8.0: مقدمة لفواصل الثقة

لنفترض أنك كنت تحاول تحديد متوسط إيجار شقة من غرفتي نوم في بلدتك. يمكنك البحث في القسم المصنف من الصحيفة، وكتابة العديد من الإيجارات المدرجة، ووضع متوسط لها معًا. كنت ستحصل على تقدير نقطي للمتوسط الحقيقي. إذا كنت تحاول تحديد النسبة المئوية للمرات التي تصنع فيها سلة عند إطلاق كرة سلة، فيمكنك حساب عدد التسديدات التي تقوم بها وقسمها على عدد التسديدات التي جربتها. في هذه الحالة، ستحصل على تقدير النقاط للنسبة الحقيقية للمعلمة$p$ في دالة الكثافة الاحتمالية ذات الحدين.

الشكل$\PageIndex{1}$ هل تساءلت يومًا عن متوسط عدد M&Ms في حقيبة في متجر البقالة؟ يمكنك استخدام فترات الثقة للإجابة على هذا السؤال. (تصوير: كوميدي_نوس/فليكر)

نحن نستخدم بيانات نموذجية لعمل تعميمات حول مجموعة سكانية غير معروفة. هذا الجزء من الإحصائيات يسمى الإحصاء الاستنتاجي. تساعدنا بيانات العينة في إجراء تقدير لمعامل السكان. نحن ندرك أن تقدير النقاط ليس على الأرجح القيمة الدقيقة لمعلمة السكان، ولكنه قريب منها. بعد حساب تقديرات النقاط، نقوم بإنشاء تقديرات الفواصل الزمنية، والتي تسمى فترات الثقة. ما توفره لنا الإحصائيات بخلاف المتوسط البسيط، أو تقدير النقاط، هو تقدير يمكننا أن نعلق عليه احتمالية الدقة، وهو ما سنسميه مستوى الثقة. نقوم بعمل استنتاجات بمستوى معروف من الاحتمالات.

في هذا الفصل، ستتعلم كيفية إنشاء فترات الثقة وتفسيرها. سوف تتعلم أيضًا توزيعًا جديدًا، وهو Student's -T، وكيفية استخدامه مع هذه الفواصل الزمنية. في جميع أنحاء الفصل، من المهم أن تضع في اعتبارك أن فترة الثقة هي متغير عشوائي. إنها المعلمة السكانية التي تم إصلاحها.

إذا كنت تعمل في قسم التسويق بشركة ترفيه، فقد تكون مهتمًا بمتوسط عدد الأغاني التي يقوم المستهلك بتنزيلها شهريًا من iTunes. إذا كان الأمر كذلك، يمكنك إجراء مسح وحساب متوسط العينة والانحراف المعياري للعينة$s$.$\overline x$ قد تستخدم$\overline x$ لتقدير متوسط عدد السكان وتقدير الانحراف المعياري للسكان.$s$ متوسط العينة,$\overline x$, هو تقدير النقاط لمتوسط السكان,$\mu$. الانحراف المعياري للعينة$s$,, هو تقدير النقطة للانحراف المعياري للسكان,$\sigma$.

$\overline x$ويطلق$s$ على كل منها اسم إحصائي.

فاصل الثقة هو نوع آخر من التقدير، ولكنه بدلاً من أن يكون رقمًا واحدًا فقط، فهو عبارة عن فاصل من الأرقام. الفاصل الزمني للأرقام هو نطاق من القيم المحسوبة من مجموعة معينة من بيانات العينة. من المرجح أن تتضمن فترة الثقة المعلمة السكانية غير المعروفة.

لنفترض، بالنسبة لمثال iTunes، أننا لا نعرف متوسط عدد السكان$\mu$، لكننا نعلم أن الانحراف المعياري للسكان هو$\sigma = 1$ وأن حجم العينة لدينا هو 100. ثم، وفقًا لنظرية الحد المركزي، يكون الانحراف المعياري لتوزيع عينات العينة يعني

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{100}}=0.1.\nonumber$$

تقول القاعدة التجريبية، التي تنطبق على التوزيع الطبيعي، أنه في حوالي 95٪ من العينات$\overline x$، سيكون متوسط العينة ضمن انحرافين معياريين لمتوسط السكان\ mu. بالنسبة لمثال iTunes الخاص بنا، هناك انحرافان$(2)(0.1) = 0.2$ معياريان من المحتمل أن$\overline x$ يكون متوسط العينة في حدود 0.2 وحدة من$\mu$.

نظرًا لأنه$\overline x$ يقع في حدود 0.2 وحدة من$\mu$، وهو أمر غير معروف،$\mu$ فمن المحتمل أن يكون في حدود 0.2 وحدة من الاحتمال$\overline x$ بنسبة 95٪. $\mu$يتم تضمين المتوسط السكاني في فترة يتم حساب عددها الأدنى عن طريق أخذ متوسط العينة وطرح$(2)(0.1)$ انحرافين معياريين ويتم حساب الرقم العلوي الخاص بها عن طريق أخذ متوسط العينة وإضافة انحرافين معياريين. بمعنى آخر،$\mu$ هو بين$\overline{x}-0.2$$\overline{x}+0.2$ وفي 95٪ من جميع العينات.

بالنسبة لمثال iTunes، افترض أن العينة أنتجت نموذجًا متوسطًا$\overline{x}=2$. ثم مع احتمال 95٪، يكون متوسط عدد السكان غير$\mu$ المعروف بين

$$\overline{x}-0.2=2-0.2=1.8 \text { and } \overline{x}+0.2=2+0.2=2.2 \nonumber$$

نقول إننا واثقون بنسبة 95٪ من أن عدد الأغاني غير المعروفة يعني أن عدد الأغاني التي يتم تنزيلها من iTunes شهريًا يتراوح بين 1.8 و 2.2. فترة الثقة 95% هي (1.8، 2.2). يرجى ملاحظة أننا تحدثنا من حيث الثقة بنسبة 95٪ باستخدام القاعدة التجريبية. تبلغ القاعدة التجريبية لانحرافين معياريين حوالي 95٪ فقط من الاحتمال تحت التوزيع الطبيعي. على وجه الدقة، يمثل انحرافان معياريان تحت التوزيع الطبيعي في الواقع 95.44٪ من الاحتمال. لحساب مستوى الثقة الدقيق بنسبة 95٪، سنستخدم 1.96 انحرافًا معياريًا.

تشير فترة الثقة البالغة 95٪ إلى احتمالين. إما أن يحتوي الفاصل الزمني (1.8، 2.2) على المتوسط الحقيقي$\mu$، أو أنتجت عينتنا$\overline x$ متوسطًا لا يقع ضمن 0.2 وحدة من المتوسط الحقيقي$\mu$. يحدث الاحتمال الثاني لـ 5٪ فقط من جميع العينات (95٪ ناقص 100٪ = 5٪).

تذكر أنه يتم إنشاء فاصل ثقة لمعلمة سكانية غير معروفة مثل متوسط عدد السكان,$\mu$.

بالنسبة لفاصل الثقة للمتوسط، ستكون الصيغة كما يلي:

$$\mu=\overline{X} \pm Z_{\alpha} \sigma / \sqrt{n}\nonumber$$

أو كتبت بطريقة أخرى على النحو التالي:

$$\overline{X}-Z_{\alpha} \sigma /_{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha} \sigma / \sqrt{n}\nonumber$$

أين$\overline x$ هو متوسط العينة. $Z_{\alpha}$يتم تحديده من خلال مستوى الثقة الذي يريده المحلل،$\sigma / \sqrt{n}$ وهو الانحراف المعياري لتوزيع العينات للوسائل المعطاة لنا من خلال نظرية الحد المركزي.