12.3: التسلسلات الحسابية
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- حدد ما إذا كان التسلسل حسابيًا
- ابحث عن الحد العام (nالحد العاشر) للتسلسل الحسابي
- ابحث عن مجموع الحدود الأولىn للمتتابعة الحسابية
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- قم بتقييم4n−1 الأعداد الصحيحة1,2,3، و4.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 1.6. - حل نظام المعادلات:{x+y=73x+4y=23.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 4.9. - إذاf(n)=n2(3n+5)، ابحثf(1)+f(20).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 3.49.
حدد ما إذا كان التسلسل حسابيًا
قدم القسم الأخير التسلسلات والآن سننظر في نوعين محددين من التسلسلات التي لكل منها خصائص خاصة. في هذا القسم سنلقي نظرة على التسلسلات الحسابية وفي القسم التالي، التسلسلات الهندسية.
التسلسل الحسابي هو تسلسل يكون فيه الفرق بين المصطلحات المتتالية ثابتًا. الفرق بين المصطلحات المتتالية في التسلسل الحسابي، a_ {n} -a_ {n-1}d، هو الفرق المشترك، وهوn أكبر من أو يساوي اثنين.
التسلسل الحسابي هو تسلسل يكون فيه الفرق بين المصطلحات المتتالية هو نفسه دائمًا.
الفرق بين المصطلحات المتتالية، a_ {n} -a_ {n-1}d، هو الفرق المشترك، وهوn أكبر من أو يساوي اثنين.
حدد ما إذا كان كل تسلسل حسابيًا. إذا كان الأمر كذلك، فحدد الفرق المشترك.
- 5,9,13,17,21,25,…
- 4,9,12,17,20,25,…
- 10,3,−4,−11,−18,−25,…
الحل:
لتحديد ما إذا كان التسلسل حسابيًا، نجد فرق الحدود المتتالية الموضحة.
أ.5,9,13,1721,25,… Find the difference of the consecutive terms.9−513−917−1321−1725−2144444
التسلسل هو الحساب. الفرق المشترك هوd=4.
ب.4,9,12,1720,25,… Find the difference of the consecutive terms.9−412−917−1220−1725−2023535
التسلسل ليس حسابيًا لأن جميع الاختلافات بين الشروط المتتالية ليست هي نفسها. لا يوجد فرق مشترك.
ج.10,3,−4,−11−18,−25,… Find the difference of the consecutive terms.3−10−4−3−11−(−4)−18−(−11)−25−(−18)−7−7−7−7−7
الإجابة:
التسلسل هو الحساب. الفرق المشترك هوd=−7.
حدد ما إذا كان كل تسلسل حسابيًا. إذا كان الأمر كذلك، فحدد الفرق المشترك.
- 9,20,31,42,53,64,…
- 12,6,0,−6,−12,−18,…
- 7,1,10,4,13,7,…
- إجابة
-
- التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشتركd=11.
- التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشتركd=−6.
- التسلسل ليس حسابيًا لأن جميع الاختلافات بين الشروط المتتالية ليست هي نفسها.
حدد ما إذا كان كل تسلسل حسابيًا. إذا كان الأمر كذلك، فحدد الفرق المشترك.
- −4,4,2,10,8,16,…
- −3,−1,1,3,5,7,…
- 7,2,−3,−8,−13,−18,…
- إجابة
-
- التسلسل ليس حسابيًا لأن جميع الاختلافات بين الشروط المتتالية ليست هي نفسها.
- التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشتركd=2.
- التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشتركd=−5.
إذا عرفنا المصطلح الأول والفرق المشتركd، فيمكننا سرد عدد محدود من مصطلحات التسلسل.a1
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل حيث يكون الحد الأول5 والفرق المشترك هوd=−6.
الحل:
نبدأ بالفصل الأول ونضيف الفرق المشترك. ثم نضيف الفرق المشترك لهذه النتيجة للحصول على المصطلح التالي، وهكذا.
a1a2a3a4a555+(−6)−1+(−6)−7+(−6)−13+(−6)−1−7−13−19
الإجابة:
التسلسل هو5,−1,−7,−13,−19,…
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل حيث يكون الحد الأول7 والفرق المشترك هوd=−4.
- إجابة
-
7,3,−1,−5,−9,…
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل حيث يكون الحد الأول11 والفرق المشترك هوd=−8.
- إجابة
-
11,3,−5,−13,−21,…
أوجد الحد العام (nالحد العاشر) لمتتابعة حسابية
مثلما وجدنا صيغة للحد العام للتسلسل، يمكننا أيضًا العثور على صيغة للحد العام للتسلسل الحسابي.
دعونا نكتب المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل حيث يكون المصطلح الأولa1 والفرق المشترك هوd. سنبحث بعد ذلك عن نمط.
عندما نبحث عن نمط نرى أن كل فصل يبدأ بـa1.
يضيف المصطلح الأول0d إلىa1، ويضيف المصطلح الثاني1d، ويضيف المصطلح الثالث2d، ويضيف المصطلح الرابع3d، ويضيف المصطلح الخامس4d. عدد الأشخاصds الذين تمتa1 إضافتهم أقل بمقدار واحد من رقم المصطلح. هذا يقودنا إلى ما يلي
an=a1+(n−1)d
الحد العام للتسلسل الحسابي مع الحد الأولa1 والفرق المشتركd هو
an=a1+(n−1)d
سنستخدم هذه الصيغة في المثال التالي للعثور على الحد الخامس عشر من التسلسل.
ابحث عن الحد الخامس عشر من التسلسل حيث يكون المصطلح الأول3 والفرق المشترك هو6.
الحل:
To find the fifteenth term, a15, use the formula with a1=3andd=6.an=a1+(n−1)dSubstitute in the values.a15=3+(15−1)6Simplify.a15=3+(14)6a15=87
ابحث عن الحد السابع والعشرين من التسلسل حيث يكون المصطلح الأول7 والفرق المشترك هو9.
- إجابة
-
241
ابحث عن الحد الثامن عشر من التسلسل حيث يكون الحد الأول13 والفرق المشترك هو−7.
- إجابة
-
−106
في بعض الأحيان لا نعرف المصطلح الأول ويجب علينا استخدام معلومات أخرى معينة للعثور عليه قبل أن نجد المصطلح المطلوب.
ابحث عن الحد الثاني عشر من التسلسل حيث يكون الحد السابع10 والفرق المشترك هو−2. اكتب صيغة المصطلح العام.
الحل:
للعثور أولاً على المصطلح الأولa1، استخدم الصيغة معa7=10، وn=7، وd=−2. استبدل القيم. قم بالتبسيط.
an=a1+(n−1)d
10=a1+(7−1)(−2)
10=a1+(6)(−2)
10=a1−12
a1=22
أوجد الحد الثاني عشرa12، باستخدام الصيغة معa1=22، وn=12، وd=−2. استبدل القيم. قم بالتبسيط.
an=a1+(n−1)d
a12=22+(12−1)(−2)
a12=22+(11)(−2)
a12=0
المصطلح الثاني عشر من التسلسل هو0,a12=0
للعثور على المصطلح العام، استبدل القيم في الصيغة.
an=a1+(n−1)d
an=22+(n−1)(−2)
an=22−2n+2
الإجابة:
المصطلح العام هوan=−2n+24
ابحث عن الحد الحادي عشر من التسلسل حيث يكون الحد التاسع8 والفرق المشترك هو−3. اكتب صيغة المصطلح العام.
- إجابة
-
a11=2.المصطلح العام هوan=−3n+35
ابحث عن الحد التاسع عشر من التسلسل حيث يكون الحد الخامس1 والفرق المشترك هو−4 .أعط صيغة المصطلح العام.
- إجابة
-
a19=−55.المصطلح العام هوan=−4n+21
في بعض الأحيان تقودنا المعلومات المقدمة إلى معادلتين في مجهولين. ثم نستخدم طرقنا لحل أنظمة المعادلات للعثور على القيم المطلوبة.
ابحث عن الحد الأول والفرق المشترك للتسلسل حيث يكون الحد الخامس19 والحد الحادي عشر37. اكتب صيغة المصطلح العام.
الحل:
نظرًا لأننا نعرف مصطلحين، يمكننا إنشاء نظام معادلات باستخدام صيغة المصطلح العام.
نحن نعرف قيمةa5 وa11، لذلك سوف نستخدمn=5 وn=11. | |
استبدل القيم،a5=19 وa11=37. |
|
قم بالتبسيط. | |
استعد لحذفa1 المصطلح بضرب المعادلة العليا في−1. أضف المعادلات. |
|
d=3العودة إلى المعادلة الأولى. | |
حل لـa1. | |
استخدم الصيغة معa1=7 وd=3. | |
استبدل القيم. | |
قم بالتبسيط. | |
المصطلح الأول هوa1=7. الفرق المشترك هوd=3. |
|
المصطلح العام للتسلسل هوan=3n+4. |
الإجابة:
المصطلح العام للتسلسل هوan=3n+4.
ابحث عن الحد الأول والفرق المشترك للتسلسل حيث يكون المصطلح الرابع هو17 الحد الثالث عشر53. اكتب صيغة المصطلح العام.
- إجابة
-
a1=5,d=4.المصطلح العام هوan=4n+1.
ابحث عن الحد الأول والفرق المشترك للتسلسل حيث يكون المصطلح الثالث2 والحد الثاني عشر هو−25. اكتب صيغة المصطلح العام.
- إجابة
-
a1=8,d=−3.المصطلح العام هوan=−3n+11.
أوجد مجموع الحدود الأولىn للمتتابعة الحسابية
كما هو الحال مع التسلسلات العامة، غالبًا ما يكون من المفيد العثور على مجموع التسلسل الحسابي. يُكتب مجموعn المصطلحات الأولى لأي تسلسل حسابي كـSn=a1+a2+a3+…+an.Sn يمكن أن يكون العثور على المبلغ بمجرد إضافة جميع المصطلحات أمرًا شاقًا. لذلك يمكننا أيضًا تطوير صيغة للعثور على مجموع التسلسل باستخدام الحد الأول والأخير من التسلسل.
يمكننا تطوير هذه الصيغة الجديدة من خلال كتابة المجموع أولاً بالبدء بالفصل الأولa1، والاستمرار في إضافة ad للحصول على المصطلح التالي على النحو التالي:
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+an.
يمكننا أيضًا عكس ترتيب المصطلحات وكتابة المجموع من خلال البدء بالطرحan والاستمرار في الطرحd للحصول على الحد التالي كـ
Sn=an+(an−d)+(an−2d)+…+a1.
إذا أضفنا هذين التعبيرين لمجموع الحدود الأولىn من تسلسل حسابي، يمكننا استخلاص صيغة لمجموع الحدود الأولىn لأي سلسلة حسابية.
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+an+Sn=an+(an−d)+(an−2d)+…+a12Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+⋯+(a1+an)
نظرًا لوجودn مجاميع(a1+an) على الجانب الأيمن من المعادلة، نعيد كتابة الجانب الأيمن كـn(a1+an).
2Sn=n(a1+an)
نحن نقسم على اثنين لحلهاSn.
Sn=n2(a1+an)
يعطينا هذا صيغة عامة لمجموع الحدود الأولىn للتسلسل الحسابي.
مجموعn الشروط الأولى للتسلسل الحسابي هوSn
Sn=n2(a1+an)
أينa1 هو المصطلح الأولan وهو المصطلحn العاشر.
نطبق هذه الصيغة في المثال التالي حيث يتم إعطاء المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل.
ابحث عن مجموع الحدود الأولى30 للتسلسل الحسابي:8,13,18,23,28,…
الحل:
للعثور على المبلغ، سنستخدم الصيغةSn=n2(a1+an). نحن نعرفa1=8,d=5n=30، ولكننا بحاجة إلى البحث منan أجل استخدام صيغة المجموع.
ابحث عنan المكانa1=8,d=5 وn=30. قم بالتبسيط.
an=a1+(n−1)da30=8+(30−1)5a30=8+(29)5a30=153
معرفةa1=8,n=30 صيغة المجموع واستخدامها.a30=153 استبدل القيم. قم بالتبسيط. قم بالتبسيط.
Sn=n2(a1+an)S30=302(8+153)S30=15(161)S30=2,415
ابحث عن مجموع الحدود الأولى30 للتسلسل الحسابي:5,9,13,17,21,…
- إجابة
-
1,890
ابحث عن مجموع الحدود الأولى30 للتسلسل الحسابي:7,10,13,16,19,…
- إجابة
-
1,515
في المثال التالي، يتم إعطاؤنا المصطلح العام للتسلسل ويطلب منا العثور على مجموع50 المصطلحات الأولى.
أوجد مجموع الحدود الأولى50 للتسلسل الحسابي الذي يكون الحد العام لهan=3n−4.
الحل:
للعثور على المبلغ، سنستخدم الصيغةSn=n2(a1+an). نحن نعلمn=50، لكننا بحاجة إلى إيجاد صيغة المجموعa1 ومنan أجل استخدامها.
ابحثa1 عن طريق الاستبدالn=1. | |
ابحثan عن طريق الاستبدالn=50. | |
قم بالتبسيط. | |
معرفةn=50,a1=−1,a50=146 واستخدام صيغة المجموع. | |
استبدل القيم. | |
قم بالتبسيط. | |
قم بالتبسيط. |
أوجد مجموع الحدود الأولى50 للتسلسل الحسابي الذي يكون الحد العام لهan=2n−5.
- إجابة
-
2,300
أوجد مجموع الحدود الأولى50 للتسلسل الحسابي الذي يكون الحد العام لهan=4n+3.
- إجابة
-
5,250
في المثال التالي، يتم إعطاؤنا المجموع في تدوين التلخيص. إن إضافة جميع المصطلحات سيكون أمرًا شاقًا، لذلك نقوم باستخراج المعلومات اللازمة لاستخدام الصيغة للعثور على مجموعn المصطلحات الأولى.
ابحث عن المبلغ:∑25i=1(4i+7).
الحل:
للعثور على المبلغ، سنستخدم الصيغةSn=n2(a1+an). نحن نعلمn=25، لكننا بحاجة إلى إيجاد صيغة المجموعa1 ومنan أجل استخدامها.
قم بتوسيع رمز التلخيص. | |
قم بالتبسيط. | |
تحديدa1. | |
تحديدa25. | |
معرفةn=25,a1=11a25=107 واستخدام صيغة المجموع. | |
استبدل القيم. | |
قم بالتبسيط. | |
قم بالتبسيط. |
ابحث عن المبلغ:∑30i=1(6i−4).
- إجابة
-
2,670
ابحث عن المبلغ:∑35i=1(5i−3).
- إجابة
-
3,045
يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام التسلسلات الحسابية
المفاهيم الرئيسية
- الحد العام (المصطلحn العاشر) للتسلسل
الحسابي المصطلح العام للتسلسل الحسابي مع الحد الأولa1 والفرق المشتركd هوan=a1+(n−1)d
- مجموع الحدودn الأولى للتسلسل
الحسابي مجموع أول\ حدn من تسلسل حسابي، أينa1 الحد الأولan وهو الحدn العاشر هوSnSn=n2(a1+an)
مسرد المصطلحات
- تسلسل حسابي
- التسلسل الحسابي هو تسلسل يكون فيه الفرق بين المصطلحات المتتالية ثابتًا.
- فرق مشترك
- الفرق بين المصطلحات المتتالية في تسلسل حسابيan−an−1d، هو الفرق المشترك، لأكبرn من أو يساوي اثنين.