4.1: استخدم نظام الإحداثيات المستطيلة

Last updated
Save as PDF

Page ID: 200282

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

نقاط الرسم في نظام الإحداثيات المستطيل
تحقق من حلول معادلة في متغيرين
أكمل جدول حلول المعادلة الخطية
ابحث عن حلول لمعادلة خطية في متغيرين

ملاحظة

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

قم بتقييم$x+3$ متى$x=−1$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.5.25.
قم بتقييم$2x−5y$ متى$x=3$ و y=−2.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.5.28.
حل لـ y:$40−4y=20$
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.3.1.

رسم النقاط على نظام الإحداثيات المستطيلة

تمامًا مثل الخرائط التي تستخدم نظام الشبكة لتحديد المواقع، يتم استخدام نظام الشبكة في الجبر لإظهار العلاقة بين متغيرين في نظام الإحداثيات المستطيل. يُطلق على نظام الإحداثيات المستطيلة أيضًا اسم المستوى xy أو «المستوى الإحداثي».

يُطلق على خط الأعداد الأفقي اسم المحور x. يُطلق على خط الأعداد العمودي اسم المحور y. يشكل المحور x والمحور y معًا نظام الإحداثيات المستطيلة. تقسم هذه المحاور المستوى إلى أربع مناطق تسمى الأرباع. يتم تحديد الأرباع بالأرقام الرومانية، التي تبدأ من أعلى اليمين وتستمر بعكس اتجاه عقارب الساعة. انظر الشكل$\PageIndex{1}$.

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 7 إلى 7. يُطلق على الجزء العلوي الأيمن من الطائرة اسم «I»، والجزء العلوي الأيسر من الطائرة المسمى «II»، والجزء السفلي الأيسر من الطائرة يحمل علامة «III» والجزء السفلي الأيمن من الطائرة يحمل علامة «IV». — الشكل$\PageIndex{1}$: يحتوي «Quadrant» على الجذر «رباعي»، وهو ما يعني «أربعة».

في نظام الإحداثيات المستطيلة، يتم تمثيل كل نقطة بزوج مرتب. الرقم الأول في الزوج المرتب هو الإحداثي x للنقطة، والرقم الثاني هو الإحداثي y للنقطة.

زوج تم طلبه

يعطي الزوج المُرتب، (x، y) (x، y) إحداثيات نقطة في نظام إحداثيات مستطيل.

يُصنف الزوج المُرتب x y بالإحداثي الأول x على أنه «إحداثي x» والإحداثيات الثانية y باسم «إحداثي y». — الشكل$\PageIndex{2}$

الرقم الأول هو الإحداثي x.

الرقم الثاني هو الإحداثي y.

تعني عبارة «الزوج المطلوب» أن الطلب مهم. ما الزوج المُرتَّب للنقطة التي تتقاطع فيها المحاور؟ عند هذه النقطة يكون كلا الإحداثيين صفرًا، لذا يكون الزوج المطلوب هو$(0,0)$. النقطة$(0,0)$ لها اسم خاص. يطلق عليه الأصل.

ذا أوريجين

هذه النقطة$(0,0)$ تسمى الأصل. إنها النقطة التي يتقاطع فيها المحور x والمحور y.

نحن نستخدم الإحداثيات لتحديد نقطة على الطائرة xy. دعونا نرسم النقطة$(1,3)$ كمثال. أولاً، حدد موقع 1 على المحور x وارسم خطًا رأسيًا برفق من خلال x=1x=1. ثم حدد موقع 3 على المحور y وارسم خطًا أفقيًا من خلال y=3y=3. الآن، ابحث عن النقطة التي يلتقي فيها هذان الخطان - وهي النقطة ذات الإحداثيات$(1,3)$.

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يبدأ السهم من نقطة الأصل ويمتد يمينًا إلى الرقم 2 على المحور السيني. يتم رسم النقطة (1، 3) وتسميتها. يلتقي خطان منقطان، أحدهما موازٍ للمحور السيني والآخر موازٍ للمحور y، بشكل عمودي عند 1، 3. يعترض الخط المنقط الموازي للمحور السيني المحور y عند 3. يعترض الخط المنقط الموازي للمحور y المحور السيني عند 1. — الشكل$\PageIndex{3}$

لاحظ أن الخط العمودي الذي يمر$x=1$ والخط الأفقي من خلاله$y=3$ ليسا جزءًا من الرسم البياني. لقد استخدمناها فقط لمساعدتنا في تحديد النقطة$(1,3)$.

التمارين$\PageIndex{1}$

ارسم كل نقطة في نظام الإحداثيات المستطيلة وحدد الربع الذي توجد فيه النقطة:

(−5,4)
(−3، −4)
(2، −3)
(−2,3)
$(3, \frac{5}{2})$

إجابة

الرقم الأول من زوج الإحداثيات هو الإحداثي x، والرقم الثاني هو الإحداثي y.

نظرًا لأن x=−5، تكون النقطة على يسار المحور y. أيضًا، نظرًا لأن y=4، تكون النقطة أعلى من المحور x. تقع النقطة (−5,4) في الربع الثاني.
نظرًا لأن x=−3، تكون النقطة على يسار المحور y. أيضًا، نظرًا لأن y=−4، تكون النقطة أسفل المحور x. تقع النقطة (−3، −4) في الربع الثالث.
نظرًا لأن x=2، تكون النقطة على يمين المحور y. نظرًا لأن y=−3، تكون النقطة أسفل المحور x. النقطة (2، −3) تقع في الربع LV.
نظرًا لأن x=−2، تكون النقطة على يسار المحور y. نظرًا لأن y=3، تكون النقطة أعلى من المحور x. تقع النقطة (−2,3) في الربع الثاني.
نظرًا لأن x=3، تكون النقطة على يمين المحور y. نظرًا لأن$y = \frac{5}{2}$ النقطة أعلى من المحور x. (قد يكون من المفيد الكتابة$\frac{5}{2}$ كرقم مختلط أو عشري.) النقطة$(3, \frac{5}{2})$ في الربع الأول.

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 7 إلى 7. يتم رسم النقاط (سالب 5، 4)، (سالب 2، 3)، (سالب 3، سالب 4)، (3، خمسة أنصاف)، و (2، سالب 3) وتسميتها. — الشكل$\PageIndex{4}$

التمارين$\PageIndex{2}$

ارسم كل نقطة في نظام إحداثيات مستطيل وحدد الربع الذي توجد فيه النقطة:

(−2,1)
(−3، −1)
(4، −4)
(−4,4)
$(-4, \frac{3}{2})$

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يتم رسم النقطة (السالبة 2، 1) وتسميتها «a». يتم رسم النقطة (سالبة 3، سالبة 1) وتسميتها «b». يتم رسم النقطة (4، سالب 4) وتسميتها «c». يتم رسم النقطة (سالبة 4، سالبة نصف) وتسميتها بـ «d».$

التمارين$\PageIndex{3}$

ارسم كل نقطة في نظام إحداثيات مستطيل وحدد الربع الذي توجد فيه النقطة:

(−4,1)
(−2,3)
(2، −5)
(−2,5)
$(-3, \frac{5}{2})$

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يتم رسم النقطة (سالبة 4، 1) وتمييزها بـ «a». يتم رسم النقطة (سالبة 2، 3) وتسميتها «b». يتم رسم النقطة (2، سالب 5) وتسميتها «c». يتم رسم النقطة (سالبة 3 و 2 ونصف) ووضع علامة «d».$

كيف تؤثر العلامات على موقع النقاط؟ ربما لاحظت بعض الأنماط أثناء رسم النقاط في المثال السابق.

بالنسبة للنقطة$\PageIndex{4}$ في الشكل في الربع الرابع، ماذا تلاحظ عن علامات الإحداثيات؟ ماذا عن علامات إحداثيات النقاط في الربع الثالث؟ الربع الثاني؟ الربع الأول؟

هل يمكنك معرفة ذلك بمجرد النظر إلى الإحداثيات في أي ربع تقع النقطة (−2,5)؟ في أي ربع يقع (٢، −٥)؟

الأرباع

يمكننا تلخيص أنماط علامات الأرباع بهذه الطريقة.

\[\begin{array}{ccc}{\text { Quadrant I }} & {\text { Quadrant II }} & {\text { Quadrant III }} & {\text { Quadrant IV }} \\ {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} \\ {(+,+)} & {(-,+)} & {(-,-)} & {(+,-)}\end{array}\]

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 7 إلى 7. يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحور x و y من -7 إلى 7. يُطلق على الجزء العلوي الأيمن من الطائرة اسم «I» و «الزوج المطلوب +، +»، والجزء العلوي الأيسر من الطائرة يحمل علامة «II» و «الزوج المطلوب -، +»، والجزء السفلي الأيسر من الطائرة مكتوب عليه «III» «الزوج المطلوب -، -» والجزء السفلي الأيمن من الطائرة يحمل علامة «IV» و «الزوج المطلوب +، -» والجزء السفلي الأيمن من الطائرة يحمل علامة «IV» و «الزوج المطلوب +، -». — الشكل$\PageIndex{5}$

ماذا لو كان أحد الإحداثيات يساوي صفرًا كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{6}$؟ أين تقع النقطة (0,4)؟ أين تقع النقطة (−2,0)؟

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يتم رسم النقاط (0، 4) و (سالب 2، 0) وتسميتها. — الشكل$\PageIndex{6}$

تقع النقطة (0,4) على المحور y والنقطة (−2,0) على المحور x.

نقاط على المحاور

توجد النقاط ذات الإحداثيات y التي تساوي 0 على المحور x، ولها إحداثيات (a، 0).

تقع النقاط ذات الإحداثي x الذي يساوي 0 على المحور y، ولها إحداثيات (0، b).

التمارين$\PageIndex{4}$

ارسم كل نقطة:

(0,5)
(4,0)
(−3,0)
(0,0)
(0، −1)

إجابة

نظرًا لأن x=0، تكون النقطة التي تكون إحداثياتها (0,5) على المحور y.
نظرًا لأن y=0، تكون النقطة التي تكون إحداثياتها (4,0) على المحور x.
منذ y=0، تكون النقطة التي تكون إحداثياتها (−3,0) على المحور x.
نظرًا لأن x=0 و y=0، فإن النقطة التي تكون إحداثياتها (0,0) هي الأصل.
منذ x=0، تكون النقطة التي تكون إحداثياتها (0، −1) على المحور y.

$يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 7 إلى 7. يتم رسم النقاط (السالبة 3، 0)، (0، 0)، (0، السالب 1)، (0، 5)، و (4، 0) ووضع العلامات عليها.$

الشكل$\PageIndex{7}$

التمارين$\PageIndex{5}$

ارسم كل نقطة:

(4,0)
(−2,0)
(0,0)
(0,2)
(0، −3).

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يتم رسم النقاط (4، 0)، (السالب 2، 0)، (0، 0)، (0، 2)، و (0، السالب 3) ووضع العلامات عليها.$

التمارين$\PageIndex{6}$

ارسم كل نقطة:

(−5,0)
(3,0)
(0,0)
(0، −1)
(0,4).

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يتم رسم النقاط (سالبة 5، 0)، (3، 0)، (0، 0)، (0، سالب 1)، و (0، 4) وتسميتها.$

في الجبر، تعد القدرة على تحديد إحداثيات نقطة موضحة على الرسم البياني بنفس أهمية القدرة على رسم النقاط. لتحديد الإحداثي x لنقطة على الرسم البياني، اقرأ الرقم الموجود على المحور x مباشرة فوق النقطة أو أسفلها. لتحديد الإحداثي y لنقطة ما، اقرأ الرقم الموجود على المحور y مباشرة إلى يسار أو يمين النقطة. تذكر أنه عند كتابة الزوج المطلوب استخدم الترتيب الصحيح (x، y).

التمارين$\PageIndex{7}$

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة موضحة في نظام الإحداثيات المستطيلة.

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يتم رسم النقاط (4، 0)، (سالب 2، 0)، (0، 0)، (0، 2)، و (0، سالب 3) وتسميتها A و B و C و D و E، على التوالي. — الشكل$\PageIndex{8}$

إجابة

تقع النقطة A فوق −3 على المحور x، وبالتالي فإن الإحداثي x للنقطة هو −3.

تقع النقطة على يسار 3 على المحور y، وبالتالي فإن الإحداثي y للنقطة هو 3.

إحداثيات النقطة هي (−3,3).

تقع النقطة B أقل من −1 على المحور x، وبالتالي فإن الإحداثي x للنقطة هو −1.

تقع النقطة على يسار −3 على المحور y، وبالتالي فإن الإحداثي y للنقطة هو −3.

إحداثيات النقطة هي (−1، −3).

النقطة C أعلى من 2 على المحور x، وبالتالي فإن الإحداثي x للنقطة هو 2.

تقع النقطة على يمين 4 على المحور y، وبالتالي فإن الإحداثي y للنقطة هو 4.

إحداثيات النقطة هي (2,4).

تقع النقطة D أقل من 4 على المحور x، وبالتالي فإن الإحداثي x للنقطة هو 4.

تقع النقطة على يمين −4 على المحور y، وبالتالي فإن الإحداثي y للنقطة هو −4.

إحداثيات النقطة هي (4، −4).

تقع النقطة E على المحور y عند y=−2. إحداثيات النقطة E هي (0، −2).

تقع النقطة F على المحور x عند x=3. إحداثيات النقطة F هي (3,0).

التمارين$\PageIndex{8}$

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة موضحة في نظام الإحداثيات المستطيلة.

إجابة: أ: (5,1) (ب): (−2,4) ج: (−5، −1) د: (3، −2) هـ: (0، −5) F: (4,0)

التمارين$\PageIndex{9}$

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة موضحة في نظام الإحداثيات المستطيلة.

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يتم رسم النقاط (سالبة 5، 0)، (3، 0)، (0، 0)، (0، سالب 1)، و (0، 4) وتسميتها A و B و C و D و E، على التوالي. — الشكل$\PageIndex{10}$

إجابة: أ: (4,2) (ب): (−2,3) ج: (−4، −4) د: (3، −5) هـ: (−3,0) F: (0,2)

تحقق من حلول معادلة في متغيرين

حتى الآن، كانت جميع المعادلات التي قمت بحلها عبارة عن معادلات ذات متغير واحد فقط. في كل حالة تقريبًا، عندما قمت بحل المعادلة، حصلت على حل واحد بالضبط. انتهت عملية حل المعادلة بعبارة مثل x=4. (بعد ذلك، قمت بفحص الحل عن طريق الاستبدال مرة أخرى في المعادلة.)

فيما يلي مثال لمعادلة في متغير واحد، والحل الوحيد.

\[\begin{aligned} 3 x+5 &=17 \\ 3 x &=12 \\ x &=4 \end{aligned}\]

ولكن يمكن أن تحتوي المعادلات على أكثر من متغير واحد. قد تكون المعادلات ذات المتغيرين على شكل Ax+By=C، وتسمى المعادلات من هذا النموذج المعادلات الخطية في متغيرين.

معادلة خطية

تُسمى معادلة النموذج Ax+By=C، حيث لا تكون A و B صفرًا، بالمعادلة الخطية في متغيرين.

لاحظ سطر الكلمة خطيًا. فيما يلي مثال لمعادلة خطية في متغيرين، x و y.

في هذا الشكل، نرى المعادلة الخطية Ax زائد By يساوي C. فيما يلي المعادلة x زائد 4y تساوي 8. فيما يلي القيم A تساوي 1، B تساوي 4، C تساوي 8. — الشكل$\PageIndex{11}$

المعادلة y=−3x+5 هي أيضًا معادلة خطية. ولكن لا يبدو أنه في النموذج Ax+By=C، يمكننا استخدام خاصية إضافة المساواة وإعادة كتابتها في نموذج Ax+By=C.

$\begin{array}{llll} {} &{y} &{=} &{-3x + 5} \\ {\text{Add to both sides.}} &{y + 3x } &{=} &{-3x + 5 + 3x} \\{\text{Simplify.}} &{y + 3x} &{=} &{5} \\{\text{Use the Commutative Property to put it in}} &{3x + y} &{=} &{5} \\{Ax+By = C\text{ form.}} &{} &{} &{} \end{array}$

من خلال إعادة كتابة y=−3x+5 كـ 3x+y=5، يمكننا أن نرى بسهولة أنها معادلة خطية في متغيرين لأنها من الصورة Ax+By=C، وعندما تكون المعادلة في الصورة Ax+By=C، نقول أنها في الصورة القياسية.

الشكل القياسي للمعادلة الخطية

تكون المعادلة الخطية في شكل قياسي عندما تتم كتابتها Ax+By=C.

يفضل معظم الناس أن تكون A و B و C أعدادًا صحيحة$A\geq 0$ وعند كتابة معادلة خطية في شكل قياسي، على الرغم من أنها ليست ضرورية تمامًا.

تحتوي المعادلات الخطية على العديد من الحلول بلا حدود. لكل رقم يتم استبداله بـ x توجد قيمة y مقابلة. هذا الزوج من القيم هو حل للمعادلة الخطية ويتم تمثيله بالزوج المرتب (x، y). عندما نستبدل قيم x و y في المعادلة، تكون النتيجة عبارة حقيقية، لأن القيمة الموجودة على الجانب الأيسر تساوي القيمة على الجانب الأيمن.

حل معادلة خطية في متغيرين

الزوج المرتب (x، y) هو حل المعادلة الخطية Ax+By=C، إذا كانت المعادلة عبارة حقيقية عندما يتم استبدال قيم x - و y - للزوج المرتب في المعادلة.

التمارين$\PageIndex{10}$

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة x+4y=8.

(أ) (0.2)

(ب) (2، −4)

(ج) (−4,3)

إجابة

استبدل قيم x - و y - من كل زوج مرتب في المعادلة وحدد ما إذا كانت النتيجة عبارة صحيحة.

$يحتوي هذا الشكل على ثلاثة أعمدة. في الجزء العلوي من العمود الأول يوجد الزوج المطلوب (0، 2). فيما يلي القيم x تساوي 0 و y تساوي 2. أدناه هذه المعادلة x زائد 4y تساوي 8. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال 0 و 2 بـ x و y: 0 زائد 4 في 2 قد يساوي 8. أدناه هذا هو 0 زائد 8 قد يساوي 8. أدناه هذا 8 يساوي 8 مع وجود علامة اختيار بجواره. أدناه هذه هي الجملة «(0، 2) هو الحل.» في الجزء العلوي من العمود الثاني يوجد الزوج المطلوب (2، سلبي 4). فيما يلي القيم x تساوي 2 و y تساوي سالب 4. أدناه هذه المعادلة x زائد 4y تساوي 8. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال 2 وسالب 4 بـ x و y: 2 زائد 4 في سالب 4 قد يساوي 8. أدناه هذا هو 2 زائد سالب 16 قد يساوي 8. أدناه هذا سالب 14 لا يساوي 8. فيما يلي هذه هي الجملة: «(2، سلبي 4) ليس حلاً». في الجزء العلوي من العمود الثالث يوجد الزوج المطلوب (سلبي 4، 3). فيما يلي القيم x تساوي سالب 4 و y تساوي 3. أدناه هذه المعادلة x زائد 4y تساوي 8. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال سالب 4 و 3 بـ x و y: سالب 4 زائد 4 في 3 قد يساوي 8. أدناه هذا هو سالب 4 زائد 12 قد يساوي 8. أدناه هذا 8 يساوي 8 مع وجود علامة اختيار بجواره. فيما يلي هذه هي الجملة: «(السلبية 4، 3) هي الحل.»$

التمارين$\PageIndex{11}$

أي من الأزواج المرتبة التالية تمثل حلولًا لـ 2x+3y=6؟

(3,0)
(2,0)
(6، −2)

إجابة: 1، 3

التمارين$\PageIndex{12}$

أي من الأزواج المرتبة التالية يمثل حلًا للمعادلة 4x−y=8؟

(0,8)
(2,0)
(1، −4)

إجابة: 2، 3

التمارين$\PageIndex{13}$

أي من الأزواج المرتبة التالية هي حلول للمعادلة y=5x−1؟

(أ) (0، −1)

(ب) (1,4)

(ج) (−2، −7)

إجابة

استبدل قيم x - و y - من كل زوج مرتب في المعادلة وحدد ما إذا كانت النتيجة عبارة صحيحة.

$يحتوي هذا الشكل على ثلاثة أعمدة. في الجزء العلوي من العمود الأول يوجد الزوج المطلوب (0، سالب 1). فيما يلي القيم x تساوي 0 و y تساوي سالب 1. أدناه هذه المعادلة y تساوي 5x ناقص 1. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال 0 وسالب 1 بـ x و y: قد يساوي سالب 1 5 في 0 ناقص 1. أدناه هذا هو السالب 1 قد يساوي 0 ناقص 1. يوجد أدناه هذا السالب 1 يساوي سالب 1 مع وجود علامة اختيار بجواره. فيما يلي هذه الجملة: «(0، سلبي 1) هو الحل.» في الجزء العلوي من العمود الثاني يوجد الزوج المطلوب (1، 4). فيما يلي القيم x تساوي 1 و y تساوي 4. أدناه هذه المعادلة y تساوي 5x ناقص 1. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال 1 و 4 بـ x و y: 4 قد يساوي 5 في 1 ناقص 1. أدناه هذا هو 4 قد يساوي 5 ناقص 1. أدناه هذا هو 4 يساوي 4 مع وجود علامة اختيار بجواره. فيما يلي هذه الجملة: «(1، 4) هو الحل.» في الجزء العلوي من العمود الأيمن يوجد الزوج المطلوب (سلبي 2، سلبي 7). فيما يلي القيم x تساوي سالب 2 و y تساوي سالب 7. أدناه هذه المعادلة y تساوي 5x ناقص 1. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال سالب 2 وسالب 7 بـ x و y: قد يساوي سالب 7 5 مرات سالب 2 ناقص 1. أدناه هذا هو سالب 7 قد يساوي سالب 10 ناقص 1. أدناه هذا سالب 7 لا يساوي سالب 11. فيما يلي هذه هي الجملة: «(سلبي 2، سلبي 7) ليس حلاً».$

التمارين$\PageIndex{14}$

أي من الأزواج المرتبة التالية يمثل حلولًا للمعادلة y=4x−3؟

(0,3)
(1,1)
(−1، −1)

إجابة: 2

التمارين$\PageIndex{15}$

أي من الأزواج المرتبة التالية يمثل حلولًا للمعادلة y=−2x+6؟

(0,6)
(1,4)
(−2، −2)

إجابة: 1، 2

أكمل جدول الحلول لمعادلة خطية في متغيرين

في الأمثلة أعلاه، قمنا باستبدال قيم x - و y - لزوج مرتب معين لتحديد ما إذا كان هذا حلاً لمعادلة خطية أم لا. ولكن كيف تجد الأزواج المطلوبة إذا لم يتم إعطاؤها؟ الأمر أسهل مما تعتقد - يمكنك فقط اختيار قيمة لـ xx ثم حل المعادلة لـ yy. أو اختر قيمة لـ y ثم قم بحلها لـ xx.

سنبدأ بالنظر إلى حلول المعادلة y = 5x−1 التي وجدناها في التمرين$\PageIndex{13}$. يمكننا تلخيص هذه المعلومات في جدول الحلول، كما هو موضح في الجدول$\PageIndex{1}$.

طاولة$\PageIndex{1}$
ص = 5x−1
س	ص	(س، ص)
0	−1	(0، −1)
1	4	(1,4)

للعثور على حل ثالث، سنترك x=2 ونحل لـ y.

يوضح الشكل خطوات الحل لـ y عندما يساوي x 2 في المعادلة y يساوي 5 x ناقص 1. تظهر المعادلة y تساوي 5 × ناقص 1. فيما يلي المعادلة التي تم استبدال 2 بـ x والتي تساوي y 5 في 2 ناقص 1. لحل الضرب y أولاً بحيث تصبح المعادلة y يساوي 10 ناقص 1 ثم اطرح بحيث تكون المعادلة y تساوي 9. — الشكل$\PageIndex{12}$

يعتبر الزوج المطلوب (2,9) حلاً لـ y=5x−1. سنضيفه إلى الجدول$\PageIndex{2}$.

طاولة$\PageIndex{2}$
ص = 5x−1
س	ص	(س، ص)
0	−1	(0، −1)
1	4	(1,4)
2	9	(2,9)

يمكننا إيجاد المزيد من الحلول للمعادلة عن طريق استبدال أي قيمة x أو أي قيمة y وحل المعادلة الناتجة للحصول على زوج آخر مرتب يمثل حلًا. هناك العديد من الحلول لهذه المعادلة.

التمارين$\PageIndex{16}$

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة y=4x−2.

طاولة$\PageIndex{3}$
ص = 4x−2
س	ص	(س، ص)
0
−1
2

إجابة

استبدل x=0، x=−1، و x=2 إلى y=4x−2.

$يحتوي هذا الشكل على ثلاثة أعمدة. في الجزء العلوي من العمود الأول توجد القيمة x تساوي 0. أدناه هذه المعادلة y تساوي 4x ناقص 2. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال 0 بـ x: y يساوي 4 في 0 ناقص 2. أدناه هذا يساوي y 0 ناقص 2. أدناه هذا يساوي y سالب 2. يوجد أدناه الزوج المطلوب (0، سلبي 2). في الجزء العلوي من العمود الثاني توجد القيمة x تساوي سالب 1. أدناه هذه المعادلة y تساوي 4x ناقص 2. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال سالب 1 بـ x: y يساوي 4 مرات ناقص 1 ناقص 2. أدناه هذا يساوي y سالب 4 ناقص 2. أدناه هذا يساوي y سالب 6. يوجد أدناه الزوج المطلوب (سلبي 1، سلبي 6). في الجزء العلوي من العمود الثالث توجد القيمة x تساوي 2. أدناه هذه المعادلة y تساوي 4x ناقص 2. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال 2 بـ x: y يساوي 4 في 2 ناقص 2. أدناه هذا يساوي y 8 ناقص 2. أدناه هذا يساوي y 6. يوجد أدناه الزوج المطلوب (2، 6).$

تم تلخيص النتائج في الجدول$\PageIndex{4}$.

طاولة$\PageIndex{4}$
ص = 4x−2
س	ص	(س، ص)
0	−2	(0، −2)
−1	−6	(−1، −6)
2	6	(2,6)

التمارين$\PageIndex{17}$

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول لهذه المعادلة: y=3x−1.

طاولة$\PageIndex{5}$
ص = 3x−1
س	ص	(س، ص)
0
−1
2

إجابة

طاولة$\PageIndex{6}$
ص = 3x−1
س	ص	(س، ص)
0	-1	(0، -1)
−1	-4	(-1، -4)
2	5	(2، 5)

التمارين$\PageIndex{18}$

أكمل الجدول للعثور على ثلاثة حلول لهذه المعادلة: y=6x+1.

طاولة$\PageIndex{7}$
y=6x+1
س	ص	(س، ص)


-2

إجابة

طاولة$\PageIndex{8}$
y=6x+1
س	ص	(س، ص)
0	1	(0,1)
1	7	(1,7)
−2	−11	(−2، −11)

التمارين$\PageIndex{19}$

أكمل الجدول$\PageIndex{9}$ لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة 5x−4y=20.

طاولة$\PageIndex{9}$
5x−4Y=20
س	ص	(س، ص)

	0
	5

إجابة

استبدل القيمة المعطاة بالمعادلة 5x−4y=20 وحلّها للمتغير الآخر. ثم قم بملء القيم في الجدول.

$يحتوي هذا الشكل على ثلاثة أعمدة. في الجزء العلوي من العمود الأول توجد القيمة x تساوي 0. أدناه هذه المعادلة 5x ناقص 4y تساوي 20. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال 0 بـ x: 5 في 0 ناقص 4y يساوي 20. أدناه هذا هو 0 ناقص 4y يساوي 20. أدناه هذا هو سالب 4y يساوي 20. أدناه هذا يساوي y سالب 5. يوجد أدناه الزوج المطلوب (0، سلبي 5). في الجزء العلوي من العمود الثاني توجد القيمة y تساوي 0. أدناه هذه المعادلة 5x ناقص 4y تساوي 20. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال 0 بـ y: 5x ناقص 4 في 0 يساوي 20. أدناه هذا هو 5x ناقص 0 يساوي 20. أقل من هذا هو 5x يساوي 20. أدناه هذا هو x يساوي 4. يوجد أدناه الزوج المطلوب (4، 0). في الجزء العلوي من العمود الثالث، القيمة y تساوي 5. أسفل هذه المعادلة 5x ناقص 47 تساوي 20. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال 5 بـ y: 5x ناقص 4 في 5 يساوي 20. أسفل هذه المعادلة 5x ناقص 20 تساوي 20. أقل من هذا هو 5x يساوي 40. أدناه هذا هو x يساوي 8. يوجد أدناه الزوج المطلوب (8، 5).$

تم تلخيص النتائج في الجدول$\PageIndex{10}$.

طاولة$\PageIndex{10}$
5x−4Y=20
س	ص	(س، ص)
0	−5	(0، −5)
4	0	(4,0)
8	5	(8,5)

التمارين$\PageIndex{20}$

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول لهذه المعادلة: 2x−5y=20.

طاولة$\PageIndex{11}$
2x−5y=20
س	ص	(س، ص)


-5

إجابة

طاولة$\PageIndex{12}$
2x−5y=20
س	ص	(س، ص)
0	−4	(0، −4)
10	0	(10,0)
−5	−6	(−5، −6)

التمارين$\PageIndex{21}$

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول لهذه المعادلة: 3x−4y=12.

طاولة$\PageIndex{13}$
3 × 4 سنوات = 12
س	ص	(س، ص)


-4

إجابة

طاولة$\PageIndex{14}$
3 × 4 سنوات = 12
س	ص	(س، ص)
0	−3	(0، −3)
4	0	(4,0)
−4	−6	(−4، −6)

ابحث عن حلول للمعادلة الخطية

لإيجاد حل لمعادلة خطية، يمكنك حقًا اختيار أي رقم تريد استبداله في المعادلة لـ x أو y، ولكن نظرًا لأنك ستحتاج إلى استخدام هذا الرقم لحل المتغير الآخر، فمن الجيد اختيار رقم يسهل التعامل معه.

عندما تكون المعادلة في شكل y، مع وجود y في حد ذاتها على أحد طرفي المعادلة، يكون من الأسهل عادةً اختيار قيم x ثم حلها لـ y.

التمارين$\PageIndex{22}$

ابحث عن ثلاثة حلول للمعادلة y=−3x+2.

إجابة

يمكننا استبدال أي قيمة نريدها بـ x أو أي قيمة لـ y. بما أن المعادلة في شكل y، سيكون من الأسهل استبدالها بقيم x. لنختار x=0، x=1، x=−1.

			$.$	$.$	$.$
			$.$	$.$	$.$
استبدل القيمة بالمعادلة.			$.$	$.$	$.$
قم بالتبسيط.			$.$	$.$	$.$
قم بالتبسيط.			$.$	$.$	$.$
اكتب الزوج المطلوب.			(0، 2)	(1، -1)	(-1، 5)
تحقق.
y=−3x+2	y=−3x+2	y=−3x+2
$2 \stackrel{?}{=} -3 \cdot 0 + 2$	$-1 \stackrel{?}{=} -3 \cdot 1 + 2$	$5 \stackrel{?}{=} -3 (-1) + 2$
$2 \stackrel{?}{=} 0 + 2$	$-1 \stackrel{?}{=} -3 + 2$	$5 \stackrel{?}{=} -3 + 2$
$2 = 2\checkmark$	$-1 = -1\checkmark$	$5 = 5\checkmark$

طاولة$\PageIndex{15}$

لذا، فإن (0,2) و (1، −1) و (−1,5) كلها حلول لـ y=−3x+2. نعرضها في الجدول$\PageIndex{16}$.

طاولة$\PageIndex{16}$
y=−3x+2
س	ص	(س، ص)
0	2	(0,2)
1	−1	(1، −1)
−1	5	(−1,5)

التمارين$\PageIndex{23}$

ابحث عن ثلاثة حلول لهذه المعادلة: y=−2x+3.

إجابة: سوف تتنوع الإجابات.

التمارين$\PageIndex{24}$

ابحث عن ثلاثة حلول لهذه المعادلة: y=−4x+1.

إجابة: سوف تتنوع الإجابات.

لقد رأينا كيف أن استخدام الصفر كقيمة واحدة لـ x يجعل العثور على قيمة y أمرًا سهلاً. عندما تكون المعادلة في الشكل القياسي، مع وجود كل من x و y على نفس الجانب من المعادلة، يكون من الأسهل عادةً العثور أولاً على حل واحد عندما تجد x=0 حلاً ثانيًا عند y=0، ثم تجد حلًا ثالثًا.

التمارين$\PageIndex{25}$

ابحث عن ثلاثة حلول للمعادلة 3x+2y=6.

إجابة

يمكننا استبدال أي قيمة نريدها بـ x أو أي قيمة لـ y. بما أن المعادلة في الشكل القياسي، دعنا نختار أولاً x=0، ثم y=0، ثم نعثر على نقطة ثالثة.

طاولة$\PageIndex{17}$
$.$	$.$	$.$
			$.$	$.$	$.$
استبدل القيمة بالمعادلة.			$.$	$.$	$.$
قم بالتبسيط.			$.$	$.$	$.$
حل.			$.$	$.$	$.$
			$.$	$.$	$.$
اكتب الزوج المطلوب.			(0، 3)	(2، 0)	$(1,\frac{3}{2})$
تحقق.
3 × × 2 سنة = 6	3 × × 2 سنة = 6	3 × × 2 سنة = 6
$3\cdot 0 + 2\cdot 3 \stackrel{?}{=} 6$	$3\cdot 2 + 2\cdot 0 \stackrel{?}{=} 6$	$3\cdot 1 + 2\cdot \frac{3}{2} \stackrel{?}{=} 6$
$0 + 6 \stackrel{?}{=} 6$	$6 + 0 \stackrel{?}{=} 6$	$3 + 3 \stackrel{?}{=} 6$
$6 = 6\checkmark$	$6 = 6\checkmark$	$6 = 6\checkmark$

إذن (0,3)، (2,0)،$(1,\frac{3}{2})$ وكلها حلول للمعادلة 3x+2y=6. يمكننا إدراج هذه الحلول الثلاثة في الجدول$\PageIndex{18}$.

طاولة$\PageIndex{18}$
3 × 2 سنة= 63 × +2 سنة=6
س	ص	(س، ص)
0	3	(0,3)
2	0	(2,0)
1	$\frac{3}{2}$	$(1, \frac{3}{2})$

التمارين$\PageIndex{26}$

ابحث عن ثلاثة حلول للمعادلة 2x+3y=6.

إجابة: سوف تتنوع الإجابات.

التمارين$\PageIndex{27}$

ابحث عن ثلاثة حلول للمعادلة 4x+2y=8.

إجابة: سوف تتنوع الإجابات.

المفاهيم الرئيسية

أنماط علامات الأرباع
$\begin{array}{ll}{\text { Quadrant I }} & {\text { Quadrant II }} & {\text { Quadrant III }} & {\text { Quadrant IV }} \\ {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} \\ {(+,+)} & {(-,+)} & {(-,-)} & {(+,-)}\end{array}$
نقاط على المحاور
- على المحور x، y=0. توجد النقاط ذات الإحداثيات y التي تساوي 0 على المحور x، ولها إحداثيات (a، 0).
- على المحور y، x=0. تقع النقاط ذات الإحداثي x الذي يساوي 0 على المحور y، ولها إحداثيات (0، b).
حل معادلة خطية
- الزوج المُرتب (x، y) هو حل المعادلة الخطية Ax+By=C، إذا كانت المعادلة عبارة حقيقية عندما يتم استبدال قيم x - و y - للزوج المُرتب في المعادلة.

مسرد المصطلحات

معادلة خطية: المعادلة الخطية هي من الشكل Ax+By=C، حيث لا يكون A و B كلاهما صفرًا، وتسمى المعادلة الخطية في متغيرين.

زوج مرتب: يعطي الزوج المُرتب (x، y) إحداثيات نقطة في نظام إحداثيات مستطيل.

أصل: تسمى النقطة (0,0) (0,0) بالأصل. إنها النقطة التي يتقاطع فيها المحور x والمحور y.

رباعي: يقسم المحور x والمحور y المستوى إلى أربع مناطق تسمى الأرباع.

نظام إحداثيات مستطيل: يُستخدم نظام الشبكة في الجبر لإظهار العلاقة بين متغيرين؛ ويُسمى أيضًا المستوى xy أو «المستوى الإحداثي».

س - إحداثي: الرقم الأول في زوج مرتب (x، y).

عن طريق الإحداثيات: الرقم الثاني في زوج مرتب (x، y).

زوج تم طلبه

ذا أوريجين

التمارين\(\PageIndex{1}\)

التمارين\(\PageIndex{2}\)

التمارين\(\PageIndex{3}\)

الأرباع

نقاط على المحاور

التمارين\(\PageIndex{4}\)

التمارين\(\PageIndex{5}\)

التمارين\(\PageIndex{6}\)

التمارين\(\PageIndex{7}\)

التمارين\(\PageIndex{8}\)

التمارين\(\PageIndex{9}\)

معادلة خطية

الشكل القياسي للمعادلة الخطية

حل معادلة خطية في متغيرين

التمارين\(\PageIndex{10}\)

التمارين\(\PageIndex{11}\)

التمارين\(\PageIndex{12}\)

التمارين\(\PageIndex{13}\)

التمارين\(\PageIndex{14}\)

التمارين\(\PageIndex{15}\)

التمارين\(\PageIndex{16}\)

التمارين\(\PageIndex{17}\)

التمارين\(\PageIndex{18}\)

التمارين\(\PageIndex{19}\)

التمارين\(\PageIndex{20}\)

التمارين\(\PageIndex{21}\)

التمارين\(\PageIndex{22}\)

التمارين\(\PageIndex{23}\)

التمارين\(\PageIndex{24}\)

التمارين\(\PageIndex{25}\)

التمارين\(\PageIndex{26}\)

التمارين\(\PageIndex{27}\)