5.5: واجب الفصل

5.1 خصائص دوال الكثافة الاحتمالية المستمرة

لكل احتمال ومشكلة مئوية، ارسم الصورة.

70.

خذ بعين الاعتبار التجربة التالية. أنت واحد من 100 شخص تم تجنيدهم للمشاركة في دراسة لتحديد النسبة المئوية للممرضات في أمريكا الحاصلات على درجة R.N. (ممرضة مسجلة). تسأل الممرضات عما إذا كانوا حاصلين على درجة R.N. تجيب الممرضات بـ «نعم» أو «لا». ثم تقوم بحساب النسبة المئوية للممرضات الحاصلات على درجة R.N. أنت تعطي هذه النسبة للمشرف الخاص بك.

1. أي جزء من التجربة سينتج بيانات منفصلة؟
2. أي جزء من التجربة سينتج بيانات مستمرة؟

71.

عند تقريب العمر إلى أقرب عام، هل تظل البيانات مستمرة أم تصبح منفصلة؟ لماذا؟

5.2 التوزيع الموحد

لكل احتمال ومشكلة مئوية، ارسم الصورة.

72.

يتم توزيع الولادات بشكل موحد تقريبًا بين 52 أسبوعًا من السنة. يمكن القول أنها تتبع توزيعًا موحدًا من واحد إلى 53 (انتشار 52 أسبوعًا).

1. رسم بياني للتوزيع الاحتمالي.
2. \(f(x) =\)_________
3. \(\mu =\)_________
4. \(\sigma =\)_________
5. أوجد احتمال ولادة شخص في اللحظة المحددة التي يبدأ فيها الأسبوع التاسع عشر. وهذا هو، ابحث عن\(P(x = 19) =\) _________
6. \(P(2 < x < 31) =\)_________
7. أوجد احتمال ولادة شخص بعد الأسبوع ٤٠.
8. \(P(12 < x | x < 28) =\)_________

73.

يختار مولد الأرقام العشوائية رقمًا من واحد إلى تسعة بطريقة موحدة.

1. رسم بياني للتوزيع الاحتمالي.
2. \(f(x) =\)_________
3. \(\mu =\)_________
4. \(\sigma =\)_________
5. \(P(3.5 < x < 7.25) =\)_________
6. \(P(x > 5.67)\)
7. \(P(x > 5 | x > 3) =\)_________

74.

وفقًا لدراسة أجراها الدكتور جون ماكدوغال من برنامج فقدان الوزن المباشر في مستشفى سانت هيلينا، فإن الأشخاص الذين يتابعون برنامجه يفقدون ما بين ستة إلى 15 رطلاً شهريًا حتى يقتربوا من وزن الجسم المناسب. لنفترض أن فقدان الوزن يتم توزيعه بشكل موحد. نحن مهتمون بفقدان الوزن لشخص تم اختياره عشوائيًا بعد البرنامج لمدة شهر واحد.

1. حدد المتغير العشوائي. \(X =\)_________
2. رسم بياني للتوزيع الاحتمالي.
3. \(f(x) =\)_________
4. \(\mu =\)_________
5. \(\sigma =\)_________
6. أوجد احتمال فقد الفرد أكثر من عشرة أرطال في الشهر.
7. لنفترض أنه من المعروف أن الفرد فقد أكثر من عشرة جنيهات في الشهر. أوجد احتمال فقدانه أقل من ١٢ رطلاً في الشهر.
8. \(P(7 < x < 13 | x > 9) =\)__________. اذكر ذلك في سؤال احتمالي، على غرار الجزأين g وh، وارسم الصورة، واعثر على الاحتمال.

75.

يصل قطار الأنفاق على الخط الأحمر كل ثماني دقائق خلال ساعة الذروة. نحن مهتمون بطول الوقت الذي يجب أن ينتظر فيه المسافر وصول القطار. يتبع الوقت توزيعًا موحدًا.

1. حدد المتغير العشوائي. \(X =\)_______
2. رسم بياني للتوزيع الاحتمالي.
3. \(f(x) =\)_______
4. \(\mu =\)_______
5. \(\sigma =\)_______
6. أوجد احتمال انتظار المسافر أقل من دقيقة واحدة.
7. أوجد احتمال انتظار المسافر ما بين ثلاث وأربع دقائق.

76.

يتم توزيع عمر طالب الصف الأول في 1 سبتمبر في مدرسة جاردن الابتدائية بشكل موحد من 5.8 إلى 6.8 سنوات. نختار عشوائيًا أحد طلاب الصف الأول من الفصل.

1. حدد المتغير العشوائي. \(X =\)_________
2. رسم بياني للتوزيع الاحتمالي.
3. \(f(x) =\)_________
4. \(\mu =\)_________
5. \(\sigma =\)_________
6. أوجد احتمال أن يكون عمرها أكثر من 6.5 سنوات.
7. أوجد احتمال أن يكون عمرها بين أربع وست سنوات.

استخدم المعلومات التالية للإجابة على التمارين الثلاثة التالية. من المفترض أن يصل Sky Train من المحطة إلى تأجير السيارات ومركز وقوف السيارات طويل الأجل كل ثماني دقائق. من المعروف أن أوقات انتظار القطار تتبع توزيعًا موحدًا.

77.

ما هو متوسط وقت الانتظار (بالدقائق)؟

1. صفر
2. اثنان
3. ثلاثة
4. أربعة

78.

احتمال الانتظار لأكثر من سبع دقائق إذا كان الشخص قد انتظر أكثر من أربع دقائق هو؟

1. 0.125
2. 0.25
3. 0.5
4. 0.75

79.

الوقت (بالدقائق) حتى تغادر الحافلة التالية محطة حافلات رئيسية يتبع توزيعًا بـ f (x) = 120120 حيث تتراوح x من 25 إلى 45 دقيقة.

1. حدد المتغير العشوائي. \(X =\)________
2. رسم بياني للتوزيع الاحتمالي.
3. التوزيع هو ______________ (اسم التوزيع). إنه _____________ (منفصل أو مستمر).
4. \(\mu =\)________
5. \(\sigma =\)________
6. أوجد احتمال أن يكون الوقت 30 دقيقة على الأكثر. ارسم رسمًا بيانيًا للتوزيع وقم بتسميته. قم بتظليل منطقة الاهتمام. اكتب الإجابة في بيان الاحتمالات.
7. أوجد احتمال أن الوقت يتراوح بين ٣٠ و٤٠ دقيقة. ارسم رسمًا بيانيًا للتوزيع وقم بتسميته. قم بتظليل منطقة الاهتمام. اكتب الإجابة في بيان الاحتمالات.
8. \(P(25 < x < 55) =\)_________. اذكر ذلك في بيان الاحتمالات، على غرار الجزأين g و h، وارسم الصورة، وابحث عن الاحتمال.

80.

لنفترض أن قيمة السهم تختلف كل يوم من 16 دولارًا إلى 25 دولارًا مع توزيع موحد.

1. أوجد احتمال أن تكون قيمة السهم أكثر من 19 دولارًا.
2. أوجد احتمال أن تتراوح قيمة السهم بين 19 دولارًا و 22 دولارًا.
3. إذا كان السهم أكبر من ١٨ دولارًا، فأوجد احتمال أن يكون السهم أكثر من ٢١ دولارًا.

81.

تم تصميم عرض الألعاب النارية بحيث يكون الوقت بين الألعاب النارية ما بين ثانية وخمس ثوان، ويتبع توزيعًا موحدًا.

1. ابحث عن متوسط الوقت بين الألعاب النارية.
2. أوجد احتمال أن الوقت بين الألعاب النارية أكبر من أربع ثوانٍ.

82.

يتراوح عدد الأميال التي يقطعها سائق الشاحنة بين 300 و700، ويتبع توزيعًا موحدًا.

1. أوجد احتمال أن يقطع سائق الشاحنة أكثر من ٦٥٠ ميلًا في اليوم.
2. أوجد احتمال مرور سائقي الشاحنات بين 400 و650 ميلًا في اليوم.

5.3 التوزيع الأسي

83.

لنفترض أن طول المكالمات الهاتفية البعيدة، المقاسة بالدقائق، معروف بتوزيعه المتسارع بمتوسط طول المكالمة يساوي ثماني دقائق.

1. حدد المتغير العشوائي. \(X =\)________________.
2. هل هي\(X\) مستمرة أم منفصلة؟
3. \(\mu =\)________
4. \(\sigma =\)________
5. ارسم رسمًا بيانيًا لتوزيع الاحتمالات. قم بتسمية المحاور.
6. أوجد احتمال أن تستغرق المكالمة الهاتفية أقل من تسع دقائق.
7. أوجد احتمال أن تستغرق المكالمة الهاتفية أكثر من تسع دقائق.
8. أوجد احتمال أن تستغرق المكالمة الهاتفية ما بين سبع وتسع دقائق.
9. إذا تم إجراء 25 مكالمة هاتفية واحدة تلو الأخرى، في المتوسط، ماذا تتوقع أن يكون المجموع؟ لماذا؟

84.

لنفترض أن العمر الإنتاجي لبطارية سيارة معينة، مقاسًا بالأشهر، يتحلل باستخدام المعلمة 0.025. نحن مهتمون بعمر البطارية.

1. حدد المتغير العشوائي. \(X =\)_________________________________.
2. هل هي\(X\) مستمرة أم منفصلة؟
3. في المتوسط، كم من الوقت تتوقع أن تدوم بطارية سيارة واحدة؟
4. في المتوسط، كم من الوقت تتوقع أن تدوم تسع بطاريات سيارات، إذا تم استخدامها واحدة تلو الأخرى؟
5. أوجد احتمال أن تدوم بطارية السيارة أكثر من 36 شهرًا.
6. سبعون بالمائة من البطاريات تدوم على الأقل إلى متى؟

85.

يتم توزيع النسبة المئوية للأشخاص (الذين تتراوح أعمارهم بين خمس سنوات وما فوق) في كل ولاية الذين يتحدثون لغة في المنزل غير الإنجليزية بشكل كبير تقريبًا بمتوسط 9.848. لنفترض أننا نختار الدولة بشكل عشوائي.

1. حدد المتغير العشوائي. \(X =\)_________________________________.
2. هل هي\(X\) مستمرة أم منفصلة؟
3. \(\mu =\)________
4. \(\sigma =\)________
5. ارسم رسمًا بيانيًا لتوزيع الاحتمالات. قم بتسمية المحاور.
6. أوجد احتمال أن تكون النسبة المئوية أقل من ١٢.
7. أوجد احتمال أن تكون النسبة المئوية بين ثمانية و14.
8. النسبة المئوية لجميع الأفراد الذين يعيشون في الولايات المتحدة والذين يتحدثون لغة في المنزل غير الإنجليزية هي 13.8.
   • لماذا يختلف هذا الرقم عن 9.848%؟
   • ما الذي يجعل هذا الرقم أعلى من 9.848%؟

86.

يتم توزيع الوقت (بالسنوات) بعد بلوغ سن 60 عامًا الذي يستغرقه الفرد للتقاعد بشكل كبير تقريبًا بمتوسط حوالي خمس سنوات. لنفترض أننا نختار بشكل عشوائي فردًا متقاعدًا واحدًا. نحن مهتمون بالوقت بعد سن الستين للتقاعد.

1. حدد المتغير العشوائي. \(X =\)_________________________________.
2. هل هي\(X\) مستمرة أم منفصلة؟
3. \(\mu =\)________
4. \(\sigma =\)________
5. ارسم رسمًا بيانيًا لتوزيع الاحتمالات. قم بتسمية المحاور.
6. أوجد احتمال تقاعد الشخص بعد سن ٧٠.
7. هل يتقاعد المزيد من الناس قبل سن 65 أو بعد سن 65؟
8. في غرفة تضم 1000 شخص فوق سن 80 عامًا، كم تتوقع ألا يتقاعد بعد؟

87.

يتم توزيع تكلفة جميع أعمال الصيانة للسيارة خلال عامها الأول بشكل كبير تقريبًا بمتوسط 150 دولارًا.

1. حدد المتغير العشوائي. \(X =\)_________________________________.
2. \(\mu =\)________
3. \(\sigma =\)________
4. ارسم رسمًا بيانيًا لتوزيع الاحتمالات. قم بتسمية المحاور.
5. أوجد احتمال أن تحتاج السيارة إلى أكثر من 300 دولار للصيانة خلال عامها الأول.

استخدم المعلومات التالية للإجابة على التمارين الثلاثة التالية. متوسط عمر هاتف محمول جديد معين هو ثلاث سنوات. ستقوم الشركة المصنعة باستبدال أي هاتف محمول معطل في غضون عامين من تاريخ الشراء. من المعروف أن عمر هذه الهواتف المحمولة يتبع توزيعًا أسيًا.

88.

معدل الاضمحلال هو:

1. 0.333
2. 0.5000
3. 2
4. 3

89.

ما احتمال فشل الهاتف في غضون عامين من تاريخ الشراء؟

1. 0.8647
2. 0.4866
3. 0.2212
4. 0.9997

90.

ما هو متوسط عمر هذه الهواتف (بالسنوات)؟

1. 0.1941
2. 1.3863
3. 2.0794
4. 5.5452

91.

في مركز اتصال 911، تأتي المكالمات بمعدل مكالمة واحدة في المتوسط كل دقيقتين. افترض أن الوقت المنقضي من مكالمة إلى أخرى له التوزيع الأسي.

1. في المتوسط، كم من الوقت يحدث بين خمس مكالمات متتالية؟
2. أوجد احتمال أن يستغرق إجراء المكالمة التالية أكثر من ثلاث دقائق بعد تلقي المكالمة التالية.
3. تحدث تسعون بالمائة من جميع المكالمات في غضون كم دقيقة من المكالمة السابقة؟
4. لنفترض أن دقيقتين قد انقضت منذ آخر مكالمة. ابحث عن احتمال حدوث المكالمة التالية في الدقيقة التالية.
5. أوجد احتمال حدوث أقل من 20 مكالمة في غضون ساعة.

92.

في دوري البيسبول الرئيسي، لعبة عدم ضرب الكرة هي لعبة لا يتخلى فيها الرامي أو الرماة عن أي ضربات طوال المباراة. تحدث حالات عدم الإصابة بمعدل حوالي ثلاثة في الموسم. افترض أن المدة الزمنية بين غير الضاربين هي مدة هائلة.

1. ما احتمال انقضاء موسم كامل بدون ضربة واحدة؟
2. إذا انقضى موسم كامل دون أي ضاربين، فما احتمال عدم وجود أي ضاربين في الموسم التالي؟
3. ما احتمال عدم وجود أكثر من 3 لاعبين في موسم واحد؟

93.

خلال السنوات 1998-2012، وقع ما مجموعه 29 زلزالًا بقوة أكبر من 6.5 درجة في بابوا غينيا الجديدة. افترض أن الوقت الذي تقضيه في الانتظار بين الزلازل هائل.

1. ما احتمال وقوع الزلزال التالي في غضون الأشهر الثلاثة المقبلة؟
2. بالنظر إلى مرور ستة أشهر دون وقوع زلزال في بابوا غينيا الجديدة، ما هو احتمال أن تكون الأشهر الثلاثة المقبلة خالية من الزلازل؟
3. ما احتمال حدوث زلازل صفرية في عام 2014؟
4. ما احتمال حدوث زلزالين على الأقل في عام 2014؟

94.

وفقًا للصليب الأحمر الأمريكي، فإن حوالي واحد من كل تسعة أشخاص في الولايات المتحدة لديه دم من النوع B. لنفترض أن أنواع دم الأشخاص الذين يصلون إلى حملة التبرع بالدم مستقلة. في هذه الحالة، يتبع عدد أنواع الدم من النوع B التي تصل تقريبًا توزيع Poisson.

1. في حالة وصول 100 شخص، كم عدد الأشخاص الذين يُتوقع أن يكون لديهم دم من النوع B في المتوسط؟
2. ما احتمال أن يكون لدى أكثر من 10 أشخاص من أصل 100 شخص فصيلة الدم B؟
3. ما احتمال وصول أكثر من 20 شخصًا قبل العثور على شخص من فصيلة الدم B؟

95.

يواجه موقع الويب حركة المرور خلال ساعات العمل العادية بمعدل 12 زيارة في الساعة. افترض أن المدة بين الزيارات لها التوزيع الأسي.

1. أوجد احتمال أن تكون المدة بين زيارتين متتاليتين إلى موقع الويب أكثر من عشر دقائق.
2. أعلى 25٪ من الفترات بين الزيارات هي على الأقل كم هي المدة؟
3. لنفترض أن 20 دقيقة قد مرت منذ آخر زيارة لموقع الويب. ما احتمال حدوث الزيارة التالية خلال الخمس دقائق القادمة؟
4. أوجد احتمال حدوث أقل من 7 زيارات خلال فترة ساعة واحدة.

96.

في مرفق الرعاية العاجلة، يصل المرضى بمعدل مريض واحد في المتوسط كل سبع دقائق. افترض أن المدة بين الوافدين موزعة بشكل كبير.

1. أوجد احتمال أن يكون الوقت بين زيارتين متتاليتين إلى مرفق الرعاية العاجلة أقل من دقيقتين.
2. أوجد احتمال أن يكون الوقت بين زيارتين متتاليتين إلى مرفق الرعاية العاجلة أكثر من 15 دقيقة.
3. إذا مرت 10 دقائق منذ آخر وصول، فما احتمال وصول الشخص التالي خلال الدقائق الخمس التالية؟
4. أوجد احتمال وصول أكثر من ثمانية مرضى خلال فترة نصف ساعة.