1.2: مقدمة عن الأعداد الصحيحة

أهداف التعلم

• في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
• استخدم القيمة المكانية مع الأرقام الصحيحة
• تحديد المضاعفات وتطبيق اختبارات القسمة
• ابحث عن العوامل الأولية والمضاعفات الشائعة الأقل

عندما نبدأ دراستنا للجبر الأولي، نحتاج إلى تحديث بعض مهاراتنا ومفرداتنا. سوف يركز هذا الفصل على الأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة والكسور والأعداد العشرية والأعداد الحقيقية. سنبدأ أيضًا في استخدام الترميز الجبري والمفردات.

استخدم القيمة المكانية مع الأرقام الصحيحة

الأرقام الأساسية المستخدمة في الجبر هي الأرقام التي نستخدمها لحساب الأشياء في عالمنا:$1, 2, 3, 4$، وما إلى ذلك. تسمى هذه الأرقام بالعد s. تسمى أرقام العد أيضًا بالأرقام الطبيعية. إذا أضفنا صفرًا إلى أرقام العد، نحصل على مجموعة الأعداد الصحيحة s.

• عد الأرقام:$1, 2, 3, …$
• الأرقام الكاملة:$0, 1, 2, 3, …$

يُطلق على الترميز «$…$» اسم الحذف ويعني «وهكذا»، أو أن النمط يستمر إلى ما لا نهاية.

يمكننا تصور عد الأرقام والأرقام الكاملة على خط الأعداد (انظر الشكل$\PageIndex{1}$).

الشكل$\PageIndex{1}$: تصبح الأرقام على خط الأعداد أكبر كلما انتقلت من اليسار إلى اليمين، وتصبح أصغر كلما انتقلت من اليمين إلى اليسار. بينما يعرض خط الأرقام هذا الأرقام الكاملة فقط$0$$6$، تستمر الأرقام في العمل بدون نهاية.

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «خط الأرقام - الجزء 1" على تطوير فهم أفضل لأرقام العد والأرقام الصحيحة.

يُطلق على نظام الأرقام الخاص بنا اسم نظام القيمة المكانية، لأن قيمة الرقم تعتمد على موضعه في الرقم. $\PageIndex{2}$يوضح الشكل قيم المكان. يتم تقسيم قيم المكان إلى مجموعات من ثلاثة، تسمى النقاط. الفترات هي الآحاد والآلاف والملايين والمليارات والتريليونات وما إلى ذلك. في رقم مكتوب، تفصل الفواصل بين الفترات.

الشكل$\PageIndex{2}$:$5278194$ يظهر الرقم في المخطط. الرقم$5$ موجود في مكان الملايين. الرقم$2$ موجود في مكان مئات الآلاف. الرقم$7$ موجود في مكان العشرة آلاف. الرقم$8$ موجود في مكان الآلاف. الرقم$1$ موجود في المئات. الرقم$9$ موجود في خانة العشرات. الرقم$4$ موجود في مكان الشخص.

التمارين$\PageIndex{1}$

في الرقم$63407218$، ابحث عن القيمة المكانية لكل رقم:

1. $7$
2. $0$
3. $1$
4. $6$
5. $3$

إجابة

ضع الرقم في مخطط القيمة المكانية:

1. $7$هذا موجود في مكان الآلاف.
2. $0$هذا موجود في مكان العشرة آلاف.
3. $1$هذا هو في مكان العشرات.
4. $6$هذا في مكان العشرة ملايين.
5. $3$هذا موجود في مكان الملايين.

التمارين$\PageIndex{2}$

بالنسبة للرقم$27493615$، ابحث عن القيمة المكانية لكل رقم:

1. 2
2. 1
3. 4
4. 7
5. 5

إجابة

1. عشرة ملايين
2. عشرات
3. مئات الآلاف
4. ملايين
5. منها

التمارين$\PageIndex{3}$

بالنسبة للرقم$519711641328$، ابحث عن القيمة المكانية لكل رقم:

1. 9
2. 4
3. 2
4. 6
5. 7

إجابة

1. مليارات
2. عشرة آلاف
3. عشرات
4. مئات الآلاف
5. مئات الملايين

عندما تكتب شيكًا، تكتب الرقم بالكلمات وكذلك بالأرقام. لكتابة رقم بالكلمات، اكتب الرقم في كل فترة، متبوعًا باسم الفترة، بدون s في النهاية. ابدأ من اليسار، حيث تكون للفترات أكبر قيمة. لم يتم تسمية فترة تلك. تفصل الفواصل بين النقاط، لذلك حيثما توجد فاصلة في الرقم، ضع فاصلة بين الكلمات (انظر الشكل$\PageIndex{3}$). الرقم$74218369$ مكتوب بأربعة وسبعين مليونًا ومائتان وثمانية عشر ألفًا وثلاثمائة وتسعة وستون.

الشكل$\PageIndex{3}$

قم بتسمية رقم صحيح بالكلمات.

1. ابدأ من اليسار وقم بتسمية الرقم في كل فترة، متبوعًا باسم الفترة.
2. ضع الفواصل في الرقم لفصل الفترات.
3. لا تذكر اسم الفترة.

التمارين$\PageIndex{4}$

قم بتسمية الرقم$8165432098710$ باستخدام الكلمات.

إجابة

قم بتسمية الرقم في كل فترة، متبوعًا باسم الفترة.

ضع الفواصل لفصل الفترات.

لذلك،$8165432098710$ سميت بثمانية تريليونات، ومائة وخمسة وستين مليارًا، وأربعمائة واثنان وثلاثون مليونًا، وثمانية وتسعون ألفًا، وسبعمائة وعشرة.

التمارين$\PageIndex{5}$

قم بتسمية الرقم 9،258،137،904،0619،258،137،904،061 باستخدام الكلمات.

إجابة

تسعة تريليون، مائتان وثمانية وخمسون مليار، مائة وسبعة وثلاثون مليون، وتسعمائة وأربعة آلاف، وواحد وستون

التمارين$\PageIndex{6}$

قم بتسمية الرقم 17,864,325,619,00417,864,325,619,004 باستخدام الكلمات.

إجابة

سبعة عشر تريليون، ثمانمائة وأربعة وستون مليار، ثلاثمائة وخمسة وعشرون مليونًا، ستمائة وتسعة عشر ألفًا وأربعة

سنقوم الآن بعكس العملية بكتابة الأرقام من اسم الرقم. لكتابة الرقم بالأرقام، نبحث أولاً عن الكلمات الدلالية التي تشير إلى الفترات. من المفيد رسم ثلاث فراغات للفترات المطلوبة ثم ملء الفراغات بالأرقام وفصل الفترات بفواصل.

اكتب عددًا صحيحًا باستخدام الأرقام.

1. حدد الكلمات التي تشير إلى الفترات. (تذكر أن الفترة لم يتم تسميتها أبدًا.)
2. ارسم ثلاث فراغات للإشارة إلى عدد الأماكن المطلوبة في كل فترة. افصل الفترات بفواصل.
3. قم بتسمية الرقم في كل فترة ووضع الأرقام في موضع القيمة المكانية الصحيح.

التمارين$\PageIndex{7}$

اكتب تسعة مليارات ومائتان وستة وأربعون مليونًا وثلاثة وسبعون ألفًا ومائة وتسعة وثمانون في صورة عدد صحيح باستخدام الأرقام.

إجابة

حدد الكلمات التي تشير إلى الفترات.
باستثناء الفترة الأولى، يجب أن تحتوي جميع الفترات الأخرى على ثلاثة أماكن. ارسم ثلاث فراغات للإشارة إلى عدد الأماكن المطلوبة في كل فترة. افصل الفترات بفواصل.
ثم اكتب الأرقام في كل فترة.

الرقم هو 9,246,073,189.

التمارين$\PageIndex{8}$

اكتب العدد مليارين، وأربعمائة وستة وستين مليونًا، وسبعمائة وأربعة عشر ألفًا، وواحد وخمسون عددًا صحيحًا باستخدام الأرقام.

إجابة

2,466 714,051

التمارين$\PageIndex{9}$

اكتب العدد أحد عشر مليارًا، وتسعمائة وواحد وعشرون مليونًا، وثمانمائة وثلاثون ألفًا، ومائة وستة في صورة عدد صحيح باستخدام الأرقام.

إجابة

11,921 1,830,106

في عام 2013، قدر مكتب الإحصاء الأمريكي عدد سكان ولاية نيويورك بـ 19,651,127. يمكننا القول أن عدد سكان نيويورك كان حوالي 20 مليون نسمة. في كثير من الحالات، لا تحتاج إلى القيمة الدقيقة؛ الرقم التقريبي جيد بما فيه الكفاية.

تسمى عملية تقريب الرقم بالتقريب. يتم تقريب الأرقام إلى قيمة مكانية محددة، اعتمادًا على مقدار الدقة المطلوبة. إن القول بأن عدد سكان نيويورك يبلغ حوالي 20 مليون نسمة يعني أننا اقتربنا إلى مكان الملايين.

التمارين$\PageIndex{10}$ How to Round Whole Numbers

قرِّب ٢٣٦٥٨ لأقرب مائة.

إجابة

التمارين$\PageIndex{11}$

قرِّب لأقرب مائة: ١٧٨٥٢.

إجابة

17,900

التمارين$\PageIndex{12}$

قرِّب لأقرب مائة: ٤٦٨٧٥١.

إجابة

468 800

تقريب الأرقام الصحيحة.

1. حدد القيمة المكانية المحددة وقم بتمييزها بسهم. لا تتغير جميع الأرقام الموجودة على يسار السهم.
2. ضع خط تحت الرقم الموجود على يمين القيمة المكانية المحددة.
3. هل هذا الرقم أكبر من أو يساوي 5؟
   • نعم - أضف 11 إلى الرقم في القيمة المكانية المحددة.
   • لا - لا تقم بتغيير الرقم في القيمة المكانية المحددة.
4. استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين القيمة المكانية المحددة بالأصفار.

التمارين$\PageIndex{13}$

قرِّب 103,978103,978 إلى الأقرب:

1. مائة
2. ألف
3. عشرة آلاف

إجابة

1.

حدد موقع المئات في 103,978.
ضع خطًا تحت الرقم الموجود على يمين المئات.
بما أن 7 أكبر من أو يساوي 5، أضف 1 إلى 9. استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين خانة المئات بالأصفار.
	إذن، ١٠٤٠٠٠ يساوي ١٠٣٩٧٨ مقربًا لأقرب مائة.

2.

حدد مكان الآلاف وقم بوضع خط تحت الرقم الموجود على يمين مكان الآلاف.
بما أن 9 أكبر من أو يساوي 5، أضف 1 إلى 3. استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين خانة المئات بالأصفار.
	إذن، ١٠٤٠٠٠ يساوي ١٠٣٩٧٨ مقربًا لأقرب ألف.

3.

حدد موقع العشرة آلاف وقم بوضع خط تحت الرقم الموجود على يمين خانة العشرة آلاف.
نظرًا لأن 3 أقل من 5، نترك 0 كما هو، ثم نستبدل الأرقام الموجودة على اليمين بالأصفار.
	إذن، ١٠٠٠٠٠ يساوي ١٠٣٩٧٨ مقربًا لأقرب عشرة آلاف.

التمارين$\PageIndex{14}$

قرِّب 206,981 إلى الأقرب: 1. مائة و2 ألف و3 آلاف.

إجابة

1. 207,000
2. 207,000
3. 210,000

التمارين$\PageIndex{15}$

قرِّب 784,951 إلى الأقرب: 1. مائة و2 ألف و3 آلاف.

إجابة

1. 785,000
2. 785,000
3. 780,000

تحديد المضاعفات وتطبيق اختبارات القسمة

تسمى الأرقام 2، 4، 6، 8، 10، 12 مضاعفات 2. يمكن كتابة مضاعف 2 كمنتج لرقم العد و 2.

الشكل$\PageIndex{4}$

وبالمثل، فإن مضاعف 3 سيكون نتاج رقم العد و3.

الشكل$\PageIndex{5}$

يمكننا العثور على مضاعفات أي رقم من خلال متابعة هذه العملية.

ملاحظة

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «المضاعفات» على تطوير فهم أفضل للمضاعفات.

$\PageIndex{1}$يوضِّح الجدول مضاعفات الأعداد من 2 إلى 9 لأول 12 رقمًا من الأعداد المُعدَّة.

طاولة$\PageIndex{1}$

رقم العد	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
مضاعفات 2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
مضاعفات 3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
مضاعفات 4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
مضاعفات 5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
مضاعفات 6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
مضاعفات 7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
مضاعفات 8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
مضاعفات 9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
مضاعفات 10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120

مضاعف عدد

الرقم هو مضاعف$n$ إذا كان نتاج رقم العد و$n$.

هناك طريقة أخرى للقول بأن 15 هو مضاعف 3 وهي القول بأن 15 قابل للقسمة على 3. هذا يعني أنه عندما نقسم 3 إلى 15، نحصل على رقم العد. في الواقع،$15\div 3$ هو 5، لذلك 15 هو$5\cdot3$.

قابل للقسمة على رقم

إذا كان الرقم$m$ مضاعفًا لـ$n$،$m$ فيمكن القسمة على$n$

انظر إلى مضاعفات$5$ الجدول$\PageIndex{1}$. تنتهي جميعها في 5 أو 0. الأرقام ذات الرقم الأخير 5 أو 0 قابلة للقسمة على 5. عند البحث عن أنماط أخرى في الجدول$\PageIndex{1}$ تعرض مضاعفات الأرقام من 2 إلى 9، يمكننا اكتشاف اختبارات القسمة التالية:

اختبارات القسمة

الرقم قابل للقسمة على:

• 2 إذا كان الرقم الأخير هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.
• 3 إذا كان مجموع الأرقام قابلاً للقسمة على 3.
• 5 إذا كان الرقم الأخير هو 5 أو 0.
• 6 إذا كانت قابلة للقسمة على كل من 2 و 3.
• 10 إذا انتهى بـ 0.

التمارين$\PageIndex{16}$

هل 5625 قابل للقسمة على 2؟ بحلول الساعة 3؟ بحلول الخامسة؟ بحلول الساعة 6؟ بحلول العاشرة؟

إجابة

$$\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 2?}} &{} \\ {\text{Does it end in 0, 2, 4, 6, or 8?}} &{\text{No.}} \\ {} &{\text{5625 is not divisible by 2.}} \end{array}$$

$$\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 3?}} &{} \\ {\text{What is the sum of the digits?}} &{5 + 6 + 2 + 5 = 18} \\ {\text{Is the sum divisible by 3?}} &{\text{Yes, 5625 is divisible by 3.}} \end{array}$$

$$\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 5 or 10?}} &{} \\ {\text{What is the last digit? It is 5.}} &{\text{5625 is divisible by 5 but not by 10.}} \end{array}$$

$$\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 6?}} &{} \\ {\text{Is it divisible by both 2 and 3?}} &{\text{No, 5625 is not divisible by 2, so 5625 is }} \\ {} &{\text{not divisible by 6.}}\end{array}$$

التمارين$\PageIndex{17}$

حدِّد هل يمكن قسمة ٤٩٦٢ على ٢، وعلى ٣، و٥، و٦، و١٠.

إجابة

بنسبة 2 و 3 و 6

التمارين$\PageIndex{18}$

حدِّد ما إذا كان ٣٧٦٥ قابلاً للقسمة على ٢، وعلى ٣، وعلى ٥، وعلى ٦، وعلى ١٠.

إجابة

بنسبة 3 و 5

ابحث عن العوامل الأولية والمضاعفات الشائعة الأقل

في الرياضيات، غالبًا ما تكون هناك عدة طرق للتحدث عن نفس الأفكار. حتى الآن، رأينا أنه إذا كان$m$ مضاعفًا لـ$n$، يمكننا القول$m$ أنه يمكن القسمة عليه$n$. على سبيل المثال، بما أن 72 هو مضاعف 8، نقول أن 72 قابل للقسمة على 8. نظرًا لأن 72 هو مضاعف 9، نقول أن 72 قابل للقسمة على 9. يمكننا التعبير عن هذا بطريقة أخرى.

نظرًا$8\cdot 9=72$ لأننا نقول أن 8 و 9 هما عاملان من عوامل 72. عندما نكتب$72=8\cdot 9$، نقول أننا أخذنا في الاعتبار 72.

الشكل$\PageIndex{6}$

الطرق الأخرى لعامل 72 هي$1\cdot 72$،$2\cdot 36$،$3\cdot 24$،$4\cdot 18$ و$6\cdot 12$. يحتوي اثنان وسبعون على العديد من العوامل: 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 8 و 9 و 12 و 18 و 36 و 72.

عوامل

إذا$a\cdot b=m$، إذن$a$، وما$b$ هي عوامل$m$.

بعض الأرقام، مثل 72، لها العديد من العوامل. الأرقام الأخرى لها عاملان فقط.

ملاحظة

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «الضرب النموذجي والعوملة» على تطوير فهم أفضل للضرب والعوملة.

الرقم الأولي والرقم المركب

العدد الأولي هو رقم عد أكبر من 1، وعامله الوحيد هو 1 ونفسه.

الرقم المركب هو رقم عد ليس أوليًا. يحتوي الرقم المركب على عوامل أخرى غير 1 ونفسه.

ملاحظة

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «الأرقام الأولية» على تطوير فهم أفضل للأعداد الأولية.

يتم سرد أرقام العد من 2 إلى 19 في الشكل$\PageIndex{7}$، مع عواملها. تأكد من الموافقة على التسمية «الأولية» أو «المركبة» لكل منها!

الشكل$\PageIndex{7}$

العدد الأولي الأقل من 20 هو 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19. لاحظ أن الرقم الأولي الزوجي الوحيد هو 2.

يمكن كتابة رقم مركب كمنتج فريد من الأعداد الأولية. وهذا ما يسمى التحليل الأولي للرقم. سيكون العثور على التحليل الأولي لعدد مركب مفيدًا لاحقًا في هذه الدورة.

التحليل الأولي

إن التحليل الأولي للرقم هو حاصل ضرب الأعداد الأولية التي تساوي العدد.

للعثور على التحليل الأولي لعدد مركب، ابحث عن أي عاملين للعدد واستخدمهما لإنشاء فرعين. إذا كان العامل أساسيًا، يكون هذا الفرع مكتملاً. ضع دائرة حول هذا برايم!

إذا لم يكن العامل أوليًا، فابحث عن عاملين للعدد وتابع العملية. بمجرد أن تكون جميع الفروع محاطة بدائرة في النهاية، يكتمل التحليل. يمكن الآن كتابة الرقم المركب كمنتج للأرقام الأولية.

التمارين$\PageIndex{19}$

العامل 48.

إجابة

نقول$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$ هو التحليل الأولي لـ 48. نكتب بشكل عام الأعداد الأولية بترتيب تصاعدي. تأكد من مضاعفة العوامل للتحقق من إجابتك!

إذا أخذنا في الاعتبار 48 لأول مرة بطريقة مختلفة، على سبيل المثال$6\cdot 8$، ستظل النتيجة كما هي. قم بإنهاء التحليل الأولي وتحقق من ذلك بنفسك.

التمارين$\PageIndex{20}$

أوجد التحليل الأولي للعدد ٨٠.

إجابة

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$

التمارين$\PageIndex{21}$

أوجد التحليل الأولي للعدد ٦٠.

إجابة

$2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$

أوجد التحليل الأولي لعدد مركب.

1. ابحث عن عاملين يكون منتجهما هو الرقم المعطى، واستخدم هذه الأرقام لإنشاء فرعين.
2. إذا كان العامل أساسيًا، يكون هذا الفرع مكتملاً. ضع دائرة حول البرايم، مثل برعم على الشجرة.
3. إذا لم يكن العامل أساسيًا، فاكتبه كمنتج لعاملين واستمر في العملية.
4. اكتب العدد المركب في صورة حاصل ضرب كل الأعداد الأولية المحاطة بدائرة.

التمارين$\PageIndex{22}$

أوجد التحليل الأولي لـ 252.

إجابة

الخطوة 1. ابحث عن عاملين يكون منتجهما 252. 12 و 21 ليسا أوليين. قسّم 12 و 21 إلى عاملين آخرين. استمر حتى يتم أخذ جميع الأعداد الأولية في الاعتبار.
الخطوة 2. اكتب 252 كناتج لكل الأعداد الأولية المحاطة بدائرة.	$252=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7$

التمارين$\PageIndex{23}$

أوجد التحليل الأولي للعدد ١٢٦.

إجابة

$2\cdot 3\cdot 3\cdot 7$

التمارين$\PageIndex{24}$

أوجد التحليل الأولي لـ 294.

إجابة

$2\cdot 3\cdot 7\cdot 7$

أحد الأسباب التي تجعلنا ننظر إلى المضاعفات والأعداد الأولية هو استخدام هذه التقنيات للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين. سيكون هذا مفيدًا عندما نجمع ونطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، حيث يتم استخدام طريقتين في أغلب الأحيان للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وسننظر في كليهما.

الطريقة الأولى هي طريقة سرد المضاعفات. للعثور على المضاعف المشترك الأصغر للعددين ١٢ و١٨، نسرد المضاعفات القليلة الأولى للعددين ١٢ و١٨:

الشكل$\PageIndex{8}$

لاحظ أن بعض الأرقام تظهر في كلتا القائمتين. إنها المضاعفات الشائعة لـ 12 و 18.

نرى أن المضاعفات القليلة الأولى المشتركة للعددين ١٢ و١٨ هي ٣٦ و٧٢ و١٠٨. نظرًا لأن العدد 36 هو أصغر المضاعفات الشائعة، فإننا نسميه المضاعف المشترك الأصغر. غالبًا ما نستخدم الاختصار LCM.

المضاعف المشترك الأقل

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لرقمين هو أصغر رقم هو مضاعف كلا الرقمين.

يسرد مربع الإجراءات الخطوات التي يجب اتخاذها للعثور على LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية التي استخدمناها أعلاه لـ 12 و 18.

ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر من خلال سرد المضاعفات.

1. ضع عدة مضاعفات لكل رقم.
2. ابحث عن أصغر رقم يظهر في كلتا القائمتين.
3. هذا الرقم هو LCM.

التمارين$\PageIndex{25}$

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين ١٥ و٢٠ من خلال سرد المضاعفات.

إجابة

ضع قوائم بالمضاعفات القليلة الأولى للعدد ١٥ وللعدد ٢٠، واستخدمها للعثور على المضاعف المشترك الأصغر.
ابحث عن أصغر رقم يظهر في كلتا القائمتين.	الرقم الأول الذي يظهر في كلتا القائمتين هو 60، وبالتالي 60 هو المضاعف المشترك الأقل لـ 15 و 20.

لاحظ أن الرقم 120 موجود في كلتا القائمتين أيضًا. إنه مضاعف شائع، ولكنه ليس المضاعف الأقل شيوعًا.

التمارين$\PageIndex{26}$

ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر بإدراج المضاعفات: 9 و12.

إجابة

$36$

التمارين$\PageIndex{27}$

ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر بإدراج المضاعفات: 18 و24.

إجابة

$72$

طريقتنا الثانية للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين هي استخدام طريقة العوامل الأولية. دعونا نجد LCM لـ 12 و 18 مرة أخرى، وهذه المرة باستخدام عواملهما الأساسية.

التمارين$\PageIndex{28}$

ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للعددين ١٢ و١٨ باستخدام طريقة العوامل الأولية.

إجابة

لاحظ أن العوامل الرئيسية$12(2\cdot 2\cdot 3)$ والعوامل الرئيسية$18(2\cdot 3\cdot 3)$ مدرجة في LCM$(2\cdot 2\cdot 3\cdot 3)$. لذا فإن 36 هو المضاعف الأقل شيوعًا لـ 12 و 18.

من خلال مطابقة الأعداد الأولية الشائعة، يتم استخدام كل عامل رئيسي مشترك مرة واحدة فقط. بهذه الطريقة تكون متأكدًا من أن 36 هو المضاعف الأقل شيوعًا.

التمارين$\PageIndex{29}$

ابحث عن LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية: 9 و 12.

إجابة

$36$

التمارين$\PageIndex{30}$

ابحث عن LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية: 18 و 24.

إجابة

$72$

ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة PRIME FACTORS.

1. اكتب كل رقم في صورة نتاج الأعداد الأولية.
2. ضع قائمة بالأعداد الأولية لكل رقم. قم بمطابقة الأعداد الأولية عموديًا عند الإمكان.
3. انزل الأعمدة.
4. اضرب العوامل.

التمارين$\PageIndex{31}$

ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للعدد ٢٤ و٣٦ باستخدام طريقة العوامل الأولية.

إجابة

أوجد الأعداد الأولية للأعداد ٢٤ و٣٦. قم بمطابقة الأعداد الأولية عموديًا عند الإمكان. قم بإسقاط جميع الأعمدة.
اضرب العوامل.
	LCM من 24 و 36 هو 72.

التمارين$\PageIndex{32}$

ابحث عن LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية: 21 و 28.

إجابة

$84$

التمارين$\PageIndex{33}$

ابحث عن LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية: 24 و 32.

إجابة

$96$

ملاحظة

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام الأرقام الصحيحة. ستحتاج إلى تمكين Java في متصفح الويب الخاص بك لاستخدام التطبيق.

• غربلة إيراتوستينس

المفاهيم الرئيسية

• ضع القيمة كما في الشكل.
• قم بتسمية عدد صحيح بالكلمات
  1. ابدأ من اليسار وقم بتسمية الرقم في كل فترة، متبوعًا باسم الفترة.
  2. ضع الفواصل في الرقم لفصل الفترات.
  3. لا تذكر اسم الفترة.
• اكتب عددًا صحيحًا باستخدام الأرقام
  1. حدد الكلمات التي تشير إلى الفترات. (تذكر أن الفترة لم تتم تسميتها مطلقًا.)
  2. ارسم 3 فراغات للإشارة إلى عدد الأماكن المطلوبة في كل فترة. افصل الفترات بفواصل.
  3. قم بتسمية الرقم في كل فترة ووضع الأرقام في موضع القيمة المكانية الصحيح.
• الأرقام الصحيحة المستديرة
  1. حدد القيمة المكانية المحددة وقم بتمييزها بسهم. لا تتغير جميع الأرقام الموجودة على يسار السهم.
  2. ضع خط تحت الرقم الموجود على يمين القيمة المكانية المحددة.
  3. هل هذا الرقم أكبر من أو يساوي 5؟
     • نعم - أضف 1 إلى الرقم في القيمة المكانية المحددة.
     • لا - لا تقم بتغيير الرقم في القيمة المكانية المحددة.
  4. استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين القيمة المكانية المحددة بالأصفار.
• اختبارات القسمة: الرقم قابل للقسمة على:
  • 2 إذا كان الرقم الأخير هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.
  • 3 إذا كان مجموع الأرقام قابلاً للقسمة على 3.
  • 5 إذا كان الرقم الأخير هو 5 أو 0.
  • 6 إذا كانت قابلة للقسمة على كل من 2 و 3.
  • 10 إذا انتهى بـ 0.
• أوجد التحليل الأولي لعدد مركب
  1. ابحث عن عاملين يكون منتجهما هو الرقم المعطى، واستخدم هذه الأرقام لإنشاء فرعين.
  2. إذا كان العامل أساسيًا، يكون هذا الفرع مكتملاً. ضع دائرة حول البرايم، مثل برعم على الشجرة.
  3. إذا لم يكن العامل أساسيًا، فاكتبه كمنتج لعاملين واستمر في العملية.
  4. اكتب العدد المركب في صورة حاصل ضرب كل الأعداد الأولية المحاطة بدائرة.
• ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر من خلال سرد المضاعفات
  1. ضع عدة مضاعفات لكل رقم.
  2. ابحث عن أصغر رقم يظهر في كلتا القائمتين.
  3. هذا الرقم هو LCM.
• ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة العوامل الأولية
  1. اكتب كل رقم في صورة نتاج الأعداد الأولية.
  2. ضع قائمة بالأعداد الأولية لكل رقم. قم بمطابقة الأعداد الأولية عموديًا عند الإمكان.
  3. انزل الأعمدة.
  4. اضرب العوامل.

مسرد المصطلحات

رقم مركب

الرقم المركب هو رقم عد ليس أوليًا. يحتوي الرقم المركب على عوامل أخرى غير 1 ونفسه.

عد الأرقام

أرقام العد هي الأرقام 1، 2، 3،...

قابل للقسمة على رقم

إذا كان الرقم$m$ مضاعفًا لـ$n$،$m$ فيمكن القسمة على$n$. (إذا كان 6 مضاعفًا لـ 3، فإن 6 قابل للقسمة على 3.)

العوامل

إذا$a\cdot b=m$، إذن$a$، وما$b$ هي عوامل$m$. نظرًا لأن 3$3 \cdot 4 = 12$ و 4 هما عاملان من عوامل 12.

المضاعف المشترك الأقل

المضاعف المشترك الأصغر لعددين هو أصغر رقم مضاعف لكلا الرقمين.

مضاعف عدد

الرقم هو مضاعف$n$ إذا كان نتاج رقم العد و$n$.

خط الأرقام

يتم استخدام خط الأرقام لتصور الأرقام. تصبح الأرقام على خط الأعداد أكبر كلما انتقلت من اليسار إلى اليمين، وتصبح أصغر كلما انتقلت من اليمين إلى اليسار.

أصل

الأصل هو النقطة المسماة 0 على خط الأرقام.

التحليل الأولي

إن التحليل الأولي للرقم هو حاصل ضرب الأعداد الأولية التي تساوي العدد.

رقم أولي

العدد الأولي هو رقم عد أكبر من 1، وعامله الوحيد هو 1 ونفسه.

أرقام صحيحة

الأرقام الكاملة هي الأرقام 0، 1، 2، 3،...