6.3: تقدير قيمة ذات الحدين بالتوزيع العادي

Last updated
Save as PDF

Page ID: 198719

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

لقد وجدنا سابقًا أن وظائف الكثافة الاحتمالية المختلفة هي التوزيعات المحددة للآخرين؛ وبالتالي، يمكننا تقدير بعضها ببعض في ظل ظروف معينة. سنجد هنا أنه يمكن استخدام التوزيع العادي لتقدير عملية ذات حدين. تم استخدام Poisson لتقدير القيمة ذات الحدين سابقًا، وتم استخدام المعامل ذي الحدين لتقدير التوزيع الهندسي الفائق.

في حالة العلاقة بين التوزيع الهندسي الفائق والمعدل ذي الحدين، كان علينا أن ندرك أن العملية ذات الحدين تفترض أن احتمال النجاح يظل ثابتًا من التجربة إلى التجربة: لا يمكن أن يكون للرأس في الانقلاب الأخير تأثير على احتمالية الرأس في الانقلاب التالي. في التوزيع الهندسي الفائق، هذا هو جوهر السؤال لأن التجربة تفترض أن أي «رسم» لا بديل له. إذا قام المرء بالسحب بدون استبدال، فإن جميع «السحوبات» اللاحقة هي احتمالات مشروطة. وجدنا أنه إذا كانت التجربة الهندسية الفائقة ترسم نسبة صغيرة فقط من إجمالي الكائنات، فيمكننا تجاهل التأثير على الاحتمال من السحب إلى الرسم.

تخيل أن هناك 312 بطاقة في مجموعة تتكون من 6 طوابق عادية. إذا دعت التجربة إلى سحب 10 بطاقات فقط، أي أقل من 5٪ من الإجمالي، فإننا سنقبل التقدير ذي الحدين للاحتمال، على الرغم من أن هذا في الواقع توزيع هندسي مفرط لأنه من المفترض أن يتم رسم البطاقات دون استبدال.

وبالمثل، تم اعتبار Poisson تقديرًا مناسبًا للحدين في ظل ظروف معينة. في الشكل\(\PageIndex{11}\) يوضح التوزيع الطبيعي المتماثل المنقول على رسم بياني للتوزيع ذي الحدين حيث\(p = 0.2\) و\(n = 5\). يظهر التناقض بين الاحتمال المقدر باستخدام التوزيع العادي واحتمال التوزيع الأصلي ذي الحدين. وبالتالي فإن معايير استخدام التوزيع العادي لتقدير معادلة ذات حدين تعالج هذه المشكلة من خلال طلب كليهما\(np\)\(n(1 − p)\) وتكون أكبر من خمسة. مرة أخرى، هذه قاعدة عامة، ولكنها فعالة وتؤدي إلى تقديرات مقبولة للاحتمال ذي الحدين.

\(1-[p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+\ldots+p(X=16)]=p(X>16)=p(Z>2)=0.0228\)