Skip to main content
Global

2.3: حل المعادلات ذات المتغيرات والثوابت على كلا الجانبين

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200247

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • حل معادلة تحتوي على ثوابت على كلا الجانبين
    • حل معادلة تحتوي على متغيرات على كلا الجانبين
    • حل معادلة تحتوي على متغيرات وثوابت على كلا الجانبين
    ملاحظة

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. التبسيط: 4y−9+9.
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.10.20.

    حل المعادلات التي تحتوي على ثوابت على كلا الطرفين

    في جميع المعادلات التي قمنا بحلها حتى الآن، كانت جميع مصطلحات المتغيرات على جانب واحد فقط من المعادلة مع الثوابت على الجانب الآخر. لا يحدث هذا طوال الوقت - لذا سنتعلم الآن حل المعادلات التي تكون فيها المصطلحات المتغيرة أو المصطلحات الثابتة أو كلاهما على جانبي المعادلة.

    ستشمل استراتيجيتنا اختيار أحد طرفي المعادلة ليكون «الجانب المتغير»، والجانب الآخر من المعادلة ليكون «الجانب الثابت». بعد ذلك، سنستخدم خواص الطرح والجمع للمساواة لجمع كل حدود المتغيرات معًا على أحد طرفي المعادلة والشروط الثابتة معًا على الجانب الآخر.

    من خلال القيام بذلك، سنقوم بتحويل المعادلة التي بدأت بالمتغيرات والثوابت على كلا الجانبين إلى الشكل\(ax=b\). نحن نعرف بالفعل كيفية حل معادلات هذا النموذج باستخدام خصائص القسمة أو الضرب للمساواة.

    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    حل:\(7x+8=−13\).

    إجابة

    في هذه المعادلة، يوجد المتغير فقط على الجانب الأيسر. من المنطقي تسمية الجانب الأيسر بالجانب «المتغير». لذلك، سيكون الجانب الأيمن هو الجانب «الثابت». سنكتب التسميات فوق المعادلة لمساعدتنا على تذكر ما يذهب إلى أين.

    يوضح هذا الشكل المعادلة 7x زائد 8 يساوي سالب 13، والجانب الأيسر من المعادلة المسمى «المتغير»، مكتوبًا باللون الأحمر، والجانب الأيمن من المعادلة المسمى «ثابت»، مكتوبًا باللون الأحمر.

    نظرًا لأن الجانب الأيسر هو «xx»، أو الجانب المتغير، فإن 8 في غير مكانه. يجب علينا «التراجع» عن إضافة 8 بطرح 8، وللحفاظ على المساواة يجب طرح 8 من كلا الجانبين.

      يوضح هذا الشكل المعادلة 7x زائد 8 يساوي سالب 13، والجانب الأيسر من المعادلة المسمى «المتغير»، مكتوبًا باللون الأحمر، والجانب الأيمن من المعادلة المسمى «ثابت»، مكتوبًا باللون الأحمر.
    استخدم خاصية الطرح للمساواة. .
    قم بالتبسيط. .
    الآن جميع المتغيرات على اليسار والثابت على اليمين. تبدو المعادلة مثل تلك التي تعلمت حلها سابقًا.
    استخدم خاصية تقسيم المساواة. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دع x=−3. .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{2}\)

    حل:\(3x+4=−8\).

    إجابة

    \(x=−4\)

    التمارين\(\PageIndex{3}\)

    حل:\(5a+3=−37\).

    إجابة

    \(a=−8\)

    التمارين\(\PageIndex{4}\)

    حل:\(8y−9=31\).

    إجابة

    لاحظ أن المتغير موجود فقط على الجانب الأيسر من المعادلة، لذلك سنطلق على هذا الجانب الجانب الجانب الجانب «المتغير»، وسيكون الجانب الأيمن هو الجانب «الثابت». نظرًا لأن الجانب الأيسر هو الجانب «المتغير»، فإن 9 في غير مكانه. يتم طرحه من 8y، لذلك «للتراجع» عن الطرح، أضف 9 إلى كلا الجانبين. تذكر، مهما فعلت على اليسار، يجب عليك القيام به على اليمين.

      .
    أضف 9 إلى كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
      المتغيرات الآن على جانب والثوابت على الجانب الآخر.
    نواصل من هنا كما فعلنا سابقًا.
    قسّم كلا الجانبين على 8. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    اسمح لك = 5. .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{5}\)

    حل:\(5y−9=16\).

    إجابة

    \(y=5\)

    التمارين\(\PageIndex{6}\)

    حل:\(3m−8=19\).

    إجابة

    \(m = 9\)

    حل المعادلات ذات المتغيرات والثوابت على كلا الطرفين

    سيكون المثال التالي هو الأول الذي يحتوي على متغيرات وثوابت على جانبي المعادلة. قد يستغرق الأمر عدة خطوات لحل هذه المعادلة، لذلك نحن بحاجة إلى استراتيجية واضحة ومنظمة.

    التمارين\(\PageIndex{7}\)

    حل:\(9x=8x−6\).

    إجابة

    هنا يكون المتغير على كلا الجانبين، ولكن الثوابت تظهر فقط على الجانب الأيمن، لذلك دعونا نجعل الجانب الأيمن هو الجانب «الثابت». ثم سيكون الجانب الأيسر هو الجانب «المتغير».

      .
    لا نريد أي علامة x على اليمين، لذا اطرح 8x من كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    لقد نجحنا في الحصول على المتغيرات من جهة والثوابت على الجانب الآخر، وحصلنا على الحل.
    تحقق من: .  
    دع x=−6. .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{8}\)

    حل:\(6n=5n−10\).

    إجابة

    \(n = -10\)

    التمارين\(\PageIndex{9}\)

    حل:\(-6c = -7c - 1\)

    إجابة

    \(c = -1\)

    التمارين\(\PageIndex{10}\)

    حل:\(5y - 9 = 8y\)

    إجابة

    الثابت الوحيد هو على اليسار و y على كلا الجانبين. لنترك الثابت على اليسار ونضع المتغيرات على اليمين.

      .
    اطرح 5y من كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    لدينا y على اليمين
    والثوابت على اليسار. قسّم كلا الجانبين على 3.    		 .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دعونا\(y=−3\). .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{11}\)

    حل:\(3p−14=5p\).

    إجابة

    \(p = -7\)

    التمارين\(\PageIndex{12}\)

    حل:\(8m + 9 = 5m\)

    إجابة

    \(m = -3\)

    التمارين\(\PageIndex{13}\)

    حل:\(12x = -x + 26\)

    إجابة

    الثابت الوحيد موجود على اليمين، لذا دع الجانب الأيسر هو الجانب «المتغير».

      .
    أزل −x من الجانب الأيمن بإضافة x إلى كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    جميع علامات x على اليسار والثوابت على اليمين. قسّم كلا الجانبين بمقدار 13. .
    قم بالتبسيط. .
    التمارين\(\PageIndex{14}\)

    حل:\(12j = -4j + 32\)

    إجابة

    \(j = 2\)

    التمارين\(\PageIndex{15}\)

    حل:\(8h = -4h + 12\)

    إجابة

    \(h = 1\)

    حل المعادلات ذات المتغيرات والثوابت على كلا الطرفين

    سيكون المثال التالي هو الأول الذي يحتوي على متغيرات وثوابت على جانبي المعادلة. قد يستغرق الأمر عدة خطوات لحل هذه المعادلة، لذلك نحن بحاجة إلى استراتيجية واضحة ومنظمة.

    التمارين\(\PageIndex{16}\): How to Solve Equations with Variables and Constants on Both Sides

    حل:\(7x + 5 = 6x + 2\)

    إجابة

    هذا الشكل عبارة عن جدول يحتوي على ثلاثة أعمدة وأربعة صفوف. العمود الأول هو عمود العنوان، ويحتوي على أسماء وأرقام كل خطوة. يحتوي العمود الثاني على مزيد من التعليمات المكتوبة. يحتوي العمود الثالث على الرياضيات. في الصف العلوي من الجدول، تقرأ الخلية الأولى على اليسار: «الخطوة 1. اختر الجانب الذي سيكون فيه الجانب «المتغير» - سيكون الجانب الآخر هو الجانب «الثابت».» ينص النص الموجود في الخلية الثانية على ما يلي: «المصطلحات المتغيرة هي 7 x و 6 x، وبما أن 7 أكبر من 6، فسنجعل الجانب الأيسر هو الجانب «x» وبالتالي سيكون الجانب الأيمن هو الجانب «الثابت».» تحتوي الخلية الثالثة على المعادلة 7 x زائد 5 يساوي 6 x زائد 2، والجانب الأيسر من المعادلة يسمى «متغير» مكتوب باللون الأحمر، والجانب الأيمن من المعادلة يسمى «ثابت» مكتوب باللون الأحمر.الخطوة 2. قم بإحضار جميع حدود x إلى الجانب الأيسر بطرح 6x من كلا الجانبين.في الصف الثالث من الجدول، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 3. اجمع كل الثوابت على الجانب الآخر من المعادلة، باستخدام خاصية الجمع أو الطرح للمساواة.» في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «الجانب الأيمن هو الجانب «الثابت»، وبالتالي فإن 5 في غير مكانه. اطرح ٥ من كلا الجانبين. قم بالتبسيط.» تحتوي الخلية الثالثة على المعادلة x زائد 5 ناقص 5 يساوي 2 ناقص 5، مع كتابة «ناقص 5" باللون الأحمر على كلا الجانبين. فيما يلي إجابة المعادلة: x يساوي سالب 3.الخطوة 4. نظرًا لأن x بحد ذاتها، فقد وجدنا الحل للمعادلة.في الصف الخامس من الجدول، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 5. تحقق.» تقول التعليمات في الخلية الثانية: «تحقق. دعونا نساوي سالب 3. قم بالتبسيط. أضف.» في الخلية الثالثة توجد المعادلة الأصلية مرة أخرى: 7 x زائد 5 يساوي 6x زائد 2. فيما يلي نفس المعادلة مع استبدال سالب 3 بـ x: 7 في سالب 3 (بين قوسين) زائد 5 قد يساوي 6 في سالب 3 (بين قوسين) زائد 2، مع كتابة «مضروبات سالب 3" باللون الأحمر على جانبي المعادلة. فيما يلي المعادلة السالبة 21 زائد 5 قد تساوي سالب 18 زائد 2. في السطر الأخير توجد المعادلة السالبة 16 تساوي سالب 16، مع وجود علامة اختيار بجوارها.

    التمارين\(\PageIndex{17}\)

    حل:\(12x+8=6x+2\).

    إجابة

    \(x=−1\)

    التمارين\(\PageIndex{18}\)

    حل:\(9y+4=7y+12\).

    إجابة

    \(y=4\)

    سنقوم بإدراج الخطوات أدناه حتى تتمكن من الرجوع إليها بسهولة. لكننا سنطلق على هذا اسم «استراتيجية البداية» لأننا سنضيف بعض الخطوات لاحقًا في هذا الفصل.

    بداية الإستراتيجية لحل المعادلات ذات المتغيرات والثوابت على جانبي المعادلة.
    1. اختر الجانب الذي سيكون الجانب «المتغير» - سيكون الجانب الآخر هو الجانب «الثابت».
    2. اجمع مصطلحات المتغيرات في الجانب «المتغير» من المعادلة، باستخدام خاصية الجمع أو الطرح للمساواة.
    3. اجمع كل الثوابت على الجانب الآخر من المعادلة باستخدام خاصية الجمع أو الطرح للمساواة.
    4. اجعل معامل المتغير يساوي 1، باستخدام خاصية الضرب أو القسمة للمساواة.
    5. تحقق من الحل عن طريق استبداله بالمعادلة الأصلية.

    في الخطوة 1، تتمثل الطريقة المفيدة في جعل الجانب «المتغير» هو الجانب الذي يحتوي على المتغير بالمعامل الأكبر. هذا عادة ما يجعل الحساب أسهل.

    التمارين\(\PageIndex{19}\)

    حل:\(8n−4=−2n+6\).

    إجابة

    في الخطوة الأولى، اختر جانب المتغير من خلال مقارنة معاملات المتغيرات على كل جانب.

    منذ ذلك الحين\(8>−2\)، اجعل الجانب الأيسر هو الجانب «المتغير». .
    لا نريد مصطلحات متغيرة على الجانب الأيمن - أضف 2n إلى كلا الجانبين لترك الثوابت فقط على اليمين. .
    اجمع بين المصطلحات المتشابهة. .
    لا نريد أي ثوابت على الجانب الأيسر، لذا أضف 4 إلى كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    مصطلح المتغير على اليسار والحد الثابت على اليمين. لجعل معامل nn واحدًا، قسّم كلا الجانبين على 10. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دع n = 1. .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{20}\)

    حل:\(8q - 5 = -4q + 7\)

    إجابة

    \(q = 1\)

    التمارين\(\PageIndex{21}\)

    حل:\(7n - 3 = n + 3\)

    إجابة

    \(n = 1\)

    التمارين\(\PageIndex{22}\)

    حل:\(7a -3 = 13a + 7\)

    إجابة

    في الخطوة الأولى، اختر جانب المتغير من خلال مقارنة معاملات المتغيرات على كل جانب.

    منذ 13> 7، اجعل الجانب الأيمن هو الجانب «المتغير» والجانب الأيسر هو الجانب «الثابت».

      .
    اطرح 7a من كلا الجانبين لإزالة مصطلح المتغير من اليسار. .
    اجمع بين المصطلحات المتشابهة. .
    اطرح 7 من كلا الجانبين لإزالة الثابت من اليمين. .
    قم بالتبسيط. .
    قسّم كلا الجانبين على 6 لجعل 1 معامل a. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دعونا\(a=−\frac{5}{3}\). .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{23}\)

    حل:\(2a - 2 = 6a + 18\)

    إجابة

    \(a = -5\)

    التمارين\(\PageIndex{24}\)

    حل:\(4k -1 = 7k + 17\)

    إجابة

    \(k = -6\)

    في المثال الأخير، كان بإمكاننا جعل الجانب الأيسر هو الجانب «المتغير»، ولكنه كان سيؤدي إلى معامل سلبي على مصطلح المتغير. (جربها!) بينما يمكننا التعامل مع السلبيات، هناك فرصة أقل لحدوث أخطاء عند التعامل مع الإيجابيات. تساعد الإستراتيجية الموضحة أعلاه على تجنب السلبيات!

    لحل معادلة بالكسور، ما عليك سوى اتباع خطوات استراتيجيتنا للحصول على الحل!

    التمارين\(\PageIndex{25}\)

    حل:\(\frac{4}{5}x + 6 = \frac{1}{4}x - 2\)

    إجابة

    نظرًا لأن\(\frac{5}{4} > \frac{1}{4}\) الجانب الأيسر هو الجانب «المتغير» والجانب الأيمن هو الجانب «الثابت».

      .
    اطرح\(\frac{1}{4}x\) من كلا الجانبين. .
    اجمع بين المصطلحات المتشابهة. .
    اطرح 6 من كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .

    تحقق من: دع\(x = -8\)

    		 \(\begin{array} {ccc} {\frac{5}{4}x + 6} &{=} &{\frac{1}{4}x - 2} \\ {\frac{5}{4}(-8) + 6} &{\stackrel{?}{=}} &{\frac{1}{4}(-8) - 2} \\ {-10 + 6} &{\stackrel{?}{=}} &{-2 - 2} \\ {-4} &{=} &{-4\checkmark} \end{array}\)
    التمارين\(\PageIndex{26}\)

    حل:\(\frac{7}{8}x - 12 = -\frac{1}{8}x - 2\)

    إجابة

    \(x = 10\)

    التمارين\(\PageIndex{27}\)

    حل:\(\frac{7}{6}x + 11 = \frac{1}{6}y + 8\)

    إجابة

    \(y = -3\)

    سنستخدم نفس الإستراتيجية لإيجاد حل لمعادلة تحتوي على أعداد عشرية.

    التمارين\(\PageIndex{28}\)

    حل:\(7.8x+4=5.4x−8\).

    إجابة

    نظرًا لأن\(7.8>5.4\) الجانب الأيسر هو الجانب «المتغير» والجانب الأيمن هو الجانب «الثابت».

      .
    اطرح 5.4x من كلا الجانبين. .
    اجمع بين المصطلحات المتشابهة. .
    اطرح 4 من كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    استخدم خاصية تقسيم المساواة. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دع\(x=−5\) .  
      .  
     

    .

    		  
    التمارين\(\PageIndex{29}\)

    حل:\(2.8x + 12 = -1.4x - 9\)

    إجابة

    \(x = -5\)

    التمارين\(\PageIndex{30}\)

    حل:\(3.6y + 8 = 1.2y - 4\)

    إجابة

    \(y = -5\)

    المفاهيم الرئيسية

    • بداية الإستراتيجية لحل معادلة تحتوي على متغيرات وثوابت على طرفي المعادلة
      1. اختر الجانب الذي سيكون الجانب «المتغير» - سيكون الجانب الآخر هو الجانب «الثابت».
      2. اجمع مصطلحات المتغيرات في الجانب «المتغير» من المعادلة، باستخدام خاصية الجمع أو الطرح للمساواة.
      3. اجمع كل الثوابت على الجانب الآخر من المعادلة باستخدام خاصية الجمع أو الطرح للمساواة.
      4. اجعل معامل المتغير يساوي 1، باستخدام خاصية الضرب أو القسمة للمساواة.
      5. تحقق من الحل عن طريق استبداله بالمعادلة الأصلية.