Skip to main content
Global

1.2: مقدمة عن الأعداد الصحيحة

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200588

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم
    • في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
    • استخدم القيمة المكانية مع الأرقام الصحيحة
    • تحديد المضاعفات وتطبيق اختبارات القسمة
    • ابحث عن العوامل الأولية والمضاعفات الشائعة الأقل

    عندما نبدأ دراستنا للجبر الأولي، نحتاج إلى تحديث بعض مهاراتنا ومفرداتنا. سوف يركز هذا الفصل على الأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة والكسور والأعداد العشرية والأعداد الحقيقية. سنبدأ أيضًا في استخدام الترميز الجبري والمفردات.

    استخدم القيمة المكانية مع الأرقام الصحيحة

    الأرقام الأساسية المستخدمة في الجبر هي الأرقام التي نستخدمها لحساب الأشياء في عالمنا:\(1, 2, 3, 4\)، وما إلى ذلك. تسمى هذه الأرقام بالعد s. تسمى أرقام العد أيضًا بالأرقام الطبيعية. إذا أضفنا صفرًا إلى أرقام العد، نحصل على مجموعة الأعداد الصحيحة s.

    • عد الأرقام:\(1, 2, 3, …\)
    • الأرقام الكاملة:\(0, 1, 2, 3, …\)

    يُطلق على الترميز «\(…\)» اسم الحذف ويعني «وهكذا»، أو أن النمط يستمر إلى ما لا نهاية.

    يمكننا تصور عد الأرقام والأرقام الكاملة على خط الأعداد (انظر الشكل\(\PageIndex{1}\)).

    يمتد خط الأعداد الأفقي الذي يحتوي على أسهم في كل طرف والقيم من صفر إلى ستة على طول الجزء السفلي من المخطط. يوجد خط أفقي ثانٍ بسهم موجه لليسار فوق الأول ويمتد من صفر إلى ثلاثة. هذا الخط يسمى «أصغر». يوجد خط أفقي ثالث بسهم موجه لليمين فوق الأولين، ولكنه يمتد من ثلاثة إلى ستة ويسمى «أكبر».
    الشكل\(\PageIndex{1}\): تصبح الأرقام على خط الأعداد أكبر كلما انتقلت من اليسار إلى اليمين، وتصبح أصغر كلما انتقلت من اليمين إلى اليسار. بينما يعرض خط الأرقام هذا الأرقام الكاملة فقط\(0\)\(6\)، تستمر الأرقام في العمل بدون نهاية.

    سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «خط الأرقام - الجزء 1" على تطوير فهم أفضل لأرقام العد والأرقام الصحيحة.

    يُطلق على نظام الأرقام الخاص بنا اسم نظام القيمة المكانية، لأن قيمة الرقم تعتمد على موضعه في الرقم. \(\PageIndex{2}\)يوضح الشكل قيم المكان. يتم تقسيم قيم المكان إلى مجموعات من ثلاثة، تسمى النقاط. الفترات هي الآحاد والآلاف والملايين والمليارات والتريليونات وما إلى ذلك. في رقم مكتوب، تفصل الفواصل بين الفترات.

    هذا الرقم عبارة عن جدول يوضح الرقم 5,278,194 ضمن نظام القيمة المكانية. يظهر الجدول بصف العنوان، المسمى «القيمة المكانية»، مقسمًا إلى صف العنوان الثاني المسمى «تريليونات» و «المليارات» و «الملايين» و «الآلاف» و «الآحاد». تحت عنوان «تريليونات» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، مكتوب عليها «مائة تريليونات» و «عشرة تريليونات» و «تريليونات». تحت عنوان «المليارات» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، كتب عليها «مئات المليارات» و «عشرة مليارات» و «المليارات». تحت عنوان «الملايين» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، كتب عليها «مائة مليون» و «عشرة ملايين» و «ملايين». تحت عنوان «الآلاف» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، كتب عليها «مئات الآلاف» و «عشرة آلاف» و «الآلاف». تحت عنوان «Ones» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، مكتوب عليها «المئات» و «العشرات» و «الآحاد». من اليسار إلى اليمين، أسفل الأعمدة المسماة «الملايين» و «مئات الآلاف» و «عشرة آلاف» و «الآلاف» و «الآلاف» و «المئات» و «العشرات» و «الآحاد»، توجد القيم التالية: 5، 2، 7، 8، 1، 9، 4. هذا يعني أن هناك 5 ملايين، ومائتي ألف، و7 عشرة آلاف، و8 آلاف، ومائة، و9 عشرات، و4 آحاد في العدد خمسة ملايين ومائتان وتسعة وسبعون ألفًا ومائة وأربعة وتسعون.
    الشكل\(\PageIndex{2}\):\(5278194\) يظهر الرقم في المخطط. الرقم\(5\) موجود في مكان الملايين. الرقم\(2\) موجود في مكان مئات الآلاف. الرقم\(7\) موجود في مكان العشرة آلاف. الرقم\(8\) موجود في مكان الآلاف. الرقم\(1\) موجود في المئات. الرقم\(9\) موجود في خانة العشرات. الرقم\(4\) موجود في مكان الشخص.
    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    في الرقم\(63407218\)، ابحث عن القيمة المكانية لكل رقم:

    1. \(7\)
    2. \(0\)
    3. \(1\)
    4. \(6\)
    5. \(3\)
    إجابة

    ضع الرقم في مخطط القيمة المكانية:

    هذا الرقم عبارة عن جدول يوضح الرقم 63,407,218 ضمن نظام القيمة المكانية. يظهر الجدول بصف العنوان، المسمى «القيمة المكانية»، مقسمًا إلى صف العنوان الثاني المسمى «تريليونات» و «المليارات» و «الملايين» و «الآلاف» و «الآحاد». تحت عنوان «تريليونات» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، مكتوب عليها «مائة تريليونات» و «عشرة تريليونات» و «تريليونات». تحت عنوان «المليارات» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، كتب عليها «مئات المليارات» و «عشرة مليارات» و «المليارات». تحت عنوان «الملايين» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، كتب عليها «مائة مليون» و «عشرة ملايين» و «ملايين». تحت عنوان «الآلاف» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، كتب عليها «مئات الآلاف» و «عشرة آلاف» و «الآلاف». تحت عنوان «Ones» توجد ثلاثة أعمدة مصنفة، مكتوبة من الأسفل إلى الأعلى، مكتوب عليها «المئات» و «العشرات» و «الآحاد». من اليسار إلى اليمين، أسفل الأعمدة المسماة «عشرة ملايين» و «الملايين» و «مئات الآلاف» و «عشرة آلاف» و «الآلاف» و «الآلاف» و «المئات» و «العشرات» و «الآحاد»، توجد القيم التالية: 6، 3، 4، 0، 7، 2، 1، 8. هذا يعني أن هناك 6 عشرة ملايين، 3 ملايين، 4 مئات الآلاف، 0 عشرة آلاف، 7 آلاف، 2 مئات، 1 عشرة، و 8 آحاد في العدد ثلاثة وستين مليون، وأربعمائة وسبعة آلاف، ومائتان وثمانية عشر.
    1. \(7\)هذا موجود في مكان الآلاف.
    2. \(0\)هذا موجود في مكان العشرة آلاف.
    3. \(1\)هذا هو في مكان العشرات.
    4. \(6\)هذا في مكان العشرة ملايين.
    5. \(3\)هذا موجود في مكان الملايين.
    التمارين\(\PageIndex{2}\)

    بالنسبة للرقم\(27493615\)، ابحث عن القيمة المكانية لكل رقم:

    1. 2
    2. 1
    3. 4
    4. 7
    5. 5
    إجابة
    1. عشرة ملايين
    2. عشرات
    3. مئات الآلاف
    4. ملايين
    5. منها
    التمارين\(\PageIndex{3}\)

    بالنسبة للرقم\(519711641328\)، ابحث عن القيمة المكانية لكل رقم:

    1. 9
    2. 4
    3. 2
    4. 6
    5. 7
    إجابة
    1. مليارات
    2. عشرة آلاف
    3. عشرات
    4. مئات الآلاف
    5. مئات الملايين

    عندما تكتب شيكًا، تكتب الرقم بالكلمات وكذلك بالأرقام. لكتابة رقم بالكلمات، اكتب الرقم في كل فترة، متبوعًا باسم الفترة، بدون s في النهاية. ابدأ من اليسار، حيث تكون للفترات أكبر قيمة. لم يتم تسمية فترة تلك. تفصل الفواصل بين النقاط، لذلك حيثما توجد فاصلة في الرقم، ضع فاصلة بين الكلمات (انظر الشكل\(\PageIndex{3}\)). الرقم\(74218369\) مكتوب بأربعة وسبعين مليونًا ومائتان وثمانية عشر ألفًا وثلاثمائة وتسعة وستون.

    في هذا الشكل، يتم سرد الأرقام 74 و 218 و 369 في صف واحد، مفصولة بفواصل. يحتوي كل رقم على قوس مجعد تحته مع كلمة «ملايين» مكتوبة أسفل الرقم 74، و «الآلاف» مكتوبة أسفل الرقم 218، و «الآحاد» مكتوبة أسفل الرقم 369. يشير السهم المتجه إلى اليسار إلى هذه الكلمات الثلاث، ويطلق عليها اسم «فترات». يوجد في الصف السفلي الرقم «74" وسهم موجه لليمين والكلمات «أربعة وسبعون مليونًا» متبوعًا بفاصلة. الصف التالي أدناه هو الرقم «218» والسهم المتجه لليمين والكلمات «مائتان وثمانية عشر ألفًا» متبوعة بفاصلة. في الصف السفلي يوجد الرقم «369" والسهم المواجه لليمين والكلمات «ثلاثمائة وتسعة وستون».
    الشكل\(\PageIndex{3}\)
    قم بتسمية رقم صحيح بالكلمات.
    1. ابدأ من اليسار وقم بتسمية الرقم في كل فترة، متبوعًا باسم الفترة.
    2. ضع الفواصل في الرقم لفصل الفترات.
    3. لا تذكر اسم الفترة.
    التمارين\(\PageIndex{4}\)

    قم بتسمية الرقم\(8165432098710\) باستخدام الكلمات.

    إجابة

    قم بتسمية الرقم في كل فترة، متبوعًا باسم الفترة.

    في هذا الشكل، يتم سرد الأرقام 8 و 165 و 432 و 098 و 710 في صف واحد، مفصولة بفواصل. يحتوي كل رقم على قوس أفقي أسفله كلمة «تريليونات» مكتوبة أسفل الرقم 8، و «المليارات» مكتوبة أسفل الرقم 165، و «الملايين» المكتوبة أسفل الرقم 432، و «الآلاف» المكتوبة أسفل الرقم 098، و «الآحاد» المكتوبة أسفل الرقم 710. في الصف السفلي يوجد الرقم 8، والسهم المواجه لليمين والكلمات «ثمانية تريليون» متبوعة بفاصلة. في الصف التالي أدناه يوجد الرقم 165 والسهم المواجه لليمين والكلمات «مائة وخمسة وستين مليارًا» متبوعًا بفاصلة. في الصف التالي أدناه يوجد الرقم 432، وهو سهم موجه لليمين والكلمات «أربعمائة واثنين وثلاثين مليونًا» متبوعًا بفاصلة. في الصف التالي أدناه يوجد الرقم «098"، وهو سهم موجه لليمين والكلمات «ثمانية وتسعون ألفًا» متبوعًا بفاصلة. في الصف السفلي يوجد الرقم 710 والسهم المواجه لليمين والكلمات «سبعمائة عشرة».

    ضع الفواصل لفصل الفترات.

    لذلك،\(8165432098710\) سميت بثمانية تريليونات، ومائة وخمسة وستين مليارًا، وأربعمائة واثنان وثلاثون مليونًا، وثمانية وتسعون ألفًا، وسبعمائة وعشرة.

    التمارين\(\PageIndex{5}\)

    قم بتسمية الرقم 9،258،137،904،0619،258،137،904،061 باستخدام الكلمات.

    إجابة

    تسعة تريليون، مائتان وثمانية وخمسون مليار، مائة وسبعة وثلاثون مليون، وتسعمائة وأربعة آلاف، وواحد وستون

    التمارين\(\PageIndex{6}\)

    قم بتسمية الرقم 17,864,325,619,00417,864,325,619,004 باستخدام الكلمات.

    إجابة

    سبعة عشر تريليون، ثمانمائة وأربعة وستون مليار، ثلاثمائة وخمسة وعشرون مليونًا، ستمائة وتسعة عشر ألفًا وأربعة

    سنقوم الآن بعكس العملية بكتابة الأرقام من اسم الرقم. لكتابة الرقم بالأرقام، نبحث أولاً عن الكلمات الدلالية التي تشير إلى الفترات. من المفيد رسم ثلاث فراغات للفترات المطلوبة ثم ملء الفراغات بالأرقام وفصل الفترات بفواصل.

    اكتب عددًا صحيحًا باستخدام الأرقام.
    1. حدد الكلمات التي تشير إلى الفترات. (تذكر أن الفترة لم يتم تسميتها أبدًا.)
    2. ارسم ثلاث فراغات للإشارة إلى عدد الأماكن المطلوبة في كل فترة. افصل الفترات بفواصل.
    3. قم بتسمية الرقم في كل فترة ووضع الأرقام في موضع القيمة المكانية الصحيح.
    التمارين\(\PageIndex{7}\)

    اكتب تسعة مليارات ومائتان وستة وأربعون مليونًا وثلاثة وسبعون ألفًا ومائة وتسعة وثمانون في صورة عدد صحيح باستخدام الأرقام.

    إجابة

    حدد الكلمات التي تشير إلى الفترات.
    باستثناء الفترة الأولى، يجب أن تحتوي جميع الفترات الأخرى على ثلاثة أماكن. ارسم ثلاث فراغات للإشارة إلى عدد الأماكن المطلوبة في كل فترة. افصل الفترات بفواصل.
    ثم اكتب الأرقام في كل فترة.

    تحتوي الصورة على سطرين من النص. كُتب في السطور العليا «تسعة مليارات»، متبوعة بفاصلة، و «مائتان وستة وأربعون مليونًا»، متبوعة أيضًا بفاصلة. تم تسطير الكلمتين «مليار» و «مليون» ولكل عبارة قوس مجعد تحتها. تقرأ الأسطر السفلية «ثلاثة وسبعون ألفًا»، تليها فاصلة، و «مائة وتسعة وثمانون». تم تسطير كلمة «ألف» وتحتوي كل عبارة على قوس مجعد تحتها.

    الرقم هو 9,246,073,189.
    التمارين\(\PageIndex{8}\)

    اكتب العدد مليارين، وأربعمائة وستة وستين مليونًا، وسبعمائة وأربعة عشر ألفًا، وواحد وخمسون عددًا صحيحًا باستخدام الأرقام.

    إجابة

    2,466 714,051

    التمارين\(\PageIndex{9}\)

    اكتب العدد أحد عشر مليارًا، وتسعمائة وواحد وعشرون مليونًا، وثمانمائة وثلاثون ألفًا، ومائة وستة في صورة عدد صحيح باستخدام الأرقام.

    إجابة

    11,921 1,830,106

    في عام 2013، قدر مكتب الإحصاء الأمريكي عدد سكان ولاية نيويورك بـ 19,651,127. يمكننا القول أن عدد سكان نيويورك كان حوالي 20 مليون نسمة. في كثير من الحالات، لا تحتاج إلى القيمة الدقيقة؛ الرقم التقريبي جيد بما فيه الكفاية.

    تسمى عملية تقريب الرقم بالتقريب. يتم تقريب الأرقام إلى قيمة مكانية محددة، اعتمادًا على مقدار الدقة المطلوبة. إن القول بأن عدد سكان نيويورك يبلغ حوالي 20 مليون نسمة يعني أننا اقتربنا إلى مكان الملايين.

    التمارين\(\PageIndex{10}\) How to Round Whole Numbers

    قرِّب ٢٣٦٥٨ لأقرب مائة.

    إجابة

    هذا الشكل عبارة عن جدول يحتوي على ثلاثة أعمدة وأربعة صفوف. العمود الأول هو عمود العنوان، ويحتوي على أسماء وأرقام كل خطوة. يحتوي العمود الثاني على مزيد من التعليمات المكتوبة. يحتوي العمود الثالث على الأرقام المقابلة للخطوات والتعليمات المكتوبة. في الصف العلوي، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 1. حدد القيمة المكانية المحددة بسهم. لا تتغير جميع الأرقام الموجودة على اليسار.» في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «حدد مكان المئات في 23658.» في الخلية الثالثة، يوجد الرقم 23658 مع سهم يشير إلى الرقم 6، ويطلق عليه «مكان المئات».في الصف السفلي، تقول التعليمات الموجودة في الخلية الأولى: «الخطوة 2. ضع خطًا تحت الرقم الموجود على يمين القيمة المكانية المحددة.» في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «ضع خطًا تحت الرقم 5، الموجود على يمين المئات». في الخلية الثالثة، يوجد الرقم 23658 مرة أخرى، وهو نفس السهم الذي يشير إلى الرقم 6، ويصفه بالمئات. تم تسطير الرقم 5 أيضًا في هذه الخلية.في الصف السفلي، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 3. هل هذا الرقم أكبر من أو يساوي 5؟ نعم - أضف 1 إلى الرقم في القيمة المكانية المحددة. لا - لا تقم بتغيير الرقم في القيمة المكانية المحددة.» في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «أضف 1 إلى 6 في خانة المئات، لأن 5 أكبر من أو يساوي 5.» تحتوي الخلية الثالثة على الرقم 23658 مرة أخرى، مع سهم يشير إلى الرقم 6 والنص «إضافة 1". يوجد أيضًا قوس مجعد أسفل الرقمين 5 و 8، مع سهم يشير إليهما والنص «استبدل بـ 0s».في الصف السفلي، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 4. استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين القيمة المكانية المحددة بالأصفار. لذلك، يتم تقريب 23,700 إلى أقرب مائة.» في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين المئات بالأصفار». تحتوي الخلية الثالثة على الرقم 23700، الذي وصلنا إليه عن طريق تقريب الرقم 23658 إلى أقرب مائة.

    التمارين\(\PageIndex{11}\)

    قرِّب لأقرب مائة: ١٧٨٥٢.

    إجابة

    17,900

    التمارين\(\PageIndex{12}\)

    قرِّب لأقرب مائة: ٤٦٨٧٥١.

    إجابة

    468 800

    تقريب الأرقام الصحيحة.
    1. حدد القيمة المكانية المحددة وقم بتمييزها بسهم. لا تتغير جميع الأرقام الموجودة على يسار السهم.
    2. ضع خط تحت الرقم الموجود على يمين القيمة المكانية المحددة.
    3. هل هذا الرقم أكبر من أو يساوي 5؟
      • نعم - أضف 11 إلى الرقم في القيمة المكانية المحددة.
      • لا - لا تقم بتغيير الرقم في القيمة المكانية المحددة.
    4. استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين القيمة المكانية المحددة بالأصفار.
    التمارين\(\PageIndex{13}\)

    قرِّب 103,978103,978 إلى الأقرب:

    1. مائة
    2. ألف
    3. عشرة آلاف
    إجابة
    1.
    حدد موقع المئات في 103,978. .
    ضع خطًا تحت الرقم الموجود على يمين المئات. .
    بما أن 7 أكبر من أو يساوي 5، أضف 1 إلى 9. استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين خانة المئات بالأصفار. .
      إذن، ١٠٤٠٠٠ يساوي ١٠٣٩٧٨ مقربًا لأقرب مائة.
    2.
    حدد مكان الآلاف وقم بوضع خط تحت الرقم الموجود على يمين مكان الآلاف. .
    بما أن 9 أكبر من أو يساوي 5، أضف 1 إلى 3. استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين خانة المئات بالأصفار. .
      إذن، ١٠٤٠٠٠ يساوي ١٠٣٩٧٨ مقربًا لأقرب ألف.
    3.
    حدد موقع العشرة آلاف وقم بوضع خط تحت الرقم الموجود على يمين خانة العشرة آلاف. .
    نظرًا لأن 3 أقل من 5، نترك 0 كما هو، ثم نستبدل الأرقام الموجودة على اليمين بالأصفار. .
      إذن، ١٠٠٠٠٠ يساوي ١٠٣٩٧٨ مقربًا لأقرب عشرة آلاف.
    التمارين\(\PageIndex{14}\)

    قرِّب 206,981 إلى الأقرب: 1. مائة و2 ألف و3 آلاف.

    إجابة
    1. 207,000
    2. 207,000
    3. 210,000
    التمارين\(\PageIndex{15}\)

    قرِّب 784,951 إلى الأقرب: 1. مائة و2 ألف و3 آلاف.

    إجابة
    1. 785,000
    2. 785,000
    3. 780,000

    تحديد المضاعفات وتطبيق اختبارات القسمة

    تسمى الأرقام 2، 4، 6، 8، 10، 12 مضاعفات 2. يمكن كتابة مضاعف 2 كمنتج لرقم العد و 2.

    رسم تخطيطي يتكون من صفين من الأرقام. يقرأ الصف العلوي «2، 4، 6، 8، 10، 12"، متبوعًا بنوبة. أقل من 2 هو 2 في 1، أقل من 4 هو 2 مرات 2، أقل من 6 هو 2 مرات 3، أقل من 8 هو 2 في 4، أقل من 10 هو 2 في 5، وأقل من 12 هو 2 في 6.
    الشكل\(\PageIndex{4}\)

    وبالمثل، فإن مضاعف 3 سيكون نتاج رقم العد و3.

    رسم تخطيطي يتكون من صفين من الأرقام. يقرأ الصف العلوي «3، 6، 9، 12، 15، 18"، متبوعًا بنوبة. أقل من 3 هو 3 مرات 1، أقل من 6 هو 3 مرات 2، أقل من 9 هو 3 مرات 3، أقل من 12 هو 3 مرات 4، أقل من 15 هو 3 مرات 5، وأقل من 18 هو 3 مرات 6.
    الشكل\(\PageIndex{5}\)

    يمكننا العثور على مضاعفات أي رقم من خلال متابعة هذه العملية.

    ملاحظة

    سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «المضاعفات» على تطوير فهم أفضل للمضاعفات.

    \(\PageIndex{1}\)يوضِّح الجدول مضاعفات الأعداد من 2 إلى 9 لأول 12 رقمًا من الأعداد المُعدَّة.

    رقم العد 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    مضاعفات 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
    مضاعفات 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
    مضاعفات 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
    مضاعفات 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
    مضاعفات 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
    مضاعفات 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
    مضاعفات 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
    مضاعفات 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
    مضاعفات 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
    طاولة\(\PageIndex{1}\)
    مضاعف عدد

    الرقم هو مضاعف\(n\) إذا كان نتاج رقم العد و\(n\).

    هناك طريقة أخرى للقول بأن 15 هو مضاعف 3 وهي القول بأن 15 قابل للقسمة على 3. هذا يعني أنه عندما نقسم 3 إلى 15، نحصل على رقم العد. في الواقع،\(15\div 3\) هو 5، لذلك 15 هو\(5\cdot3\).

    قابل للقسمة على رقم

    إذا كان الرقم\(m\) مضاعفًا لـ\(n\)،\(m\) فيمكن القسمة على\(n\)

    انظر إلى مضاعفات\(5\) الجدول\(\PageIndex{1}\). تنتهي جميعها في 5 أو 0. الأرقام ذات الرقم الأخير 5 أو 0 قابلة للقسمة على 5. عند البحث عن أنماط أخرى في الجدول\(\PageIndex{1}\) تعرض مضاعفات الأرقام من 2 إلى 9، يمكننا اكتشاف اختبارات القسمة التالية:

    اختبارات القسمة

    الرقم قابل للقسمة على:

    • 2 إذا كان الرقم الأخير هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.
    • 3 إذا كان مجموع الأرقام قابلاً للقسمة على 3.
    • 5 إذا كان الرقم الأخير هو 5 أو 0.
    • 6 إذا كانت قابلة للقسمة على كل من 2 و 3.
    • 10 إذا انتهى بـ 0.
    التمارين\(\PageIndex{16}\)

    هل 5625 قابل للقسمة على 2؟ بحلول الساعة 3؟ بحلول الخامسة؟ بحلول الساعة 6؟ بحلول العاشرة؟

    إجابة

    \[\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 2?}} &{} \\ {\text{Does it end in 0, 2, 4, 6, or 8?}} &{\text{No.}} \\ {} &{\text{5625 is not divisible by 2.}} \end{array}\]

    \[\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 3?}} &{} \\ {\text{What is the sum of the digits?}} &{5 + 6 + 2 + 5 = 18} \\ {\text{Is the sum divisible by 3?}} &{\text{Yes, 5625 is divisible by 3.}} \end{array}\]

    \[\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 5 or 10?}} &{} \\ {\text{What is the last digit? It is 5.}} &{\text{5625 is divisible by 5 but not by 10.}} \end{array}\]

    \[\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 6?}} &{} \\ {\text{Is it divisible by both 2 and 3?}} &{\text{No, 5625 is not divisible by 2, so 5625 is }} \\ {} &{\text{not divisible by 6.}}\end{array}\]

    التمارين\(\PageIndex{17}\)

    حدِّد هل يمكن قسمة ٤٩٦٢ على ٢، وعلى ٣، و٥، و٦، و١٠.

    إجابة

    بنسبة 2 و 3 و 6

    التمارين\(\PageIndex{18}\)

    حدِّد ما إذا كان ٣٧٦٥ قابلاً للقسمة على ٢، وعلى ٣، وعلى ٥، وعلى ٦، وعلى ١٠.

    إجابة

    بنسبة 3 و 5

    ابحث عن العوامل الأولية والمضاعفات الشائعة الأقل

    في الرياضيات، غالبًا ما تكون هناك عدة طرق للتحدث عن نفس الأفكار. حتى الآن، رأينا أنه إذا كان\(m\) مضاعفًا لـ\(n\)، يمكننا القول\(m\) أنه يمكن القسمة عليه\(n\). على سبيل المثال، بما أن 72 هو مضاعف 8، نقول أن 72 قابل للقسمة على 8. نظرًا لأن 72 هو مضاعف 9، نقول أن 72 قابل للقسمة على 9. يمكننا التعبير عن هذا بطريقة أخرى.

    نظرًا\(8\cdot 9=72\) لأننا نقول أن 8 و 9 هما عاملان من عوامل 72. عندما نكتب\(72=8\cdot 9\)، نقول أننا أخذنا في الاعتبار 72.

    صورة توضِّح المعادلة ٨ في ٩ تساوي ٧٢. مكتوب أسفل التعبير 8 في 9 عبارة عن قوس مجعد وكلمة «عوامل» أثناء كتابتها أدناه 72 عبارة عن قوس أفقي وكلمة «منتج».
    الشكل\(\PageIndex{6}\)

    الطرق الأخرى لعامل 72 هي\(1\cdot 72\)،\(2\cdot 36\)،\(3\cdot 24\)،\(4\cdot 18\) و\(6\cdot 12\). يحتوي اثنان وسبعون على العديد من العوامل: 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 8 و 9 و 12 و 18 و 36 و 72.

    عوامل

    إذا\(a\cdot b=m\)، إذن\(a\)، وما\(b\) هي عوامل\(m\).

    بعض الأرقام، مثل 72، لها العديد من العوامل. الأرقام الأخرى لها عاملان فقط.

    ملاحظة

    سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «الضرب النموذجي والعوملة» على تطوير فهم أفضل للضرب والعوملة.

    الرقم الأولي والرقم المركب

    العدد الأولي هو رقم عد أكبر من 1، وعامله الوحيد هو 1 ونفسه.

    الرقم المركب هو رقم عد ليس أوليًا. يحتوي الرقم المركب على عوامل أخرى غير 1 ونفسه.

    ملاحظة

    سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «الأرقام الأولية» على تطوير فهم أفضل للأعداد الأولية.

    يتم سرد أرقام العد من 2 إلى 19 في الشكل\(\PageIndex{7}\)، مع عواملها. تأكد من الموافقة على التسمية «الأولية» أو «المركبة» لكل منها!

    يظهر جدول يحتوي على أحد عشر صفًا وسبعة أعمدة. الصف الأول عبارة عن صف العنوان، وتقوم كل خلية بتسمية محتويات العمود الموجود أسفله. في صف العنوان، تقرأ الخلايا الثلاث الأولى من اليسار إلى اليمين «الرقم» و «العوامل» و «الأولية أم المركبة؟» العمود الرابع بأكمله فارغ. تقرأ الخلايا الثلاث الأخيرة من اليسار إلى اليمين «الرقم» و «العامل» و «Prime أو المركب؟» مرة أخرى. في كل صف لاحق، تحتوي الخلية الأولى على رقم، والثانية تحتوي على عواملها، وتشير الثالثة إلى ما إذا كان الرقم أوليًا أم مركبًا. تحتوي الأعمدة الثلاثة الموجودة على يسار العمود الأوسط الفارغ على هذه المعلومات للرقم 2 إلى 10، وتحتوي الأعمدة الثلاثة الموجودة على يمين العمود الأوسط الفارغ على هذه المعلومات للرقم 11 إلى 19. على الجانب الأيسر من العمود الفارغ، في الصف الأول أسفل صف العنوان، تُقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «2" و «1,2" و «Prime». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «3" و «1,3" و «Prime». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «4" و «1،2،4" و «المركب». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «5" و «1،5" و «Prime». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «6" و «1،2،3،6" و «المركب». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «7" و «1,7" و «Prime». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «8" و «1،2،4،8" و «المركب». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «9" و «1،3،9" و «المركب». في الصف السفلي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «10" و «1،2،5،10" و «المركب». على الجانب الأيمن من العمود الفارغ، في الصف الأول أسفل صف العنوان، تُقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «11" و «1,11" و «Prime». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «12" و «1،2،3،4،6،12" و «المركب». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «13" و «1،13" و «Prime». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين «14" و «1،2،7،14" و «المركب». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «15" و «1،3،5،15" و «المركب». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «16" و «1،2،4،8،16" و «المركب». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين و «17" و «1,17" و «Prime». في الصف التالي، تقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين، «18"، «1،2،3،6،9،18"، و «المركب». في الصف السفلي، تُقرأ الخلايا من اليسار إلى اليمين: «19" و «1,19" و «Prime».
    الشكل\(\PageIndex{7}\)

    العدد الأولي الأقل من 20 هو 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19. لاحظ أن الرقم الأولي الزوجي الوحيد هو 2.

    يمكن كتابة رقم مركب كمنتج فريد من الأعداد الأولية. وهذا ما يسمى التحليل الأولي للرقم. سيكون العثور على التحليل الأولي لعدد مركب مفيدًا لاحقًا في هذه الدورة.

    التحليل الأولي

    إن التحليل الأولي للرقم هو حاصل ضرب الأعداد الأولية التي تساوي العدد.

    للعثور على التحليل الأولي لعدد مركب، ابحث عن أي عاملين للعدد واستخدمهما لإنشاء فرعين. إذا كان العامل أساسيًا، يكون هذا الفرع مكتملاً. ضع دائرة حول هذا برايم!

    إذا لم يكن العامل أوليًا، فابحث عن عاملين للعدد وتابع العملية. بمجرد أن تكون جميع الفروع محاطة بدائرة في النهاية، يكتمل التحليل. يمكن الآن كتابة الرقم المركب كمنتج للأرقام الأولية.

    التمارين\(\PageIndex{19}\)

    العامل 48.

    إجابة

    هذا الشكل عبارة عن جدول يحتوي على ثلاثة أعمدة وأربعة صفوف. العمود الأول هو عمود العنوان، ويحتوي على أسماء وأرقام كل خطوة. يحتوي العمود الثاني على مزيد من التعليمات المكتوبة وبعض الرياضيات. يحتوي العمود الثالث على معظم الأعمال الرياضية المقابلة للخطوات والتعليمات المكتوبة. في الصف العلوي، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 1. ابحث عن عاملين يكون منتجهما هو الرقم المعطى. استخدم هذه الأرقام لإنشاء فرعين.» تحتوي الخلية الثانية على المعادلة الجبرية 48 تساوي 2 في 24. في الخلية الثالثة، توجد شجرة عوامل تحتوي على 48 في الأعلى. ينحدر فرعان من 48 وينتهيان عند 2 و 24 على التوالي.في الصف السفلي، تقول التعليمات الموجودة في الخلية الأولى: «الخطوة 2. إذا كان العامل أساسيًا، يكون هذا الفرع مكتملاً. ضع دائرة حول البرايم». في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «2 أساسي. ضع دائرة حول البرايم». في الخلية الثالثة، تتكرر شجرة العوامل من الخطوة 1، ولكن 2 في الجزء السفلي من الشجرة محاطة بدائرة الآن.في الصف السفلي، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 3. إذا لم يكن العامل أساسيًا، فاكتبه كمنتج لعاملين واستمر في العملية». في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «24 ليس أوليًا. قسّمها إلى عاملين آخرين». تحتوي الخلية الثالثة على شجرة العوامل الأصلية، حيث يوجد 48 في الأعلى وفرعين يشيران لأسفل ينتهيان بالرقم 2، الذي تم تسطيره، و24. وينحدر فرعان آخران من 24 وينتهيان عند 4 و 6 على التوالي. في سطر واحد، تقول التعليمات الموجودة في منتصف الخلية «4 و 6 ليسا أوليين. قسّم كل منها إلى عاملين». في الخلية على اليمين، تتكرر شجرة العوامل مرة أخرى. ينحدر فرعان من 4 وينتهيان عند 2 و 2. كل من 2 ثانية محاطة بدائرة. وينحدر فرعان آخران من ٦ وينتهيان عند ٢ و٣، وكلتاهما محاطة بدائرة. تقول التعليمات الموجودة على اليسار «2 و3 أساسيان، لذا ضع دائرة بينهما».في الصف السفلي، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 4. اكتب العدد المركب في صورة حاصل ضرب كل الأعداد الأولية المحاطة بدائرة.» يتم ترك الخلية الثانية فارغة. تحتوي الخلية الثالثة على المعادلة الجبرية 48 تساوي 2 في 2 في 2 في 2 في 2 في 3.

    نقول\(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\) هو التحليل الأولي لـ 48. نكتب بشكل عام الأعداد الأولية بترتيب تصاعدي. تأكد من مضاعفة العوامل للتحقق من إجابتك!

    إذا أخذنا في الاعتبار 48 لأول مرة بطريقة مختلفة، على سبيل المثال\(6\cdot 8\)، ستظل النتيجة كما هي. قم بإنهاء التحليل الأولي وتحقق من ذلك بنفسك.

    التمارين\(\PageIndex{20}\)

    أوجد التحليل الأولي للعدد ٨٠.

    إجابة

    \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\)

    التمارين\(\PageIndex{21}\)

    أوجد التحليل الأولي للعدد ٦٠.

    إجابة

    \(2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\)

    أوجد التحليل الأولي لعدد مركب.
    1. ابحث عن عاملين يكون منتجهما هو الرقم المعطى، واستخدم هذه الأرقام لإنشاء فرعين.
    2. إذا كان العامل أساسيًا، يكون هذا الفرع مكتملاً. ضع دائرة حول البرايم، مثل برعم على الشجرة.
    3. إذا لم يكن العامل أساسيًا، فاكتبه كمنتج لعاملين واستمر في العملية.
    4. اكتب العدد المركب في صورة حاصل ضرب كل الأعداد الأولية المحاطة بدائرة.
    التمارين\(\PageIndex{22}\)

    أوجد التحليل الأولي لـ 252.

    إجابة
    الخطوة 1. ابحث عن عاملين يكون منتجهما 252. 12 و 21 ليسا أوليين.

    قسّم 12 و 21 إلى عاملين آخرين. استمر حتى يتم أخذ جميع الأعداد الأولية في الاعتبار.    		 .
    الخطوة 2. اكتب 252 كناتج لكل الأعداد الأولية المحاطة بدائرة.

    \(252=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7\)
    التمارين\(\PageIndex{23}\)

    أوجد التحليل الأولي للعدد ١٢٦.

    إجابة

    \(2\cdot 3\cdot 3\cdot 7\)

    التمارين\(\PageIndex{24}\)

    أوجد التحليل الأولي لـ 294.

    إجابة

    \(2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\)

    أحد الأسباب التي تجعلنا ننظر إلى المضاعفات والأعداد الأولية هو استخدام هذه التقنيات للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين. سيكون هذا مفيدًا عندما نجمع ونطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، حيث يتم استخدام طريقتين في أغلب الأحيان للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وسننظر في كليهما.

    الطريقة الأولى هي طريقة سرد المضاعفات. للعثور على المضاعف المشترك الأصغر للعددين ١٢ و١٨، نسرد المضاعفات القليلة الأولى للعددين ١٢ و١٨:

    يتم عرض صفين من الأرقام. يبدأ الصف الأول بالرقم 12، متبوعًا بنقطتين، ثم 12، و24، و36، و48، و60، و72، و84، و96، و108، والنقطة الحمراء مكتوبة بخط عريض. يبدأ الصف الثاني بالرقم 18، متبوعًا بنقطتين، ثم 18، 36، 54، 72، 90، 108، ثم الخفقان. مرة أخرى، تمت كتابة الأرقام 36 و72 و108 بالخط العريض باللون الأحمر. في السطر التالي توجد عبارة «المضاعفات الشائعة» والنقطتين والأرقام 36 و72 و108 مكتوبة باللون الأحمر. يوجد سطر واحد أدناه عبارة «المضاعف المشترك الأقل» والنقطتين والرقم 36 مكتوبًا باللون الأزرق.
    الشكل\(\PageIndex{8}\)

    لاحظ أن بعض الأرقام تظهر في كلتا القائمتين. إنها المضاعفات الشائعة لـ 12 و 18.

    نرى أن المضاعفات القليلة الأولى المشتركة للعددين ١٢ و١٨ هي ٣٦ و٧٢ و١٠٨. نظرًا لأن العدد 36 هو أصغر المضاعفات الشائعة، فإننا نسميه المضاعف المشترك الأصغر. غالبًا ما نستخدم الاختصار LCM.

    المضاعف المشترك الأقل

    المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لرقمين هو أصغر رقم هو مضاعف كلا الرقمين.

    يسرد مربع الإجراءات الخطوات التي يجب اتخاذها للعثور على LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية التي استخدمناها أعلاه لـ 12 و 18.

    ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر من خلال سرد المضاعفات.
    1. ضع عدة مضاعفات لكل رقم.
    2. ابحث عن أصغر رقم يظهر في كلتا القائمتين.
    3. هذا الرقم هو LCM.
    التمارين\(\PageIndex{25}\)

    أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين ١٥ و٢٠ من خلال سرد المضاعفات.

    إجابة
    ضع قوائم بالمضاعفات القليلة الأولى للعدد ١٥ وللعدد ٢٠، واستخدمها للعثور على المضاعف المشترك الأصغر. .
    ابحث عن أصغر رقم يظهر في كلتا القائمتين. الرقم الأول الذي يظهر في كلتا القائمتين هو 60، وبالتالي 60 هو المضاعف المشترك الأقل لـ 15 و 20.

    لاحظ أن الرقم 120 موجود في كلتا القائمتين أيضًا. إنه مضاعف شائع، ولكنه ليس المضاعف الأقل شيوعًا.

    التمارين\(\PageIndex{26}\)

    ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر بإدراج المضاعفات: 9 و12.

    إجابة

    \(36\)

    التمارين\(\PageIndex{27}\)

    ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر بإدراج المضاعفات: 18 و24.

    إجابة

    \(72\)

    طريقتنا الثانية للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين هي استخدام طريقة العوامل الأولية. دعونا نجد LCM لـ 12 و 18 مرة أخرى، وهذه المرة باستخدام عواملهما الأساسية.

    التمارين\(\PageIndex{28}\)

    ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للعددين ١٢ و١٨ باستخدام طريقة العوامل الأولية.

    إجابة

    هذا الشكل عبارة عن جدول يحتوي على ثلاثة أعمدة وأربعة صفوف. العمود الأول هو عمود العنوان، ويحتوي على أسماء وأرقام كل خطوة. يحتوي العمود الثاني على مزيد من التعليمات المكتوبة وبعض الرياضيات. يحتوي العمود الثالث على معظم الأعمال الرياضية المقابلة للخطوات والتعليمات المكتوبة. في الصف العلوي، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 1. اكتب كل رقم كمنتج للأعداد الأولية.» يتم ترك الخلية الثانية فارغة. في الخلية الثالثة، هناك شجرتان عاملان. في شجرة العامل الأول، ينحدر فرعان من 18 وينتهي عند 3 و 6 على التوالي. الرقم 3 أساسي وبالتالي فهو محاط بدائرة. وينحدر فرعان آخران من الرقم 6 وينتهيان بالفرعين 2 و3، وكلاهما محاط بدائرة. في شجرة العوامل الثانية، ينحدر فرعان من 12 وينتهيان عند 3 و 4. الرقم 3 محاط بدائرة. وينحدر فرعان آخران من الرقم 4 وينتهيان عند 2 و2، وكلاهما محاط بدائرة.في الصف السفلي، تقول التعليمات الموجودة في الخلية الأولى: «الخطوة 2. ضع قائمة بالأعداد الأولية لكل رقم. قم بمطابقة الأعداد الأولية عموديًا عندما يكون ذلك ممكنًا.» في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «ضع قائمة بالأعداد الأولية لـ 12. ضع قائمة بالأعداد الأولى من ١٨. اصطف مع الأعداد الأولية لـ 12 عندما يكون ذلك ممكنًا. إذا لم يكن الأمر كذلك، قم بإنشاء عمود جديد.» تحتوي الخلية الثالثة على التحليل الأولي للعدد 12 المكتوب على أن المعادلة 12 تساوي 2 في 2 في 3. أسفل هذه المعادلة توجد معادلة أخرى توضِّح التحليل الأولي للعدد ١٨ مكتوبًا؛ حيث إن المعادلة ١٨ تساوي ٢ في ٣ في ٣. تصطف المعادلتين عموديًا عند رمز التساوي. يتوافق أول 2 في التحليل الأولي لـ 12 مع 2 في التحليل الأولي لـ 18. تحت الثاني 2 في التحليل الأولي لـ 12 توجد فجوة في التحليل الأولي لـ 18. تحت 3 في التحليل الأولي لـ 12 هو أول 3 في التحليل الأولي لـ 18. لا تحتوي العناصر الثلاثة الثانية في التحليل الأولي على أي عوامل تفوقها عن التحليل الأولي لـ 12.في الصف السفلي، تقول التعليمات الموجودة في الخلية الأولى: «انزل الرقم من كل عمود». الخلية الثانية فارغة. تحتوي الخلية الثالثة على العوامل الأولية لـ 12 و 18 مرة أخرى، موضحة في صورة معادلتين تمت محاويتهما تمامًا كما كانت من قبل. هذه المرة، يتم رسم خط أفقي تحت التحليل الأولي لـ 18. أسفل هذا الخط توجد المعادلة LCM التي تساوي 2 في 2 في 3 في 3 في 3. يتم سحب الأسهم عموديًا من التحليل الأولي لـ 12 من خلال التحليل الأولي لـ 18 الذي ينتهي بمعادلة LCM. يبدأ السهم الأول عند أول 2 في التحليل الأولي لـ 12 ويستمر هبوطًا حتى 2 في التحليل الأولي لـ 18، وينتهي بأول 2 في LCM. يبدأ السهم الثاني عند 2 التاليين في التحليل الأولي لـ 12 ويستمر هبوطًا عبر الفجوة في التحليل الأولي لـ 18، وينتهي بالثاني 2 في LCM. يبدأ السهم الثالث عند 3 في التحليل الأولي لـ 12 ويستمر نزولًا حتى أول 3 في التحليل الأولي لـ 18، وينتهي بأول 3 في LCM. يبدأ السهم الأخير عند الثاني 3 في التحليل الأولي لـ 18 ويشير لأسفل إلى الثاني 3 في LCM.في الصف السفلي من الجدول، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 4: اضرب العوامل». الخلية الثانية هي البنك. تحتوي الخلية الثالثة على المعادلة LCM تساوي 36.

    لاحظ أن العوامل الرئيسية\(12(2\cdot 2\cdot 3)\) والعوامل الرئيسية\(18(2\cdot 3\cdot 3)\) مدرجة في LCM\((2\cdot 2\cdot 3\cdot 3)\). لذا فإن 36 هو المضاعف الأقل شيوعًا لـ 12 و 18.

    من خلال مطابقة الأعداد الأولية الشائعة، يتم استخدام كل عامل رئيسي مشترك مرة واحدة فقط. بهذه الطريقة تكون متأكدًا من أن 36 هو المضاعف الأقل شيوعًا.

    التمارين\(\PageIndex{29}\)

    ابحث عن LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية: 9 و 12.

    إجابة

    \(36\)

    التمارين\(\PageIndex{30}\)

    ابحث عن LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية: 18 و 24.

    إجابة

    \(72\)

    ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة PRIME FACTORS.
    1. اكتب كل رقم في صورة نتاج الأعداد الأولية.
    2. ضع قائمة بالأعداد الأولية لكل رقم. قم بمطابقة الأعداد الأولية عموديًا عند الإمكان.
    3. انزل الأعمدة.
    4. اضرب العوامل.
    التمارين\(\PageIndex{31}\)

    ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للعدد ٢٤ و٣٦ باستخدام طريقة العوامل الأولية.

    إجابة
    أوجد الأعداد الأولية للأعداد ٢٤ و٣٦.
    قم بمطابقة الأعداد الأولية عموديًا عند الإمكان.

    قم بإسقاط جميع الأعمدة.    		 .
    اضرب العوامل. .
     

    LCM من 24 و 36 هو 72.
    التمارين\(\PageIndex{32}\)

    ابحث عن LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية: 21 و 28.

    إجابة

    \(84\)

    التمارين\(\PageIndex{33}\)

    ابحث عن LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية: 24 و 32.

    إجابة

    \(96\)

    ملاحظة

    قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام الأرقام الصحيحة. ستحتاج إلى تمكين Java في متصفح الويب الخاص بك لاستخدام التطبيق.

    المفاهيم الرئيسية

    • ضع القيمة كما في الشكل.
    • قم بتسمية عدد صحيح بالكلمات
      1. ابدأ من اليسار وقم بتسمية الرقم في كل فترة، متبوعًا باسم الفترة.
      2. ضع الفواصل في الرقم لفصل الفترات.
      3. لا تذكر اسم الفترة.
    • اكتب عددًا صحيحًا باستخدام الأرقام
      1. حدد الكلمات التي تشير إلى الفترات. (تذكر أن الفترة لم تتم تسميتها مطلقًا.)
      2. ارسم 3 فراغات للإشارة إلى عدد الأماكن المطلوبة في كل فترة. افصل الفترات بفواصل.
      3. قم بتسمية الرقم في كل فترة ووضع الأرقام في موضع القيمة المكانية الصحيح.
    • الأرقام الصحيحة المستديرة
      1. حدد القيمة المكانية المحددة وقم بتمييزها بسهم. لا تتغير جميع الأرقام الموجودة على يسار السهم.
      2. ضع خط تحت الرقم الموجود على يمين القيمة المكانية المحددة.
      3. هل هذا الرقم أكبر من أو يساوي 5؟
        • نعم - أضف 1 إلى الرقم في القيمة المكانية المحددة.
        • لا - لا تقم بتغيير الرقم في القيمة المكانية المحددة.
      4. استبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين القيمة المكانية المحددة بالأصفار.
    • اختبارات القسمة: الرقم قابل للقسمة على:
      • 2 إذا كان الرقم الأخير هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.
      • 3 إذا كان مجموع الأرقام قابلاً للقسمة على 3.
      • 5 إذا كان الرقم الأخير هو 5 أو 0.
      • 6 إذا كانت قابلة للقسمة على كل من 2 و 3.
      • 10 إذا انتهى بـ 0.
    • أوجد التحليل الأولي لعدد مركب
      1. ابحث عن عاملين يكون منتجهما هو الرقم المعطى، واستخدم هذه الأرقام لإنشاء فرعين.
      2. إذا كان العامل أساسيًا، يكون هذا الفرع مكتملاً. ضع دائرة حول البرايم، مثل برعم على الشجرة.
      3. إذا لم يكن العامل أساسيًا، فاكتبه كمنتج لعاملين واستمر في العملية.
      4. اكتب العدد المركب في صورة حاصل ضرب كل الأعداد الأولية المحاطة بدائرة.
    • ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر من خلال سرد المضاعفات
      1. ضع عدة مضاعفات لكل رقم.
      2. ابحث عن أصغر رقم يظهر في كلتا القائمتين.
      3. هذا الرقم هو LCM.
    • ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة العوامل الأولية
      1. اكتب كل رقم في صورة نتاج الأعداد الأولية.
      2. ضع قائمة بالأعداد الأولية لكل رقم. قم بمطابقة الأعداد الأولية عموديًا عند الإمكان.
      3. انزل الأعمدة.
      4. اضرب العوامل.

    مسرد المصطلحات

    رقم مركب
    الرقم المركب هو رقم عد ليس أوليًا. يحتوي الرقم المركب على عوامل أخرى غير 1 ونفسه.
    عد الأرقام
    أرقام العد هي الأرقام 1، 2، 3،...
    قابل للقسمة على رقم
    إذا كان الرقم\(m\) مضاعفًا لـ\(n\)،\(m\) فيمكن القسمة على\(n\). (إذا كان 6 مضاعفًا لـ 3، فإن 6 قابل للقسمة على 3.)
    العوامل
    إذا\(a\cdot b=m\)، إذن\(a\)، وما\(b\) هي عوامل\(m\). نظرًا لأن 3\(3 \cdot 4 = 12\) و 4 هما عاملان من عوامل 12.
    المضاعف المشترك الأقل
    المضاعف المشترك الأصغر لعددين هو أصغر رقم مضاعف لكلا الرقمين.
    مضاعف عدد
    الرقم هو مضاعف\(n\) إذا كان نتاج رقم العد و\(n\).
    خط الأرقام
    يتم استخدام خط الأرقام لتصور الأرقام. تصبح الأرقام على خط الأعداد أكبر كلما انتقلت من اليسار إلى اليمين، وتصبح أصغر كلما انتقلت من اليمين إلى اليسار.
    أصل
    الأصل هو النقطة المسماة 0 على خط الأرقام.
    التحليل الأولي
    إن التحليل الأولي للرقم هو حاصل ضرب الأعداد الأولية التي تساوي العدد.
    رقم أولي
    العدد الأولي هو رقم عد أكبر من 1، وعامله الوحيد هو 1 ونفسه.
    أرقام صحيحة
    الأرقام الكاملة هي الأرقام 0، 1، 2، 3،...