11.5: الغلو

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• رسم بياني لحالة هيبربولا مع مركزها في$(0,0)$
• رسم بياني لحالة هيبربولا مع مركزها في$(h,k)$
• حدد المقاطع المخروطية من خلال معادلاتها

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. حل:$x^{2}=12$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 9.1.
2. قم بالتوسع:$(x−4)^{2}$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 5.32.
3. رسم بياني$y=-\frac{2}{3} x$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 3.4.

رسم بياني لهايبربولا مع المركز في$(0,0)$

يُطلق على القسم المخروطي الأخير الذي سننظر إليه اسم hyperbola. سنرى أن معادلة الهيبربولا تبدو مثل معادلة القطع الناقص، إلا أنها فرق وليس مجموع. في حين أن معادلات القطع الناقص والمفرط متشابهة جدًا، إلا أن رسوماتها البيانية مختلفة جدًا.

نُعرّف الهيبربولا بأنها جميع النقاط في المستوى حيث يكون الفرق بين مسافاتها ونقطتين ثابتتين ثابتًا. كل نقطة من النقاط الثابتة تسمى محور الهايبربولا.

تعريف$\PageIndex{1}$

الهيبربولا هي جميع النقاط في المستوى حيث يكون فرق المسافات بين نقطتين ثابتتين ثابتًا. كل نقطة من النقاط الثابتة تسمى محور الهايبربولا.

الشكل 11.4.1

ويسمى الخط الذي يمر عبر البؤر بالمحور المستعرض. النقطتان اللتان يتقاطع فيهما المحور المستعرض مع الهايبربولا هما كل منهما قمة رأس الهايبربولا. يُطلق على نقطة الوسط في الجزء الذي ينضم إلى البؤر اسم مركز الهيبربولا. يُطلق على الخط العمودي على المحور المستعرض الذي يمر عبر المركز اسم المحور المترافق. يُطلق على كل جزء من الرسم البياني اسم فرع الهايبربولا.

الشكل 11.4.2

مرة أخرى هدفنا هو ربط هندسة المخروط بالجبر. يمنحنا وضع hyperbola على نظام إحداثيات مستطيل هذه الفرصة. في الشكل، وضعنا الهايبربولا بحيث$((−c,0),(c,0))$ تكون البؤر على$x$ المحور السيني والمركز هو الأصل.

الشكل 11.4.3

يوضح التعريف أن فرق المسافة من البؤر إلى النقطة$(x,y)$ ثابت. $|d_{1}−d_{2}|$هذا هو الثابت الذي سنسميه$2a$ كذلك$|d_{1}-d_{2} |=2 a$. سنستخدم صيغة المسافة لتقودنا إلى صيغة جبرية للقطع الناقص.

$\left|d_{1} - d_{2}\right| =2 a$

استخدم صيغة المسافة للبحث$d_{1}, d_{2}$

$\left|\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}\right|=2 a$

القضاء على الجذور. لتبسيط معادلة القطع الناقص، نسمح بذلك$c^{2}-a^{2}=b^{2}$.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{c^{2}-a^{2}}=1$

لذا، فإن معادلة الهيبربولا المتمركزة عند الأصل في الشكل القياسي هي:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

لرسم بياني للهايبربولا، سيكون من المفيد معرفة عمليات الاعتراض. سنجد$x$ -Intercepts و$y$ -Intercepts باستخدام الصيغة.

$x$- عمليات الاعتراض

دعونا$y=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} &=1 \\ x^{2} &=a^{2} \\ x &=\pm a \end{aligned}$

$x$عمليات الاعتراض - هي$(a,0)$ و$(−a,0)$.

$y$- عمليات الاعتراض

دعونا$x=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{0^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ y^{2} &=-b^{2} \\ y &=\pm \sqrt{-b^{2}} \end{aligned}$

لا توجد$y$ عمليات اعتراض.

تساعدنا\(a, b\) القيم في المعادلة أيضًا في إيجاد خطوط التقارب للهايبربولا. خطوط التقارب عبارة عن خطوط مستقيمة تتقاطع معها فروع الرسم البياني ولكنها لا تتقاطع أبدًا عندما تصبح\(x, y\) القيم أكبر وأكبر.

للعثور على خطوط التقارب، نرسم مستطيلًا تتقاطع أضلاعه مع المحور x عند الرؤوس$(−a,0),(a,0)$، ويتقاطع$y$ المحور السيني عند$(0,−b), (0,b)$. والخطوط التي تحتوي على أقطار هذا المستطيل هي خطوط التقارب للهايبربولا. لا يشكل المستطيل وخطوط التقارب جزءًا من الضخامة، ولكنها تساعدنا في رسم الهيبربولا بيانيًا.

الشكل 11.4.4

تمر خطوط التقارب عبر نقطة الأصل ويمكننا تقييم ميلها باستخدام المستطيل الذي رسمناه. لديهم معادلات$y=\frac{b}{a} x$ و$y=-\frac{b}{a} x$.

توجد معادلتان للمبالغ الزائدة، اعتمادًا على ما إذا كان المحور المستعرض رأسيًا أم أفقيًا. يمكننا معرفة ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا من خلال النظر إلى المعادلة. عندما تكون المعادلة في الشكل القياسي، إذا كان الحد$x^{2}$ -موجبًا، يكون المحور العرضي أفقيًا. عندما تكون المعادلة في الشكل القياسي، إذا كان الحد$y^{2}$ -موجبًا، يكون المحور العرضي رأسيًا.

يمكن اشتقاق المعادلات الثانية بشكل مشابه لما قمنا به. سنلخص النتائج هنا.

تعريف$\PageIndex{2}$

الشكل القياسي لمعادلة هايبربولا مع المركز$(0,0)$

الشكل القياسي لمعادلة الهيبربولا مع المركز$(0,0)$ هو

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad$أو$\quad \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$

الشكل 11.4.5

لاحظ أنه، على عكس معادلة القطع الناقص، لا$x^{2}$ يكون المقام دائمًا$a^{2}$ وقامه$y^{2}$ ليس دائمًا$b^{2}$.

لاحظ أنه عندما يكون$x^{2}$ المصطلح -موجبًا، يكون المحور المستعرض على$x$ المحور -. عندما يكون$y^{2}$ مصطلح -term موجبًا، يكون المحور المستعرض على$y$ المحور -.

الأشكال القياسية لمعادلة هايبربولا مع المركز$(0,0)$

الجدول 11.4.1

	$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$	$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
اتجاه	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">المحور المستعرض على$x$ المحور -. يفتح يمينًا ويسارًا	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">المحور المستعرض على$y$ المحور -. يفتح لأعلى ولأسفل
رءوس	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(-a, 0),(a, 0)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(0,-a),(0, a)$
$x$- عمليات الاعتراض	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(-a, 0),(a, 0)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">لا شيء
$y$- عمليات الاعتراض	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">لا شيء	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(0,-a),(0, a)$
المستطيل	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">الاستخدام$( \pm a, 0)(0, \pm b)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">الاستخدام$(0, \pm a)( \pm b, 0)$
خطوط التقارب	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$y=\frac{b}{a} x, y=-\frac{b}{a} x$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$y=\frac{a}{b} x, y=-\frac{a}{b} x$

سنستخدم هذه الخصائص لرسم الضلالات البيانية.

مثال$\PageIndex{1}$ How to Graph a Hyperbola with Center $(0,0)$

رسم بياني$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{4}=1$.

الحل:

الجدول 11-4-2

الخطوة 1: اكتب المعادلة في النموذج القياسي.	المعادلة في الشكل القياسي.	$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{4}=1$
الخطوة 2: حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.	نظرًا لأن$x^{2}$ مصطلح -term إيجابي، يكون المحور المستعرض أفقيًا.	المحور العرضي أفقي.
الخطوة 3: ابحث عن الرؤوس.	منذ$a^{2}=25$ ذلك الحين$a=\pm 5$. توجد الرؤوس على$x$ المحور -.	$(-5,0),(5,0)$
الخطوة 4: ارسم المستطيل المتمركز عند تقاطع الأصل عند أحد المحاور$\pm a$ والآخر عنده$\pm b$.	نظرًا لأن$a=\pm 5$ المستطيل سيتقاطع مع$x$ المحور -عند الرؤوس. نظرًا لأن$b=\pm 2$ المستطيل سيتقاطع مع$y$ المحور -عند$(0,-2)$ و$(0,2)$.
الخطوة 5: ارسم خطوط التقارب - الخطوط التي تمر بأقطار المستطيل.	تحتوي خطوط التقارب على المعادلات$y=\frac{5}{2} x, y=-\frac{5}{2} x$.
الخطوة 6: ارسم فرعين من الهايبربولا.	ابدأ من كل قمة واستخدم خطوط التقارب كدليل.

التمارين$\PageIndex{1}$

رسم بياني$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$.

إجابة

الشكل 11.4.9

التمارين$\PageIndex{2}$

رسم بياني$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$.

إجابة

الشكل 11.4.10

نحن نلخص الخطوات كمرجع.

رسم بياني لهايبربولا المتمركز في$(0,0)$

1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
2. حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.
3. ابحث عن الرؤوس.
4. ارسم المستطيل المتمركز عند نقطة الأصل التي تتقاطع مع أحد المحاور عند$±a$ المحور الآخر$±b$.
5. ارسم خطوط التقارب - الخطوط التي تمر بأقطار المستطيل.
6. ارسم فرعين من الهايبربولا.

في بعض الأحيان، يجب وضع معادلة hyperbola أولاً في الشكل القياسي قبل رسمها بيانيًا.

مثال$\PageIndex{2}$

رسم بياني$4 y^{2}-16 x^{2}=64$.

الحل:

الجدول 11-4-3

	$4 y^{2}-16 x^{2}=64$
لكتابة المعادلة في الصورة القياسية، قم بتقسيم كل حد$64$ على لجعل المعادلة مساوية لـ$1$.	$\frac{4 y^{2}}{64}-\frac{16 x^{2}}{64}=\frac{64}{64}$
قم بالتبسيط.	$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1$
نظرًا لأن$y^{2}$ مصطلح -term إيجابي، يكون المحور المستعرض عموديًا. منذ$a^{2}=16$ ذلك الحين$a=\pm 4$.
توجد الرؤوس على$y$ المحور -،$(0,-a),(0, a)$. منذ$b^{2}=4$ ذلك الحين$b=\pm 2$.	$(0,-4),(0,4)$
ارسم المستطيل الذي يتقاطع مع$x$$y$ المحور -عند$(-2,0),(2,0)$ والمحور -عند الرؤوس. ارسم خطوط التقارب من خلال أقطار المستطيل. ارسم فرعين من الهايبربولا.

التمارين$\PageIndex{3}$

رسم بياني$4 y^{2}-25 x^{2}=100$.

إجابة

الشكل 11.4.12

التمارين$\PageIndex{4}$

رسم بياني$25 y^{2}-9 x^{2}=225$.

إجابة

الشكل 11.4.13

رسم بياني لهايبربولا مع المركز في$(h,k)$

لا تتمركز Hyperbolas دائمًا في الأصل. عندما تتمركز الهيبربولا$(h,k)$ في المعادلات تتغير قليلاً كما هو موضح في الجدول.

الأشكال القياسية لمعادلة هايبربولا مع المركز$(h,k)$

الجدول 11-4-4

	$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$	$\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
اتجاه	\ (frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">المحور المستعرض أفقي. يفتح يمينًا ويسارًا	\ (frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">المحور المستعرض عمودي. يفتح لأعلى ولأسفل
المركز	\ (frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">$(h,k)$	\ (frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">$(h,k)$
رءوس	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">$a$ الوحدات إلى اليسار واليمين من المركز	\ (frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">$a$ الوحدات فوق المركز وتحته
المستطيل	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">استخدم$a$ الوحدات يسار/يمين$b$ الوحدات المركزية أعلى/أسفل المركز	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">استخدم$a$ الوحدات أعلى/أسفل$b$ وحدات المركز يسار/يمين المركز

مثال$\PageIndex{3}$ How to Graph a Hyperbola with Center $(h,k)$

رسم بياني$\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$

الحل:

الجدول 11-4-5

الخطوة 1: اكتب المعادلة في النموذج القياسي.	المعادلة في الشكل القياسي.	$\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$
الخطوة 2: حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.	نظرًا لأن$x^{2}$ مصطلح -term إيجابي، فإن hyperbola يفتح يسارًا ويمينًا.	المحور العرضي أفقي. يفتح الهايبربولا يمينًا ويسارًا.
الخطوة 3: ابحث عن المركز و$a, b$.	$h=1$و$k=2$ $a^{2}=9$ $b^{2}=16$	$\begin{array} {c} \frac{\left(\stackrel{\color{red}{x-h}}{\color{black}{x-1}} \right)^{2}}{9} - \frac{\left(\stackrel{\color{red}{y-k}}{\color{black}{y-2}} \right)^{2}}{16} = 1 \end{array}$ المركز:$(1,2)$ $a=3$ $b=4$
الخطوة 4: ارسم المستطيل الذي يركز على$(h,k)$ الاستخدام$a,b$.	ضع علامة على المركز،$(1,2)$. ارسم المستطيل الذي يمر عبر$3$ وحدات النقاط إلى يسار/يمين المركز$4$ والوحدات فوق المركز وأسفله.
الخطوة 5: ارسم خطوط التقارب - الخطوط التي تمر بأقطار المستطيل. ضع علامة على الرؤوس.	ارسم الأقطار. حدد الرؤوس الموجودة على$3$ وحدات المستطيل على يسار ويمين المركز.
الخطوة 6: ارسم فرعين من الهايبربولا.	ابدأ من كل قمة واستخدم خطوط التقارب كدليل.

التمارين$\PageIndex{5}$

رسم بياني$\frac{(x-3)^{2}}{25}-\frac{(y-1)^{2}}{9}=1$.

إجابة

الشكل 11.4.17

التمارين$\PageIndex{6}$

رسم بياني$\frac{(x-2)^{2}}{4}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1$.

إجابة

الشكل 11.4.18

نحن نلخص الخطوات للرجوع إليها بسهولة.

رسم بياني لهايبربولا المتمركز في$(h,k)$

1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
2. حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.
3. ابحث عن المركز و$a,b$.
4. ارسم المستطيل الذي يركز على$(h,k)$ الاستخدام$a,b$.
5. ارسم خطوط التقارب - الخطوط التي تمر بأقطار المستطيل. ضع علامة على الرؤوس.
6. ارسم فرعين من الهايبربولا.

كن حذرًا عند تحديد المركز. تحتوي المعادلة القياسية$x−h$$y−k$ على المركز كـ$(h,k)$.

مثال$\PageIndex{4}$

رسم بياني$\frac{(y+2)^{2}}{9}-\frac{(x+1)^{2}}{4}=1$.

الحل:

الجدول 11-4-6

نظرًا لأن$y^{2}$ مصطلح -term إيجابي، فإن الهايبربولا ينفتح صعودًا وهبوطًا.
ابحث عن المركز،$(h,k)$.	المركز:$(-1,-2)$
ابحث$a,b$.	$a=3 b=2$
ارسم المستطيل الذي يمر عبر$3$ وحدات النقاط فوق المركز وأسفله $2$ والوحدات على يسار/يمين المركز. ارسم خطوط التقارب - الخطوط التي تمر بأقطار المستطيل. ضع علامة على الرؤوس. رسم بياني للفروع.

التمارين$\PageIndex{7}$

رسم بياني$\frac{(y+3)^{2}}{16}-\frac{(x+2)^{2}}{9}=1$.

إجابة

الشكل 11.4.22

التمارين$\PageIndex{8}$

رسم بياني$\frac{(y+2)^{2}}{9}-\frac{(x+2)^{2}}{9}=1$.

إجابة

الشكل 11.4.23

مرة أخرى، في بعض الأحيان يتعين علينا وضع المعادلة في شكل قياسي كخطوة أولى.

مثال$\PageIndex{5}$

اكتب المعادلة في الصورة القياسية والرسم البياني$4 x^{2}-9 y^{2}-24 x-36 y-36=0$.

الحل:

الجدول 11-4-7

للوصول إلى النموذج القياسي، أكمل المربعات.
قسّم كل مصطلح$36$ للحصول على الثابت$1$.
نظرًا لأن$x^{2}$ مصطلح -term إيجابي، فإن hyperbola يفتح يسارًا ويمينًا.
ابحث عن المركز،$(h,k)$.	المركز:$(3, -2)$
ابحث$a,b$.	$a=3$ $b=4$
ارسم المستطيل الذي يمر عبر$3$ وحدات النقاط إلى يسار/يمين المركز$2$ والوحدات فوق المركز وأسفله. ارسم خطوط التقارب - الخطوط التي تمر بأقطار المستطيل. ضع علامة على الرؤوس. رسم بياني للفروع.

التمارين$\PageIndex{9}$

1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية و
2. رسم بياني$9 x^{2}-16 y^{2}+18 x+64 y-199=0$.

إجابة

1. $\frac{(x+1)^{2}}{16}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1$

الشكل 11.4.31

التمارين$\PageIndex{10}$

1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية و
2. رسم بياني$16 x^{2}-25 y^{2}+96 x-50 y-281=0$.

إجابة

1. $\frac{(x+3)^{2}}{25}-\frac{(y+1)^{2}}{16}=1$

الشكل 11.4.32

تحديد المقاطع المخروطية من خلال معادلاتها

الآن بعد أن أكملنا دراستنا للأقسام المخروطية، سنلقي نظرة على المعادلات المختلفة ونتعرف على بعض الطرق لتحديد المخروط من خلال معادلته. عندما نحصل على معادلة للرسم البياني، فمن المفيد تحديد المخروط حتى نعرف الخطوات التالية التي يجب اتخاذها.

لتحديد المخروط من معادلته، يكون من الأسهل أن نضع شروط المتغير على أحد طرفي المعادلة والثوابت على الجانب الآخر.

الجدول 11-4-8

مخروطي	خصائص$x^{2}$$y^{2}$ - والمصطلحات	مثال
بارابولا	\ (x^ {2}\) - و$y^{2}$ - الشروط">إما$x^{2}$ أو$y^{2}$. متغير واحد فقط هو مربع.	$x=3 y^{2}-2 y+1$
دائرة	\ (x^ {2}\) - و$y^{2}$ -terms>$x^{2}$$y^{2}$ - و - المصطلحات لها نفس المعاملات.	$x^{2}+y^{2}=49$
الشكل البيضاوي	\ (x^ {2}\) - و$y^{2}$ -terms>$x^{2}$$y^{2}$ - و - المصطلحات لها نفس العلامة ومعاملات مختلفة.	$4 x^{2}+25 y^{2}=100$
هايبربولا	\ (x^ {2}\) - و$y^{2}$ -terms>$x^{2}$$y^{2}$ - و - المصطلحات لها علامات مختلفة ومعاملات مختلفة.	$25 y^{2}-4 x^{2}=100$

مثال$\PageIndex{6}$

حدد الرسم البياني لكل معادلة في صورة دائرة أو مكافئ أو شكل بيضاوي أو هايبربولا.

1. $9 x^{2}+4 y^{2}+56 y+160=0$
2. $9 x^{2}-16 y^{2}+18 x+64 y-199=0$
3. $x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=0$
4. $y=-2 x^{2}-4 x-5$

الحل:

أ-$x^{2}$ المصطلحان$y^{2}$ - و - لهما نفس العلامة ومعاملات مختلفة.

$9 x^{2}+4 y^{2}+56 y+160=0$

الشكل البيضاوي

ب-$y^{2}$ للمصطلحات$x^{2}$ - و - علامات مختلفة ومعاملات مختلفة.

$9 x^{2}-16 y^{2}+18 x+64 y-199=0$

هايبربولا

ج-$x^{2}$ المصطلحان$y^{2}$ - و - لهما نفس المعاملات.

$x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=0$

دائرة

d. متغير واحد فقط$x$،، هو مربع.

$y=-2 x^{2}-4 x-5$

بارابولا

التمارين$\PageIndex{11}$

حدد الرسم البياني لكل معادلة في صورة دائرة أو مكافئ أو شكل بيضاوي أو هايبربولا.

1. $x^{2}+y^{2}-8 x-6 y=0$
2. $4 x^{2}+25 y^{2}=100$
3. $y=6 x^{2}+2 x-1$
4. $16 y^{2}-9 x^{2}=144$

إجابة

1. دائرة
2. الشكل البيضاوي
3. بارابولا
4. هايبربولا

التمارين$\PageIndex{12}$

حدد الرسم البياني لكل معادلة في صورة دائرة أو مكافئ أو شكل بيضاوي أو هايبربولا.

1. $16 x^{2}+9 y^{2}=144$
2. $y=2 x^{2}+4 x+6$
3. $x^{2}+y^{2}+2 x+6 y+9=0$
4. $4 x^{2}-16 y^{2}=64$

إجابة

1. الشكل البيضاوي
2. بارابولا
3. دائرة
4. هايبربولا

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسة إضافية باستخدام hyperbolas.

• رسم بياني لهايبربولا مع المركز في الأصل
• رسم بياني لهايبربولا مع المركز ليس في الأصل
• رسم بياني لـ Hyperbola في شكل عام
• تحديد الأقسام المخروطية بشكل عام

المفاهيم الرئيسية

• Hyperbola: hyperbola هي جميع النقاط في المستوى حيث يكون الفرق بين مسافاتها ونقطتين ثابتتين ثابتًا.

الشكل 11.4.1

• كل نقطة من النقاط الثابتة تسمى محور الهايبربولا.
  ويسمى الخط الذي يمر عبر البؤر بالمحور المستعرض.
  النقطتان اللتان يتقاطع فيهما المحور المستعرض مع الهايبربولا هما كل منهما قمة رأس الهايبربولا.
  يُطلق على نقطة الوسط في الجزء الذي ينضم إلى البؤر اسم مركز الهيبربولا.
  يُطلق على الخط العمودي على المحور المستعرض الذي يمر عبر المركز اسم المحور المترافق.
  يُطلق على كل جزء من الرسم البياني اسم فرع من الهايبربولا.
  

الشكل 11.4.2

الأشكال القياسية لمعادلة هايبربولا مع المركز$(0,0)$

الجدول 11.4.1

	$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$	$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
اتجاه	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">المحور المستعرض على$x$ المحور -. يفتح يمينًا ويسارًا	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">المحور المستعرض على$y$ المحور -. يفتح لأعلى ولأسفل
رءوس	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(-a, 0),(a, 0)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(0,-a),(0, a)$
$x$- عمليات الاعتراض	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(-a, 0),(a, 0)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">لا شيء
$y$- عمليات الاعتراض	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">لا شيء	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(0,-a),(0, a)$
المستطيل	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">الاستخدام$( \pm a, 0)(0, \pm b)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">الاستخدام$(0, \pm a)( \pm b, 0)$
خطوط التقارب	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$y=\frac{b}{a} x, y=-\frac{b}{a} x$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$y=\frac{a}{b} x, y=-\frac{a}{b} x$

• كيفية رسم بياني لفرط الإيبولا المتمركز في$(0,0)$.
  1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
  2. حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.
  3. ابحث عن الرؤوس.
  4. ارسم المستطيل المتمركز عند نقطة الأصل التي تتقاطع مع أحد المحاور عند$±a$ المحور الآخر$±b$.
  5. ارسم خطوط التقارب - الخطوط التي تمر بأقطار المستطيل.
  6. ارسم فرعين من الهايبربولا.

الأشكال القياسية لمعادلة هايبربولا مع المركز$(h,k)$

الجدول 11-4-4

	$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$	$\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
اتجاه	\ (frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">المحور المستعرض أفقي. يفتح يمينًا ويسارًا	\ (frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">المحور المستعرض عمودي. يفتح لأعلى ولأسفل
المركز	\ (frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">$(h,k)$	\ (frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">$(h,k)$
رءوس	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">$a$ الوحدات إلى اليسار واليمين من المركز	\ (frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">$a$ الوحدات فوق المركز وتحته
المستطيل	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">استخدم$a$ الوحدات يسار/يمين$b$ الوحدات المركزية أعلى/أسفل المركز	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2} =1\) ">استخدم$a$ الوحدات أعلى/أسفل$b$ وحدات المركز يسار/يمين المركز

• كيفية رسم بياني لفرط الإيبولا المتمركز في$(h,k)$.
  1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
  2. حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.
  3. ابحث عن المركز و$a,b$.
  4. ارسم المستطيل الذي يركز على$(h,k)$ الاستخدام$a,b$.
  5. ارسم خطوط التقارب - الخطوط التي تمر بأقطار المستطيل. ضع علامة على الرؤوس.
  6. ارسم فرعين من الهايبربولا.

الجدول 11-4-8

مخروطي	خصائص$x^{2}$$y^{2}$ - والمصطلحات	مثال
بارابولا	\ (x^ {2}\) - و$y^{2}$ - الشروط">إما$x^{2}$ أو$y^{2}$. متغير واحد فقط هو مربع.	$x=3 y^{2}-2 y+1$
دائرة	\ (x^ {2}\) - و$y^{2}$ -terms>$x^{2}$$y^{2}$ - و - المصطلحات لها نفس المعاملات.	$x^{2}+y^{2}=49$
الشكل البيضاوي	\ (x^ {2}\) - و$y^{2}$ -terms>$x^{2}$$y^{2}$ - و - المصطلحات لها نفس العلامة ومعاملات مختلفة.	$4 x^{2}+25 y^{2}=100$
هايبربولا	\ (x^ {2}\) - و$y^{2}$ -terms>$x^{2}$$y^{2}$ - و - المصطلحات لها علامات مختلفة ومعاملات مختلفة.	$25 y^{2}-4 x^{2}=100$

مسرد المصطلحات

هيبربولا

يُعرَّف الهايبربولا بأنه جميع النقاط في المستوى حيث يكون فرق المسافات بين نقطتين ثابتتين ثابتًا.