3.1: مصطلحات الاحتمالات

Last updated
Save as PDF

Page ID: 198955

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

الاحتمال هو مقياس يرتبط بمدى تأكدنا من نتائج تجربة أو نشاط معين. التجربة هي عملية مخططة يتم تنفيذها في ظل ظروف خاضعة للرقابة. إذا لم تكن النتيجة محددة مسبقًا، فيقال إن التجربة هي تجربة فرصة. يعد تقليب عملة واحدة عادلة مرتين مثالاً على التجربة.

نتيجة التجربة تسمى النتيجة. مساحة العينة للتجربة هي مجموعة جميع النتائج المحتملة. هناك ثلاث طرق لتمثيل مساحة العينة وهي: سرد النتائج المحتملة أو إنشاء مخطط شجري أو إنشاء مخطط Venn. \(S\)يتم استخدام الحرف الكبير للدلالة على مساحة العينة. على سبيل المثال، إذا قمت بقلب عملة واحدة عادلة،\(S = \{H, T\}\) حيث تكون\(H =\) الرؤوس\(T =\) والذيل هي النتائج.

الحدث هو أي مزيج من النتائج. الحروف الكبيرة تشبه الأحداث\(A\)\(B\) وتمثلها. على سبيل المثال، إذا كانت التجربة تهدف إلى قلب عملة واحدة عادلة،\(A\) فقد يحصل الحدث على رأس واحد على الأكثر. \(A\)يتم كتابة احتمال وقوع حدث\(P(A)\).

احتمال حدوث أي نتيجة هو التكرار النسبي طويل المدى لتلك النتيجة. تتراوح الاحتمالات بين الصفر والواحد، بما في ذلك (أي صفر وواحد وجميع الأرقام بين هذه القيم). \(P(A) = 0\)يعني أن الحدث لا\(A\) يمكن أن يحدث أبدًا. \(P(A) = 1\)يعني أن الحدث يحدث\(A\) دائمًا. \(P(A) = 0.5\)يعني أن الحدث\(A\) من المحتمل بنفس القدر أن يحدث أو لا يحدث. على سبيل المثال، إذا قمت بقلب عملة واحدة بشكل متكرر (من 20 إلى 2000 إلى 20000 مرة)، فإن التردد النسبي للرؤوس يقترب من 0.5 (احتمال الرؤوس).

يعني الاحتمال المتساوي أن كل نتيجة للتجربة تحدث باحتمالية متساوية. على سبيل المثال، إذا رميت نوتة خفيفة ذات ستة جوانب، فمن المحتمل أن يحدث كل وجه (1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6) مثل أي وجه آخر. إذا قمت برمي عملة معدنية عادلة، فمن المرجح أن يحدث رأس (H) وذيل (T) بنفس القدر. إذا خمنت بشكل عشوائي الإجابة على سؤال صحيح/خاطئ في الاختبار، فمن المحتمل أيضًا أن تختار إجابة صحيحة أو إجابة غير صحيحة.

لحساب احتمال وقوع حدث A عندما تكون جميع النتائج في مساحة العينة متساوية الاحتمال، احسب عدد نتائج الحدث A وقسمه على العدد الإجمالي للنتائج في مساحة العينة. على سبيل المثال، إذا قمت برمي عشرة سنتات عادلة ونيكل عادل، فإن مساحة العينة هي\(\{HH, TH, HT, TT\}\) مكان\(T =\) الذيول\(H =\) والرؤوس. تحتوي مساحة العينة على أربع نتائج. A = الحصول على رأس واحد. هناك نتيجتان تستوفيان هذا الشرط\(\{HT, TH\}\)، لذلك\(P(A) = \frac{2}{4} = 0.5\).

لنفترض أنك دحرفت نوتة عادلة ذات ستة جوانب والأرقام\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) على وجوهها. دع\(E =\) الحدث يحمل رقمًا لا يقل عن خمسة. هناك نتيجتان\(\{5, 6\}\). \(P(E) = \frac{2}{6}\)إذا قمت بلف القالب عدة مرات فقط، فلن تتفاجأ إذا لم تتطابق النتائج التي لاحظتها مع الاحتمال. إذا كنت ستقوم بلف القالب عددًا كبيرًا جدًا من المرات، فستتوقع أن تؤدي القوائم بشكل عام إلى نتيجة «خمسة على الأقل».\(\frac{2}{6}\) لن تتوقع بالضبط\(\frac{2}{6}\). سيقترب التكرار النسبي طويل المدى للحصول على هذه النتيجة من الاحتمال النظري\(\frac{2}{6}\) حيث يزداد عدد مرات التكرار بشكل أكبر.

تُعرف هذه الخاصية المهمة للتجارب الاحتمالية بقانون الأعداد الكبيرة الذي ينص على أنه مع زيادة عدد مرات تكرار التجربة، يميل التردد النسبي الذي تم الحصول عليه في التجربة إلى أن يصبح أقرب وأقرب إلى الاحتمال النظري. على الرغم من أن النتائج لا تحدث وفقًا لأي نمط أو ترتيب محدد، بشكل عام، فإن التردد النسبي الملحوظ على المدى الطويل سيقترب من الاحتمال النظري. (غالبًا ما تستخدم الكلمة التجريبية بدلاً من الكلمة التي تمت ملاحظتها.)

من المهم أن ندرك أنه في العديد من الحالات، لا تكون النتائج محتملة بنفس القدر. قد تكون العملة أو الموت غير عادلة أو متحيزة. قام اثنان من أساتذة الرياضيات في أوروبا باختبار طلاب الإحصاء لعملة اليورو البلجيكية واكتشفوا أنه في 250 تجربة، تم الحصول على الرأس بنسبة 56٪ من الوقت وتم الحصول على الذيل بنسبة 44٪ من الوقت. يبدو أن البيانات تظهر أن العملة ليست عملة عادلة؛ المزيد من التكرار سيكون مفيدًا لاستخلاص استنتاج أكثر دقة حول هذا التحيز. قد تكون بعض النرد متحيزة. انظر إلى النرد في لعبة لديك في المنزل؛ عادة ما تكون البقع على كل وجه عبارة عن ثقوب صغيرة منحوتة ثم مطلية لجعل البقع مرئية. قد يكون النرد متحيزًا أو لا؛ من الممكن أن تتأثر النتائج بالاختلافات الطفيفة في الوزن بسبب الأعداد المختلفة من الثقوب في الوجوه. تجني كازينوهات المقامرة الكثير من المال اعتمادًا على نتائج رمي النرد، لذلك يتم صنع نرد الكازينو بشكل مختلف للقضاء على التحيز. يحتوي نرد الكازينو على وجوه مسطحة؛ يتم ملء الثقوب بالكامل بالطلاء بنفس كثافة المادة التي يتكون منها النرد بحيث يكون من المحتمل حدوث كل وجه بنفس القدر. سنتعلم لاحقًا تقنيات لاستخدامها في التعامل مع احتمالات الأحداث غير المحتملة بنفس القدر.

\(\cup\)«الحدث: الاتحاد

تكون النتيجة في الحالة\(A \cup B\) إذا كانت النتيجة في A أو في B أو في كل من A و B. على سبيل المثال، let\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) and\(B = \{4, 5, 6, 7, 8\}\). \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). لاحظ أن 4 و 5 غير مدرجين مرتين.

\(\cap \)«الحدث: التقاطع

تكون النتيجة في الحالة\(A \cap B\) إذا كانت النتيجة في كل من A و B في نفس الوقت. على سبيل المثال، دعونا\(B\) نكون\(A\)\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) و\(\{4, 5, 6, 7, 8\}\)، على التوالي. ثم\(A \cap B = \{4, 5\}\).

يُشار إلى تكملة الحدث A بـ A ′ (اقرأ «A Prime»). يتكون A′ من جميع النتائج التي ليست في A. لاحظ ذلك\(P(A) + P(A′) = 1\). على سبيل المثال، دعونا\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) نترك\(A = \{1, 2, 3, 4\}\). ثم،\(A′ = \{5, 6\}\). \(P(A) = \frac{4}{6}\)،\(P(A′) = \frac{2}{6}\)، و\(P(A) + P(A′) = \frac{4}{6}+\frac{2}{6}=1\)

الاحتمال الشرطي\(A\) للمعطى\(B\) مكتوب\(P(A|B)\). \(P(A|B)\)هو احتمال حدوث هذا الحدث\(A\) بالنظر إلى أن الحدث\(B\) قد حدث بالفعل. يقلل الشرط مساحة العينة. نحسب احتمال A من مساحة العينة المخفضة\(B\). الصيغة المراد حسابها\(P(A|B)\)\(P(B)\) هي\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) حيث يكون أكبر من الصفر.

على سبيل المثال، لنفترض أننا قمنا برمي قالب واحد من ستة جوانب. مساحة العينة\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). دع\(A =\) الوجه هو 2 أو 3\(B =\) والوجه متساوي\((2, 4, 6)\). للحساب\(P(A|B)\)، نحسب عدد النتائج 2 أو 3 في مساحة العينة\(B = \{2, 4, 6\}\). ثم نقسم ذلك على عدد النتائج\(B\) (بدلاً من\(S\)).

نحصل على نفس النتيجة باستخدام الصيغة. تذكر أن هذا\(S\) يحتوي على ست نتائج.

\(P(A|B) = \frac{\frac{(\text { the number of outcomes that are } 2 \text { or } 3 \text { and even in } S)}{6}}{\frac{(\text { the number of outcomes that are even in } S)}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{3}\)

احتمالات

تمثل احتمالات الحدث الاحتمال كنسبة من النجاح إلى الفشل. هذا أمر شائع في تنسيقات المقامرة المختلفة. رياضياً، يمكن تعريف احتمالات الحدث على النحو التالي:

\[\frac{P(A)}{1-P(A)}\nonumber\]

\(P(A)\)أين احتمال النجاح وبالطبع\(1 − P(A)\) احتمال الفشل. يتم دائمًا اقتباس الاحتمالات على أنها «من البسط إلى المقام»، على سبيل المثال من 2 إلى 1. هنا احتمال الفوز هو ضعف احتمال الخسارة؛ وبالتالي، فإن احتمال الفوز هو 0.66. احتمال الفوز بنسبة 0.60 سيولد احتمالات لصالح الفوز بـ 3 إلى 2. في حين أن حساب الاحتمالات يمكن أن يكون مفيدًا في أماكن المقامرة في تحديد مبالغ المكافأة، إلا أنه ليس مفيدًا لفهم الاحتمالات أو النظرية الإحصائية.

فهم المصطلحات والرموز

من المهم قراءة كل مشكلة بعناية للتفكير في ماهية الأحداث وفهمها. إن فهم الصياغة هو الخطوة الأولى المهمة جدًا في حل مشكلات الاحتمالات. أعد قراءة المشكلة عدة مرات إذا لزم الأمر. حدد بوضوح الحدث محل الاهتمام. حدد ما إذا كان هناك شرط مذكور في الصياغة يشير إلى أن الاحتمال مشروط؛ حدد الشرط بعناية، إن وجد.

الحل 3.3

\(P(M) = 0.52\)
\(P(F) = 0.48\)
\(P(R) = 0.87\)
\(P(L) = 0.13\)
\(P(M \cap R) = 0.43\)
\(P(F \cap L) = 0.04\)
\(P(M \cup F) = 1\)
\(P(M \cup R) = 0.96\)
\(P(F \cup L) = 0.57\)
\(P(M') = 0.48\)
\(P(R|M) = 0.8269\)(مقرّبة إلى أربع خانات عشرية)
\(P(F|L) = 0.3077\)(مقرّبة إلى أربع خانات عشرية)
\(P(L|F) = 0.0833\)