.}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & -8 b^{2}+9 b-2\\ \text{The highest degree of all the terms is 2.} & \text{The degree is 2.}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & 8 x y^{2}+2 y\\ \text{The highest degree of all the terms is 3.} & \text{The degree is 3.}\end{array}\)
أوجد درجة كثيرات الحدود التالية:
- −15 ب
- \(10 z^{4}+4 z^{2}-5\)
- \(12 c^{5} d^{4}+9 c^{3} d^{9}-7\)
- \(3 x^{2} y-4 x\)
- −9
- إجابة
-
- 1
- 4
- 12
- 3
- 0
أوجد درجة كثيرات الحدود التالية:
- 52
- \(a^{4} b-17 a^{4}\)
- \(5 x+6 y+2 z\)
- \(3 x^{2}-5 x+7\)
- \(-a^{3}\)
- إجابة
-
- 0
- 5
- 1
- 2
- 3
جمع وطرح وحيدات الحدود
لقد تعلمت كيفية تبسيط التعبيرات من خلال الجمع بين المصطلحات المتشابهة. تذكر أن المصطلحات المتشابهة يجب أن تحتوي على نفس المتغيرات بنفس الأس. نظرًا لأن القيم الأحادية عبارة عن مصطلحات، فإن جمع وحيدات الحد وطرحها يماثل الجمع بين المصطلحات المتشابهة. إذا كانت القيم الأحادية تشبه المصطلحات، فإننا ندمجها فقط عن طريق إضافة المعامل أو طرحه.
إضافة:\(25 y^{2}+15 y^{2}\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} & 25 y^{2}+15 y^{2}\\ \text{Combine like terms.} & 40y^{2}\end{array}\)
إضافة:\(12 q^{2}+9 q^{2}\)
- إجابة
-
21\(q^{2}\)
إضافة:\(-15 c^{2}+8 c^{2}\)
- إجابة
-
\(-7 c^{2}\)
الطرح: 16p− (−7p)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} & 16p−(−7p) \\ \text{Combine like terms.} & 23p\end{array}\)
الطرح: 8 م − (−5 م).
- إجابة
-
13 م
طرح:\(-15 z^{3}-\left(-5 z^{3}\right)\)
- إجابة
-
\(-10 z^{3}\)
تذكر أن المصطلحات المتشابهة يجب أن تحتوي على نفس المتغيرات بنفس الأسس.
قم بالتبسيط:\(c^{2}+7 d^{2}-6 c^{2}\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} & c^{2}+7 d^{2}-6 c^{2} \\ \text{Combine like terms.} & -5 c^{2}+7 d^{2} \end{array}\)
إضافة:\(8 y^{2}+3 z^{2}-3 y^{2}\)
- إجابة
-
\(5 y^{2}+3 z^{2}\)
إضافة:\(3 m^{2}+n^{2}-7 m^{2}\)
- إجابة
-
\(-4 m^{2}+n^{2}\)
قم بالتبسيط:\(u^{2} v+5 u^{2}-3 v^{2}\)
- إجابة
-
\ (\ ابدأ {مصفوفة} {ll} &u ^ {2} v+5 u^ {2} -3 v^ {2}
\\\ النص {لا توجد مصطلحات مشابهة للدمج.} & u^ {2} v+5 u^ {2} -3 v^ {2}\ النهاية {المصفوفة}\)
قم بالتبسيط:\(m^{2} n^{2}-8 m^{2}+4 n^{2}\)
- إجابة
-
لا توجد مصطلحات مماثلة للدمج.
قم بالتبسيط:\(p q^{2}-6 p-5 q^{2}\)
- إجابة
-
لا توجد مصطلحات مماثلة للدمج.
جمع وطرح كثيرات الحدود
يمكننا التفكير في جمع وطرح كثيرات الحدود كمجرد جمع وطرح سلسلة من وحيدات الحد. ابحث عن المصطلحات المتشابهة - تلك التي لها نفس المتغيرات ونفس الأس. تسمح لنا خاصية الاستبدال بإعادة ترتيب المصطلحات لتجميع المصطلحات المتشابهة معًا.
ابحث عن المبلغ:\(\left(5 y^{2}-3 y+15\right)+\left(3 y^{2}-4 y-11\right)\)
- إجابة
-
حدد المصطلحات المشابهة. 
أعد الترتيب لتجميع المصطلحات المتشابهة معًا. 
اجمع بين المصطلحات المتشابهة. 
ابحث عن المبلغ:\(\left(7 x^{2}-4 x+5\right)+\left(x^{2}-7 x+3\right)\)
- إجابة
-
\(8 x^{2}-11 x+1\)
ابحث عن المبلغ:\(\left(14 y^{2}+6 y-4\right)+\left(3 y^{2}+8 y+5\right)\)
- إجابة
-
\(17 y^{2}+14 y+1\)
ابحث عن الفرق:\(\left(9 w^{2}-7 w+5\right)-\left(2 w^{2}-4\right)\)
- إجابة
-
قم بتوزيع وتحديد المصطلحات المتشابهة. 
أعد ترتيب المصطلحات. 
اجمع بين المصطلحات المتشابهة. 
ابحث عن الفرق:\(\left(8 x^{2}+3 x-19\right)-\left(7 x^{2}-14\right)\)
- إجابة
-
\(15 x^{2}+3 x-5\)
ابحث عن الفرق:\(\left(9 b^{2}-5 b-4\right)-\left(3 b^{2}-5 b-7\right)\)
- إجابة
-
\(6 b^{2}+3\)
الطرح:\(\left(c^{2}-4 c+7\right)\) من\(\left(7 c^{2}-5 c+3\right)\)
- إجابة
-
قم بتوزيع وتحديد المصطلحات المتشابهة. 
أعد ترتيب المصطلحات. 
اجمع بين المصطلحات المتشابهة. 
الطرح:\(\left(5 z^{2}-6 z-2\right)\) من\(\left(7 z^{2}+6 z-4\right)\)
- إجابة
-
\(2 z^{2}+12 z-2\)
الطرح:\(\left(x^{2}-5 x-8\right)\) من\(\left(6 x^{2}+9 x-1\right)\)
- إجابة
-
\(5 x^{2}+14 x+7\)
ابحث عن المبلغ:\(\left(u^{2}-6 u v+5 v^{2}\right)+\left(3 u^{2}+2 u v\right)\)
- إجابة
-
\(\begin{array} {ll} & {\left(u^{2}-6 u v+5 v^{2}\right)+\left(3 u^{2}+2 u v\right)} \\\text{Distribute.} & {u^{2}-6 u v+5 v^{2}+3 u^{2}+2 u v} \\ \text{Rearrange the terms, to put like terms together} & {u^{2}+3 u^{2}-6 u v+2 u v+5 v^{2}} \\ \text{Combine like terms.} & {4 u^{2}-4 u v+5 v^{2}}\end{array}\)
ابحث عن المبلغ:\(\left(3 x^{2}-4 x y+5 y^{2}\right)+\left(2 x^{2}-x y\right)\)
- إجابة
-
\(5 x^{2}-5 x y+5 y^{2}\)
ابحث عن المبلغ:\(\left(2 x^{2}-3 x y-2 y^{2}\right)+\left(5 x^{2}-3 x y\right)\)
- إجابة
-
\(7 x^{2}-6 x y-2 y^{2}\)
ابحث عن الفرق:\(\left(p^{2}+q^{2}\right)-\left(p^{2}+10 p q-2 q^{2}\right)\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} & {\left(p^{2}+q^{2}\right)-\left(p^{2}+10 p q-2 q^{2}\right)} \\ \text{Distribute.} &{p^{2}+q^{2}-p^{2}-10 p q+2 q^{2}} \\\text{Rearrange the terms, to put like terms together} & {p^{2}-p^{2}-10 p q+q^{2}+2 q^{2}} \\\text{Combine like terms.} & {-10 p q+3 q^{2}}\end{array}\)
ابحث عن الفرق:\(\left(a^{2}+b^{2}\right)-\left(a^{2}+5 a b-6 b^{2}\right)\)
- إجابة
-
\(-5 a b-5 b^{2}\)
ابحث عن الفرق:\(\left(m^{2}+n^{2}\right)-\left(m^{2}-7 m n-3 n^{2}\right)\)
- إجابة
-
\(4 n^{2}+7 m n\)
قم بالتبسيط:\(\left(a^{3}-a^{2} b\right)-\left(a b^{2}+b^{3}\right)+\left(a^{2} b+a b^{2}\right)\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll } & {\left(a^{3}-a^{2} b\right)-\left(a b^{2}+b^{3}\right)+\left(a^{2} b+a b^{2}\right)} \\ \text{Distribute.} &{a^{3}-a^{2} b-a b^{2}-b^{3}+a^{2} b+a b^{2}} \\ \text{Rearrange the terms, to put like terms together} & {a^{3}-a^{2} b+a^{2} b-a b^{2}+a b^{2}-b^{3}} \\ \text{Combine like terms.} &{a^{3}-b^{3}}\end{array}\)
قم بالتبسيط:\(\left(x^{3}-x^{2} y\right)-\left(x y^{2}+y^{3}\right)+\left(x^{2} y+x y^{2}\right)\)
- إجابة
-
\(x^{3}-y^{3}\)
قم بالتبسيط:\(\left(p^{3}-p^{2} q\right)+\left(p q^{2}+q^{3}\right)-\left(p^{2} q+p q^{2}\right)\)
- إجابة
-
\(p^{3}-2 p^{2} q+q^{3}\)
إيجاد قيمة كثيرة الحدود لقيمة مُعطاة
لقد تعلمنا بالفعل كيفية تقييم التعبيرات. نظرًا لأن كثيرات الحدود عبارة عن تعبيرات، فسوف نتبع نفس الإجراءات لتقييم كثير الحدود. سنقوم باستبدال القيمة المعطاة للمتغير ثم تبسيطها باستخدام ترتيب العمليات.
قم بالتقييم\(5x^{2}−8x+4\) عندما
- س = 4
- x=−2
- س = 0
- إجابة
-
1. x=4 
قم بتبسيط الأسس. 
اضرب. 
قم بالتبسيط. 
2. x=−2 
قم بتبسيط الأسس. 
اضرب. 
قم بالتبسيط. 
3. x=0 
قم بتبسيط الأسس. 
اضرب. 
قم بالتبسيط. 
تقييم:\(3x^{2}+2x−15\) متى
- س = 3
- x=−5
- س = 0
- إجابة
-
- 18
- 50
- −15
تقييم:\(5z^{2}−z−4\) متى
- z=−2
- ض = 0
- z = 2
- إجابة
-
- 18
- −4
- 14
يُعطي كثير الحدود\(−16t^{2}+250\) ارتفاع الكرة بعد عشرة ثوانٍ من إسقاطها من مبنى يبلغ ارتفاعه ٢٥٠ قدمًا. أوجد الارتفاع بعد t=2 ثانية.
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll } & −16t^{2}+250 \\ \text{Substitute t = 2.} & -16(2)^{2} + 250 \\ \text{Simplify }& −16\cdot 4+250 \\ \text{Simplify }& -64 + 250\\ \text{Simplify }& 186 \\& \text{After 2 seconds the height of the ball is 186 feet. } \end{array}\)
يُعطي كثير الحدود\(−16t^{2}+250\) ارتفاع الكرة بعد عشرة ثوانٍ من إسقاطها من مبنى يبلغ ارتفاعه ٢٥٠ قدمًا. أوجد الارتفاع بعد t=0 ثانية.
- إجابة
-
250
يُعطي كثير الحدود\(−16t^{2}+250\) ارتفاع الكرة بعد عشرة ثوانٍ من إسقاطها من مبنى يبلغ ارتفاعه ٢٥٠ قدمًا. أوجد الارتفاع بعد t=3 ثوانٍ.
- إجابة
-
106
يُمثِّل كثير\(6x^{2}+15xy\) الحدود التكلفة، بالدولار، لإنتاج حاوية مستطيلة الشكل قمتها وأسفلها مربعان ضلعها x قدمًا وجوانب ارتفاعها بأقدام. ابحث عن تكلفة إنتاج صندوق بـ x=4 أقدام و y=6y=6 أقدام.
- إجابة
-
قم بالتبسيط. 
قم بالتبسيط. 
قم بالتبسيط. 
تبلغ تكلفة إنتاج الصندوق 456 دولارًا.
يُمثِّل كثير\(6x^{2}+15xy\) الحدود التكلفة، بالدولار، لإنتاج حاوية مستطيلة الشكل قمتها وأسفلها مربعان ضلعها x قدمًا وجوانب ارتفاعها بأقدام. ابحث عن تكلفة إنتاج صندوق بـ x=6 أقدام و y=4 أقدام.
- إجابة
-
576 دولارًا
يُمثِّل كثير\(6x^{2}+15xy\) الحدود التكلفة، بالدولار، لإنتاج حاوية مستطيلة الشكل قمتها وأسفلها مربعان ضلعها x قدمًا وجوانب ارتفاعها بأقدام. ابحث عن تكلفة إنتاج صندوق بـ x=5 أقدام و y=8 أقدام.
- إجابة
-
750 دولارًا
المفاهيم الرئيسية
- مونوميال
- الحد الأحادي هو مصطلح النموذج\(ax^{m}\)، حيث a هو ثابت و m هو رقم صحيح
- الحد الأحادي هو مصطلح النموذج\(ax^{m}\)، حيث a هو ثابت و m هو رقم صحيح
- كثيرات الحدود
- متعدد الحدود —عبارة عن دالة أحادية الحد أو اثنتين أو أكثر من وحيدات الحد مجتمعة بالجمع أو الطرح كثيرة الحدود.
- أحادي الحد - يُطلق على كثير الحدود الذي يحتوي على مصطلح واحد بالضبط اسم أحادي الحد.
- المعادلة ذات الحدين - يُطلق على كثير الحدود الذي يحتوي على حدين بالضبط اسم ذات حدين.
- ثلاثي الحدود - يُطلق على كثير الحدود الذي يحتوي على ثلاثة حدود بالضبط اسم ثلاثي الحدود.
- درجة متعدد الحدود
- درجة المصطلح هي مجموع أسس المتغيرات الخاصة به.
- درجة الثابت هي 0.
- درجة تعدد الحدود هي أعلى درجة من جميع مصطلحاتها.
مسرد المصطلحات
- معادلة ذات حدين
- المعادلة ذات الحدين هي عبارة عن كثير الحدود بمصطلحين بالضبط.
- درجة ثابتة
- درجة أي ثابت هي 0.
- درجة متعددة الحدود
- درجة تعدد الحدود هي أعلى درجة من جميع مصطلحاتها.
- درجة المصطلح
- درجة المصطلح هي الأس للمتغير الخاص به.
- أحادية الحد
- الحد الأحادي هو مصطلح من الشكل\(ax^m\)، حيث a هو ثابت و m هو رقم صحيح؛ أحادي الحد له مصطلح واحد بالضبط.
- متعدد الحدود
- وكثيرات الحدود هي صيغة أحادية الحد، أو وحدتين أو أكثر تُجمع بالجمع أو الطرح.
- نموذج قياسي
- يكون كثير الحدود في الشكل القياسي عندما تتم كتابة مصطلحات كثيرة الحدود بترتيب تنازلي للدرجات.
- ثلاثية الحدود
- والثلاثي هو كثير الحدود بثلاثة حدود بالضبط.