Skip to main content
Global

12.4E: تمارين

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    201393

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    الممارسة تجعل من الكمال

    التمارين\(\PageIndex{21}\) Determine if a Sequence is Geometric

    في التمارين التالية، حدد ما إذا كان التسلسل هندسيًا، وإذا كان الأمر كذلك، فحدد النسبة المشتركة.

    1. \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
    2. \(2,10,50,250,1250,6250, \dots\)
    3. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \dots\)
    4. \(54,18,6,2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots\)
    5. \(-3,6,-12,24,-48,96, \dots\)
    6. \(2,-6,18,-54,162,-486, \dots\)
    إجابة

    1. التسلسل هندسي بنسبة مشتركة\(r=4\).

    3. التسلسل هندسي بنسبة مشتركة\(r=\frac{1}{2}\).

    5. التسلسل هندسي بنسبة مشتركة\(r=−2\).

    التمارين\(\PageIndex{22}\) Determine if a Sequence is Geometric

    في التمارين التالية، حدد ما إذا كان كل تسلسل حسابيًا أم هندسيًا أم لا. في حالة الحساب، حدد الفرق المشترك. إذا كانت هندسية، فحدد النسبة المشتركة.

    1. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \ldots\)
    2. \(12,6,0,-6,-12,-18, \dots\)
    3. \(-7,-2,3,8,13,18, \dots\)
    4. \(5,9,13,17,21,25, \ldots\)
    5. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots\)
    6. \(4,8,12,24,48,96, \dots\)
    إجابة

    1. التسلسل هندسي بنسبة مشتركة\(r=\frac{1}{2}\).

    3. التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشترك\(d=5\).

    5. التسلسل هندسي بنسبة مشتركة\(r=\frac{1}{2}\).

    التمارين\(\PageIndex{23}\) Determine if a Sequence is Geometric

    في التمارين التالية، اكتب الحدود الخمسة الأولى من كل تسلسل هندسي باستخدام الحد الأول المعطى والنسبة المشتركة.

    1. \(a_{1}=4\)و\(r=3\)
    2. \(a_{1}=9\)و\(r=2\)
    3. \(a_{1}=-4\)و\(r=-2\)
    4. \(a_{1}=-5\)و\(r=-3\)
    5. \(a_{1}=27\)و\(r=\frac{1}{3}\)
    6. \(a_{1}=64\)و\(r=\frac{1}{4}\)
    إجابة

    1. \(4,12,36,108,324\)

    3. \(-4,8,-16,32,-64\)

    5. \(27,9,3,1, \frac{1}{3}\)

    التمارين\(\PageIndex{24}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence
    1. ابحث عن\(a_{11}\) المعطى\(a_{1}=8\) و\(r=3\).
    2. ابحث عن\(a_{13}\) المعطى\(a_{1}=7\) و\(r=2\).
    3. ابحث عن\(a_{10}\) المعطى\(a_{1}=-6\) و\(r=-2\).
    4. ابحث عن\(a_{15}\) المعطى\(a_{1}=-4\) و\(r=-3\).
    5. ابحث عن\(a_{10}\) المعطى\(a_{1}=100,000\) و\(r=0.1\).
    6. ابحث عن\(a_{8}\) المعطى\(a_{1}=1,000,000\) و\(r=0.01\).
    إجابة

    1. \(472,392\)

    3. \(3,072\)

    5. \(0.0001\)

    التمارين\(\PageIndex{25}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن الحد المشار إليه للتسلسل المعطى. ابحث عن المصطلح العام للتسلسل.

    1. ابحث\(a_{9}\) عن التسلسل،\(9,18,36,72,144,288, \dots\)
    2. ابحث\(a_{12}\) عن التسلسل،\(5,15,45,135,405,1215, \dots\)
    3. ابحث\(a_{15}\) عن التسلسل،\(-486,162,-54,18,-6,2, \dots\)
    4. ابحث\(a_{16}\) عن التسلسل،\(224,-112,56,-28,14,-7, \ldots\)
    5. ابحث\(a_{10}\) عن التسلسل،\(1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001, \ldots\)
    6. ابحث\(a_{9}\) عن التسلسل،\(1000,100,10,1,0.1,0.01, \dots\)
    إجابة

    1. \(a_{9}=2,304 .\)المصطلح العام هو\(a_{n}=9(2)^{n-1}\).

    3. \(a_{15}=-\frac{2}{19,683} .\)المصطلح العام هو\(a_{n}=-486\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\).

    5. \(a_{10}=0.000000001 .\)المصطلح العام هو\(a_{n}=(0.1)^{n-1}\).

    التمارين\(\PageIndex{26}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    في التمارين التالية، أوجد مجموع الحدود الخمسة عشر الأولى من كل تسلسل هندسي.

    1. \(8,24,72,216,648,1944, \dots\)
    2. \(7,14,28,56,112,224, \dots\)
    3. \(-6,12,-24,48,-96,192, \dots\)
    4. \(-4,12,-36,108,-324,972, \ldots\)
    5. \(81,27,9,3,1, \frac{1}{3}, \ldots\)
    6. \(256,64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)
    إجابة

    1. \(57,395,624\)

    3. \(-65,538\)

    5. \(\frac{7,174,453}{59,049} \approx 121.5\)

    التمارين\(\PageIndex{27}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    في التمارين التالية، ابحث عن مجموع التسلسل الهندسي.

    1. \(\sum_{i=1}^{15}(2)^{i}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{10}(3)^{i}\)
    3. \(\sum_{i=1}^{9} 4(2)^{i}\)
    4. \(\sum_{i=1}^{8} 5(3)^{i}\)
    5. \(\sum_{i=1}^{10} 9\left(\frac{1}{3}\right)^{i}\)
    6. \(\sum_{i=1}^{15} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
    إجابة

    1. \(65,534\)

    3. \(4088\)

    5. \(\frac{29,524}{6561} \approx 4.5\)

    التمارين\(\PageIndex{28}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    في التمارين التالية، أوجد مجموع كل سلسلة هندسية لا نهائية.

    1. \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}+\ldots\)
    2. \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\)
    3. \(6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\ldots\)
    4. \(-4+2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\dots\)
    5. \(6+12+24+48+96+192+\dots\)
    6. \(5+15+45+135+405+1215+\ldots\)
    7. \(1,024+512+256+128+64+32+\ldots\)
    8. \(6,561+2187+729+243+81+27+\dots\)
    إجابة

    1. \(\frac{3}{2}\)

    3. \(\frac{9}{2}\)

    5. لا يوجد مبلغ مثل\(r≥1\)

    7.\ (2,048\ (

    التمارين\(\PageIndex{29}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    في التمارين التالية، اكتب كل عدد عشري متكرر في صورة كسر.

    1. \(0 . \overline{3}\)
    2. \(0 . \overline{6}\)
    3. \(0 . \overline{7}\)
    4. \(0 . \overline{2}\)
    5. \(0 . \overline{45}\)
    6. \(0 . \overline{27}\)
    إجابة

    1. \(\frac{1}{3}\)

    3. \(\frac{7}{9}\)

    5. \(\frac{5}{11}\)

    التمارين\(\PageIndex{30}\) Apply Geometric Sequences and Series in the Real World

    في التمارين التالية، قم بحل المشكلة.

    1. ابحث عن التأثير الكلي على الاقتصاد لكل خصم ضريبي حكومي لكل أسرة من أجل تحفيز الاقتصاد إذا كانت كل أسرة ستنفق النسبة المئوية المشار إليها من الخصم في السلع والخدمات.
    خصم ضريبي لكل أسرة نسبة الإنفاق على السلع والخدمات التأثير الكلي على الاقتصاد
    أ. $\(1,000\) \(85\)%  
    ب. $\(1,000\) \(75\)%  
    ج. دولار\(1,500\) \(90\)%  
    د. $\(1,500\) \(80\)%  
    الجدول 12-3-3

    2. يقرر الأجداد الجدد استثمار $\(100\) شهريًا كمعاش سنوي لأحفادهم. سيدفع الحساب\(6\) نسبة فائدة سنوية يتم تجميعها شهريًا (\(12\)مرات في السنة). كم سيكون في حساب الطفل في عيد ميلاده الحادي والعشرين؟

    3. حصلت Berenice للتو على أول وظيفة بدوام كامل بعد تخرجها من الكلية في سنها\(30\). قررت أن تستثمر $\(500\) في كل ربع سنة في الجيش الجمهوري الأيرلندي (على أساس سنوي). الفائدة على الأقساط السنوية هي\(7\)% والتي يتم تجميعها كل ثلاثة أشهر (\(4\)مرات في السنة). كم سيكون في حساب بيرينيس عندما تتقاعد في سنها\(65\)؟

    4. تريد أليس شراء منزل في غضون خمس سنوات تقريبًا. تقوم بإيداع $\(500\) شهريًا في معاش سنوي يكسب\(5\)% سنويًا يتم مضاعفته شهريًا (\(12\)مرات في السنة). كم سيكون لدى أليس مقابل الدفعة الأولى في خمس سنوات؟

    5. حصلت Myra للتو على أول وظيفة بدوام كامل بعد تخرجها من الكلية. إنها تخطط للحصول على درجة الماجستير، وكذلك تقوم بإيداع دولار\(2,500\) سنويًا من مكافأة نهاية العام إلى معاش سنوي. يدفع القسط السنوي\(6.5\)% سنويًا ويتم مضاعفته سنويًا. كم ستدخر في خمس سنوات لمتابعة درجة الماجستير؟

    إجابة

    1. أ. $\(6666.67\) ب. $\(4000\) ج. $\(15,000\) د. $\(7500\)

    3. $\(295,581.88\)

    5. $\(14,234.10\)

    التمارين\(\PageIndex{31}\) Writing Exercises
    1. بكلماتك الخاصة، اشرح كيفية تحديد ما إذا كان التسلسل هندسيًا أم لا.
    2. بكلماتك الخاصة، اشرح كيفية العثور على المصطلح العام للتسلسل الهندسي.
    3. بكلماتك الخاصة، اشرح الفرق بين التسلسل الهندسي والمسلسل الهندسي.
    4. بكلماتك الخاصة، اشرح كيفية تحديد ما إذا كانت السلسلة الهندسية اللانهائية تحتوي على مجموع وكيفية العثور عليه.
    إجابة

    2. سوف تتنوع الإجابات.

    4. سوف تتنوع الإجابات

    فحص ذاتي

    يوضِّح هذا الشكل سبعة صفوف وأربعة أعمدة. الصف الأول هو صف العنوان ويقرأ «أستطيع» و «بثقة» و «مع بعض المساعدة» و «لا، لا أفهم ذلك. يقرأ العمود الأول «حدد ما إذا كان التسلسل هندسيًا»، «ابحث عن المصطلح العام (الحد التاسع) لـ»، «التسلسل الهندسي»، «ابحث عن مجموع سلسلة هندسية لا نهائية»، استخدم التسلسلات الهندسية لحل التطبيقات». الأعمدة المتبقية فارغة.
    الشكل 12.3.11
    1. بعد الانتهاء من التمارين، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.
    2. ماذا تخبرك قائمة التحقق هذه عن إتقانك لهذا القسم؟ ما الخطوات التي ستتخذها للتحسين؟