Skip to main content
Library homepage
 
Global

12.3: التسلسلات الحسابية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • حدد ما إذا كان التسلسل حسابيًا
  • ابحث عن الحد العام (nالحد العاشر) للتسلسل الحسابي
  • ابحث عن مجموع الحدود الأولىn للمتتابعة الحسابية

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

  1. قم بتقييم4n1 الأعداد الصحيحة1,2,3، و4.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 1.6.
  2. حل نظام المعادلات:{x+y=73x+4y=23.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 4.9.
  3. إذاf(n)=n2(3n+5)، ابحثf(1)+f(20).
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 3.49.

حدد ما إذا كان التسلسل حسابيًا

قدم القسم الأخير التسلسلات والآن سننظر في نوعين محددين من التسلسلات التي لكل منها خصائص خاصة. في هذا القسم سنلقي نظرة على التسلسلات الحسابية وفي القسم التالي، التسلسلات الهندسية.

التسلسل الحسابي هو تسلسل يكون فيه الفرق بين المصطلحات المتتالية ثابتًا. الفرق بين المصطلحات المتتالية في التسلسل الحسابي، a_ {n} -a_ {n-1}d، هو الفرق المشترك، وهوn أكبر من أو يساوي اثنين.

تعريف12.3.1

التسلسل الحسابي هو تسلسل يكون فيه الفرق بين المصطلحات المتتالية هو نفسه دائمًا.

الفرق بين المصطلحات المتتالية، a_ {n} -a_ {n-1}d، هو الفرق المشترك، وهوn أكبر من أو يساوي اثنين.

يحتوي هذا الشكل على صفين وثلاثة أعمدة. يقرأ الصف الأول «7"، «10"، «13"، «16"، «19"، «22"، وعلامة الحذف، «10 ناقص 7، مقسومًا على 3"، «13 ناقص 10، مقسومًا على 3"، «16 ناقص 13، مقسومًا على 3"، الحد النوني يساوي الحد النوني ناقص 1 مقسومًا على d»
الشكل 12.2.1
مثال12.3.1

حدد ما إذا كان كل تسلسل حسابيًا. إذا كان الأمر كذلك، فحدد الفرق المشترك.

  1. 5,9,13,17,21,25,
  2. 4,9,12,17,20,25,
  3. 10,3,4,11,18,25,

الحل:

لتحديد ما إذا كان التسلسل حسابيًا، نجد فرق الحدود المتتالية الموضحة.

أ.5,9,13,1721,25, Find the difference of the consecutive terms.9513917132117252144444

التسلسل هو الحساب. الفرق المشترك هوd=4.

ب.4,9,12,1720,25, Find the difference of the consecutive terms.9412917122017252023535

التسلسل ليس حسابيًا لأن جميع الاختلافات بين الشروط المتتالية ليست هي نفسها. لا يوجد فرق مشترك.

ج.10,3,4,1118,25, Find the difference of the consecutive terms.3104311(4)18(11)25(18)77777

الإجابة:

التسلسل هو الحساب. الفرق المشترك هوd=7.

التمارين12.3.1

حدد ما إذا كان كل تسلسل حسابيًا. إذا كان الأمر كذلك، فحدد الفرق المشترك.

  1. 9,20,31,42,53,64,
  2. 12,6,0,6,12,18,
  3. 7,1,10,4,13,7,
إجابة
  1. التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشتركd=11.
  2. التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشتركd=6.
  3. التسلسل ليس حسابيًا لأن جميع الاختلافات بين الشروط المتتالية ليست هي نفسها.
التمارين12.3.2

حدد ما إذا كان كل تسلسل حسابيًا. إذا كان الأمر كذلك، فحدد الفرق المشترك.

  1. 4,4,2,10,8,16,
  2. 3,1,1,3,5,7,
  3. 7,2,3,8,13,18,
إجابة
  1. التسلسل ليس حسابيًا لأن جميع الاختلافات بين الشروط المتتالية ليست هي نفسها.
  2. التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشتركd=2.
  3. التسلسل هو الحساب مع الاختلاف المشتركd=5.

إذا عرفنا المصطلح الأول والفرق المشتركd، فيمكننا سرد عدد محدود من مصطلحات التسلسل.a1

مثال12.3.2

اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل حيث يكون الحد الأول5 والفرق المشترك هوd=6.

الحل:

نبدأ بالفصل الأول ونضيف الفرق المشترك. ثم نضيف الفرق المشترك لهذه النتيجة للحصول على المصطلح التالي، وهكذا.

a1a2a3a4a555+(6)1+(6)7+(6)13+(6)171319

الإجابة:

التسلسل هو5,1,7,13,19,

التمارين12.3.3

اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل حيث يكون الحد الأول7 والفرق المشترك هوd=4.

إجابة

7,3,1,5,9,

التمارين12.3.4

اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل حيث يكون الحد الأول11 والفرق المشترك هوd=8.

إجابة

11,3,5,13,21,

أوجد الحد العام (nالحد العاشر) لمتتابعة حسابية

مثلما وجدنا صيغة للحد العام للتسلسل، يمكننا أيضًا العثور على صيغة للحد العام للتسلسل الحسابي.

دعونا نكتب المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل حيث يكون المصطلح الأولa1 والفرق المشترك هوd. سنبحث بعد ذلك عن نمط.

عندما نبحث عن نمط نرى أن كل فصل يبدأ بـa1.

يوضح هذا الشكل صورة التسلسل.
الشكل 12.2.2

يضيف المصطلح الأول0d إلىa1، ويضيف المصطلح الثاني1d، ويضيف المصطلح الثالث2d، ويضيف المصطلح الرابع3d، ويضيف المصطلح الخامس4d. عدد الأشخاصds الذين تمتa1 إضافتهم أقل بمقدار واحد من رقم المصطلح. هذا يقودنا إلى ما يلي

an=a1+(n1)d

تعريف12.3.2

الحد العام للتسلسل الحسابي مع الحد الأولa1 والفرق المشتركd هو

an=a1+(n1)d

سنستخدم هذه الصيغة في المثال التالي للعثور على الحد الخامس عشر من التسلسل.

مثال12.3.3

ابحث عن الحد الخامس عشر من التسلسل حيث يكون المصطلح الأول3 والفرق المشترك هو6.

الحل:

To find the fifteenth term, a15, use the formula with a1=3andd=6.an=a1+(n1)dSubstitute in the values.a15=3+(151)6Simplify.a15=3+(14)6a15=87

التمارين12.3.5

ابحث عن الحد السابع والعشرين من التسلسل حيث يكون المصطلح الأول7 والفرق المشترك هو9.

إجابة

241

التمارين12.3.6

ابحث عن الحد الثامن عشر من التسلسل حيث يكون الحد الأول13 والفرق المشترك هو7.

إجابة

106

في بعض الأحيان لا نعرف المصطلح الأول ويجب علينا استخدام معلومات أخرى معينة للعثور عليه قبل أن نجد المصطلح المطلوب.

مثال12.3.4

ابحث عن الحد الثاني عشر من التسلسل حيث يكون الحد السابع10 والفرق المشترك هو2. اكتب صيغة المصطلح العام.

الحل:

للعثور أولاً على المصطلح الأولa1، استخدم الصيغة معa7=10، وn=7، وd=2. استبدل القيم. قم بالتبسيط.

an=a1+(n1)d
10=a1+(71)(2)
10=a1+(6)(2)
10=a112
a1=22

أوجد الحد الثاني عشرa12، باستخدام الصيغة معa1=22، وn=12، وd=2. استبدل القيم. قم بالتبسيط.

an=a1+(n1)d
a12=22+(121)(2)
a12=22+(11)(2)
a12=0

المصطلح الثاني عشر من التسلسل هو0,a12=0

للعثور على المصطلح العام، استبدل القيم في الصيغة.

an=a1+(n1)d
an=22+(n1)(2)
an=222n+2

الإجابة:
المصطلح العام هوan=2n+24

التمارين12.3.7

ابحث عن الحد الحادي عشر من التسلسل حيث يكون الحد التاسع8 والفرق المشترك هو3. اكتب صيغة المصطلح العام.

إجابة

a11=2.المصطلح العام هوan=3n+35

التمارين12.3.8

ابحث عن الحد التاسع عشر من التسلسل حيث يكون الحد الخامس1 والفرق المشترك هو4 .أعط صيغة المصطلح العام.

إجابة

a19=55.المصطلح العام هوan=4n+21

في بعض الأحيان تقودنا المعلومات المقدمة إلى معادلتين في مجهولين. ثم نستخدم طرقنا لحل أنظمة المعادلات للعثور على القيم المطلوبة.

مثال12.3.5

ابحث عن الحد الأول والفرق المشترك للتسلسل حيث يكون الحد الخامس19 والحد الحادي عشر37. اكتب صيغة المصطلح العام.

الحل:

نظرًا لأننا نعرف مصطلحين، يمكننا إنشاء نظام معادلات باستخدام صيغة المصطلح العام.

  .
نحن نعرف قيمةa5 وa11، لذلك سوف نستخدمn=5 وn=11. .

استبدل القيم،a5=19 وa11=37.
.
قم بالتبسيط. .
استعد لحذفa1 المصطلح بضرب المعادلة العليا في1.
أضف المعادلات.
.
d=3العودة إلى المعادلة الأولى. .
حل لـa1. .
استخدم الصيغة معa1=7 وd=3. .
استبدل القيم. .
قم بالتبسيط. .
  المصطلح الأول هوa1=7.
الفرق المشترك هوd=3.
  المصطلح العام للتسلسل هوan=3n+4.
الجدول 12.2.1

الإجابة:

المصطلح العام للتسلسل هوan=3n+4.

التمارين12.3.9

ابحث عن الحد الأول والفرق المشترك للتسلسل حيث يكون المصطلح الرابع هو17 الحد الثالث عشر53. اكتب صيغة المصطلح العام.

إجابة

a1=5,d=4.المصطلح العام هوan=4n+1.

التمارين12.3.10

ابحث عن الحد الأول والفرق المشترك للتسلسل حيث يكون المصطلح الثالث2 والحد الثاني عشر هو25. اكتب صيغة المصطلح العام.

إجابة

a1=8,d=3.المصطلح العام هوan=3n+11.

أوجد مجموع الحدود الأولىn للمتتابعة الحسابية

كما هو الحال مع التسلسلات العامة، غالبًا ما يكون من المفيد العثور على مجموع التسلسل الحسابي. يُكتب مجموعn المصطلحات الأولى لأي تسلسل حسابي كـSn=a1+a2+a3++an.Sn يمكن أن يكون العثور على المبلغ بمجرد إضافة جميع المصطلحات أمرًا شاقًا. لذلك يمكننا أيضًا تطوير صيغة للعثور على مجموع التسلسل باستخدام الحد الأول والأخير من التسلسل.

يمكننا تطوير هذه الصيغة الجديدة من خلال كتابة المجموع أولاً بالبدء بالفصل الأولa1، والاستمرار في إضافة ad للحصول على المصطلح التالي على النحو التالي:

Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)++an.

يمكننا أيضًا عكس ترتيب المصطلحات وكتابة المجموع من خلال البدء بالطرحan والاستمرار في الطرحd للحصول على الحد التالي كـ

Sn=an+(and)+(an2d)++a1.

إذا أضفنا هذين التعبيرين لمجموع الحدود الأولىn من تسلسل حسابي، يمكننا استخلاص صيغة لمجموع الحدود الأولىn لأي سلسلة حسابية.

Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)++an+Sn=an+(and)+(an2d)++a12Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)++(a1+an)

نظرًا لوجودn مجاميع(a1+an) على الجانب الأيمن من المعادلة، نعيد كتابة الجانب الأيمن كـn(a1+an).

2Sn=n(a1+an)

نحن نقسم على اثنين لحلهاSn.

Sn=n2(a1+an)

يعطينا هذا صيغة عامة لمجموع الحدود الأولىn للتسلسل الحسابي.

تعريف12.3.3

مجموعn الشروط الأولى للتسلسل الحسابي هوSn

Sn=n2(a1+an)

أينa1 هو المصطلح الأولan وهو المصطلحn العاشر.

نطبق هذه الصيغة في المثال التالي حيث يتم إعطاء المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل.

مثال12.3.6

ابحث عن مجموع الحدود الأولى30 للتسلسل الحسابي:8,13,18,23,28,

الحل:

للعثور على المبلغ، سنستخدم الصيغةSn=n2(a1+an). نحن نعرفa1=8,d=5n=30، ولكننا بحاجة إلى البحث منan أجل استخدام صيغة المجموع.

ابحث عنan المكانa1=8,d=5 وn=30. قم بالتبسيط.

an=a1+(n1)da30=8+(301)5a30=8+(29)5a30=153

معرفةa1=8,n=30 صيغة المجموع واستخدامها.a30=153 استبدل القيم. قم بالتبسيط. قم بالتبسيط.

Sn=n2(a1+an)S30=302(8+153)S30=15(161)S30=2,415

التمارين12.3.11

ابحث عن مجموع الحدود الأولى30 للتسلسل الحسابي:5,9,13,17,21,

إجابة

1,890

التمارين12.3.12

ابحث عن مجموع الحدود الأولى30 للتسلسل الحسابي:7,10,13,16,19,

إجابة

1,515

في المثال التالي، يتم إعطاؤنا المصطلح العام للتسلسل ويطلب منا العثور على مجموع50 المصطلحات الأولى.

مثال12.3.7

أوجد مجموع الحدود الأولى50 للتسلسل الحسابي الذي يكون الحد العام لهan=3n4.

الحل:

للعثور على المبلغ، سنستخدم الصيغةSn=n2(a1+an). نحن نعلمn=50، لكننا بحاجة إلى إيجاد صيغة المجموعa1 ومنan أجل استخدامها.

  .
ابحثa1 عن طريق الاستبدالn=1. .
ابحثan عن طريق الاستبدالn=50. .
قم بالتبسيط. .
معرفةn=50,a1=1,a50=146 واستخدام صيغة المجموع. .
استبدل القيم. .
قم بالتبسيط. .
قم بالتبسيط. .
الجدول 12-2-2
التمارين12.3.13

أوجد مجموع الحدود الأولى50 للتسلسل الحسابي الذي يكون الحد العام لهan=2n5.

إجابة

2,300

التمارين12.3.14

أوجد مجموع الحدود الأولى50 للتسلسل الحسابي الذي يكون الحد العام لهan=4n+3.

إجابة

5,250

في المثال التالي، يتم إعطاؤنا المجموع في تدوين التلخيص. إن إضافة جميع المصطلحات سيكون أمرًا شاقًا، لذلك نقوم باستخراج المعلومات اللازمة لاستخدام الصيغة للعثور على مجموعn المصطلحات الأولى.

مثال12.3.8

ابحث عن المبلغ:25i=1(4i+7).

الحل:

للعثور على المبلغ، سنستخدم الصيغةSn=n2(a1+an). نحن نعلمn=25، لكننا بحاجة إلى إيجاد صيغة المجموعa1 ومنan أجل استخدامها.

قم بتوسيع رمز التلخيص.
.
الشكل 12.2.21
قم بالتبسيط.
.
الشكل 12.2.22
تحديدa1. .
تحديدa25.
.
الشكل 12.2.24
معرفةn=25,a1=11a25=107 واستخدام صيغة المجموع. .
استبدل القيم. .
قم بالتبسيط. .
قم بالتبسيط. .
الجدول 12-2-3
التمارين12.3.15

ابحث عن المبلغ:30i=1(6i4).

إجابة

2,670

التمارين12.3.16

ابحث عن المبلغ:35i=1(5i3).

إجابة

3,045

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام التسلسلات الحسابية

المفاهيم الرئيسية

  • الحد العام (المصطلحn العاشر) للتسلسل
    الحسابي
    المصطلح العام للتسلسل الحسابي مع الحد الأولa1 والفرق المشتركd هو

    an=a1+(n1)d

  • مجموع الحدودn الأولى للتسلسل
    الحسابي
    مجموع أول\ حدn من تسلسل حسابي، أينa1 الحد الأولan وهو الحدn العاشر هوSn

    Sn=n2(a1+an)

مسرد المصطلحات

تسلسل حسابي
التسلسل الحسابي هو تسلسل يكون فيه الفرق بين المصطلحات المتتالية ثابتًا.
فرق مشترك
الفرق بين المصطلحات المتتالية في تسلسل حسابيanan1d، هو الفرق المشترك، لأكبرn من أو يساوي اثنين.