7.4: عامل تصحيح السكان المحدود
- Page ID
- 199049
لقد رأينا أن حجم العينة له تأثير مهم على التباين وبالتالي الانحراف المعياري لتوزيع العينات. ومن المثير للاهتمام أيضًا نسبة إجمالي السكان الذين تم أخذ عينات منهم. لقد افترضنا أن عدد السكان كبير للغاية وأننا قمنا بأخذ عينات من جزء صغير من السكان. عندما يصبح عدد السكان أصغر ونقوم بأخذ عينات من عدد أكبر من الملاحظات، فإن الملاحظات النموذجية ليست مستقلة عن بعضها البعض. لتصحيح تأثير ذلك، يمكن استخدام عامل التصحيح المحدود لضبط التباين في توزيع العينات. يكون مناسبًا عندما يتم أخذ عينات من أكثر من 5٪ من السكان ويكون لدى السكان حجم سكاني معروف. هناك حالات يكون فيها السكان معروفين، وبالتالي يجب تطبيق عامل التصحيح. تنشأ المشكلة في كل من توزيع عينات الوسائل وتوزيع عينات النسب. عامل تصحيح السكان المحدود لتباين الوسائل الموضحة في صيغة التوحيد هو:
\[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}\nonumber\]
وبالنسبة لتباين النسب هو:
\[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\nonumber\]
توضح الأمثلة التالية كيفية تطبيق العامل. يتم تعديل تباينات العينات باستخدام الصيغة أعلاه.
مثال\(\PageIndex{1}\)
من المعروف أن عدد سكان الرعاة الألمان البيض في الولايات المتحدة الأمريكية يبلغ 4000 كلب ويبلغ متوسط وزن الرعاة الألمان 75.45 رطلاً. ومن المعروف أيضًا أن الانحراف المعياري للسكان هو 10.37 رطلاً. إذا كان حجم العينة 100 كلب، فأوجد احتمال أن يكون للعينة متوسط يختلف عن متوسط الاحتمال الحقيقي بأقل من رطلين.
- إجابة
-
الحل 7.1
\(N=4000, \quad n=100, \quad \sigma=10.37, \quad \mu=75.45, \quad(\overline{x}-\mu)=\pm 2\)
\[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{ \pm 2}{\frac{10.37}{\sqrt{100}} \cdot \sqrt{\frac{4000-100}{4000-1}}}=\pm 1.95\nonumber\]
\[f(Z)=0.4744 \cdot 2=0.9488\nonumber\]
لاحظ أن عبارة «تختلف بمقدار أقل» تشير إلى المنطقة على جانبي الوسط في حدود رطلين يمينًا أو يسارًا.
مثال\(\PageIndex{2}\)
عندما يقوم العميل بتقديم طلب باستخدام Rudy's Online Office Supplies، يقوم نظام معلومات المحاسبة المحوسب (AIS) بالتحقق تلقائيًا لمعرفة ما إذا كان العميل قد تجاوز حد الائتمان الخاص به. تشير السجلات السابقة إلى أن احتمال تجاوز العملاء الحد الائتماني الخاص بهم هو 0.06.
لنفترض أنه في يوم معين، تم وضع 3000 طلب في المجموع. إذا اخترنا 360 طلبًا عشوائيًا، فما احتمال تجاوز ما بين 10 و 20 عميلًا حد الائتمان الخاص بهم؟
- إجابة
-
الحل 7.2
\(N=3000, \quad n=360, \quad p=0.06\)
\[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\frac{0.06(1-0.06)}{360}} \times \sqrt{\frac{3000-360}{3000-1}}=0.0117\nonumber\]
\[p_{1}=\frac{10}{360}=0.0278, \quad p_{2}=\frac{20}{360}=0.0556\nonumber\]
\[Z=\frac{p^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{0.0278-0.06}{0.011744}=-2.74\nonumber\]
\[p\left(\frac{0.0278-0.06}{0.011744}
<\frac{0.0556-0.06}{0.011744}\right)\]