12.5: نظرية ذات الحدين

Last updated
Save as PDF

Page ID: 201411

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

استخدم مثلث باسكال لتوسيع المعادلة ذات الحدين
قم بتقييم المعامل ذي الحدين
استخدم نظرية ذات الحدين لتوسيع معادلة ذات حدين

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

قم بالتبسيط:$\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 1.25.
قم بتوسيع:$(3 x+5)^{2}$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 5.32.
قم بتوسيع:$(x-y)^{2}$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 5.32.

استخدم مثلث باسكال لتوسيع المعادلة ذات الحدين

في عملنا السابق، قمنا بتجميع المربعات ذات الحدين إما باستخدام FOIL أو باستخدام نمط المربعات ذات الحدين. يمكننا أيضًا القول أننا توسعنا$(a+b)^{2}$.

$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$

للتوسع$(a+b)^{3}$، ندرك أن هذا يحدث$(a+b)^{2}(a+b)$ ويتضاعف.

$(a+b)^{3}$
$(a+b)^{2}(a+b)$
$\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)(a+b)$
$a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b+2 a b^{2}+b^{3}$
$a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$

للعثور على طريقة أقل تعقيدًا من شأنها أن تعمل مع التوسعات العالية مثل$(a+b)^{7}$، نبحث مرة أخرى عن الأنماط في بعض التوسعات.

الجدول 12-4-1
	عدد المصطلحات	الفصل الدراسي الأول	الفصل الدراسي الأخير
$(a+b)^{1}=a+b$	$2$	$a^{1}$	$b^{1}$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$	$3$	$a^{2}$	$b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$	$4$	$a^{3}$	$b^{3}$
$(a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}$	$5$	$a^{4}$	$b^{4}$
$(a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}$	$6$	$a^{5}$	$b^{5}$
$(a+b)^{n}$	$n$	$a^{n}$	$b^{n}$

لاحظ أن المصطلحين الأول والأخير يعرضان متغيرًا واحدًا فقط. تذكر ذلك$a^{0}=1$، حتى نتمكن من إعادة كتابة المصطلحين الأول والأخير لتضمين كلا المتغيرين. على سبيل المثال، يمكننا التوسع$(a+b)^{3}$ لإظهار كل مصطلح مع كلا المتغيرين.

يوضح هذا الشكل النمط a زائد b إلى قوة 3 يساوي a إلى قوة 3 مرات b إلى قوة 0 زائد 3 مرات a إلى قوة 2 في b إلى قوة 1 زائد 3 a إلى قوة من 0 في b إلى قوة من 1 زائد 3 a إلى قوة 0 في b إلى قوة 3. — الشكل 12.4.1

بشكل عام، لا نعرض الأسس الصفرية، تمامًا كما نكتب عادةً$x$ بدلاً من$1x$.

ملاحظة

الأنماط في التوسع$(a+b)^{n}$

عدد المصطلحات هو$n+1$.
المصطلح الأول هو$a^{n}$ والفصل الأخير هو$b^{n}$.
$a$تنخفض الأسس بمقدار واحد في كل فصل من اليسار إلى اليمين.
$b$تزداد الأسس بمقدار واحد في كل فصل من اليسار إلى اليمين.
مجموع الأسس في أي مصطلح هو$n$.

لنلقِ نظرة على مثال لتسليط الضوء على الأنماط الثلاثة الأخيرة.

يوضح هذا الشكل النمط a زائد b إلى قوة 5 يساوي a زائد 5 مرات في b زائد 10 مرات في b زائد 10 مرات في b زائد 5 مرات في b زائد b. — الشكل 12.4.2

من الأنماط التي حددناها، نرى المتغيرات في التوسع$(a+b)^{n}$، ستكون

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}$.

للعثور على معاملات المصطلحات، نكتب توسعاتنا مرة أخرى مع التركيز على المعاملات. نعيد كتابة المعاملات إلى اليمين لتشكيل مجموعة من المعاملات.

A زائد b إلى قوة 0 يساوي 1. المستوى الأعلى لمثلث باسكال هو 1. A زائد b لقوة 1 يساوي 1 a زائد 1 b، والمستوى الثاني من مثلث باسكال هو 1، 1. A زائد b إلى قوة 2 يساوي 1 a إلى قوة 2 زائد 2 a b زائد 1 b إلى قوة 2. المستوى الثالث من مثلث باسكال هو 1، 2، 1. A زائد b إلى قوة 3 يساوي 1 a إلى قوة 3 زائد 3 a إلى قوة 2 b زائد 3 a إلى قوة 2 a b إلى قوة 2 زائد 1 b إلى قوة 3. المستوى الرابع من مثلث باسكال هو 1,3,3,1. A زائد b إلى قوة 4 يساوي 1 a إلى قوة 4 زائد 4 a إلى قوة 3 b زائد 6 a إلى قوة 2 b إلى قوة 2 b إلى قوة 2 زائد 4 a b إلى قوة 3 زائد 1 b إلى قوة 4. المستوى الخامس من مثلث باسكال هو 1، 4، 6، 4، 1. A زائد b إلى قوة 5 يساوي 1 a إلى قوة 5 زائد 5 a إلى قوة 4 b زائد 10 a إلى قوة 3 b إلى قوة 3 b إلى قوة 2 زائد 10 a إلى قوة 2 b إلى قوة 3. الصف السادس من مثلث باسكال هو 1، 5، 10، 10، 5، 1. — الشكل 12.4.3

المصفوفة الموجودة على اليمين تسمى مثلث باسكال. لاحظ أن كل رقم في المصفوفة هو مجموع أقرب رقمين في الصف أعلاه. يمكننا العثور على الصف التالي من خلال البدء والانتهاء بواحد ثم إضافة رقمين متجاورين.

يوضِّح هذا الشكل مثلث باسكال. المستوى الأول هو 1. المستوى الثاني هو 1، 1. المستوى الثالث هو 1، 2، 1. المستوى الرابع هو 1، 3، 3، 1. المستوى الخامس هو 1، 4، 6، 4، 1. المستوى السادس هو 1، 5، 10، 10، 5، 1. المستوى السابع هو 1، 6، 15، 20، 15، 6، 1. — الشكل 12.4.4

يعطي هذا المثلث معاملات المصطلحات عندما نقوم بتوسيع المقادير ذات الحدين.

تعريف$\PageIndex{1}$

مثلث باسكال

في المثال التالي، سنستخدم هذا المثلث والأنماط التي عرفناها لتوسيع المعادلة ذات الحدين.

مثال$\PageIndex{1}$

استخدم مثلث باسكال للتوسيع$(x+y)^{6}$.

الحل:

نحن نعلم أن متغيرات هذا التوسع ستتبع النمط الذي حددناه. تبدأ الأسس غير الصفرية$x$ لـ 6 وتنخفض إلى واحد. تبدأ الأسس غير الصفرية لـ$y$ 1 وتزيد إلى ستة. سيكون مجموع الأسس في كل فصل ستة. في نمطنا،$a=x$ و$b=y$.

$\begin{array}{l}{(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1} b^{1}+\_\_\_a^{n-2} b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}} \\ {(x+y)^{6}=x^{6}+\_\_\_x^{5} y^{1}+\_\_\_x^{4} y^{2}+\_\_\_x^{3} y^{3}+\_\_\_x^{2} y^{4}+\_\_\_x^{1} y^{5}+y^{6}}\end{array}$

يوضح هذا الشكل وجود زائد ب لقوة n يساوي a إلى قوة n زائد a إلى القوة إذا كان n ناقص 1 b إلى قوة 1 زائد a إلى قوة n ناقص 2 b إلى القدرة إذا كان 2 زائد علامة القطع زائد a إلى قوة 1 b إلى قوة n ناقص 1 زائد b إلى قوة n زائد b إلى قوة n. يوضح الشكل التالي x زائد y للقدرة من 6 يساوي x إلى قوة 6 زائد x إلى قوة 5 y إلى قوة 1 زائد x إلى قوة 4 y إلى قوة 2 زائد x إلى قوة 3 y إلى قوة 3 زائد x إلى قوة 3 زائد x إلى قوة 2 y إلى قوة 4 زائد x إلى قوة 1 y إلى قوة 5 زائد y إلى قوة 6. — الشكل 12.4.6

التمارين$\PageIndex{1}$

استخدم مثلث باسكال للتوسيع$(x+y)^{5}$.

إجابة: $\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

التمارين$\PageIndex{2}$

استخدم مثلث باسكال للتوسيع$(p+q)^{7}$.

إجابة: $\begin{array}{c}{p^{7}+7 p^{6} q+21 p^{5} q^{2}+35 p^{4} q^{3}} {+35 p^{3} q^{4}+21 p^{2} q^{5}+7 p q^{6}+q^{7}}\end{array}$

في المثال التالي، نريد توسيع المعادلة ذات الحدين بمتغير واحد وثابت واحد. نحن بحاجة إلى$a$ تحديد النمط وتطبيقه بعناية.$b$

مثال$\PageIndex{2}$

استخدم مثلث باسكال للتوسيع$(x+3)^{5}$.

الحل:

نحدد حرف$a$$b$ و النمط.

يوضح هذا الشكل كيفية تحديد زائد ب لقوة n، في النمط x زائد 3 إلى قوة 5. — الشكل 12.4.7

في نمطنا،$a=x$ و$b=3$.

نحن نعلم أن متغيرات هذا التوسع ستتبع النمط الذي حددناه. سيكون مجموع الأسس في كل فصل خمسة.

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} $

$(x+3)^{5}=x^{5}+\_\_\_x^{4}\cdot3^{1}+\_\_\_x^{3}\cdot3^{2}+\_\_\_x^{2}\cdot3^{3}+\_\_\_x^{1}\cdot3^{4}+3^{5}$

التمارين$\PageIndex{3}$

استخدم مثلث باسكال للتوسيع$(x+2)^{4}$.

إجابة: $x^{4}+8 x^{3}+24 x^{2}+32 x+16$

التمارين$\PageIndex{4}$

استخدم مثلث باسكال للتوسيع$(x+1)^{6}$.

إجابة: $\begin{array}{l}{x^{6}+6 x^{5}+15 x^{4}+20 x^{3}+15 x^{2}} {+6 x+1}\end{array}$

في المثال التالي، يمثل الحدان فرقًا والحد الأول له ثابت مضروبًا في المتغير. بمجرد تحديد نموذج النموذج، يجب علينا مرة أخرى تطبيق النمط بعناية.$a$$b$

مثال$\PageIndex{3}$

استخدم مثلث باسكال للتوسيع$(3x-2)^{4}$.

الحل:

نحدد حرف$a$$b$ و النمط.

يوضح هذا الشكل كيفية تحديد زائد ب لقوة n، في النمط 3 × ناقص 2 إلى قوة 4. — الشكل 12.4.9

في نمطنا،$a=3x$ و$b=-2$.

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} $

$(3 x-2 )^{4}=1 \cdot\left(\stackrel{3}{x}+4(3 x)^{3}(-2)^{1}+6(3 x)^{2}(-2)^{2}+4(3 x)^{1}(-2)^{3}+1 \cdot(-2)^{4}\right.$

$(3 x-2)^{4}=81 x^{4}+4\left(27 x^{3}\right)(-2)+6\left(9 x^{2}\right)(4)+4(3 x)(-8)+1 \cdot 16$

$(3 x-2 )^{4}=81 x^{4}-216 x^{3}+216 x^{2}-96 x+16$

التمارين$\PageIndex{5}$

استخدم مثلث باسكال للتوسيع$(2x-3)^{4}$.

إجابة: $16 x^{4}-96 x^{3}+216 x^{2}-216 x+81$

التمارين$\PageIndex{6}$

استخدم مثلث باسكال للتوسيع$(2x-1)^{6}$.

إجابة: $\begin{array}{l}{64 x^{6}-192 x^{5}+240 x^{4}-160 x^{3}} {+60 x^{2}-12 x+1}\end{array}$

إيجاد قيمة المعامل ذي الحدين

في حين أن مثلث باسكال هو إحدى طرق توسيع المعادلة ذات الحدين، سننظر أيضًا في طريقة أخرى. قبل أن نصل إلى ذلك، نحتاج إلى تقديم المزيد من الرموز العاملية. لا يتم استخدام هذا الترميز فقط لتوسيع الحدود الثنائية، ولكن أيضًا في دراسة واستخدام الاحتمال.

للعثور على معاملات مصطلحات ذات حدين موسعة، سنحتاج إلى أن نكون قادرين على تقييم الترميز$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ الذي يسمى المعامل ذي الحدين. نقرأ على$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ أنها «$n$اختيار$r$» أو «$n$تؤخذ$r$ في كل مرة».

تعريف$\PageIndex{1}$

يُعرَّف المعامل ذو الحدين$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$$r$، أين$b$ توجد الأعداد الصحيحة مع$0 \leq r \leq n$، على أنه

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

نقرأ$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ كـ "$n$اختيار$r$" أو "$n$مأخوذ$r$ في كل مرة».

مثال$\PageIndex{4}$

تقييم:

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

الحل:

أ- سنستخدم تعريف المعامل ذي الحدين،

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$

استخدم التعريف$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$، أين$n=5, r=1$.

$\frac{5 !}{1 !(5-1) !}$

قم بالتبسيط.

$\frac{5 !}{1 !(4) !}$

أعد الكتابة$5!$ باسم$5\cdot 4!$

$\frac{5 \cdot 4 !}{1 ! \cdot 4 !}$

قم بالتبسيط من خلال إزالة العوامل المشتركة.

$\frac{5\cdot \cancel{4 !}}{1 ! \cdot \cancel{4 !}}$

قم بالتبسيط.

$5$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)=5$

ب.$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$

استخدم التعريف$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$، أين$n=7, r=7$.

$\frac{7 !}{7 !(7-7) !}$

قم بالتبسيط.

$\frac{7 !}{7 !(0) !}$

قم بالتبسيط. تذكر$0!=1$.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)=1$

ج.$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$

استخدم التعريف$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$، أين$n=4, r=0$.

$\frac{4 !}{0 !(4-0) !}$

قم بالتبسيط.

$\frac{4 !}{0 !(4) !}$

قم بالتبسيط.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)=1$

د.$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

استخدم التعريف$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$، أين$n=8, r=5$.

$\frac{8 !}{5 !(8-5) !}$

قم بالتبسيط.

$\frac{8 !}{5 !(3) !}$

أعد الكتابة$8!$ باسم$8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!$ وأزل العوامل المشتركة.

$\frac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot1}$

قم بالتبسيط.

$56$

$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)=56$

التمارين$\PageIndex{7}$

قم بتقييم كل معامل ذي حدين:

$\left( \begin{array}{l}{6} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {8}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {3}\end{array}\right)$

إجابة

$6$
$1$
$1$
$35$

التمارين$\PageIndex{8}$

قم بتقييم كل معامل ذي حدين:

$\left( \begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{11} \\ {11}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{6} \\ {5}\end{array}\right)$

إجابة

$2$
$1$
$1$
$6$

في المثال السابق$(a)$$(b)$،$(c)$ أظهر بعض الخصائص الخاصة للمعاملات ذات الحدين.

تعريف$\PageIndex{2}$

خصائص المعاملات ذات الحدين

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

استخدم نظرية ذات الحدين لتوسيع معادلة ذات حدين

نحن الآن جاهزون لاستخدام الطريقة البديلة لتوسيع الحدود الثنائية. تستخدم نظرية ذات الحدين نفس النمط للمتغيرات، ولكنها تستخدم المعامل ذي الحدين لمعامل كل حد.

تعريف$\PageIndex{3}$

نظرية ذات الحدين

لأي أرقام$a$ حقيقية$b$ وعدد صحيح موجب$n$،

$(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}$

مثال$\PageIndex{5}$

استخدم نظرية ذات الحدين للتوسيع$(p+q)^{4}$.

الحل:

نحدد حرف$a$$b$ و النمط.

يوضح هذا الشكل كيفية تحديد زائد ب لقوة n، في النمط p زائد q إلى قوة 4. — الشكل 12.4.11

في نمطنا،$a=p$ و$b=q$.

نحن نستخدم نظرية ذات الحدين.

استبدل القيم$a=p, b=q$ و$n=4$.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{c}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{4-1} q^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{4-2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p^{4-3} q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

قم بتبسيط الأسس.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{3} q+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

قم بتقييم المعاملات، تذكر،$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(p+q)^{4}=1 p^{4}+4 p^{3} q^{1}+\frac{4 !}{2 !(2) !} p^{2} q^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !} p^{1} q^{3}+1 q^{4}$
$(p+q)^{4}=p^{4}+4 p^{3} q+6 p^{2} q^{2}+4 p q^{3}+q^{4}$

التمارين$\PageIndex{9}$

استخدم نظرية ذات الحدين للتوسيع$(x+y)^{5}$.

إجابة: $\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

التمارين$\PageIndex{10}$

استخدم نظرية ذات الحدين للتوسيع$(m+n)^{6}$.

إجابة: $\begin{array}{l}{m^{6}+6 m^{5} n+15 m^{4} n^{2}+20 m^{3} n^{3}} {+15 m^{2} n^{4}+6 m n^{5}+n^{6}}\end{array}$

لاحظ أنه عندما قمنا$(p+q)^{4}$ بالتوسع في المثال الأخير، باستخدام نظرية ذات الحدين، حصلنا على نفس المعاملات التي سنحصل عليها من استخدام مثلث باسكال.

الشكل أعلاه هو P زائد q إلى قوة 4 يساوي 4 اختر 0 مرة p إلى قوة 4 زائد 4 اختر 1 مرة p إلى قوة 3 q زائد 4 اختر 2 مرات p إلى قوة 2 q إلى قوة 2 q إلى قوة 2 زائد 4 اختر 3 مرات p q إلى قوة 3 زائد 4 اختر 4 مرات q إلى قوة 3 زائد 4 اختر 4 أضعاف q إلى قوة 4. P زائد q إلى قوة 4 يساوي p إلى قوة 4 p إلى قوة 3 q زائد 6 p إلى قوة 2 q إلى قوة 2 زائد 4 p q إلى قوة 3 زائد q إلى قوة 4. يوضِّح هذا الشكل الموجود على اليمين مثلث باسكال. المستوى الأول هو 1. المستوى الثاني هو 1، 1. المستوى الثالث هو 1، 2، 1. المستوى الرابع هو 1، 3، 3، 1. المستوى الخامس هو 1، 4، 6، 4، 1. المستوى السادس هو 1، 5، 10، 10، 5، 1. المستوى السابع هو 1، 6، 15، 20، 15، 6، 1. — الشكل 12.4.12

المثال التالي، المعادلة ذات الحدين هي الفرق. عندما يكون الحد ذو الحدين فرقًا، يجب أن نكون حذرين في تحديد القيم التي سنستخدمها في النمط.

مثال$\PageIndex{6}$

استخدم نظرية ذات الحدين للتوسيع$(x-2)^{5}$.

الحل:

نحدد حرف$a$$b$ و النمط.

يوضح هذا الشكل x ناقص 2 لقوة 5. — الشكل 12.4.13

في نمطنا،$a=x$ و$b=-2$.

نحن نستخدم نظرية ذات الحدين.

استبدل القيم$a=x, b=-2$، و$n=5$.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{5-1}(-2)^{1}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{5-2}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{5-3}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x^{5-4}(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

قم بتبسيط المعاملات. تذكر،$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{4}(-2)+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{3}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{2}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=1 x^{5}+5(-2) x^{4}+\frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !}(-2)^{2} x^{3}+\frac{5 !}{3 ! 2 !}(-2)^{3} x^{2}+\frac{5 !}{4 !1 !}(-2)^{4} x+1(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=x^{5}+5(-2) x^{4}+10 \cdot 4 \cdot x^{3}+10(-8) x^{2}+5 \cdot 16 \cdot x+1(-32)$

$(x-2)^{5}=x^{5}-10 x^{4}+40 x^{3}-80 x^{2}+80 x-32$

التمارين$\PageIndex{11}$

استخدم نظرية ذات الحدين للتوسيع$(x-3)^{5}$.

إجابة: $\begin{array}{l}{x^{5}-15 x^{4}+90 x^{3}-270 x^{2}} {+405 x-243}\end{array}$

التمارين$\PageIndex{12}$

استخدم نظرية ذات الحدين للتوسيع$(y-1)^{6}$.

إجابة: $\begin{array}{l}{y^{6}-6 y^{5}+15 y^{4}-20 y^{3}+15 y^{2}} {-6 y+1}\end{array}$

يمكن أن تصبح الأمور فوضوية عندما يحتوي كلا المصطلحين على معامل ومتغير.

مثال$\PageIndex{7}$

استخدم نظرية ذات الحدين للتوسيع$(2x-3y)^{4}$.

الحل:

نحدد حرف$a$$b$ و النمط.

يوضح هذا الشكل كيفية تحديد زائد ب لقوة n، في النمط 2 × ناقص 3 y مضروبًا في قوة 4. — الشكل 12.4.14

في نمطنا،$a=2x$ و$b=-3y$.

نحن نستخدم نظرية ذات الحدين.

استبدل القيم$a=2x, b=-3y$ و$n=4$.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{4-1}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{4-2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{4-3}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) (-3y)^{4}$

قم بتبسيط الأسس.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{1}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right)(-3 y)^{4}$

قم بتقييم المعاملات. تذكر،$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(2 x-3 y)^{4}=1(2 x)^{4}+4(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\frac{4 !}{2 !(2 x) !}(2 x)^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !}(2 x)^{3}(-3 y)^{3}+1(-3 y)^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}+4 \cdot 8 x^{3}(-3 y)+6\left(4 x^{2}\right)\left(9 y^{2}\right)+4(2 x)\left(-27 y^{3}\right)+81 y^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}-96 x^{3} y+216 x^{2} y^{2}-216 x y^{3}+81 y^{4}$

التمارين$\PageIndex{13}$

استخدم نظرية ذات الحدين للتوسيع$(3x-2y)^{5}$.

إجابة: $\begin{array}{l}{243 x^{5}-810 x^{4} y+1080 x^{3} y^{2}} {-720 x^{2} y^{3}+240 x y^{4}-32 y^{5}}\end{array}$

التمارين$\PageIndex{14}$

استخدم نظرية ذات الحدين للتوسيع$(4x-3y)^{4}$.

إجابة: $\begin{array}{l}{256 x^{4}-768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {-432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}$

الجمال الحقيقي لنظرية ذات الحدين هو أنها تعطي صيغة لأي مصطلح معين من التوسع دون الحاجة إلى حساب المجموع الكلي. دعونا نبحث عن نمط في نظرية ذات الحدين.

يوضح هذا الشكل زائد ب إلى قوة n يساوي n اختر 0 مرة أ إلى قوة n b إلى قوة 0 زائد n اختر 1 مرة إلى قوة n ناقص 1 b إلى 1 زائد n اختر 2 مرات أ إلى قوة n ناقص 2 ب إلى قوة n ناقص 2 b إلى قوة 2 زائد علامة الحذف زائد n اختر r مرات a إلى قوة n ناقص أو زائد علامة الحذف بالإضافة إلى n اختر n مرات بواسطة قوة n. — الشكل 12.4.15

لاحظ أنه في كل حالة يكون الأس$b$ الموجود على الحرف أقل بمقدار واحد من رقم المصطلح. $(r+1)^{st}$المصطلح هو المصطلح الذي يكون فيه$b$ الأس$r$. لذلك يمكننا استخدام تنسيق$(r+1)^{st}$ المصطلح للعثور على قيمة مصطلح معين.

ملاحظة

ابحث عن حد معين في التوسعة ذات الحدين

$(r+1)^{s t}$المصطلح في التوسع$(a+b)^{n}$ هو

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}$

مثال$\PageIndex{8}$

ابحث عن الفصل الرابع من$(x+y)^{7}$.

الحل:

الجدول 12-4-1
في نمطنا،$n=7, a=x$ و$b=y$.	$.$
نحن نبحث عن الفصل الرابع. منذ$r+1=4$ ذلك الحين$r=3$.
اكتب الصيغة	$.$
استبدل القيم و$n=7, r=3, a=x$ و$b=y$.	$.$
$.$	$.$
قم بالتبسيط.	$.$
قم بالتبسيط.	$.$

التمارين$\PageIndex{15}$

ابحث عن الفصل الثالث من$(x+y)^{6}$.

إجابة: $15x^{4}y^{2}$

التمارين$\PageIndex{16}$

ابحث عن الفصل الخامس من$(a+b)^{8}$.

إجابة: $8ab^{7}$

مثال$\PageIndex{9}$

أوجد معامل$x^{6}$ مصطلح$(x+3)^{9}$.

الحل:

الجدول 12-4-2
في نمطنا، إذن$n=9, a=x$، و$b=3$.	$.$ الشكل 12.4.23
نحن نبحث عن معامل$x^{6}$ المصطلح. منذ$a=x$ ذلك الحين$x^{9-r}=x^{6}$، ونحن نعلم$r=3$.
اكتب الصيغة.	$.$ الشكل 12.4.24
استبدل القيم و$n=9, 4=3, a=x$ و$b=3$.	$.$ الشكل 12.4.25
$.$ الشكل 12.4.26	$.$ الشكل 12.4.27
قم بالتبسيط.	$.$ الشكل 12.4.28
قم بالتبسيط.	$.$ الشكل 12.4.29
قم بالتبسيط.	$.$ الشكل 12.4.30

التمارين$\PageIndex{17}$

أوجد معامل$x^{5}$ مصطلح$(x+4)^{8}$.

إجابة: $7,168$

التمارين$\PageIndex{18}$

أوجد معامل$x^{4}$ مصطلح$(x+2)^{7}$.

إجابة: $280$

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة باستخدام التسلسلات.

المفاهيم الرئيسية

الأنماط في توسيع\ (a+b) ^ {n}\ (
- عدد المصطلحات هو$n+1$.
- المصطلح الأول هو$a^{n}$ والفصل الأخير هو$b^{n}$.
- $a$تنخفض الأسس بمقدار واحد في كل فصل من اليسار إلى اليمين.
- $b$تزداد الأسس بمقدار واحد في كل فصل من اليسار إلى اليمين.
- مجموع الأسس في أي مصطلح هو$n$.
مثلث باسكال

المعامل ذو الحدين $\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$: يُعرَّف المعامل ذو الحدين$\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$، حيث$r$$n$ تكون الأعداد الصحيحة مع$0≤r≤n$، على أنه

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

نقرأ على$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ أنها «$n$اختيار$r$» أو «$n$تؤخذ$r$ في كل مرة».

خصائص المعاملات ذات الحدين

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

نظرية ذات الحدين:

لأي أرقام حقيقية$a$$b$، وعدد صحيح موجب$n$،

	عدد المصطلحات	الفصل الدراسي الأول	الفصل الدراسي الأخير
\((a+b)^{1}=a+b\)	\(2\)	\(a^{1}\)	\(b^{1}\)
\((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\)	\(3\)	\(a^{2}\)	\(b^{2}\)
\((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\)	\(4\)	\(a^{3}\)	\(b^{3}\)
\((a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}\)	\(5\)	\(a^{4}\)	\(b^{4}\)
\((a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}\)	\(6\)	\(a^{5}\)	\(b^{5}\)
\((a+b)^{n}\)	\(n\)	\(a^{n}\)	\(b^{n}\)

ملاحظة

تعريف\(\PageIndex{1}\)

مثال\(\PageIndex{1}\)

التمارين\(\PageIndex{1}\)

التمارين\(\PageIndex{2}\)

مثال\(\PageIndex{2}\)

التمارين\(\PageIndex{3}\)

التمارين\(\PageIndex{4}\)

مثال\(\PageIndex{3}\)

التمارين\(\PageIndex{5}\)

التمارين\(\PageIndex{6}\)

تعريف\(\PageIndex{1}\)

مثال\(\PageIndex{4}\)

التمارين\(\PageIndex{7}\)

التمارين\(\PageIndex{8}\)

تعريف\(\PageIndex{2}\)

تعريف\(\PageIndex{3}\)

مثال\(\PageIndex{5}\)

التمارين\(\PageIndex{9}\)

التمارين\(\PageIndex{10}\)

مثال\(\PageIndex{6}\)

التمارين\(\PageIndex{11}\)

التمارين\(\PageIndex{12}\)

مثال\(\PageIndex{7}\)

التمارين\(\PageIndex{13}\)

التمارين\(\PageIndex{14}\)

ملاحظة

مثال\(\PageIndex{8}\)

التمارين\(\PageIndex{15}\)

التمارين\(\PageIndex{16}\)

مثال\(\PageIndex{9}\)

التمارين\(\PageIndex{17}\)

التمارين\(\PageIndex{18}\)

في نمطنا،\(n=7, a=x\) و\(b=y\).	$.$
نحن نبحث عن الفصل الرابع. منذ\(r+1=4\) ذلك الحين\(r=3\).
اكتب الصيغة	$.$
استبدل القيم و\(n=7, r=3, a=x\) و\(b=y\).	$.$
$.$	$.$
قم بالتبسيط.	$.$
قم بالتبسيط.	$.$

في نمطنا، إذن\(n=9, a=x\)، و\(b=3\).	$.$ الشكل 12.4.23
نحن نبحث عن معامل\(x^{6}\) المصطلح. منذ\(a=x\) ذلك الحين\(x^{9-r}=x^{6}\)، ونحن نعلم\(r=3\).
اكتب الصيغة.	$.$ الشكل 12.4.24
استبدل القيم و\(n=9, 4=3, a=x\) و\(b=3\).	$.$ الشكل 12.4.25
$.$ الشكل 12.4.26	$.$ الشكل 12.4.27
قم بالتبسيط.	$.$ الشكل 12.4.28
قم بالتبسيط.	$.$ الشكل 12.4.29
قم بالتبسيط.	$.$ الشكل 12.4.30