6.1: التوزيع العادي القياسي

التوزيع العادي القياسي هو توزيع عادي للقيم المعيارية التي تسمى z-scores. يتم قياس درجة z بوحدات الانحراف المعياري.

متوسط التوزيع العادي القياسي هو صفر، والانحراف المعياري واحد. ما يفعله هذا هو تبسيط الحساب الرياضي للاحتمالات بشكل كبير. خذ لحظة واستبدل الصفر وواحد في الأماكن المناسبة في الصيغة أعلاه ويمكنك أن ترى أن المعادلة تنهار إلى معادلة يمكن حلها بسهولة أكبر باستخدام حساب التفاضل والتكامل. $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ينتج التحول التوزيع$Z \sim N(0, 1)$. تأتي القيمة$x$ في المعادلة المعطاة من توزيع عادي معروف بمتوسط معروف$\mu$ وانحراف معياري معروف$\sigma$. توضح درجة z عدد الانحرافات المعيارية$x$ البعيدة عن المتوسط.

زد-سكورز

إذا كان$X$ متغيرًا عشوائيًا يتم توزيعه بشكل طبيعي$X \sim N(\mu, \sigma)$، فإن درجة z لـ معينة$x$ هي:

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber$$

تخبرك درجة z -score بعدد الانحرافات المعيارية التي$\bf{x}$ تكون القيمة أعلى (على يمين) أو أسفل (على يسار) المتوسط،$\bf{\mu}$. قيم$x$ ذلك أكبر من المتوسط لها درجات z موجبة، وقيمها الأصغر من المتوسط لها درجات z سالبة.$x$ إذا كانت x تساوي المتوسط، فإن x تحتوي على درجة z وهي صفر.

مثال$\PageIndex{1}$

افترض$X \sim N(5, 6)$. هذا يعني أن$X$ هذا متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي مع الانحراف$\mu = 5$ المتوسط والمعياري$\sigma = 6$. افترض$x = 17$. ثم:

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{17-5}{6}=2\nonumber$$

$x = 17$هذا يعني وجود انحرافين معياريين$(2\sigma)$ فوق المتوسط أو إلى يمينه$\mu = 5$.

لنفترض الآن$x = 1$. ثم:$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{1-5}{6}=-0.67$ (تم تقريبه إلى منزلتين عشريتين)

$\bf{x = 1}$وهذا يعني وجود 0.67 انحرافًا معياريًا$\bf{(–0.67\sigma)}$ أسفل المتوسط أو على يساره$\bf{\mu = 5}$.

القاعدة التجريبية

إذا كان$X$ متغيرًا عشوائيًا وله توزيع طبيعي مع الانحراف المتوسط$\mu$ والانحراف المعياري$\sigma$، فإن القاعدة التجريبية تنص على ما يلي:

• تقع حوالي 68٪ من$x$ القيم بين$+1\sigma$ المتوسط$–1\sigma$ والمتوسط$\mu$ (ضمن انحراف معياري واحد للمتوسط).
• تقع حوالي 95٪ من$x$ القيم بين$–2\sigma$ المتوسط$+2\sigma$ والمتوسط$\mu$ (ضمن انحرافين معياريين للمتوسط).
• وتقع حوالي 99.7% من$x$ القيم بين$–3\sigma$ المتوسط$+3\sigma$ والمتوسط$\mu$ (ضمن ثلاثة انحرافات معيارية للمتوسط). لاحظ أن جميع قيم x تقريبًا تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية للمتوسط.
• درجات z لـ$+1\sigma$ و$–1\sigma$ هي$+1$ و$–1$، على التوالي.
• درجات z لـ$+2\sigma$ و$–2\sigma$ هي$+2$ و$–2$، على التوالي.
• درجات z لـ$+3\sigma$ و$–3\sigma$ هي$+3$ و$–3$ على التوالي.

الشكل$\PageIndex{1}$

مثال$\PageIndex{1}$

لنفترض$x$ أن التوزيع طبيعي بمتوسط 50 والانحراف المعياري 6.

• تقع حوالي 68٪ من$x$ القيم ضمن انحراف معياري واحد للمتوسط. لذلك، تقع حوالي 68٪ من$x$ القيم بين المتوسط 50$–1\sigma = (–1)(6) = –6$$1\sigma = (1)(6) = 6$ ومنه. القيم$50 – 6 = 44$$50 + 6 = 56$ وتقع ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط 50. درجات z هي —1 و +1 لـ 44 و 56 على التوالي.
• يقع حوالي 95٪ من$x$ القيم ضمن انحرافين معياريين للمتوسط. لذلك، تقع حوالي 95٪ من$x$ القيم بين$–2\sigma = (–2)(6) = –12$ و$2\sigma = (2)(6) = 12$. القيم$50 – 12 = 38$$50 + 12 = 62$ وتقع ضمن انحرافين معياريين عن المتوسط 50. درجات z هي —2 و +2 لـ 38 و 62 على التوالي.
• يقع حوالي 99.7٪ من$x$ القيم ضمن ثلاثة انحرافات معيارية للمتوسط. لذلك، تقع حوالي 99.7٪$3\sigma = (3)(6) = 18$ من$x$ القيم$–3\sigma = (–3)(6) = –18$ بين المتوسط 50. القيم$50 – 18 = 32$$50 + 18 = 68$ وتقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية عن المتوسط 50. درجات z هي —3 و +3 لـ 32 و 68 على التوالي.