6.0: مقدمة للتوزيع الطبيعي

Last updated
Save as PDF

Page ID: 198722

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

دالة الكثافة الاحتمالية العادية، وهي التوزيع المستمر، هي الأكثر أهمية بين جميع التوزيعات. يتم استخدامه على نطاق واسع بل ويساء استخدامه على نطاق واسع. الرسم البياني الخاص به على شكل جرس. ترى منحنى الجرس في جميع التخصصات تقريبًا. بعض هذه تشمل علم النفس، والأعمال التجارية، والاقتصاد، والعلوم، والتمريض، وبالطبع الرياضيات. قد يستخدم بعض المدرسين التوزيع العادي للمساعدة في تحديد التقدير الخاص بك. عادة ما يتم توزيع معظم درجات الذكاء. غالبًا ما تتناسب أسعار العقارات مع التوزيع العادي.

تعرض هذه الصورة العديد من أزواج الأحذية المختلفة بألوان مختلفة. يبدو أن الأحذية معلقة من الحائط بأسلاك. — الشكل:\(\PageIndex{1}\) إذا سألت عددًا كافيًا من الأشخاص عن مقاس أحذيتهم، فستجد أن بياناتك الرسومية على شكل منحنى الجرس ويمكن وصفها بأنها موزعة بشكل طبيعي. (الائتمان: عمر أونل)

التوزيع الطبيعي مهم للغاية، ولكن لا يمكن تطبيقه على كل شيء في العالم الحقيقي. تذكر هنا أننا ما زلنا نتحدث عن توزيع البيانات السكانية. هذه مناقشة الاحتمالات وبالتالي فإن البيانات السكانية هي التي قد يتم توزيعها بشكل طبيعي، وإذا كان الأمر كذلك، فهذه هي الطريقة التي يمكننا بها العثور على احتمالات أحداث معينة تمامًا كما فعلنا لبيانات السكان التي قد يتم توزيعها بحدين أو توزيع بواسون. هذا التحذير هنا لأنه في الفصل التالي سنرى أن التوزيع العادي يصف شيئًا مختلفًا تمامًا عن البيانات الأولية ويشكل أساس الإحصائيات الاستنتاجية.

يحتوي التوزيع الطبيعي على معلمتين (مقياسان وصفيان عدديان): المتوسط (\(\mu\)) والانحراف المعياري (\(\sigma\)). إذا كانت X عبارة عن كمية يجب قياسها ولها توزيع طبيعي مع المتوسط (\(\mu\)) والانحراف المعياري (\(\sigma\))، فإننا نعين ذلك بكتابة الصيغة التالية لدالة الكثافة الاحتمالية العادية:

هذا هو منحنى التردد للتوزيع العادي. يُظهر قمة واحدة في المركز مع انخفاض المنحنى إلى المحور الأفقي على كل جانب. التوزيع متماثل؛ فهو يمثل المتغير العشوائي X الذي له توزيع طبيعي مع متوسط، m، وانحراف معياري، s.

دالة الكثافة الاحتمالية هي دالة معقدة نوعًا ما. لا تحفظه. ليس من الضروري.

\[f(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}\nonumber\]

المنحنى متماثل حول خط عمودي مرسوم عبر الوسط،\(\mu\). المتوسط هو نفس الوسيط، وهو نفس الوضع، لأن الرسم البياني متماثل تقريبًا\(\mu\). كما يشير الترميز، يعتمد التوزيع الطبيعي فقط على المتوسط والانحراف المعياري. لاحظ أن هذا يختلف عن العديد من دالات الكثافة الاحتمالية التي درسناها بالفعل، مثل Poisson، حيث يساوي\(\mu\)\(\mu\) المتوسط والانحراف المعياري ببساطة الجذر التربيعي للمتوسط، أو ذو الحدين، حيث يتم استخدام p لتحديد كل من المتوسط والانحراف المعياري. نظرًا لأن المساحة الموجودة أسفل المنحنى يجب أن تساوي واحدًا، فإن التغيير في الانحراف المعياري يؤدي إلى تغيير في شكل المنحنى العادي؛ يصبح المنحنى أكثر بدانة وأوسع أو أنحف وأطول اعتمادًا على ذلك\(\sigma\).\(\sigma\) \(\mu\)يؤدي التغيير إلى تحول الرسم البياني إلى اليسار أو اليمين. هذا يعني أن هناك عددًا لا نهائيًا من التوزيعات الاحتمالية العادية. واحدة ذات أهمية خاصة تسمى التوزيع العادي القياسي.