4.4: فهم ميل الخط المستقيم
- Page ID
- 200262
- في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- استخدم الألواح الجغرافية لنمذجة المنحدر
- يُستخدم\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\) لإيجاد ميل الخط المستقيم من الرسم البياني الخاص به
- ابحث عن ميل الخطوط الأفقية والعمودية
- استخدم صيغة المنحدر للعثور على ميل الخط الفاصل بين نقطتين.
- رسم بياني لخط بمعلومية النقطة والمنحدر
- حل تطبيقات المنحدرات
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- قم بالتبسيط:\(\frac{1 - 4}{8 - 2}\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.6.31 - قسّم:\(\frac{0}{4}, \frac{4}{0}\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.10.16. - قم بالتبسيط:\(\frac{15}{-3}, \frac{-15}{3}, \frac{-15}{-3}\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.6.4.
عندما تقوم برسم المعادلات الخطية بيانيًا، قد تلاحظ أن بعض الخطوط تميل لأعلى أثناء انتقالها من اليسار إلى اليمين وبعض الخطوط تميل لأسفل. بعض الخطوط شديدة الانحدار وبعض الخطوط مسطحة. ما الذي يحدد ما إذا كان الخط يميل لأعلى أو لأسفل أو إذا كان حادًا أو مسطحًا؟
في الرياضيات، يُطلق على «إمالة» الخط اسم منحدر الخط. لمفهوم المنحدر العديد من التطبيقات في العالم الحقيقي. تعتبر درجة السقف ودرجة الطريق السريع ومنحدر الكرسي المتحرك بعض الأمثلة على الأماكن التي ترى فيها المنحدرات حرفيًا. وعند ركوب الدراجة، تشعر بالانحدار عندما تقوم بالقفز صعودًا أو هبوطًا.
في هذا القسم، سوف نستكشف مفهوم المنحدر.
استخدم الألواح الجغرافية لنمذجة المنحدر
اللوحة الجغرافية هي لوحة بها شبكة من الأوتاد. يمنحنا استخدام الأربطة المطاطية على لوحة جغرافية طريقة ملموسة لنمذجة الخطوط على شبكة الإحداثيات. من خلال مد شريط مطاطي بين أوتاد على لوح جغرافي، يمكننا اكتشاف كيفية إيجاد ميل الخط.
سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «استكشاف المنحدر» على تطوير فهم أفضل لمنحدر الخط. (يمكن استخدام ورق الرسم البياني بدلاً من اللوح الجغرافي، إذا لزم الأمر.)سنبدأ بتمديد شريط مطاطي بين أوتاد كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{1}\).
ألا يبدو وكأنه خط؟
الآن نقوم بتمديد جزء واحد من الشريط المطاطي بشكل مستقيم من الوتد الأيسر وحول الوتد الثالث لتكوين جوانب المثلث الأيمن، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{2}\)
نصنع بعناية زاوية 90 درجة حول الوتد الثالث، لذا فإن أحد الخطوط المشكلة حديثًا يكون عموديًا والآخر أفقيًا.
للعثور على منحدر الخط، نقيس المسافة على طول الجوانب الرأسية والأفقية للمثلث. تُسمى المسافة الرأسية بالارتفاع بينما تسمى المسافة الأفقية بالجري، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{3}\).
إذا كانت اللوحة الجغرافية والشريط المطاطي تبدو تمامًا مثل تلك الموضحة في الشكل\(\PageIndex{4}\)، فإن الارتفاع هو 2. يرتفع الشريط المطاطي بمقدار وحدتين. (كل مساحة هي وحدة واحدة.)
الارتفاع على هذه اللوحة الجغرافية هو 2، حيث يرتفع الشريط المطاطي بمقدار وحدتين.
ما هو الجري؟
يمتد الشريط المطاطي عبر 3 وحدات. الجري هو 3 (انظر الشكل\(\PageIndex{4}\)).
ميل الخط هو نسبة الارتفاع إلى الجري. في الرياضيات، يشار إليها دائمًا بالحرف m.
ميل خط مستقيم هو\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
يقيس الارتفاع التغيير الرأسي ويقيس الجري التغيير الأفقي بين نقطتين على الخط.
ما ميل الخط على اللوح الجغرافي في الشكل\(\PageIndex{4}\)؟
\[\begin{aligned} m &=\frac{\text { rise }}{\text { run }} \\ m &=\frac{2}{3} \end{aligned}\]
يحتوي الخط على منحدر\(\frac{2}{3}\). هذا يعني أن الخط يرتفع بمقدار وحدتين لكل 3 وحدات تشغيل.
عندما نعمل مع الألواح الجغرافية، من الجيد التعود على البدء من الوتد على اليسار والاتصال بالوتد على اليمين. إذا ارتفع الارتفاع فهو إيجابي وإذا انخفض يكون سلبيًا. سوف ينتقل الجري من اليسار إلى اليمين ويكون إيجابيًا.
ما ميل الخط المستقيم على اللوح الجغرافي الموضَّح؟
- إجابة
-
استخدم تعريف المنحدر:\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
ابدأ من الوتد الأيسر واحسب المسافات لأعلى ولليمين للوصول إلى الوتد الثاني.
\[\begin{array}{ll} {\text { The rise is } 3 .} &{m=\frac{3}{\operatorname{rnn}}} \\ {\text { The run is 4. }} & {m=\frac{3}{4}} \\ { } & {\text { The slope is } \frac{3}{4} \text { . }}\end{array}\]
هذا يعني أن الخط يرتفع 3 وحدات لكل 4 وحدات تشغيل.
ما ميل الخط المستقيم على اللوح الجغرافي الموضَّح؟
- إجابة
-
\(\frac{4}{3}\)
ما ميل الخط المستقيم على اللوح الجغرافي الموضَّح؟
- إجابة
-
\(\frac{1}{4}\)
ما ميل الخط المستقيم على اللوح الجغرافي الموضَّح؟
- إجابة
-
استخدم تعريف المنحدر:\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
ابدأ من الوتد الأيسر وقم بالعد التنازلي للوحدات وإلى اليمين للوصول إلى الوتد الثاني.
\[\begin{array}{ll}{\text { The rise is }-1 .} & {m=\frac{-1}{\operatorname{run}}} \\ {\text { The run is } 3 .} & {m=\frac{-1}{3}} \\ {} & {m=-\frac{1}{3}} \\ {} &{\text { The slope is }-\frac{1}{3}}\end{array}\]
هذا يعني أن الخط يسقط وحدة واحدة لكل 3 وحدات تشغيل.
ما ميل الخط على اللوح الجغرافي؟
- إجابة
-
\(-\frac{2}{3}\)
ما ميل الخط على اللوح الجغرافي؟
- إجابة
-
\(-\frac{4}{3}\)
لاحظ أن المنحدر\(\PageIndex{1}\) في التمرين إيجابي وفي التمرين يكون\(\PageIndex{4}\) المنحدر سالبًا. هل تلاحظ أي اختلاف في السطرين الموضحين في الشكل (أ) والشكل (ب)؟
نحن «نقرأ» سطرًا من اليسار إلى اليمين تمامًا كما نقرأ الكلمات باللغة الإنجليزية. عندما تقرأ من اليسار إلى اليمين، يرتفع الخط الموجود في الشكل (أ)؛ وله ميل إيجابي. الخط في الشكل (ب) يتجه لأسفل؛ وله منحدر سلبي.
استخدم لوحة جغرافية لنمذجة خط منحدر\(\frac{1}{2}\).
- إجابة
-
لتشكيل خط على لوحة جغرافية، نحتاج إلى الصعود والجري.
\(\begin{array}{ll} {\text { Use the slope formula. }} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text { Replace } m \text { with } \frac{1}{2} \text { . }} &{ \frac{1}{2} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}}\\ {\text { So, the rise is } 1 \text { and the run is } 2 \text { . }} \\ {\text { Start at a peg in the lower left of the geoboard. }} \\ {\text { Stretch the rubber band up } 1 \text { unit, and then right } 2 \text { units. }}\end{array}\)
يمثل وتر المثلث القائم الذي يتكون من الشريط المطاطي خطًا منحدرًا\(\frac{1}{2}\).
قم بنمذجة المنحدر\(m = \frac{1}{3}\). ارسم صورة لإظهار نتائجك.
- إجابة
-
قم بنمذجة المنحدر\(m = \frac{3}{2}\). ارسم صورة لإظهار نتائجك.
- إجابة
-
استخدم لوحة جغرافية لنمذجة خط منحدر\(\frac{-1}{4}\).
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} {\text { Use the slope formula. }} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text { Replace } m \text { with } \frac{-1}{4} \text { . }} &{ \frac{-1}{4} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}}\\ {\text { So, the rise is } -1 \text { and the run is } 4 \text { . }} \\ {\text { Since the rise is negative, we choose a starting peg on the upper left that will give us room to count down.}} \\ {\text { We stretch the rubber band down } 1 \text { unit, and then right } 4 \text { units. }}\end{array}\)
يمثل وتر المثلث القائم الذي يتكون من الشريط المطاطي خطًا منحدرًا\(\frac{-1}{4}\).
قم بنمذجة المنحدر\(m = \frac{-2}{3}\). ارسم صورة لإظهار نتائجك.
- إجابة
-
قم بنمذجة المنحدر\(m = \frac{-1}{3}\). ارسم صورة لإظهار نتائجك.
- إجابة
-
استخدم\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\) طريقة لإيجاد ميل الخط المستقيم من خلال رسمه البياني
الآن، سنلقي نظرة على بعض الرسوم البيانية على المستوى الإحداثي السيني ونرى كيفية العثور على منحدراتها. ستكون الطريقة مشابهة جدًا لما صممناه للتو على لوحاتنا الجغرافية.
للعثور على المنحدر، يجب أن نحسب الارتفاع والجري. ولكن من أين نبدأ؟
نحدد نقطتين على الخط الذي تكون إحداثياته عبارة عن أعداد صحيحة. نبدأ بعد ذلك بالنقطة الموجودة على اليسار ونرسم مثلثًا قائمًا، حتى نتمكن من حساب الارتفاع والجري.
أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.
- إجابة
-
أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.
- إجابة
-
\(\frac{2}{5}\)
أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.
- إجابة
-
\(\frac{3}{4}\)
- حدد موقع نقطتين على الخط الذي تكون إحداثياته عبارة عن أعداد صحيحة.
- بدءًا من النقطة الموجودة على اليسار، ارسم مثلثًا قائمًا، بدءًا من النقطة الأولى إلى النقطة الثانية.
- احسب الارتفاع والجري على أرجل المثلث.
- خذ نسبة الارتفاع للركض للعثور على المنحدر،\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.
- إجابة
-
حدد نقطتين على الرسم البياني التي تكون إحداثياتها عبارة عن أعداد صحيحة. (0,5) و (3,3) ما النقطة الموجودة على اليسار؟ (0,5) بدءًا من (0,5)، ارسم مثلثًا قائمًا إلى (3,3). 
احسب الارتفاع - إنه سلبي. الارتفاع هو −2. عد الجري. الجري هو 3. استخدم صيغة المنحدر. \(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\) استبدل قيم الصعود والجري. \(m = \frac{-2}{3}\) قم بالتبسيط. \(m = -\frac{2}{3}\) منحدر الخط هو\(-\frac{2}{3}\). لذلك يزداد y بمقدار 3 وحدات حيث ينخفض xx بمقدار 2 وحدة.
ماذا لو استخدمنا النقطتين (−٣،٧) و (٦،١) لإيجاد ميل الخط المستقيم؟
-
سيكون الارتفاع −6 وسيكون السباق 9. ثم\(m = \frac{-6}{9}\)، وهذا يبسط إلى\(m = -\frac{2}{3}\). تذكر أنه لا يهم النقاط التي تستخدمها - يكون ميل الخط دائمًا هو نفسه.
أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.
- إجابة
-
\(-\frac{4}{3}\)
أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.
- إجابة
-
\(-\frac{3}{5}\)
في المثالين الأخيرين، كانت الخطوط تحتوي على مقاطع y ذات قيم عددية، لذلك كان من الملائم استخدام التقاطع y كأحد النقاط للعثور على المنحدر. في المثال التالي، يمثل y -Intercept كسرًا. بدلاً من استخدام هذه النقطة، سنبحث عن نقطتين أخريين تكون إحداثياتهما عبارة عن أعداد صحيحة. سيؤدي ذلك إلى تسهيل حسابات المنحدرات.
أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.
- إجابة
-
حدد نقطتين على الرسم البياني التي تكون إحداثياتها عبارة عن أعداد صحيحة. (2,3) و (7,6) ما النقطة الموجودة على اليسار؟ (2,3) بدءًا من (2,3)، ارسم مثلثًا قائمًا إلى (7,6). 
عد الارتفاع. الارتفاع هو 3. عد الجري. الجري هو 5. استخدم صيغة المنحدر. \(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\) استبدل قيم الصعود والجري. \(m = \frac{3}{5}\) منحدر الخط هو\(\frac{3}{5}\). هذا يعني أن y يزيد 5 وحدات حيث يزيد x 3 وحدات.
عندما استخدمنا الألواح الجغرافية لتقديم مفهوم المنحدر، قلنا أننا سنبدأ دائمًا بالنقطة الموجودة على اليسار ونحسب الارتفاع والجري للوصول إلى النقطة الموجودة على اليمين. بهذه الطريقة كان الجري دائمًا إيجابيًا ويحدد الارتفاع ما إذا كان المنحدر موجبًا أم سلبيًا.
ماذا سيحدث إذا بدأنا بالنقطة على اليمين؟
دعونا نستخدم النقاط (2,3) و (7,6) مرة أخرى، ولكن الآن سنبدأ عند (7,6).
- \(\begin{array}{ll} {\text {Count the rise.}} &{\text{The rise is −3.}} \\ {\text {Count the run. It goes from right to left, so}} &{\text {The run is−5.}} \\{\text{it is negative.}} &{}\\ {\text {Use the slope formula.}} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text{Substitute the values of the rise and run.}} &{m = \frac{-3}{-5}} \\{} &{\text{The slope of the line is }\frac{3}{5}}\\ \end{array}\)
- لا يهم من أين تبدأ - منحدر الخط دائمًا هو نفسه.
أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.
- إجابة
-
\(\frac{5}{4}\)
أوجد ميل الخط المستقيم الموضَّح.
- إجابة
-
\(\frac{3}{2}\)
أوجد ميل الخطوط الأفقية والعمودية
هل تتذكر ما كان مميزًا في الخطوط الأفقية والعمودية؟ كانت معادلاتها تحتوي على متغير واحد فقط.
\[\begin{array}{ll}{\textbf {Horizontal line } y=b} & {\textbf {Vertical line } x=a} \\ {y \text { -coordinates are the same. }} & {x \text { -coordinates are the same. }}\end{array}\]
إذن كيف نجد منحدر الخط الأفقي y=4y=4؟ تتمثل إحدى الطرق في رسم الخط الأفقي، والعثور على نقطتين عليه، وحساب الارتفاع والجري. دعونا نرى ما يحدث عندما نفعل ذلك.
\(\begin{array}{ll} {\text {What is the rise?}} & {\text {The rise is 0.}} \\ {\text {What is the run?}} & {\text {The run is 3.}}\\ {} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m = \frac{0}{3}} \\ {\text{What is the slope?}} &{m = 0} \\ {} &{\text{The slope of the horizontal line y = 4 is 0.}} \end{array}\)
تحتوي جميع الخطوط الأفقية على منحدر 0. عندما تكون إحداثيات y هي نفسها، يكون الارتفاع 0.
ميل الخط الأفقي، y=b، هو 0.
أرضية غرفتك أفقية. منحدرها هو 0. إذا وضعت الكرة بعناية على الأرض، فلن تتدحرج.
الآن، سننظر في الخط العمودي، الخط.
\(\begin{array}{ll} {\text {What is the rise?}} & {\text {The rise is 2.}} \\ {\text {What is the run?}} & {\text {The run is 0.}}\\ {} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text{What is the slope?}} &{m = \frac{2}{0}} \end{array}\)
لكن لا يمكننا القسمة على 0. لم يتم تعريف القسمة على 0. لذلك نقول أن منحدر الخط العمودي x=3x=3 غير محدد.
منحدر أي خط عمودي غير محدد. عندما تكون إحداثيات x للخط متشابهة، يكون التشغيل هو 0.
ميل الخط العمودي، x=a، غير معرف.
ابحث عن ميل كل سطر:
ⓐ x=8 ⓑ y=−5.
- إجابة
-
ⓐ x=8
هذا خط عمودي.
المنحدر الخاص به غير محدد.
ⓑ y=−5
هذا خط أفقي.
لديها منحدر 0.
أوجد ميل الخط المستقيم: x=−4.
- إجابة
-
غير محدد
ابحث عن ميل الخط: y=7.
- إجابة
-
0
تذكر أننا «نقرأ» سطرًا من اليسار إلى اليمين، تمامًا كما نقرأ الكلمات المكتوبة باللغة الإنجليزية.
استخدم صيغة المنحدر للعثور على ميل الخط الفاصل بين نقطتين
سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «منحدر الخطوط بين نقطتين» على تطوير فهم أفضل لكيفية العثور على ميل الخط الفاصل بين نقطتين.سنحتاج أحيانًا إلى إيجاد ميل الخط الفاصل بين نقطتين عندما لا يكون لدينا رسم بياني لحساب الارتفاع والجري. يمكننا رسم النقاط على ورق شبكي، ثم حساب الارتفاع والجري، ولكن كما سنرى، هناك طريقة للعثور على المنحدر بدون رسم بياني. قبل أن نصل إليها، نحتاج إلى إدخال بعض الرموز الجبرية.
لقد رأينا أن الزوج المطلوب (x، y) يعطي إحداثيات النقطة. ولكن عندما نعمل مع المنحدرات، نستخدم نقطتين. كيف يمكن استخدام نفس الرمز (x، y) لتمثيل نقطتين مختلفتين؟ يستخدم علماء الرياضيات مخطوطات لتمييز النقاط.
\[\begin{array}{ll}{\left(x_{1}, y_{1}\right)} & {\text { read }^{‘} x \text { sub } 1, y \text { sub } 1^{'}} \\ {\left(x_{2}, y_{2}\right)} & {\text { read }^{‘} x \text { sub } 2, y \text { sub } 2^{’}}\end{array}\]
إن استخدام النصوص الفرعية في الرياضيات يشبه إلى حد كبير استخدام الأحرف الأولى من الاسم الأخير في المدرسة الابتدائية. ربما تتذكر لورا سي ولورا م. في صفك الدراسي الثالث؟
سوف نستخدمها\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) لتحديد النقطة الأولى وتحديد النقطة الثانية.\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\)
إذا كان لدينا أكثر من نقطتين، فيمكننا استخدامها\(\left(x_{3}, y_{3}\right)\)\(\left(x_{4}, y_{4}\right)\)، وما إلى ذلك.
دعونا نرى كيف يرتبط الارتفاع والجري بإحداثيات النقطتين من خلال إلقاء نظرة أخرى على منحدر الخط الفاصل بين النقطتين (2,3) و (7,6).
نظرًا لأن لدينا نقطتين، سنستخدم الترميز المنخفض،\(\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {2,3}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,6}\end{array}\right)\).
في الرسم البياني، أحصينا ارتفاع 3 وعدد 5.
لاحظ أنه يمكن العثور على ارتفاع 3 بطرح الإحداثيات y 6 و 3.
\[3=6-3\]
ويمكن العثور على المدى 5 عن طريق طرح الإحداثيات x 7 و 2.
\[5 = 7 - 2\]
نحن نعلم\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\). لذا\(m = \frac{3}{5}\).
نعيد كتابة الارتفاع والجري عن طريق وضع الإحداثيات\(m = \frac{6-3}{7-2}\)
لكن 6 هي y2، والإحداثيات y للنقطة الثانية و 3 هي y1، والإحداثيات y للنقطة الأولى.
حتى نتمكن من إعادة كتابة المنحدر باستخدام الترميز المنخفض. \(m = \frac{y2-y1}{7-2}\)
أيضًا، 7 هي x2، والإحداثيات x للنقطة الثانية و 2 هي x1، والإحداثيات x للنقطة الأولى.
لذلك، مرة أخرى، نعيد كتابة المنحدر باستخدام الترميز المنخفض. \(m = \frac{y2-y1}{x2-x1}\)
لقد أظهرنا أن\(m = \frac{y2-y1}{x2-x1}\) هذا حقًا إصدار آخر من\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\). يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد ميل الخط المستقيم عندما تكون لدينا نقطتان على الخط.
ميل الخط الفاصل بين نقطتين\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) و\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) هو
\[m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]
هذه هي صيغة المنحدر.
المنحدر هو:
\[\begin{array}{c}{y \text { of the second point minus } y \text { of the first point }} \\ {\text { over }} \\ {x \text { of the second point minus } x \text { of the first point. }}\end{array}\]
استخدم صيغة المنحدر لإيجاد ميل الخط الفاصل بين النقطتين (1,2) و (4,5).
- إجابة
-
\(\begin{array} {ll} {\text{We’ll call (1,2) point #1 and (4,5) point #2.}} &{\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {1,2}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {4,5}\end{array}\right)} \\ {\text{Use the slope formula.}} &{m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}} \\ {\text{Substitute the values.}} &{} \\ {\text{y of the second point minus y of the first point}} &{m=\frac{5-2}{x_{2}-x_{1}}} \\{\text{x of the second point minus x of the first point}} &{m = \frac{5-2}{4-1}} \\{\text{Simplify the numerator and the denominator.}} &{m = \frac{3}{3}} \\{\text{Simplify.}} &{m = 1} \end{array}\)
دعونا نؤكد ذلك عن طريق حساب المنحدر على الرسم البياني باستخدام\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
لا يهم النقطة التي تتصل بها بالنقطة #1 والنقطة التي تتصل بها بالنقطة #2. سيكون المنحدر هو نفسه. جرب الحساب بنفسك.
استخدم صيغة المنحدر لإيجاد ميل الخط المستقيم عبر النقاط: (8,5) و (6,3).
- إجابة
-
1
استخدم صيغة المنحدر لإيجاد ميل الخط المستقيم عبر النقطتين: (1,5) و (5,9).
- إجابة
-
1
استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (−2، −3)، (−7,4).
- إجابة
-
\(\begin{array} {ll} {\text{We’ll call (-2, -3) point #1 and (-7,4) point #2.}} &{\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-2,-3}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-7,4}\end{array}\right)} \\ {\text{Use the slope formula.}} &{m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}} \\ {\text{Substitute the values.}} &{} \\ {\text{y of the second point minus y of the first point}} &{m=\frac{4-(-3)}{x_{2}-x_{1}}} \\{\text{x of the second point minus x of the first point}} &{m = \frac{4-(-3)}{-7-(-2)}} \\{\text{Simplify the numerator and the denominator.}} &{m = \frac{7}{-5}} \\{\text{Simplify.}} &{m = -\frac{7}{5}} \end{array}\)
دعونا نتحقق من هذا المنحدر على الرسم البياني الموضح.
\[\begin{aligned} m &=\frac{\text { rise }}{\text { run }} \\ m &=\frac{-7}{5} \\ m &=-\frac{7}{5} \end{aligned}\]
استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين: (−3,4) و (2، −1).
- إجابة
-
-1
استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط المستقيم خلال زوج من النقاط: (−2,6) و (−3، −4).
- إجابة
-
10
رسم بياني للخط المستقيم بمعلومية النقطة والمنحدر
حتى الآن، في هذا الفصل، قمنا برسم الخطوط البيانية من خلال رسم النقاط، واستخدام القطع المقطوعة، والتعرف على الخطوط الأفقية والعمودية.
إحدى الطرق الأخرى التي يمكننا استخدامها لرسم الخطوط تسمى طريقة النقطة والانحدار. سنستخدم هذه الطريقة عندما نعرف نقطة واحدة ومنحدر الخط. سنبدأ برسم النقطة ثم نستخدم تعريف المنحدر لرسم الرسم البياني للخط.
ارسم بيانيًا الخط الذي يمر بالنقطة (1، −1) التي يكون ميلها\(m = \frac{3}{4}\).
- إجابة
-
ارسم بيانيًا الخط الذي يمر بالنقطة (2، −2) مع المنحدر\(m = \frac{4}{3}\).
- إجابة
-
ارسم بيانيًا الخط الذي يمر بالنقطة (−2,3) مع المنحدر\(m=\frac{1}{4}\).
- إجابة
-
- ارسم النقطة المعطاة.
- استخدم صيغة المنحدر\(m=\frac{\text { rise }}{\text { rise }}\) لتحديد الارتفاع والجري.
- بدءًا من النقطة المحددة، قم بحساب الارتفاع والجري لتحديد النقطة الثانية.
- قم بتوصيل النقاط بخط.
ارسم الخط بيانيًا باستخدام التقاطع y 2 الذي يكون ميله\(m=−\frac{2}{3}\).
- إجابة
-
ارسم النقطة المعطاة، التقاطع y، (0,2).
\(\begin{array} {ll} {\text{Identify the rise and the run.}} &{m =-\frac{2}{3}} \\ {} &{\frac{\text { rise }}{\text { run }} =\frac{-2}{3} }\\ {}&{\text { rise } =-2} \\ {} &{\text { run } =3} \end{array}\)
أحسب الارتفاع والجري. ضع علامة على النقطة الثانية.
-
قم بتوصيل النقطتين بخط.
-
يمكنك التحقق من عملك من خلال إيجاد نقطة ثالثة. نظرًا لوجود المنحدر\(m=−\frac{2}{3}\)، يمكن كتابته كـ\(m=\frac{2}{-3}\). ارجع إلى (0,2) واحسب الارتفاع، 2، والركض، −3.
ارسم بيانيًا الخط باستخدام التقاطع y 4 والمنحدر\(m=−\frac{5}{2}\).
- إجابة
-
ارسم بيانيًا الخط باستخدام التقاطع x −3 والمنحدر\(m=−\frac{3}{4}\).
- إجابة
-
ارسم بيانيًا الخط الذي يمر بالنقطة (−1، −3) التي يكون ميلها m=4.
- إجابة
-
ارسم النقطة المعطاة.
\(\begin{array} {ll} {\text{Identify the rise and the run.}} &{ \text{ m = 4}} \\ {\text{Write 4 as a fraction.}} &{\frac{\text {rise}}{\text {run}} =\frac{4}{1} }\\ {}&{\text {rise} =4\quad\text {run} =3} \end{array}\)
احسب الارتفاع والجري وحدد النقطة الثانية.
-
قم بتوصيل النقطتين بخط.
-
يمكنك التحقق من عملك من خلال إيجاد نقطة ثالثة. نظرًا لأن المنحدر هو m=4، فيمكن كتابته كـ\(m = \frac{-4}{-1}\). ارجع إلى (−1، −3) واحسب الارتفاع، −4، والركض، −1.
ارسم بيانيًا الخط الذي يحتوي على النقطة (−2,1) والمنحدر m=3.
- إجابة
-
ارسم بيانيًا الخط الذي يحتوي على النقطة (4، −2) والمنحدر m=−2.
- إجابة
-
حل تطبيقات المنحدر
في بداية هذا القسم، قلنا أن هناك العديد من تطبيقات المنحدر في العالم الحقيقي. دعونا نلقي نظرة على بعضها الآن.
«درجة» سقف المبنى هي منحدر السقف. إن معرفة الملعب أمر مهم في المناخات التي تتساقط فيها الثلوج بغزارة. إذا كان السقف مسطحًا جدًا، فقد يتسبب وزن الثلج في انهياره. ما ميل السقف الموضَّح؟
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll}{\text { Use the slope formula. }} & {m=\frac{\text { rise }}{\text { rise }}} \\ {\text { Substitute the values for rise and run. }} & {m=\frac{9}{18}} \\ {\text { Simplify. }} & {m=\frac{1}{2}}\\ {\text{The slope of the roof is }\frac{1}{2}.} &{} \\ {} &{\text{The roof rises 1 foot for every 2 feet of}} \\ {} &{\text{horizontal run.}} \end{array}\)
استخدم التمرين\(\PageIndex{40}\)، واستبدل الارتفاع = 14 والجري = 24.
- إجابة
-
\(\frac{7}{12}\)
استخدم التمرين\(\PageIndex{40}\)، واستبدل الارتفاع = 15 والجري = 36.
- إجابة
-
\(\frac{5}{12}\)
هل فكرت يومًا في أنابيب الصرف الصحي التي تنتقل من منزلك إلى الشارع؟ يجب أن تنحدر إلى أسفل\(\frac{1}{4}\) بوصة لكل قدم حتى يتم تصريفها بشكل صحيح. ما المنحدر المطلوب؟
- إجابة
-
\(\begin{array} {ll} {\text{Use the slope formula.}} &{m=\frac{\text { rise }}{\text { run }}} \\ {} &{m=\frac{-\frac{1}{4} \mathrm{inch}}{1 \text { foot }}}\\ {}&{m=\frac{-\frac{1}{4} \text { inch }}{12 \text { inches }}} \\ {\text{Simplify.}} &{m=-\frac{1}{48}} \\{} &{\text{The slope of the pipe is }-\frac{1}{48}} \end{array}\)
ينخفض الأنبوب بمقدار بوصة واحدة لكل 48 بوصة من الجري الأفقي.
أوجد ميل الأنبوب الذي ينحدر لأسفل\(\frac{1}{3}\) بالبوصة لكل قدم.
- إجابة
-
\(-\frac{1}{36}\)
ابحث عن منحدر الأنبوب الذي ينحدر لأسفل\(\frac{3}{4}\) بالبوصة لكل ياردة.
- إجابة
-
\(-\frac{1}{48}\)
يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية لفهم منحدر الخط.
المفاهيم الرئيسية
- أوجد ميل الخط المستقيم من رسمه البياني باستخدام\(m=\frac{\text { rise }}{\text { run }}\)
- حدد موقع نقطتين على الخط الذي تكون إحداثياته عبارة عن أعداد صحيحة.
- بدءًا من النقطة الموجودة على اليسار، ارسم مثلثًا قائمًا، بدءًا من النقطة الأولى إلى النقطة الثانية.
- احسب الارتفاع والجري على أرجل المثلث.
- خذ نسبة الارتفاع للركض للعثور على المنحدر.
- رسم بياني للخط المستقيم بمعلومية النقطة والمنحدر
- ارسم النقطة المعطاة.
- استخدم صيغة المنحدر\(m=\frac{\text { rise }}{\text { run }}\) لتحديد الارتفاع والجري.
- بدءًا من النقطة المحددة، قم بحساب الارتفاع والجري لتحديد النقطة الثانية.
- قم بتوصيل النقاط بخط.
- ميل الخط الأفقي
- ميل الخط الأفقي، y=b، هو 0.
- ميل الخط العمودي
- منحدر الخط العمودي، x=a، غير معرف