6.2: استخدام التوزيع العادي

Last updated
Save as PDF

Page ID: 198730

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

تشير المنطقة المظللة في الرسم البياني التالي إلى المنطقة الواقعة على يمين\(x\). يتم تمثيل هذه المنطقة من خلال الاحتمال\(P(X > x)\). توفر الجداول العادية الاحتمال بين المتوسط والصفر للتوزيع العادي القياسي وقيمة محددة مثل\(x_1\). هذا هو الجزء غير المظلل من الرسم البياني من المتوسط إلى\(x_1\).

هذا هو منحنى التوزيع العادي. يتم تسمية القيمة، x، على المحور الأفقي، X. يمتد الخط العمودي من النقطة x إلى المنحنى، والمنطقة الموجودة أسفل المنحنى على يسار x مظللة. تمثل مساحة هذا القسم المظلل احتمال أن تكون قيمة المتغير أقل من x.

نظرًا لأن التوزيع الطبيعي متماثل، إذا\(x_1\) كانت المسافة نفسها إلى يسار متوسط المنطقة، فإن الاحتمال، في الذيل الأيسر، سيكون هو نفس المنطقة المظللة في الذيل الأيمن. ضع في اعتبارك أيضًا أنه بسبب تماثل هذا التوزيع، يكون نصف الاحتمال على يمين المتوسط والنصف على يسار المتوسط.

حسابات الاحتمالات

لإيجاد احتمال دوال الكثافة الاحتمالية باستخدام متغير عشوائي مستمر، نحتاج إلى حساب المساحة تحت الدالة عبر القيم التي\(X\) نهتم بها. بالنسبة للتوزيع العادي، تبدو هذه مهمة صعبة نظرًا لتعقيد الصيغة. ومع ذلك، هناك طريقة بسيطة للحصول على ما نريد. هنا مرة أخرى صيغة التوزيع العادي:

\[f(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}\nonumber\]

بالنظر إلى صيغة التوزيع الطبيعي، ليس من الواضح كيف سنقوم بحل الاحتمال بنفس الطريقة التي قمنا بها مع وظائف الاحتمال السابقة. هناك وضعنا البيانات في الصيغة وقمنا بالحساب.

لحل هذا اللغز، نبدأ بمعرفة أن المساحة تحت دالة الكثافة الاحتمالية هي الاحتمال.

يوضح هذا أن المنطقة الواقعة بين\(X_1\) و\(X_2\) هي الاحتمال كما هو مذكور في الصيغة:\(P (X_1 \leq X \leq X_2)\)

الأداة الرياضية اللازمة للعثور على المنطقة تحت المنحنى هي حساب التفاضل والتكامل. تكامل دالة الكثافة الاحتمالية العادية بين النقطتين x ₁ و x ₂ هو المساحة الموجودة أسفل المنحنى بين هاتين النقطتين وهو الاحتمال بين هاتين النقطتين.

إن القيام بهذه التكاملات ليس ممتعًا ويمكن أن يستغرق وقتًا طويلاً. ولكن الآن، مع تذكر وجود عدد لا حصر له من التوزيعات العادية، يمكننا النظر في التوزيعات التي يبلغ متوسطها صفر وانحراف معياري قدره 1. يُطلق على هذا التوزيع العادي الخاص اسم التوزيع العادي القياسي. عند وضع هذه القيم في الصيغة، يتم تقليلها إلى معادلة بسيطة للغاية. يمكننا الآن بسهولة حساب جميع الاحتمالات لأي قيمة x، لهذا التوزيع الطبيعي المحدد، الذي يبلغ متوسطه صفر وانحراف معياري قدره 1. تم إنتاجها وهي متوفرة هنا في ملحق النص أو في كل مكان على الويب. يتم تقديمها بطرق مختلفة. الجدول في هذا النص هو العرض الأكثر شيوعًا ويتم إعداده باحتمالات نصف التوزيع الذي يبدأ بالصفر والمتوسط والانتقال إلى الخارج. تمثل المنطقة المظللة في الرسم البياني أعلى الجدول في الجداول الإحصائية الاحتمال من الصفر إلى\(Z\) القيمة المحددة المذكورة على المحور الأفقي\(Z\).

المشكلة الوحيدة هي أنه حتى مع هذا الجدول، سيكون من قبيل المصادفة السخيفة أن يكون لبياناتنا متوسط صفر وانحراف معياري واحد. الحل هو تحويل التوزيع الذي لدينا مع الانحراف المتوسط والمعياري إلى هذا التوزيع العادي القياسي الجديد. يحتوي المعيار العادي على متغير عشوائي يسمى\(Z\).

باستخدام الجدول العادي القياسي، الذي يُطلق عليه عادةً الجدول العادي، للعثور على احتمال انحراف معياري واحد، انتقل إلى\(Z\) العمود، واقرأ حتى 1.0 ثم اقرأ في العمود 0. هذا الرقم،\(0.3413\) هو احتمال الانحراف المعياري من صفر إلى 1. في الجزء العلوي من الجدول توجد المنطقة المظللة في التوزيع والتي تمثل احتمال انحراف معياري واحد. لقد حل الجدول مشكلة حساب التفاضل والتكامل. ولكن فقط إذا كانت بياناتنا تحتوي على متوسط صفر وانحراف معياري قدره 1.

ومع ذلك، فإن النقطة الأساسية هنا هي أن احتمال حدوث انحراف معياري واحد على توزيع عادي واحد هو نفسه في كل توزيع عادي. إذا كان متوسط مجموعة بيانات السكان 10 وانحراف معياري قدره 5، فإن الاحتمال من 10 إلى 15، أي انحراف معياري واحد، هو نفسه من صفر إلى 1، وانحراف معياري واحد في التوزيع العادي القياسي. لحساب الاحتمالات والمناطق ولأي توزيع عادي، نحتاج فقط إلى تحويل التوزيع العادي المحدد إلى التوزيع العادي القياسي والبحث عن الإجابة في الجداول. كمراجعة، هنا مرة أخرى هي الصيغة الموحدة:

\[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]

أين\(Z\) هي القيمة في التوزيع العادي القياسي،\(X\) هي القيمة من التوزيع العادي الذي يرغب المرء في تحويله إلى المعيار العادي،\(\mu\)\(\sigma\) وهي، على التوالي، المتوسط والانحراف المعياري لتلك المجموعة السكانية. لاحظ أن المعادلة تستخدم\(\mu\)\(\sigma\) والتي تشير إلى المعلمات السكانية. لا يزال هذا يتعامل مع الاحتمالات، لذلك نتعامل دائمًا مع السكان، بقيم المعلمات المعروفة والتوزيع المعروف. من المهم أيضًا ملاحظة أنه نظرًا لأن التوزيع الطبيعي متماثل، فلا يهم ما إذا كانت درجة z موجبة أو سلبية عند حساب الاحتمال. يغطي انحراف معياري واحد إلى اليسار (درجة Z السلبية) نفس المنطقة مثل انحراف معياري واحد إلى اليمين (درجة Z الإيجابية). هذه الحقيقة هي السبب في أن الجداول العادية القياسية لا توفر مناطق للجانب الأيسر من التوزيع. بسبب هذا التماثل، تتم كتابة صيغة Z-score أحيانًا على النحو التالي:

\[Z=\frac{|x-\mu|}{\sigma}\nonumber\]

حيث تعني الخطوط الرأسية في المعادلة القيمة المطلقة للرقم.

ما تفعله الصيغة الموحدة حقًا هو حساب عدد الانحرافات\(X\) المعيارية من متوسط التوزيع الخاص بها. إن صيغة التوحيد ومفهوم حساب الانحرافات المعيارية عن المتوسط هي سر كل ما سنفعله في فئة الإحصاء هذه. والسبب في صحة ذلك هو أن جميع الإحصاءات تتلخص في التباين، وحساب الانحرافات المعيارية هو مقياس للاختلاف.

هذه الصيغة، في العديد من التنكر، ستظهر مرة أخرى مرارًا وتكرارًا طوال هذه الدورة.

مثال\(\PageIndex{1}\)

عادة ما يتم توزيع درجات الاختبار النهائي في فصل الإحصاء بمتوسط 63 وانحراف معياري قدره خمسة.

أ- أوجد احتمال حصول الطالب الذي تم اختياره عشوائيًا على أكثر من 65 في الاختبار.
ب- أوجد احتمال حصول الطالب الذي تم اختياره عشوائيًا على أقل من 85.

الإجابة أ

Let\(X\) = النتيجة في الاختبار النهائي. \(X \sim N(63, 5)\)وأين\(\mu = 63\) و\(\sigma = 5\).

ارسم رسمًا بيانيًا.

ثم ابحث\(P(x > 65)\).

\(P(x > 65) = 0.3446\)

هذا هو منحنى التوزيع العادي. تتزامن ذروة المنحنى مع النقطة 63 على المحور الأفقي. يتم أيضًا تسمية النقطة 65. يمتد الخط العمودي من النقطة 65 إلى المنحنى. منطقة الاحتمال على يمين 65 مظللة؛ وهي تساوي 0.3446.

\[Z_{1}=\frac{x_{1}-\mu}{\sigma}=\frac{65-63}{5}=0.4\nonumber\]

\(P\left(x \geq x_{1}\right)=P\left(Z \geq Z_{1}\right)=0.3446\)

احتمال اختيار أي طالب بدرجات عشوائية تزيد عن 65 هو 0.3446. هنا كيف وجدنا هذه الإجابة.

الإجابة ب

يوفر الجدول العادي الاحتمالات من الصفر إلى القيمة\(Z_1\). بالنسبة لهذه المشكلة، يمكن كتابة السؤال على النحو\(P(X \geq 65) = P(Z \geq Z1)\) التالي:، وهي المنطقة الموجودة في الذيل. للعثور على هذه المنطقة ستكون الصيغة\(0.5 – P(X \leq 65)\). نصف الاحتمال أعلى من القيمة المتوسطة لأن هذا توزيع متماثل. يوضِّح الرسم البياني كيفية إيجاد المساحة في الذيل بطرح هذا الجزء من المتوسط، صفر، إلى\(Z_1\) القيمة. الإجابة النهائية هي:\(P(X \geq 63) = P(Z \geq 0.4) = 0.3446\)

\(z=\frac{65-63}{5}=0.4\)

المساحة الموجودة\(Z_1\) على يسار متوسط الصفر هي\(0.1554\)

\(P(x > 65) = P(z > 0.4) = 0.5 – 0.1554 = 0.3446\)

\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{85-63}{5}=4.4\)وهي أكبر من القيمة القصوى في الجدول العادي القياسي. لذلك، فإن احتمال حصول طالب واحد على درجة أقل من 85 هو واحد تقريبًا أو 100٪.

الدرجة 85 هي 4.4 انحرافات معيارية عن متوسط 63 الذي يتجاوز نطاق الجدول العادي القياسي. لذلك، فإن احتمال حصول طالب واحد على درجة أقل من 85 هو واحد تقريبًا (أو 100٪).

التمارين\(\PageIndex{1}\)

عادة ما يتم توزيع نتائج لعبة الجولف لفريق المدرسة بمتوسط 68 وانحراف معياري قدره ثلاثة. أوجد احتمال حصول لاعب غولف تم اختياره عشوائيًا على أقل من ٦٥.

مثال\(\PageIndex{2A}\)

يتم استخدام الكمبيوتر الشخصي للعمل المكتبي في المنزل، والبحث، والاتصالات، والشؤون المالية الشخصية، والتعليم، والترفيه، والشبكات الاجتماعية، وعدد لا يحصى من الأشياء الأخرى. لنفترض أن متوسط عدد ساعات استخدام الكمبيوتر الشخصي المنزلي للترفيه هو ساعتان في اليوم. افترض أن أوقات الترفيه يتم توزيعها بشكل طبيعي وأن الانحراف المعياري للأوقات هو نصف ساعة.

أ- أوجد احتمال استخدام كمبيوتر شخصي منزلي للترفيه بين 1.8 و2.75 ساعة في اليوم.

إجابة

أ- Let\(X\) = مقدار الوقت (بالساعات) الذي يتم فيه استخدام الكمبيوتر الشخصي المنزلي للترفيه. \(X \sim N(2, 0.5)\)أين\(\mu= 2\) و\(\sigma = 0.5\).

ابحث\(P(1.8 < X < 2.75)\).

الاحتمال الذي تبحث عنه هو المنطقة الواقعة بين\(X = 1.8\) و\(X = 2.75\). \(P(1.8 < X < 2.75) = 0.5886\)

هذا هو منحنى التوزيع العادي. تتزامن ذروة المنحنى مع النقطة 2 على المحور الأفقي. يتم أيضًا تسمية القيم 1.8 و 2.75 على المحور x. تمتد الخطوط الرأسية من 1.8 و 2.75 إلى المنحنى. المنطقة بين السطور مظللة.

\(P(1.8 \leq X \leq 2.75) = P(Z_1 \leq Z \leq Z_2)\)

احتمال استخدام جهاز كمبيوتر شخصي منزلي بين 1.8 و 2.75 ساعة يوميًا للترفيه هو 0.5886.

مثال\(\PageIndex{2B}\)

ب- ابحث عن الحد الأقصى لعدد الساعات في اليوم التي يستخدمها الربع السفلي من الأسر كمبيوترًا شخصيًا للترفيه.

إجابة

الحل 6.4

ب- للعثور على الحد الأقصى لعدد الساعات في اليوم التي يستخدمها الربع السفلي من الأسر كمبيوترًا شخصيًا للترفيه، ابحث عن النسبة المئوية ^{الخامسة} والعشرين\(k\)، أين\(P(x < k) = 0.25\).

هذا هو منحنى التوزيع العادي. المنطقة الموجودة أسفل الذيل الأيسر للمنحنى مظللة. توضح المنطقة المظللة أن احتمال أن يكون x أقل من k هو 0.25. ويترتب على ذلك k = 1.67. — الشكل\(\PageIndex{5}\)

\(f(Z)=0.5-0.25=0.25, \text { therefore } Z \approx-0.675(\text { or just } 0.67 \text { using the table) } Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-2}{0.5}=-0.675 , \text {therefore } x=-0.675 * 0.5+2=1.66\)

الحد الأقصى لعدد الساعات في اليوم الذي يستخدم فيه الربع السفلي من الأسر جهاز كمبيوتر شخصي للترفيه هو 1.66 ساعة.

التمارين\(\PageIndex{2}\)

عادة ما يتم توزيع نتائج لعبة الجولف لفريق المدرسة بمتوسط 68 وانحراف معياري قدره ثلاثة. أوجد احتمال أن يسجل لاعب غولف ما بين ٦٦ و٧٠.

مثال\(\PageIndex{3}\)

في الولايات المتحدة، يتبع مستخدمو الهواتف الذكية الذين تتراوح أعمارهم بين 13 و 55 عامًا تقريبًا توزيعًا طبيعيًا بمتوسط تقريبي وانحراف معياري يبلغ 36.9 عامًا و 13.9 عامًا على التوالي.

أ- حدد احتمال أن يكون مستخدم الهاتف الذكي العشوائي في الفئة العمرية من 13 إلى 55 عامًا فما فوق بين 23 و 64.7 عامًا.

إجابة

إجابة: (أ) 0.8186; (ب) 0.8413

مثال\(\PageIndex{4}\)

يجد مزارع الحمضيات الذي يزرع برتقال الماندرين أن أقطار برتقال الماندرين التي يتم حصادها في مزرعته تتبع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط قطر يبلغ 5.85 سم وانحراف معياري قدره 0.24 سم.

أ: أوجد احتمال أن يكون قطر برتقال ماندرين تم اختياره عشوائيًا من هذه المزرعة أكبر من 6.0 سم. ارسم الرسم البياني.

إجابة

\[Z_{1}=\frac{6-5.85}{.24}=.625\nonumber\]

\(P(x \geq 6) = P(z \geq 0.625) = 0.2670\)

ب- تتراوح أقطار 20% الوسطى من برتقال الماندرين من هذه المزرعة بين ______ و ______.

\(f(Z)=\frac{0.20}{2}=0.10, \text { therefore } Z \approx \pm 0.25\)

\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-5.85}{0.24}=\pm 0.25 \rightarrow \pm 0.25 \cdot 0.24+5.85=(5.79,5.91)\)