11.6: حل أنظمة المعادلات غير الخطية
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام الرسوم البيانية
- حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام الاستبدال
- حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام الحذف
- استخدم نظام المعادلات غير الخطية لحل التطبيقات
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- حل النظام عن طريق الرسم البياني:\left\{\begin{array}{l}{x-3 y=-3} \\ {x+y=5}\end{array}\right..
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 4.2. - حل النظام عن طريق الاستبدال:\left\{\begin{array}{l}{x-4 y=-4} \\ {-3 x+4 y=0}\end{array}\right.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 4.7. - حل النظام عن طريق الإزالة:\left\{\begin{array}{l}{3 x-4 y=-9} \\ {5 x+3 y=14}\end{array}\right.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 4.9.
حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام التمثيل البياني
لقد تعلمنا كيفية حل أنظمة المعادلات الخطية بمتغيرين عن طريق الرسم البياني والاستبدال والحذف. سنستخدم هذه الأساليب نفسها عندما ننظر إلى أنظمة المعادلات غير الخطية ذات المعادلتين والمتغيرين. نظام المعادلات غير الخطية هو نظام لا تكون فيه واحدة على الأقل من المعادلات خطية.
على سبيل المثال، يعد كل نظام من الأنظمة التالية نظامًا من المعادلات غير الخطية.
\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=9} \\ {x^{2}-y=9}\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{9 x^{2}+y^{2}=9} \\ {y=3 x-3}\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{x+y=4} \\ {y=x^{2}+2}\end{array}\right.
نظام المعادلات غير الخطية هو نظام لا تكون فيه واحدة على الأقل من المعادلات خطية.
تمامًا كما هو الحال مع أنظمة المعادلات الخطية، فإن حل النظام غير الخطي هو زوج مرتب يجعل كلتا المعادلتين صحيحتين. في النظام غير الخطي، قد يكون هناك أكثر من حل. سنرى هذا عندما نحل نظامًا من المعادلات غير الخطية بالرسم البياني.
عندما قمنا بحل أنظمة المعادلات الخطية، كان حل النظام هو نقطة تقاطع الخطين. في أنظمة المعادلات غير الخطية، قد تكون الرسوم البيانية عبارة عن دوائر أو أشكال مماثلة أو مبالغ زائدة وقد تكون هناك عدة نقاط تقاطع، وبالتالي العديد من الحلول. بمجرد تحديد الرسوم البيانية، قم بتصور الطرق المختلفة التي يمكن أن تتقاطع بها الرسوم البيانية وبالتالي عدد الحلول التي قد تكون موجودة.
لحل أنظمة المعادلات غير الخطية بالرسم البياني، نستخدم بشكل أساسي نفس الخطوات كما هو الحال مع أنظمة المعادلات الخطية المعدلة قليلاً للمعادلات غير الخطية. يتم سرد الخطوات أدناه كمرجع.
حل نظام المعادلات غير الخطية بالرسم البياني.
- حدد الرسم البياني لكل معادلة. ارسم الخيارات الممكنة للتقاطع.
- ارسم المعادلة الأولى بيانيًا.
- ارسم المعادلة الثانية على نفس نظام الإحداثيات المستطيلة.
- حدد ما إذا كانت الرسوم البيانية تتقاطع.
- حدد نقاط التقاطع.
- تأكد من أن كل زوج مرتب هو حل لكل من المعادلتين الأصليتين.
حل النظام عن طريق الرسم البياني:\left\{\begin{array}{l}{x-y=-2} \\ {y=x^{2}}\end{array}\right.
الحل:
حدد كل رسم بياني. | \left\{\begin{array}{ll}{x-y=-2} & {\text { line }} \\ {y=x^{2}} & {\text { parabola }}\end{array}\right. |
ارسم الخيارات الممكنة لتقاطع القطع المكافئ والخط. | |
رسم الخط،x-y=-2. شكل اعتراض المنحدرy=x+2. رسم بياني للقطع المكافئ،y=x^{2}. |
|
حدد نقاط التقاطع. | يبدو أن نقاط التقاطع هي(2,3) و(-1,1). |
تحقق للتأكد من أن كل حل يجعل كلا المعادلتين صحيحتين. (2,4) \begin{array} {r l } {x-y=-2}\quad\quad {y=x^{2}} \\ {2-4\stackrel{?}{=}-2}\quad\quad {4\stackrel{?}{=}2^{2}} \\ {-2 = -2}\quad\quad\:{4 = 4} \end{array} (-1,1) \begin{array} {l l } {x-y=-2}\quad\quad {y=x^{2}} \\ {-1-1\stackrel{?}{=}-2}\:\quad {1\stackrel{?}{=}(-1)^{2}} \\ {-2 = -2}\quad\quad\quad{1 = 1} \end{array} |
|
الحلول هي(2,4) و(-1,1). |
حل النظام عن طريق الرسم البياني:\left\{\begin{array}{l}{x+y=4} \\ {y=x^{2}+2}\end{array}\right..
- إجابة
حل النظام عن طريق الرسم البياني:\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1} \\ {y=-x^{2}+3}\end{array}\right.
- إجابة
لتحديد الرسم البياني لكل معادلة، ضع في اعتبارك خصائصx^{2}y^{2} وشروط كل مخروط.
حل النظام عن طريق الرسم البياني:\left\{\begin{array}{l}{y=-1} \\ {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4}\end{array}\right..
الحل:
حدد كل رسم بياني. | \left\{\begin{array}{ll}{y=-1} & {\text { line }} \\ {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4} & {\text { circle }}\end{array}\right. |
ارسم الخيارات الممكنة لتقاطع الدائرة والخط. | |
رسم بياني للدائرة،(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4 المركز:(2,-3) دائرة نصف قطرها:2 رسم الخط،y=-1. إنه خط أفقي. |
|
حدد نقاط التقاطع. | يبدو أن نقطة التقاطع هي(2,-1). |
تحقق للتأكد من أن الحل يجعل كلتا المعادلتين صحيحتين. (2,-1) \begin{array} {r r} {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4} \quad\quad {y=-1} \\ {(2-2)^{2}+(-1+3)^{2}\stackrel{?}{=}4}\quad{-1=-1} \\ {(0)^{2}+(2)^{2}\stackrel{?}{=}4}\quad\quad\quad\quad\quad \\ {4=4}\quad\quad\quad\quad\quad \end{array} |
|
الحل هو(2,-1) |
حل النظام عن طريق الرسم البياني:\left\{\begin{array}{l}{x=-6} \\ {(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=9}\end{array}\right.
- إجابة
حل النظام عن طريق الرسم البياني:\left\{\begin{array}{l}{y=4} \\ {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4}\end{array}\right.
- إجابة
حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام التعويض
تعمل طريقة الرسوم البيانية بشكل جيد عندما تكون نقاط التقاطع عبارة عن أعداد صحيحة ويسهل قراءتها من الرسم البياني. ولكن في كثير من الأحيان يكون من الصعب قراءة إحداثيات نقاط التقاطع. طريقة الاستبدال هي طريقة جبرية تعمل بشكل جيد في العديد من المواقف. إنه يعمل بشكل جيد بشكل خاص عندما يكون من السهل حل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات.
طريقة الاستبدال تشبه إلى حد كبير طريقة الاستبدال التي استخدمناها لأنظمة المعادلات الخطية. يتم سرد الخطوات أدناه كمرجع.
حل نظام المعادلات غير الخطية بالتعويض
- حدد الرسم البياني لكل معادلة. ارسم الخيارات الممكنة للتقاطع.
- حل إحدى المعادلات لأي متغير.
- استبدل التعبير من الخطوة 2 بالمعادلة الأخرى.
- حل المعادلة الناتجة.
- استبدل كل حل في الخطوة 4 بإحدى المعادلات الأصلية للعثور على المتغير الآخر.
- اكتب كل حل كزوج مطلوب.
- تأكد من أن كل زوج مرتب هو حل لكل من المعادلتين الأصليتين.
حل النظام باستخدام الاستبدال:\left\{\begin{array}{l}{9 x^{2}+y^{2}=9} \\ {y=3 x-3}\end{array}\right.
الحل:
حدد كل رسم بياني. | \left\{\begin{array}{ll}{9 x^{2}+y^{2}=9} & {\text { ellipse }} \\ {y=3 x-3} & {\text { line }}\end{array}\right. |
ارسم الخيارات الممكنة لتقاطع القطع الناقص والخط. | |
تم حلy=3x-3 المعادلة لـy. | |
استبدل3x-3y في المعادلة الأولى. | |
حل المعادلة لـx. | |
استبدلx=0x=1 وابحثy=3x-3 عنy -. | |
الأزواج المرتبة هي(0,-3), (1,0). | |
تحقق من كلا الزوجين المرتبين في كلتا المعادلتين. (0,-3) \begin{array} {r l}{9 x^{2}+y^{2}=9} &\quad { y=3 x-3} \\ {9\cdot0^{2}+(-3)^{2}\stackrel{?}{=}9}&\quad{-3\stackrel{?}{=}3\cdot0-3} \\ {0+9\stackrel{?}{=}9}&\quad{-3\stackrel{?}{=}0-3} \\ {9=9}&\quad{-3=-3} \end{array} (1,0) \begin{array} {r l}{9 x^{2}+y^{2}=9} &\quad { y=3 x-3} \\ {9\cdot 1^{2}+(0)^{2}\stackrel{?}{=}9}&\quad{0\stackrel{?}{=}3\cdot 1-3} \\ {9+0\stackrel{?}{=}9}&\quad{0\stackrel{?}{=}3-3} \\ {9=9}&\quad{0=0} \end{array} |
|
الحلول هي(0,-3), (1,0). |
حل النظام باستخدام الاستبدال:\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+9 y^{2}=9} \\ {y=\frac{1}{3} x-3}\end{array}\right.
- إجابة
-
لا يوجد حل
حل النظام باستخدام الاستبدال:\left\{\begin{array}{l}{4 x^{2}+y^{2}=4} \\ {y=x+2}\end{array}\right.
- إجابة
-
\left(-\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right),(0,2)
حتى الآن، يحتوي كل نظام من المعادلات غير الخطية على حل واحد على الأقل. سيعرض المثال التالي خيارًا آخر.
حل النظام باستخدام الاستبدال:\left\{\begin{array}{l}{x^{2}-y=0} \\ {y=x-2}\end{array}\right.
الحل:
حدد كل رسم بياني. | \left\{\begin{array}{ll}{x^{2}-y=0} & {\text { parabola }} \\ {y=x-2} & {\text { line }}\end{array}\right. |
ارسم الخيارات الممكنة لتقاطع القطع المكافئ والخط. | |
تم حلy=x-2 المعادلة لـy. | |
استبدلx-2y في المعادلة الأولى. | |
حل المعادلة لـx. | |
هذا لا يؤثر بسهولة، لذلك يمكننا التحقق من التمييز. | |
\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {(-1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 2} \\ {-7}\end{array} |
التمييز سلبي، لذلك لا يوجد حل حقيقي. لا يوجد حل للنظام. |
حل النظام باستخدام الاستبدال:\left\{\begin{array}{l}{x^{2}-y=0} \\ {y=2 x-3}\end{array}\right.
- إجابة
-
لا يوجد حل
حل النظام باستخدام الاستبدال:\left\{\begin{array}{l}{y^{2}-x=0} \\ {y=3 x-2}\end{array}\right.
- إجابة
-
\left(\frac{4}{9},-\frac{2}{3}\right),(1,1)
حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام الحذف
عندما درسنا أنظمة المعادلات الخطية، استخدمنا طريقة الحذف لحل النظام. يمكننا أيضًا استخدام الحذف لحل أنظمة المعادلات غير الخطية. يعمل بشكل جيد عندما تحتوي المعادلات على كلا المتغيرين بشكل مربع. عند استخدام الحذف، نحاول جعل معاملات متغير واحد أضداد، لذلك عندما نجمع المعادلات معًا، يتم حذف هذا المتغير.
طريقة الحذف تشبه إلى حد كبير طريقة الحذف التي استخدمناها لأنظمة المعادلات الخطية. يتم سرد الخطوات كمرجع.
حل نظام المعادلات بالحذف
- حدد الرسم البياني لكل معادلة. ارسم الخيارات الممكنة للتقاطع.
- اكتب المعادلتين في الصورة القياسية.
- قم بعمل معاملات أضداد متغير واحد.
حدد المتغير الذي ستقوم بإزالته.
اضرب معادلتين أو كلتيهما بحيث تكون معاملات هذا المتغير أضداد. - أضف المعادلات الناتجة من الخطوة 3 لإزالة متغير واحد.
- حل للمتغير المتبقي.
- استبدل كل حل من الخطوة 5 بإحدى المعادلات الأصلية. ثم قم بحل المتغير الآخر.
- اكتب كل حل كزوج مطلوب.
- تأكد من أن كل زوج مرتب هو حل لكل من المعادلتين الأصليتين.
حل النظام عن طريق الإزالة:\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {x^{2}-y=4}\end{array}\right.
الحل:
حدد كل رسم بياني. | |
ارسم الخيارات الممكنة لتقاطع الدائرة والقطع المكافئ. | |
كلا المعادلتين في الشكل القياسي. | |
للحصول على معاملات عكسية لـx^{2}، سنضرب المعادلة الثانية في-1. | |
قم بالتبسيط. | |
أضف المعادلتين لإزالةx^{2}/ | |
حل لـy. | |
استبدلy=0y=-1 وفي إحدى المعادلات الأصلية. ثم قم بحل المشكلةx. | |
اكتب كل حل كزوج مطلوب. | الأزواج المرتبة هي(-2,0)(2,0). (\sqrt{3},-1)(-\sqrt{3},-1) |
تأكد من أن كل زوج مرتب هو حل لكل من المعادلتين الأصليتين. | |
سنترك الشيكات لكل حل من الحلول الأربعة لك. | الحلول هي(-2,0),(2,0),(\sqrt{3},-1)، و(-\sqrt{3},-1). |
حل النظام عن طريق الإزالة:\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=9} \\ {x^{2}-y=9}\end{array}\right.
- إجابة
-
(-3,0),(3,0),(-2 \sqrt{2},-1),(2 \sqrt{2},-1)
حل النظام عن طريق الإزالة:\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {-x+y^{2}=1}\end{array}\right.
- إجابة
-
(-1,0),(0,1),(0,-1)
هناك أيضًا أربعة خيارات عندما نفكر في الدائرة والهايبربولا.
حل النظام عن طريق الإزالة:\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=7} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.
الحل:
حدد كل رسم بياني. | \left\{\begin{array}{ll}{x^{2}+y^{2}=7} & {\text { circle }} \\ {x^{2}-y^{2}=1} & {\text { hyperbola }}\end{array}\right. |
ارسم الخيارات الممكنة لتقاطع الدائرة والهايبربولا. | |
كلا المعادلتين في الشكل القياسي. | \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=7} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right. |
معاملاتy^{2} معاكسة، لذلك سنضيف المعادلات. |
\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=7} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right. 2 x^{2}=8 |
قم بالتبسيط. | x^{2}=4 x=\pm 2 x=2 \quad x=-2 |
استبدلx=2x=-2 وفي إحدى المعادلات الأصلية. ثم قم بحل المشكلةy. | \begin{array}{rl}{x^{2}+y^{2} = 7} &\quad { x^{2}+y^{2}=7} \\ {2^{2}+y^{2}=7} & \quad{(-2)^{2}+y^{2}=7} \\ {4+y^{2}=7} &\quad {4+y^{2}=7} \\ {y^{2}=3} &\quad {y^{2}=3} \\ {y=\pm \sqrt{3}} &\quad {y=\pm \sqrt{3}}\end{array} |
اكتب كل حل كزوج مطلوب. | الأزواج المرتبة هي(-2, \sqrt{3}),(-2,-\sqrt{3})،(2, \sqrt{3}), و(2,-\sqrt{3}). |
تأكد من أن الزوج المطلوب هو حل لكل من المعادلتين الأصليتين. | |
سنترك الشيكات لكل حل من الحلول الأربعة لك. | الحلول هي(-2, \sqrt{3}),(-2,-\sqrt{3}),(2, \sqrt{3})، و(2,-\sqrt{3}). |
حل النظام عن طريق الإزالة:\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {y^{2}-x^{2}=7}\end{array}\right.
- إجابة
-
(-3,-4),(-3,4),(3,-4),(3,4)
حل النظام عن طريق الإزالة:\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {x^{2}-y^{2}=4}\end{array}\right.
- إجابة
-
(-2,0),(2,0)
استخدم نظام المعادلات غير الخطية لحل التطبيقات
يمكن استخدام أنظمة المعادلات غير الخطية لنمذجة العديد من التطبيقات وحلها. سننظر إلى الوضع الهندسي اليومي كمثال لنا.
الفرق بين مربعي الرقمين هو15. مجموع الأرقام هو5. ابحث عن الأرقام.
الحل:
حدد ما نبحث عنه. | رقمان مختلفان. |
حدد المتغيرات. |
x= الرقم الأول y= الرقم الثاني |
ترجم المعلومات إلى نظام معادلات. | |
الجملة الأولى. | الفرق بين مربعي الرقمين هو15. |
الجملة الثانية. | مجموع الأرقام هو5. |
حل النظام عن طريق الاستبدال. | |
حل المعادلة الثانية لـx. | |
استبدلx المعادلة الأولى. | |
قم بالتوسع والتبسيط. | |
حل لـy. | |
استبدل مرة أخرى بالمعادلة الثانية. | |
الأرقام هي1 و4. |
الفرق بين مربعي الرقمين هو−20. مجموع الأرقام هو10. ابحث عن الأرقام.
- إجابة
-
4و6
الفرق بين مربعي الرقمين هو35. مجموع الأرقام هو−1. ابحث عن الأرقام.
- إجابة
-
-18و17
اشترت ميرا تلفزيونًا25 «صغيرًا» لمطبخها. يتم قياس حجم التلفزيون على قطر الشاشة. تحتوي الشاشة أيضًا على مساحة بوصة300 مربعة. ما طول شاشة التلفزيون وعرضها؟
الحل:
حدد ما نبحث عنه. | طول المستطيل وعرضه. |
حدد المتغيرات. |
Letx = عرض المستطيل y= طول المستطيل |
ارسم مخططًا للمساعدة في تصور الموقف. | |
المساحة هي بوصة300 مربعة. | |
ترجم المعلومات إلى نظام معادلات. | قطر المثلث الأيمن هو25 بوصة. |
مساحة المستطيل هي بوصة300 مربعة. | |
حل النظام باستخدام الاستبدال. | |
حل المعادلة الثانية لـx. | |
استبدلx المعادلة الأولى. | |
قم بالتبسيط. | |
اضربy^{2} في لمسح الكسور. | |
ضع في النموذج القياسي. | |
حل عن طريق التخصيم | |
yنظرًا لوجود جانب من المستطيل، فإننا نتجاهل القيم السالبة. | |
استبدل مرة أخرى بالمعادلة الثانية. | |
إذا كان الطول15 بالبوصة، يكون العرض20 بوصات. | |
إذا كان الطول20 بالبوصة، يكون العرض15 بوصات. |
اشترى إدغار جهاز تلفزيون20 «صغير» لمرآبه. يتم قياس حجم التلفزيون على قطر الشاشة. تحتوي الشاشة أيضًا على مساحة بوصة192 مربعة. ما طول شاشة التلفزيون وعرضها؟
- إجابة
-
إذا كان الطول12 بالبوصة، يكون العرض16 بوصات. إذا كان الطول16 بالبوصة، يكون العرض12 بوصات.
اشترت عائلة Harper ميكروفونًا صغيرًا لغرفتها العائلية. قطر الباب يقيس15 بوصة. تبلغ مساحة الباب أيضًا بوصات108 مربعة. ما هو طول وعرض باب الميكروويف؟
- إجابة
-
إذا كان الطول12 بالبوصة، يكون العرض9 بوصات. إذا كان الطول9 بالبوصة، يكون العرض12 بوصات.
يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة حل المعادلات غير الخطية.
- أنظمة المعادلات غير الخطية
- حل نظام المعادلات غير الخطية
- حل نظام المعادلات غير الخطية بالحذف
- نظام المعادلات غير الخطية - تطبيقات المساحة والمحيط
المفاهيم الرئيسية
- كيفية حل نظام المعادلات غير الخطية بالرسم البياني.
- حدد الرسم البياني لكل معادلة. ارسم الخيارات الممكنة للتقاطع.
- ارسم المعادلة الأولى بيانيًا.
- ارسم المعادلة الثانية على نفس نظام الإحداثيات المستطيلة.
- حدد ما إذا كانت الرسوم البيانية تتقاطع.
- حدد نقاط التقاطع.
- تأكد من أن كل زوج مرتب هو حل لكل من المعادلتين الأصليتين.
- كيفية حل نظام المعادلات غير الخطية عن طريق الاستبدال.
- حدد الرسم البياني لكل معادلة. ارسم الخيارات الممكنة للتقاطع.
- حل إحدى المعادلات لأي متغير.
- استبدل التعبير من الخطوة 2 بالمعادلة الأخرى.
- حل المعادلة الناتجة.
- استبدل كل حل في الخطوة 4 بإحدى المعادلات الأصلية للعثور على المتغير الآخر.
- اكتب كل حل كزوج مطلوب.
- تأكد من أن كل زوج مرتب هو حل لكل من المعادلتين الأصليتين.
- كيفية حل نظام المعادلات بالحذف.
- حدد الرسم البياني لكل معادلة. ارسم الخيارات الممكنة للتقاطع.
- اكتب المعادلتين في الصورة القياسية.
- قم بعمل معاملات أضداد متغير واحد.
حدد المتغير الذي ستقوم بإزالته.
اضرب معادلتين أو كلتيهما بحيث تكون معاملات هذا المتغير أضداد. - أضف المعادلات الناتجة من الخطوة 3 لإزالة متغير واحد.
- حل للمتغير المتبقي.
- استبدل كل حل من الخطوة 5 بإحدى المعادلات الأصلية. ثم قم بحل المتغير الآخر.
- اكتب كل حل كزوج مطلوب.
- تأكد من أن كل زوج مرتب هو حل لكل من المعادلتين الأصليتين.