Home
اللغة العربية
كتاب: إحصاءات الأعمال (OpenStax)
8: فترات الثقة
8.1: فترة الثقة للانحراف المعياري للسكان، حجم العينة المعروف أو الكبير

8.1: فترة الثقة للانحراف المعياري للسكان، حجم العينة المعروف أو الكبير

Last updated
Save as PDF

Page ID: 198724

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

تعتمد فترة الثقة لمتوسط السكان مع الانحراف المعياري المعروف للسكان على استنتاج نظرية الحد المركزي بأن توزيع عينات العينة يعني اتباع توزيع طبيعي تقريبًا.

حساب فترة الثقة

ضع في اعتبارك الصيغة الموحدة لتوزيع العينات التي تم تطويرها في مناقشة نظرية الحد المركزي:

\[Z_{1}=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\nonumber\]

لاحظ أنه$\mu$ تم استبدال ذلك$\mu_{\overline{x}}$ لأننا نعلم أن القيمة المتوقعة لـ$\mu_{\overline{x}}$ هي$\mu$ من نظرية الحد المركزي$\sigma_{\overline{x}}$ ويتم استبدالها بـ$\sigma / \sqrt{n}$، أيضًا من نظرية الحد المركزي.

في هذه الصيغة نعرف$\overline X$ حجم العينة.$\sigma_{\overline{x}}$$n$ (في الواقع، لا نعرف الانحراف المعياري للسكان، ولكن لدينا تقدير نقطي له$s$، من العينة التي أخذناها. المزيد عن هذا لاحقًا.) ما لا نعرفه هو$\mu$ أو$Z_1$. يمكننا حل أي منهما من حيث الآخر. الحل من$\mu$ حيث$Z_1$ العطاء:

\[\mu=\overline{X} \pm Z_{1} {\sigma} / \sqrt{n}\nonumber\]

عندما نتذكر أن نظرية الحد المركزي تخبرنا أن توزيع الـ s$\overline X$، وتوزيع العينات للوسائل، أمر طبيعي، وأن التوزيع الطبيعي متماثل، يمكننا إعادة ترتيب المصطلحات على النحو التالي:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

هذه هي صيغة فترة الثقة لمتوسط السكان.

لاحظ أنه$Z_\alpha$ تم استبداله$Z_1$ في هذه المعادلة. هذا هو المكان الذي يجب أن يتم فيه الاختيار من قبل الإحصائي. يجب أن يقرر المحلل مستوى الثقة الذي يرغب في فرضه على فترة الثقة. \ alpha هو احتمال ألا يحتوي الفاصل الزمني على المتوسط السكاني الحقيقي. يتم تعريف مستوى الثقة على أنه$(1-\alpha)$. $Z_\alpha$هو أن عدد الانحرافات المعيارية$\overline X$ يكمن في المتوسط باحتمالية معينة. إذا اخترنا ذلك،$Z_\alpha = 1.96$ فإننا نطلب فاصل الثقة بنسبة 95٪ لأننا نحدد احتمال أن يكون المتوسط الحقيقي داخل النطاق عند 0.95. إذا حددنا$Z_\alpha$ 1.64 فإننا نطلب فاصل الثقة بنسبة 90٪ لأننا حددنا الاحتمال عند 0.90. يمكن التحقق من هذه الأرقام من خلال الرجوع إلى الجدول العادي القياسي. اقسم إما 0.95 أو 0.90 على النصف وابحث عن هذا الاحتمال داخل جسم الجدول. ثم اقرأ على الهوامش العلوية واليسرى عدد الانحرافات المعيارية اللازمة للحصول على هذا المستوى من الاحتمال.

في الواقع، يمكننا تحديد أي مستوى من الثقة نرغب فيه ببساطة عن طريق تغيير$Z_\alpha$ القيمة في الصيغة. إنه اختيار المحلل. تحدد الأعراف الشائعة في الاقتصاد ومعظم العلوم الاجتماعية فترات الثقة عند مستويات 90 أو 95 أو 99 بالمائة. تعتبر المستويات الأقل من 90٪ ذات قيمة قليلة. يتم تحديد مستوى الثقة لتقدير فاصل زمني معين بواسطة$(1-\alpha)$.

تتمثل إحدى الطرق الجيدة لرؤية تطور فترة الثقة في تصوير حل مشكلة تتطلب فترة ثقة بشكل رسومي. يتم تقديم هذا في الشكل الخاص$\PageIndex{2}$ بالمثال في المقدمة فيما يتعلق بعدد التنزيلات من iTunes. كانت هذه الحالة تتعلق بفاصل ثقة بنسبة 95٪، ولكن كان من الممكن اختيار مستويات أخرى من الثقة بنفس السهولة اعتمادًا على حاجة المحلل. ومع ذلك، يجب أن يكون مستوى الثقة محددًا مسبقًا ولا يخضع للمراجعة نتيجة للحسابات.

هذا هو منحنى التوزيع العادي. يتم تصنيف النقطة z0.01 على الحافة اليمنى من المنحنى والمنطقة الموجودة على يمين هذه النقطة مظللة. مساحة هذه المنطقة المظللة تساوي 0.01. المساحة غير المظللة تساوي 0.99. — الشكل$\PageIndex{2}$

في هذا المثال، لنفترض أننا نعلم أن متوسط عدد السكان الفعلي لعدد تنزيلات iTunes هو 2.1. يقع المتوسط السكاني الحقيقي ضمن نطاق فترة الثقة البالغة 95٪. لا يوجد شيء على الإطلاق لضمان حدوث ذلك. علاوة على ذلك، إذا كان المتوسط الحقيقي يقع خارج الفترة الزمنية فلن نعرفه أبدًا. يجب أن نتذكر دائمًا أننا لن نعرف أبدًا المتوسط الحقيقي. تسمح لنا الإحصائيات ببساطة، بمستوى معين من الاحتمال (الثقة)، بالقول إن المتوسط الحقيقي يقع ضمن النطاق المحسوب. هذا ما أطلق عليه في المقدمة «مستوى الجهل المعترف به».

تغيير مستوى الثقة أو حجم العينة

هنا مرة أخرى توجد صيغة فترة الثقة لمجموعة سكانية غير معروفة تعني افتراض أننا نعرف الانحراف المعياري للسكان:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

من الواضح أن فترة الثقة مدفوعة بأمرين، مستوى الثقة المختار$Z_\alpha$، والانحراف المعياري لتوزيع العينات. يتأثر الانحراف المعياري لتوزيع العينات أيضًا بأمرين، الانحراف المعياري للسكان وحجم العينة الذي اخترناه لبياناتنا. نرغب هنا في فحص تأثيرات كل من الخيارات التي قمنا بها على فترة الثقة المحسوبة ومستوى الثقة وحجم العينة.

للحظة يجب أن نسأل فقط عما نريده في فترة الثقة. كان هدفنا هو تقدير متوسط عدد السكان من العينة. لقد تخلينا عن الأمل في أن نجد في أي وقت المتوسط السكاني الحقيقي، والانحراف المعياري للسكان في هذا الشأن، على أي حال باستثناء الحالات التي يكون فيها عدد السكان صغيرًا للغاية وتكلفة جمع البيانات ذات الاهتمام صغيرة جدًا. في جميع الحالات الأخرى يجب أن نعتمد على العينات. باستخدام نظرية الحد المركزي، لدينا الأدوات اللازمة لتوفير فترة ثقة ذات معنى بمستوى معين من الثقة، مما يعني احتمالًا معروفًا للخطأ. ونعني بفاصل الثقة الهادف فترة مفيدة. تخيل أنك طُلب منك فترة ثقة لأعمار زملائك في الفصل. لقد أخذت عينة ووجدت متوسطًا قدره 19.8 عامًا. ترغب في أن تكون واثقًا جدًا حتى تبلغ عن فترة زمنية تتراوح بين 9.8 عامًا و 29.8 عامًا. ستحتوي هذه الفترة بالتأكيد على المتوسط السكاني الحقيقي وتتمتع بمستوى ثقة عالٍ جدًا. ومع ذلك، فإنه بالكاد يعتبر ذا معنى. أفضل فترة ثقة ضيقة مع الثقة العالية. هناك توتر طبيعي بين هذين الهدفين. كلما ارتفع مستوى الثقة كلما اتسعت فترة الثقة كما هو الحال في أعمار الطلاب أعلاه. يمكننا رؤية هذا التوتر في معادلة فترة الثقة.

\[\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

سيزيد عرض فترة الثقة كلما$Z_\alpha$ زاد،$Z_\alpha$ ويزداد مع زيادة مستوى الثقة. هناك مفاضلة بين مستوى الثقة وعرض الفاصل الزمني. الآن دعونا ننظر إلى الصيغة مرة أخرى ونرى أن حجم العينة يلعب أيضًا دورًا مهمًا في عرض فترة الثقة. يظهر حجم العينة، nn، في مقام الانحراف المعياري لتوزيع العينات. ومع زيادة حجم العينة، ينخفض الانحراف المعياري لتوزيع العينات وبالتالي عرض فترة الثقة، مع الحفاظ على مستوى الثقة ثابتًا. تم توضيح هذه العلاقة في الشكل$\PageIndex{8}$. مرة أخرى نرى أهمية وجود عينات كبيرة لتحليلنا على الرغم من أننا نواجه بعد ذلك قيدًا ثانيًا، وهو تكلفة جمع البيانات.

حساب فترة الثقة: نهج بديل

هناك طريقة أخرى للتعامل مع فترات الثقة وهي من خلال استخدام شيء يسمى Error Bound. حصل Error Bound على اسمه من الاعتراف بأنه يوفر حدود الفاصل الزمني المشتق من الخطأ القياسي لتوزيع العينات. في المعادلات أعلاه، يُلاحظ أن الفاصل الزمني هو ببساطة المتوسط المقدر أو متوسط العينة أو زائد أو ناقص شيء ما. هذا الشيء هو حد الخطأ وهو مدفوع بالاحتمال الذي نرغب في الحفاظ عليه في تقديرنا$Z_\alpha$، مضروبًا في الانحراف المعياري لتوزيع العينات. يتم إعطاء مصطلح «حد الخطأ» للمتوسط الاسم أو «متوسط حد الخطأ» أو$EBM$.

لإنشاء فترة ثقة لمتوسط سكاني واحد غير معروف$\mu$، حيث يكون الانحراف المعياري للسكان معروفًا، نحتاج$\overline x$ كتقدير$\mu$ ونحتاج إلى هامش الخطأ. هنا،$(EBM)$ يُطلق على هامش الخطأ اسم حد الخطأ لمتوسط السكان (المختصر EBM). متوسط العينة$\overline x$ هو تقدير النقاط لمتوسط السكان غير المعروف$\mu$.

سيحتوي تقدير فترة الثقة على النموذج التالي:

(تقدير النقاط - حد الخطأ، تقدير النقطة+حد الخطأ) أو، في الرموز،$(\overline{x}-E B M, \overline{x}+E B M)$

الصيغة الرياضية لفاصل الثقة هذا هي:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\]

يعتمد هامش الخطأ (EBM) على مستوى الثقة (المختصر CL). غالبًا ما يُنظر إلى مستوى الثقة على أنه احتمال أن يحتوي تقدير فترة الثقة المحسوب على المعلمة السكانية الحقيقية. ومع ذلك، فمن الأدق القول بأن مستوى الثقة هو النسبة المئوية لفواصل الثقة التي تحتوي على المعلمة السكانية الحقيقية عند أخذ عينات متكررة. في أغلب الأحيان، يكون اختيار الشخص الذي يبني فترة الثقة هو اختيار مستوى الثقة بنسبة 90٪ أو أعلى لأن هذا الشخص يريد أن يكون متأكدًا بشكل معقول من استنتاجاته.

هناك احتمال آخر يسمى alpha ($\alpha$). $\alpha$يرتبط بمستوى الثقة،$CL$. $\alpha$هو احتمال أن الفاصل الزمني لا يحتوي على المعلمة السكانية غير المعروفة.
رياضيا،$1 - \alpha = CL$.

تعتمد فترة الثقة لمتوسط السكان مع انحراف معياري معروف على حقيقة أن توزيع عينات العينة يعني اتباع توزيع طبيعي تقريبًا. لنفترض أن العينة الخاصة بنا لها متوسط$\overline x = 10$، وقمنا ببناء فترة ثقة بنسبة 90٪$(5, 15)$ حيث$EBM = 5$.

للحصول على فترة ثقة بنسبة 90٪، يجب علينا تضمين 90٪ المركزية من احتمالية التوزيع الطبيعي. إذا قمنا بتضمين النسبة المركزية البالغة 90%، فإننا نترك المجموع$\alpha = 10%$ في كلا الذيلين، أو 5% في كل ذيل، من التوزيع الطبيعي.

هذا هو منحنى التوزيع العادي. تتزامن ذروة المنحنى مع النقطة 10 على المحور الأفقي. يتم تصنيف النقطتين 5 و 15 على المحور. يتم رسم الخطوط الرأسية من هذه النقاط إلى المنحنى، والمنطقة بين الخطوط مظللة. مساحة المنطقة المظللة تساوي 0.90. — الشكل$\PageIndex{3}$

للحصول على النسبة المركزية البالغة 90%، يجب علينا تحديد 1.645 انحرافًا معياريًا على جانبي متوسط العينة المحسوب. القيمة 1.645 هي النتيجة z من التوزيع الاحتمالي العادي القياسي الذي يضع مساحة 0.90 في الوسط، ومساحة 0.05 في أقصى الذيل الأيسر، ومساحة 0.05 في أقصى الذيل الأيمن.

من المهم أن يكون الانحراف المعياري المستخدم مناسبًا للمعلمة التي نقوم بتقديرها، لذلك نحتاج في هذا القسم إلى استخدام الانحراف المعياري الذي ينطبق على توزيع العينات للوسائل التي درسناها باستخدام نظرية الحد المركزي وهي،$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

حساب فترة الثقة باستخدام EMB

لإنشاء تقدير لفاصل الثقة لمتوسط سكاني غير معروف، نحتاج إلى بيانات من عينة عشوائية. خطوات إنشاء وتفسير فترة الثقة هي:

احسب متوسط العينة$\overline x$ من بيانات العينة. تذكر أننا نعرف في هذا القسم الانحراف المعياري للسكان$\sigma$.
ابحث عن درجة z من الجدول العادي القياسي الذي يتوافق مع مستوى الثقة المطلوب.
احسب حد الخطأ$EBM$.
قم ببناء فاصل الثقة.
اكتب جملة تفسر التقدير في سياق الموقف في المشكلة.

سنفحص أولاً كل خطوة بمزيد من التفصيل، ثم نوضح العملية ببعض الأمثلة.

العثور على درجة z لمستوى الثقة المعلن

عندما نعرف الانحراف المعياري للسكان\ سيغما، نستخدم توزيعًا عاديًا قياسيًا لحساب حد الخطأ$EBM$ وإنشاء فاصل الثقة. نحتاج إلى إيجاد قيمة$z$ ذلك تضع مساحة مساوية لمستوى الثقة (بالشكل العشري) في منتصف التوزيع العادي القياسي$Z \sim N(0, 1)$.

مستوى الثقة،$CL$، هو المنطقة في منتصف التوزيع العادي القياسي. $CL = 1 – \alpha$،$\alpha$ وكذلك المنطقة المنقسمة بالتساوي بين الذيلان. يحتوي كل ذيل على مساحة تساوي$\frac{\alpha}{2}$.

يُشار إلى درجة z-score التي تحتوي على منطقة على يمينها$\frac{\alpha}{2}$ بـ$Z_{\frac{\alpha}{2}}$.

على سبيل المثال$CL = 0.95$، عندما،$\alpha = 0.05$ و$\frac{\alpha}{2} = 0.025$؛ نكتب$Z_{\frac{\alpha}{2}}$ = Z_ {0.025}\).

المنطقة على اليمين$Z_{0.025}$ هي 0.025 والمنطقة على يسارها$Z_{0.025}$ هي$1 – 0.025 = 0.975$.

$Z_{\frac{\alpha}{2}} = Z_{0.025} = 1.96$، باستخدام جدول الاحتمالات العادي القياسي. سنرى لاحقًا أنه يمكننا استخدام جدول احتمالية مختلف، وهو توزيع t للطالب، للعثور على عدد الانحرافات المعيارية لمستويات الثقة الشائعة الاستخدام.

حساب حد الخطأ (EBM)

تعني الصيغة المرتبطة بالخطأ لمجموعة سكانية غير معروفة\ mu عند معرفة الانحراف المعياري للسكان\ sigma

$E B M=\left(Z \frac{\alpha}{2}\right)\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

بناء فترة الثقة

يحتوي تقدير فترة الثقة على التنسيق$(\overline{x}-E B M, \overline{x}+E B M)$ أو الصيغة:$\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})$

يعطي الرسم البياني صورة للوضع بأكمله.

$C L+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=C L+\alpha=1$.

هذا هو منحنى التوزيع العادي. تتزامن ذروة المنحنى مع النقطة x bar على المحور الأفقي. يتم تصنيف النقاط x bar - EBM و x-bar + EBM على المحور. يتم رسم الخطوط الرأسية من هذه النقاط إلى المنحنى، والمنطقة بين الخطوط مظللة. المنطقة المظللة لها مساحة تساوي 1 - a وتمثل مستوى الثقة. كل ذيل غير مظلل له مساحة a/2.

مثال$\PageIndex{1}$

لنفترض أننا مهتمون بمتوسط الدرجات في الاختبار. تؤخذ عينة عشوائية من 36 درجة وتعطي متوسط العينة (متوسط درجة العينة) 68 (X−X- = 68). في هذا المثال، لدينا معرفة غير عادية بأن الانحراف المعياري للسكان هو 3 نقاط. لا تعتمد على معرفة المعلمات السكانية خارج أمثلة الكتب المدرسية. ابحث عن تقدير فترة الثقة لمتوسط درجة الاختبار للسكان (متوسط الدرجات في جميع الاختبارات).

ابحث عن فاصل ثقة بنسبة 90% للمتوسط الحقيقي (عدد السكان) لدرجات الاختبارات الإحصائية.

إجابة

الحل 8.1

يتم عرض الحل خطوة بخطوة.

للعثور على فترة الثقة، تحتاج إلى متوسط العينة و$EBM$.$\overline x$

$\overline x = 68$
$EBM = \left(Z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
$\sigma = 3$؛$n = 36$؛ مستوى الثقة هو 90٪$(CL = 0.90)$

$CL = 0.90$وبالتالي$\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10$

$\frac{\alpha}{2}=0.05, Z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.05}$

المنطقة الموجودة على اليمين$Z_{0.05}$ هي$0.05$ والمنطقة الموجودة على يسار$Z_{0.05}$ هي$1 – 0.05 = 0.95$.

$Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.05}=1.645$

يمكن العثور على هذا باستخدام جهاز كمبيوتر، أو باستخدام جدول الاحتمالات للتوزيع العادي القياسي. نظرًا لأن المستويات الشائعة للثقة في العلوم الاجتماعية هي 90٪ و 95٪ و 99٪، فلن يمر وقت طويل حتى تتعرف على الأرقام، 1.645، 1.96، و 2.56

$E B M=(1.645)\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)=0.8225$

$\overline{x}-E B M=68-0.8225=67.1775$

$\overline{x}+E B M=68+0.8225=68.8225$

فترة الثقة 90% هي (67.1775، 68.8225).

ترجمة

نقدّر بثقة 90% أن متوسط عدد السكان الحقيقيين في الاختبار لجميع طلاب الإحصاء يتراوح بين 67.18 و 68.82.

مثال$\PageIndex{2}$

لنفترض أننا قمنا بتغيير المشكلة الأصلية في المثال$\PageIndex{1}$ باستخدام مستوى ثقة بنسبة 95٪. ابحث عن فاصل ثقة بنسبة 95% للمتوسط الحقيقي (عدد السكان) في الاختبار الإحصائي.

إجابة

الحل 8.2

\[\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

\[\mu=68 \pm 1.96\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)\nonumber\]

\[67.02 \leq \mu \leq 68.98\nonumber\]

$\sigma = 3$$n = 36$; مستوى الثقة هو 95% ($CL = 0.95$).

$CL = 0.95$وبالتالي$\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05$

$Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.025}=1.96$

لاحظ$EBM$ أن الحجم أكبر بالنسبة لمستوى الثقة بنسبة 95٪ في المشكلة الأصلية.

مقارنة النتائج

فترة الثقة 90% هي (67.18، 68.82). فترة الثقة 95% هي (67.02، 68.98). فترة الثقة البالغة 95% أوسع. إذا نظرت إلى الرسوم البيانية، نظرًا لأن المنطقة 0.95 أكبر من المنطقة 0.90، فمن المنطقي أن تكون فترة الثقة البالغة 95٪ أوسع. لكي تكون أكثر ثقة في أن فترة الثقة تحتوي بالفعل على القيمة الحقيقية لمتوسط السكان لجميع درجات الاختبارات الإحصائية، يجب بالضرورة أن تكون فترة الثقة أوسع. يوضح هذا مبدأ مهمًا جدًا لفواصل الثقة. هناك مقايضة بين مستوى الثقة وعرض الفاصل الزمني. رغبتنا هي الحصول على فترة ثقة ضيقة، حيث توفر الفواصل الزمنية الواسعة القليل من المعلومات المفيدة. لكننا نرغب أيضًا في الحصول على مستوى عالٍ من الثقة في الفترة الفاصلة بيننا. هذا يدل على أنه لا يمكننا الحصول على كليهما.

يُظهر الجزء (أ) منحنى التوزيع العادي. منطقة مركزية بمساحة تساوي 0.90 مظللة. كل ذيل غير مظلل للمنحنى له مساحة تساوي 0.05. يُظهر الجزء (ب) منحنى التوزيع العادي. منطقة مركزية بمساحة تساوي 0.95 مظللة. كل ذيل غير مظلل للمنحنى له مساحة تساوي 0.025.

ملخص: تأثير تغيير مستوى الثقة

زيادة مستوى الثقة تجعل فترة الثقة أوسع.
خفض مستوى الثقة يجعل فترة الثقة أضيق.

ومرة أخرى هنا صيغة فترة الثقة لمتوسط غير معروف بافتراض أن لدينا الانحراف المعياري للسكان:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

تم توفير الانحراف المعياري لتوزيع العينات من خلال نظرية الحد المركزي مثل$\sigma / \sqrt{n}$. في حين أننا نادرًا ما نختار حجم العينة، إلا أنه يلعب دورًا مهمًا في فترة الثقة. نظرًا لأن حجم العينة يقع في مقام المعادلة، فإن$n$ الزيادة تؤدي إلى انخفاض الانحراف المعياري لتوزيع العينات وبالتالي انخفاض عرض فترة الثقة. لقد التقينا بهذا من قبل عندما راجعنا تأثيرات حجم العينة على نظرية الحد المركزي. هناك رأينا أنه مع$n$ زيادة توزيع العينات يضيق حتى ينهار الحد الأقصى على المتوسط السكاني الحقيقي.

مثال$\PageIndex{3}$

لنفترض أننا قمنا بتغيير المشكلة الأصلية في المثال$\PageIndex{1}$ لمعرفة ما يحدث لفاصل الثقة إذا تم تغيير حجم العينة.

اترك كل شيء كما هو باستثناء حجم العينة. استخدم مستوى الثقة الأصلي بنسبة 90٪. ماذا يحدث لفاصل الثقة إذا قمنا بزيادة حجم العينة واستخدامها$n = 100$ بدلاً من$n = 36$؟ ماذا يحدث إذا قمنا بتقليل حجم العينة إلى$n = 25$ بدلاً من$n = 36$؟

إجابة

الحل 8.3

الحل أ

$\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\mu=68 \pm 1.645\left(\frac{3}{\sqrt{100}}\right)$

$67.5065 \leq \mu \leq 68.4935$

إذا قمنا بزيادة حجم العينة$n$ إلى 100، فإننا نخفض عرض فاصل الثقة بالنسبة لحجم العينة الأصلي البالغ 36 ملاحظة.

إجابة

الحل 8.3

الحل ب

$\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\mu=68 \pm 1.645\left(\frac{3}{\sqrt{25}}\right)$

$67.013 \leq \mu \leq 68.987$

إذا قللنا حجم العينة$n$ إلى 25، فإننا نزيد عرض فاصل الثقة بالمقارنة مع حجم العينة الأصلي البالغ 36 ملاحظة.

ملخص: تأثير تغيير حجم العينة

تؤدي زيادة حجم العينة إلى تضييق فترة الثقة.
يؤدي تقليل حجم العينة إلى توسيع فترة الثقة.

لقد رأينا بالفعل هذا التأثير عندما راجعنا تأثيرات تغيير حجم العينة، n، على نظرية الحد المركزي. انظر الشكل$\PageIndex{7}$ لرؤية هذا التأثير. قبل أن نرى أنه مع زيادة حجم العينة، يتناقص الانحراف المعياري لتوزيع العينات. لهذا السبب اخترنا متوسط العينة من عينة كبيرة مقارنة بعينة صغيرة، وظلت جميع الأشياء الأخرى ثابتة.

حتى الآن افترضنا أننا نعرف الانحراف المعياري للسكان. لن يكون هذا هو الحال تقريبًا. ومع ذلك، سيكون لدينا الانحراف المعياري للعينة. هذا تقدير نقطي للانحراف المعياري للسكان ويمكن استبداله بصيغة فترات الثقة للمتوسط في ظل ظروف معينة. لقد رأينا للتو تأثير حجم العينة على عرض فترة الثقة والتأثير على توزيع العينات لمناقشتنا لنظرية الحد المركزي. يمكننا استدعاء هذا لاستبدال تقدير النقاط بالانحراف المعياري إذا كان حجم العينة كبيرًا «بدرجة كافية». تشير دراسات المحاكاة إلى أن 30 ملاحظة أو أكثر ستكون كافية لإزالة أي تحيز ذي معنى في فترة الثقة المقدرة.

مثال$\PageIndex{4}$

يمكن أن تكون عطلة الربيع عطلة مكلفة للغاية. تم مسح عينة من 80 طالبًا، ويبلغ متوسط المبلغ الذي ينفقه الطلاب على السفر والمشروبات 593.84 دولارًا. يبلغ الانحراف المعياري للعينة حوالي 369.34 دولارًا.

حدد فترة ثقة بنسبة 92٪ للسكان، وهو متوسط مقدار الأموال التي تنفقها قواطع الربيع.

إجابة

الحل 8.4

نبدأ بفاصل الثقة كوسيلة. نستخدم صيغة المتوسط لأن المتغير العشوائي هو الدولارات التي يتم إنفاقها وهذا متغير عشوائي مستمر. تم استبدال التقدير النقطي للانحراف المعياري للسكان بالانحراف المعياري السكاني الحقيقي لأنه مع وجود 80 ملاحظة لا يوجد قلق من التحيز في تقدير فترة الثقة.

\[\mu=\overline{x} \pm\left[Z_{(\mathrm{a} / 2)} \frac{s}{\sqrt{n}}\right]\nonumber\]

باستبدال القيم في الصيغة، لدينا:

\[\mu=593.84 \pm\left[1.75 \frac{369.34}{\sqrt{80}}\right]\nonumber\]

$Z_{(a / 2)}$يوجد في الجدول العادي القياسي من خلال البحث عن 0.46 في جسم الجدول وإيجاد عدد الانحرافات المعيارية على جانب وأعلى الجدول؛ 1.75. وبالتالي فإن حل الفاصل الزمني هو:

\[\mu=593.84 \pm 72.2636=(521.57,666.10)\nonumber\]

\[\$ 521.58 \leq \mu \leq \$ 666.10\nonumber\]

مراجعة الفورمولا

يتم إعطاء الشكل العام لفاصل الثقة لمجموعة سكانية واحدة، والانحراف المعياري المعروف، والتوزيع الطبيعي بواسطة$\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})$ هذه الصيغة التي تستخدم عندما يكون الانحراف المعياري للسكان معروفًا.

$CL$= مستوى الثقة، أو نسبة فترات الثقة التي تم إنشاؤها والتي من المتوقع أن تحتوي على المعلمة السكانية الحقيقية

$\alpha = 1 – CL$= نسبة فترات الثقة التي لن تحتوي على المعلمة السكانية

$z_{\frac{\alpha}{2}}$= درجة z-score مع الخاصية التي تشير إلى أن المنطقة الموجودة على يمين z-score هي$\frac{\propto}{2}$ هذه هي درجة z-score المستخدمة في حساب "$EBM$" أين$\alpha = 1 – CL$.