Skip to main content
Global

الفصل 12 تمارين المراجعة

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    201403

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    التسلسلات

    التمارين\(\PageIndex{1}\) Write the First Few Terms of a Sequence

    في التمارين التالية، اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يُعطى المصطلح العام.

    1. \(a_{n}=7 n-5\)
    2. \(a_{n}=3^{n}+4\)
    3. \(a_{n}=2^{n}+n\)
    4. \(a_{n}=\frac{2 n+1}{4^{n}}\)
    5. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\)
    إجابة

    2. \(7,13,31,85,247\)

    4. \(\frac{3}{4}, \frac{5}{16}, \frac{7}{64}, \frac{9}{256}, \frac{11}{1024}\)

    التمارين\(\PageIndex{2}\) Find a Formula for the General Term (\(n\)th Term of a Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن حد عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى.

    1. \(9,18,27,36,45, \dots\)
    2. \(-5,-4,-3,-2,-1, \dots\)
    3. \(\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, \ldots\)
    4. \(1,-8,27,-64,125, \ldots\)
    5. \(-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-\frac{3}{5},-\frac{2}{3},-\frac{5}{7}, \dots\)
    إجابة

    1. \(a_{n}=9 n\)

    3. \(a_{n}=e^{n-4}\)

    5. \(a_{n}=-\frac{n}{n+2}\)

    التمارين\(\PageIndex{3}\) Use Factorial Notation

    في التمارين التالية، باستخدام الترميز العاملي، اكتب المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل الذي يُعطى المصطلح العام.

    1. \(a_{n}=4 n !\)
    2. \(a_{n}=\frac{n !}{(n+2) !}\)
    3. \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1)^{2}}\)
    إجابة

    2. \(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}\)

    التمارين\(\PageIndex{4}\) Find the Partial Sum

    في التمارين التالية، قم بتوسيع المبلغ الجزئي والعثور على قيمته.

    1. \(\sum_{i=1}^{7}(2 i-5)\)
    2. \(\sum_{i=1}^{3} 5^{i}\)
    3. \(\sum_{k=0}^{4} \frac{4}{k !}\)
    4. \(\sum_{k=1}^{4}(k+1)(2 k+1)\)
    إجابة

    1. \(\begin{array}{l}{-3+(-1)+1+3+5} {+7+9=21}\end{array}\)

    3. \(4+4+2+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{65}{6}\)

    التمارين\(\PageIndex{5}\) Use Summation Notation to Write a Sum

    في التمارين التالية، اكتب كل مجموع باستخدام رمز الجمع.

    1. \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}\)
    2. \(4-8+12-16+20-24\)
    3. \(4+2+\frac{4}{3}+1+\frac{4}{5}\)
    إجابة

    1. \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}\)

    3. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{4}{n}\)

    المتتابعات الحسابية

    التمارين\(\PageIndex{6}\) Determine if a Sequence is Arithmetic

    في التمارين التالية، حدد ما إذا كان كل تسلسل حسابيًا، وإذا كان الأمر كذلك، حدد الفرق المشترك.

    1. \(1,2,4,8,16,32, \dots\)
    2. \(-7,-1,5,11,17,23, \dots\)
    3. \(13,9,5,1,-3,-7, \dots\)
    إجابة

    2. التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشترك\(d=6\).

    التمارين\(\PageIndex{7}\) Determine if a Sequence is Arithmetic

    في التمارين التالية، اكتب الحدود الخمسة الأولى من كل تسلسل حسابي باستخدام الحد الأول المعطى والفرق المشترك.

    1. \(a_{1}=5\)و\(d=3\)
    2. \(a_{1}=8\)و\(d=-2\)
    3. \(a_{1}=-13\)و\(d=6\)
    إجابة

    1. \(5,8,11,14,17\)

    3. \(-13,-7,-1,5,11\)

    التمارين\(\PageIndex{8}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of an Arithmetic Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن المصطلح الموصوف باستخدام المعلومات المقدمة.

    1. ابحث عن الحد الخامس والعشرين من التسلسل حيث الحد الأول هو خمسة والفرق المشترك هو ثلاثة.
    2. ابحث عن الحد الثلاثين من التسلسل حيث يكون المصطلح الأول\(16\) والفرق المشترك هو\(−5\).
    3. ابحث عن الحد السابع عشر من التسلسل حيث يكون الحد الأول\(−21\) والفرق المشترك هو اثنين.
    إجابة

    2. \(-129\)

    التمارين\(\PageIndex{9}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of an Arithmetic Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن المصطلح المشار إليه وأعط صيغة المصطلح العام.

    1. ابحث عن الحد الثامن عشر من التسلسل حيث يكون الحد الخامس\(12\) والفرق المشترك هو سبعة.
    2. ابحث عن الحد الحادي والعشرين من التسلسل حيث يكون المصطلح السابع\(14\) والفرق المشترك هو\(−3\).
    إجابة

    1. \(a_{18}=103 .\)المصطلح العام هو\(a_{n}=7 n-23\).

    التمارين\(\PageIndex{10}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of an Arithmetic Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن الحد الأول والفرق المشترك للتسلسل مع المصطلحات المعطاة. اكتب صيغة المصطلح العام.

    1. الفصل الخامس هو\(17\) والفصل الرابع عشر هو\(53\).
    2. المصطلح الثالث هو\(−26\) والفصل السادس عشر هو\(−91\).
    إجابة

    1. \(a_{1}=1, d=4 .\)المصطلح العام هو\(a_{n}=4 n-3\).

    التمارين\(\PageIndex{11}\) Find the Sum of the First \(n\) Terms of an Arithmetic Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن مجموع الحدود\(30\) الأولى لكل تسلسل حسابي.

    1. \(7,4,1,-2,-5, \dots\)
    2. \(1,6,11,16,21, \ldots\)
    إجابة

    1. \(-430\)

    التمارين\(\PageIndex{12}\) Find the Sum of the First \(n\) Terms of an Arithmetic Sequence

    في التمارين التالية، أوجد مجموع أول خمسة عشر حدودًا من المتتابعة الحسابية التي يُعطى الحد العام لها.

    1. \(a_{n}=4 n+7\)
    2. \(a_{n}=-2 n+19\)
    إجابة

    1. \(585\)

    التمارين\(\PageIndex{13}\) Find the Sum of the First \(n\) Terms of an Arithmetic Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن كل مجموع.

    1. \(\sum_{i=1}^{50}(4 i-5)\)
    2. \(\sum_{i=1}^{30}(-3 i-7)\)
    3. \(\sum_{i=1}^{35}(i+10)\)
    إجابة

    1. \(4850\)

    3. \(980\)

    المتتابعات الهندسية والمسلسلات

    التمارين\(\PageIndex{14}\) Determine if a Sequence is Geometric

    في التمارين التالية، حدد ما إذا كان التسلسل هندسيًا، وإذا كان الأمر كذلك، فحدد النسبة المشتركة.

    1. \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
    2. \(5,10,15,20,25,30, \dots\)
    3. \(112,56,28,14,7, \frac{7}{2}, \ldots\)
    4. \(9,-18,36,-72,144,-288, \dots\)
    إجابة

    2. التسلسل ليس هندسيًا.

    4. التسلسل هندسي بنسبة مشتركة\(r=−2\).

    التمارين\(\PageIndex{15}\) Determine if a Sequence is Geometric

    في التمارين التالية، اكتب الحدود الخمسة الأولى من كل تسلسل هندسي باستخدام الحد الأول المعطى والنسبة المشتركة.

    1. \(a_{1}=-3\)و\(r=5\)
    2. \(a_{1}=128\)و\(r=\frac{1}{4}\)
    3. \(a_{1}=5\)و\(r=-3\)
    إجابة

    2. \(128,32,8,2, \frac{1}{2}\)

    التمارين\(\PageIndex{16}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن الحد المشار إليه من التسلسل حيث يتم إعطاء الحد الأول والنسبة المشتركة.

    1. ابحث عن\(a_{9}\) المعطى\(a_{1}=6\) و\(r=2\)
    2. ابحث عن\(a_{11}\) المعطى\(a_{1}=10,000,000\) و\(r=0.1\)
    إجابة

    1. \(1,536\)

    التمارين\(\PageIndex{17}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن الحد المشار إليه للتسلسل المعطى. ابحث عن المصطلح العام للتسلسل.

    1. ابحث\(a_{12}\) عن التسلسل،\(6,-24,96,-384,1536,-6144, \dots\)
    2. ابحث\(a_{9}\) عن التسلسل،\(4374,1458,486,162,54,18, \ldots\)
    إجابة

    1. \(a_{12}=-25,165,824 .\)المصطلح العام هو\(a_{n}=6(-4)^{n-1}\)

    التمارين\(\PageIndex{18}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    في التمارين التالية، أوجد مجموع الحدود الخمسة عشر الأولى من كل تسلسل هندسي.

    1. \(-4,8,-16,32,-64,128 \ldots\)
    2. \(3,12,48,192,768,3072 \ldots\)
    3. \(3125,625,125,25,5,1 \ldots\)
    إجابة

    1. \(5,460\)

    3. \(\approx 3906.25\)

    التمارين\(\PageIndex{19}\) find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن المجموع

    1. \(\sum_{i=1}^{8} 7(3)^{i}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{6} 24\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
    إجابة

    2. \(\frac{189}{8}=23.625\)

    التمارين\(\PageIndex{20}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    في التمارين التالية، أوجد مجموع كل سلسلة هندسية لا نهائية.

    1. \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}+\frac{1}{729}-\dots\)
    2. \(49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\ldots\)
    إجابة

    2. \(\frac{343}{6} \approx 57.167\)

    التمارين\(\PageIndex{21}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    في التمارين التالية، اكتب كل عدد عشري متكرر في صورة كسر.

    1. \(0 . \overline{8}\)
    2. \(0 . \overline{36}\)
    إجابة

    2. \(\frac{4}{11}\)

    التمارين\(\PageIndex{22}\) Apply Geometric Sequences and Series in the Real World

    في التمارين التالية، قم بحل المشكلة.

    1. ما هو التأثير الكلي على الاقتصاد للخصم الضريبي الحكومي بقيمة $\(360\) لكل أسرة من أجل تحفيز الاقتصاد إذا كانت كل أسرة ستنفق\(60\)٪ من الخصم على السلع والخدمات؟
    2. حصل آدم للتو على أول وظيفة بدوام كامل بعد تخرجه من المدرسة الثانوية في سن 17. قرر استثمار $\(300\) شهريًا في IRA (سنويًا). الفائدة على الأقساط السنوية هي\(7\)% والتي يتم تجميعها شهريًا. كم سيكون في حساب آدم عندما يتقاعد في عيد ميلاده السابع والستين؟
    إجابة

    2. \(\$ 1,634,421.27\)

    نظرية ذات الحدين

    التمارين\(\PageIndex{23}\) Use Pascal's Triangle to Expand a Binomial

    في التمارين التالية، قم بتوسيع كل معادلة ذات حدين باستخدام مثلث باسكال.

    1. \((a+b)^{7}\)
    2. \((x-y)^{4}\)
    3. \((x+6)^{3}\)
    4. \((2 y-3)^{5}\)
    5. \((7 x+2 y)^{3}\)
    إجابة

    2. \(x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}\)

    4. \(\begin{array}{l}{32 y^{5}-240 y^{4}+720 y^{3}-1080 y^{2}} {+810 y-243}\end{array}\)

    التمارين\(\PageIndex{24}\) Evaluate a Binomial Coefficient

    في التمارين التالية، قم بالتقييم.

      1. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {12}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{13} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {3}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {5}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{15} \\ {15}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {2}\end{array}\right)\)
    إجابة

    1.

    1. \(11\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(56\)

    3.

    1. \(1\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(55\)
    التمارين\(\PageIndex{25}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    في التمارين التالية، قم بتوسيع كل معادلة ذات حدين باستخدام نظرية ذات الحدين.

    1. \((p+q)^{6}\)
    2. \((t-1)^{9}\)
    3. \((2 x+1)^{4}\)
    4. \((4 x+3 y)^{4}\)
    5. \((x-3 y)^{5}\)
    إجابة

    2. \(\begin{array}{l}{t^{9}-9 t^{8}+36 t^{7}-84 t^{6}+126 t^{5}} {-126 t^{4}+84 t^{3}-36 t^{2}+9 t-1}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{256 x^{4}+768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {+432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}\)

    التمارين\(\PageIndex{26}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    في التمارين التالية، ابحث عن المصطلح المشار إليه في توسيع المعادلة ذات الحدين.

    1. فترة الولاية السابعة\((a+b)^{9}\)
    2. فترة ثالثة من\((x-y)^{7}\)
    إجابة

    1. \(84a^{6} b^{3}\)

    التمارين\(\PageIndex{27}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    في التمارين التالية، ابحث عن معامل الحد المشار إليه في توسيع المعادلة ذات الحدين.

    1. \(y^{4}\)مدة\((y+3)^{6}\)
    2. \(x^{5}\)مدة\((x-2)^{8}\)
    3. \(a^{3} b^{4}\)مدة\((2 a+b)^{7}\)
    إجابة

    1. \(135\)

    3. \(280\)

    اختبار الممارسة

    التمارين\(\PageIndex{28}\)

    في التمارين التالية، اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يُعطى المصطلح العام.

    1. \(a_{n}=\frac{5 n-3}{3^{n}}\)
    2. \(a_{n}=\frac{(n+2) !}{(n+3) !}\)
    3. ابحث عن مصطلح عام للتسلسل،\(-\frac{2}{3},-\frac{4}{5},-\frac{6}{7},-\frac{8}{9},-\frac{10}{11}, \dots\)
    4. قم بتوسيع المبلغ الجزئي وابحث عن قيمته. \(\sum_{i=1}^{4}(-4)^{i}\)
    5. اكتب ما يلي باستخدام رمز التلخيص. \(-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\)
    6. اكتب الحدود الخمسة الأولى للتسلسل الحسابي باستخدام الحد الأول المعطى والفرق المشترك. \(a_{1}=-13\)و\(d=3\)
    7. ابحث عن الحد العشرين من متتابعة حسابية حيث الحد الأول هو اثنان والفرق المشترك هو\(−7\).
    8. أوجد الحد الثالث والعشرين لمتتابعة حسابية يكون الحد السابع لها\(11\) والفرق المشترك هو ثلاثة. ثم ابحث عن صيغة للمصطلح العام.
    9. أوجد الحد الأول والفرق المشترك في تسلسل حسابي يكون الحد التاسع\(−1\) والحد السادس عشر هو\(−15\). ثم ابحث عن صيغة للمصطلح العام.
    10. ابحث عن مجموع الحدود الأولى\(25\) للتسلسل الحسابي،\(5,9,13,17,21, \dots\)
    11. أوجد مجموع الحدود الأولى\(50\) للتسلسل الحسابي الذي يكون الحد العام له\(a_{n}=-3 n+100\).
    12. ابحث عن المبلغ. \(\sum_{i=1}^{40}(5 i-21)\)
    إجابة

    2. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}\)

    4. \(-4+16-64+256=204\)

    6. \(-13,-10,-7,-4,-1\)

    8. \(a_{23}=59 .\)المصطلح العام هو\(a_{n}=3 n-10\).

    10. \(1,325\)

    12. \(3,260\)

    التمارين\(\PageIndex{29}\)

    في التمارين التالية، حدد ما إذا كان التسلسل حسابيًا أم هندسيًا أم لا. في حالة الحساب، ابحث عن الفرق المشترك. إذا كانت هندسية، فابحث عن النسبة المشتركة.

    1. \(14,3,-8,-19,-30,-41, \ldots\)
    2. \(324,108,36,12,4, \frac{4}{3}, \ldots\)
    3. اكتب الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة الهندسية باستخدام الحد الأول المعطى والنسبة الشائعة. \(a_{1}=6\)و\(r=−2\).
    4. في التسلسل الهندسي الذي يكون الحد الأول والنسبة المشتركة له هما\(a_{1}=5\) و\(r=4\)، أوجد\(a_{11}\).
    5. ابحث\(a_{10}\) عن المتتابعة الهندسية،\(1250,250,50,10,2, \frac{2}{5}, \ldots\) ثم ابحث عن
      صيغة المصطلح العام.
    6. أوجد مجموع الحدود الثلاثة عشر الأولى من المتتابعة الهندسية،\(2,-6,18,-54,162,-486 \ldots\)
    إجابة

    2. التسلسل هندسي بنسبة مشتركة\(r=\frac{1}{3}\).

    4. \(5,242,880\)

    6. \(797,162\)

    التمارين\(\PageIndex{30}\)

    في التمارين التالية، ابحث عن المجموع.

    1. \(\sum_{i=1}^{9} 5(2)^{i}\)
    2. \(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{125}+\frac{1}{625}-\frac{1}{3125}+\dots\)
    3. اكتب العدد العشري المتكرر في صورة كسر. \(0 . \overline{81}\)
    4. حصل ديف للتو على أول وظيفة بدوام كامل بعد تخرجه من المدرسة الثانوية في سن 18 عامًا. قرر استثمار $\(450\) شهريًا في IRA (سنويًا). الفائدة على الأقساط السنوية هي\(6\)% والتي يتم تجميعها شهريًا. كم سيكون في حساب آدم عندما يتقاعد في عيد ميلاده الخامس والستين؟
    5. قم بتوسيع المعادلة ذات الحدين باستخدام مثلث باسكال. \((m-2 n)^{5}\)
    6. قم بتقييم كل معامل ذي حدين.
      1. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{16} \\ {16}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{10} \\ {6}\end{array}\right)\)
    7. قم بتوسيع المعادلة ذات الحدين باستخدام نظرية ذات الحدين. \((4 x+5 y)^{3}\)
    إجابة

    2. \(\frac{5}{6}\)

    4. \(\$ 1,409,344.19\)

    6.

    1. \(8\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(210\)