11.4: الأشكال البيضاوية
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- رسم بياني للقطع الناقص مع المركز عند نقطة الأصل
- ابحث عن معادلة الشكل البيضاوي مع المركز عند نقطة الأصل
- ارسم بيانيًا بيضاويًا مع عدم وجود المركز في الأصل
- حل التطبيق باستخدام علامات الحذف
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- رسم بيانيy=(x−1)2−2 باستخدام التحويلات.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 9.57. - أكمل المربع:x2−8x=8.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 9.12. - اكتب في النموذج القياسي. y=2x2−12x+14
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 9.59.
رسم بياني للقطع الناقص مع المركز عند الأصل
القسم المخروطي التالي الذي سننظر إليه هو شكل بيضاوي. نحدد الشكل البيضاوي على أنه جميع النقاط في المستوى حيث يكون مجموع المسافات من نقطتين ثابتتين ثابتًا. كل نقطة من النقاط المعطاة تسمى محور القطع الناقص.
القطع الناقص هو كل النقاط في المستوى حيث يكون مجموع المسافات من نقطتين ثابتتين ثابتًا. كل نقطة من النقاط الثابتة تسمى محور القطع الناقص.
يمكننا رسم شكل بيضاوي عن طريق أخذ طول ثابت من الخيط المرن وربط الأطراف بمسندين للإبهام. نستخدم قلمًا لسحب الخيط المشدود وتدويره حول مسندي الإبهام. الشكل الذي ينتج هو شكل بيضاوي.
يتقاطع الخط المرسوم عبر البؤر مع الشكل البيضاوي في نقطتين. كل نقطة تسمى قمة الشكل البيضاوي. يُطلق على المقطع الذي يربط الرؤوس اسم المحور الرئيسي. يُطلق على نقطة منتصف المقطع اسم مركز القطع الناقص. يُطلق على المقطع العمودي على المحور الرئيسي الذي يمر عبر المركز ويتقاطع مع الشكل البيضاوي في نقطتين اسم المحور الصغير.
ذكرنا سابقًا أن هدفنا هو ربط هندسة المخروط بالجبر. يمنحنا وضع القطع الناقص على نظام إحداثيات مستطيل هذه الفرصة. في الشكل، وضعنا الشكل البيضاوي بحيث((−c,0),(c,0)) تكون البؤر علىx المحور -والمركز هو الأصل.
ينص التعريف على أن مجموع المسافة من البؤر إلى النقطة(x,y) ثابت. d1+d2هذا هو الثابت الذي سنسميه2a كذلك،d1+d2=2a. سنستخدم صيغة المسافة لتقودنا إلى صيغة جبرية للقطع الناقص.
d1+d2=2a
استخدم صيغة المسافة للبحثd1,d2.
√(x−(−c))2+(y−0)2+√(x−c)2+(y−0)2=2a
بعد القضاء على الجذور والتبسيط، نحصل على:
x2a2+y2a2−c2=1
لتبسيط معادلة القطع الناقص، نسمح لـa2−c2=b2 .So، معادلة القطع الناقص المتمركز عند الأصل في الشكل القياسي هي:
x2a2+y2b2=1
لرسم الشكل البيضاوي، سيكون من المفيد معرفة نقاط الاعتراض. سنجدx -Intercepts وy -Intercepts باستخدام الصيغة.
y- عمليات الاعتراض
دعوناx=0.
x2a2+y2b2=102a2+y2a2=1y2b2=1y2=b2y=±b
yعمليات الاعتراض - هي(0,b) و(0,−b).
x- عمليات الاعتراض
دعوناy=0.
x2a2+y2b2=1x2a2+02b2=1x2a2=1x2=a2x=±a
xعمليات الاعتراض - هي(a,0) و(−a,0).
الشكل القياسي لمعادلة الشكل البيضاوي مع المركز(0,0)
الشكل القياسي لمعادلة الشكل البيضاوي مع المركز(0,0)، هو
x2a2+y2b2=1
xعمليات الاعتراض - هي(a,0) و(−a,0).
yعمليات الاعتراض - هي(0,b) و(0,−b).
لاحظ أنه عندما يكون المحور الرئيسي أفقيًا،a ستكون قيمته أكبر من قيمة المحور الرئيسيb وعندما يكون المحور الرئيسي عموديًا،b ستكون قيمته أكبر من قيمةa. سنستخدم هذه المعلومات لرسم شكل بيضاوي متمركز في الأصل.
الشكل البيضاوي مع المركز(0,0)
x2a2+y2b2=1 | a>b | b>a |
---|---|---|
المحور الرئيسي | علىx المحور -. | yعلى المحور |
x- عمليات الاعتراض | (−a,0),(a,0) | |
y- عمليات الاعتراض | (0,−b),(0,b) |
رسم بياني:x24+y29=1.
الحل:
الخطوة 1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية. | إنه في شكل قياسي. | x24+y29=1 |
الخطوة 2. حدد ما إذا كان المحور الرئيسي أفقيًا أم رأسيًا. | نظرًا9 لأنه9>4 فيy2 المصطلح، يكون المحور الرئيسي عموديًا. | المحور الرئيسي عمودي. |
الخطوة 3. ابحث عن نقاط نهاية المحور الرئيسي. |
ستكون نقاط النهاية هيy -intercepts. منذb2=9 ذلك الحينb=±3. نقاط النهاية للمحور الرئيسي هي(0,3),(0,−3). |
نقاط النهاية للمحور الرئيسي هي(0,3),(0,−3). |
الخطوة 4. ابحث عن نقاط نهاية المحور الثانوي. | ستكون نقاط النهاية هيx -intercepts.
منذa2=4 ذلك الحينa=±2. نقاط النهاية للمحور الرئيسي هي(2,0),(−2,0). |
نقاط النهاية للمحور الرئيسي هي(2,0),(−2,0). |
الخطوة 5. ارسم الشكل البيضاوي. |
رسم بياني:x24+y216=1.
- إجابة
رسم بياني:x29+y216=1.
- إجابة
نحن نلخص الخطوات كمرجع.
كيفية رسم شكل بيضاوي مع المركز(0,0).
- اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
- حدد ما إذا كان المحور الرئيسي أفقيًا أم رأسيًا.
- ابحث عن نقاط نهاية المحور الرئيسي.
- ابحث عن نقاط نهاية المحور الصغير
- ارسم الشكل البيضاوي.
في بعض الأحيان، يجب وضع المعادلة أولاً في شكل قياسي.
رسم بيانيx2+4y2=16.
الحل:
نحن ندرك هذا على أنه معادلة القطع الناقص نظرًا لأن كلاxy المصطلحين مربعان ولهما معاملات مختلفة. |
x2+4y2=16 |
للحصول على المعادلة في الصورة القياسية، قسّم كلا الطرفين16 بحيث تكون المعادلة مساوية لـ1. |
x216+4y216=1616 |
قم بالتبسيط. | x216+y24=1 |
المعادلة في الشكل القياسي. يتركز الشكل البيضاوي في الأصل. |
المركز هو(0,0). |
نظرًا16 لأنه16>4 فيx2 المصطلح، يكون المحور الرئيسي أفقيًا. |
|
a2=16,a=±4 b2=4,b=±2 |
الرؤوس هي(4,0),(−4,0). نقاط النهاية للمحور الثانوي هي (0,2),(0,−2). |
ارسم القطع المكافئ. |
رسم بياني9x2+16y2=144.
- إجابة
رسم بياني16x2+25y2=400.
- إجابة
ابحث عن معادلة القطع الناقص مع المركز عند نقطة الأصل
إذا أُعطينا الرسم البياني للقطع الناقص، يمكننا إيجاد معادلة القطع الناقص.
أوجد معادلة الشكل البيضاوي الموضَّح.
الحل:
نحن ندرك هذا على أنه شكل بيضاوي يتركز في الأصل.
x2a2+y2b2=1
نظرًا لأن المحور الرئيسي أفقي والمسافة من المركز إلى الرأس هي4، فنحن نعرفa=4 ذلكa2=16.
x216+y2b2=1
المحور الصغير عمودي والمسافة من المركز إلى الشكل البيضاوي هي3 كما نعلمb=3 وهكذاb2=9.
x216+y29=1
أوجد معادلة الشكل البيضاوي الموضَّح.
- إجابة
-
x24+y225=1
أوجد معادلة الشكل البيضاوي الموضَّح.
- إجابة
-
x29+y24=1
رسم بياني لشكل بيضاوي مع عدم وجود المركز في الأصل
لقد تمحورت جميع علامات الحذف التي نظرنا إليها حتى الآن في الأصل. سننظر الآن في الأشكال البيضاوية التي يقع مركزها(h,k).
المعادلة هي(x−h)2a2+(y−k)2b2=1 وعندما يكون المحور الرئيسي أفقيًاa>b، وبالتالي تكون المسافة من المركز إلى الرأسa. عندما يكونb>a المحور الرئيسي عموديًا، تكون المسافة من المركز إلى قمة الرأسb.
الشكل القياسي لمعادلة الشكل البيضاوي مع المركز(h,k)
الشكل القياسي لمعادلة الشكل البيضاوي مع المركز(h,k)، هو
(x−h)2a2+(y−k)2b2=1
عندما يكونa>b المحور الرئيسي أفقيًا، تكون المسافة من المركز إلى قمة الرأسa.
عندما يكونb>a المحور الرئيسي عموديًا، تكون المسافة من المركز إلى قمة الرأسb.
رسم بياني:(x−3)29+(y−1)24=1.
الحل:
المعادلة في الشكل القياسي،(x−h)2a2+(y−k)2b2=1. | (x−3)29+(y−1)24=1 |
يتركز الشكل البيضاوي في(h,k). | المركز هو(3,1). |
نظرًا9 لأنه9>4 فيx2 المصطلح، يكون المحور الرئيسي أفقيًا. | |
a2=9,a=±3 b2=4,b=±2 |
المسافة من المركز إلى الرؤوس هي3. المسافة من المركز إلى نقاط النهاية للمحور الصغير هي2. |
ارسم الشكل البيضاوي. |
رسم بياني:(x+3)24+(y−5)216=1.
- إجابة
رسم بياني:(x−1)225+(y+3)216=1.
- إجابة
إذا نظرنا إلى معادلاتx29+y24=1 و(x−3)29+(y−1)24=1، نرى أن كلاهما عبارة عن حذف معa=3 وb=2. لذلك سيكون لديهم نفس الحجم والشكل. إنهم مختلفون من حيث أنهم لا يملكون نفس المركز.
لاحظ في الرسم البياني أعلاه أنه كان بإمكاننا رسم بياني(x−3)29+(y−1)24=1 بالترجمات. قمنا بنقل القطع الناقص الأصلي إلى3 الوحدات الصحيحة ثم إلى أعلى1 الوحدة.
في المثال التالي، سنستخدم طريقة الترجمة لرسم القطع الناقص.
رسم بياني(x+4)216+(y−6)29=1 بالترجمة.
الحل:
سيكون لهذا الشكل البيضاوي نفس الحجم والشكل مثلx216+y29=1 مركزه(0,0). نرسم هذا الشكل البيضاوي أولاً.
المركز هو(0,0). | المركز(0,0) |
نظرًا لأن16>9 المحور الرئيسي أفقي. | |
a2=16,a=±4 b2=9,b=±3 |
الرؤوس هي(4,0),(−4,0). نقاط النهاية للمحور الثانوي هي (0,3),(0,−3). |
ارسم الشكل البيضاوي. | |
المعادلة الأصلية في شكل قياسي،(x−h)2a2+(y−k)2b2=1. | (x−(−4))216+(y−6)29=1 |
يتركز الشكل البيضاوي في(h,k). | المركز هو(−4,6). |
نترجم الرسم البيانيx216+y29=1 لأربع وحدات إلى اليسار ثم6 الوحدات العلوية. تحقق من أن المركز موجود(−4,6). الشكل البيضاوي الجديد هو الشكل البيضاوي الذي تكون معادلته (x+4)216+(y−6)29=1. |
رسم بياني(x−5)29+(y+4)24=1 بالترجمة.
- إجابة
رسم بياني(x+6)216+(y+2)225=1 بالترجمة.
- إجابة
عندما تحتوي المعادلة على كل من ax2 و ay2 بمعاملات مختلفة، فإننا نتحقق من أنها علامة حذف بوضعها في الشكل القياسي. سنتمكن بعد ذلك من رسم المعادلة بيانيًا.
اكتب المعادلةx2+4y2−4x+24y+24=0 في الصورة القياسية والرسم البياني.
الحل:
نضع المعادلة في الشكل القياسي بإكمال المربعات في كل منx وy.
x2+4y2−4x+24y+24=0 | |
أعد كتابة تجميعx المصطلحاتy والمصطلحات. | |
اجعل المعامِلاتy2 تساويx2 وتساوي1. | |
أكمل المربعات. | |
اكتب كمربعات ذات حدين. | |
قسّم كلا1 الجانبين16 للوصول إلى اليمين. | |
قم بالتبسيط. | |
المعادلة في الشكل القياسي،(x−h)2a2+(y−k)2b2=1 | |
يتركز الشكل البيضاوي في(h,k). | المركز هو(2,−3). |
نظرًا16 لأنه16>4 فيx2 المصطلح، يكون المحور الرئيسي أفقيًا. a2=16,a=±4 |
المسافة من المركز إلى الرؤوس هي4. المسافة من المركز إلى نقاط النهاية للمحور الصغير هي2. |
ارسم الشكل البيضاوي. |
- اكتب المعادلة6x2+4y2+12x−32y+34=0 في الصورة القياسية و
- رسم بياني.
- إجابة
-
- (x+1)26+(y−4)29=1
- اكتب المعادلة4x2+y2−16x−6y+9=0 في الصورة القياسية و
- رسم بياني.
- إجابة
-
- (x−2)24+(y−3)216=1
حل التطبيق باستخدام علامات الحذف
تتبع مدارات الكواكب حول الشمس مسارات بيضاوية.
يتحرك بلوتو (كوكب قزم) في مدار بيضاوي حول الشمس. أقرب كوكب بلوتو إلى الشمس هو وحدات30 فلكية تقريبًا (AU) وأبعدها هو50 AU تقريبًا. الشمس هي واحدة من بؤر المدار الإهليلجي. عند ترك الشكل البيضاوي في نقطة الأصل ووضع علامات على المحاور في AU، سيبدو المدار كما هو موضح أدناه. استخدم الرسم البياني لكتابة معادلة للمدار الإهليلجي لبلوتو.
الحل:
نحن ندرك هذا على أنه شكل بيضاوي يتركز في الأصل.
x2a2+y2b2=1
نظرًا لأن المحور الرئيسي أفقي والمسافة من المركز إلى الرأس هي40، فنحن نعرفa=40 ذلكa2=1600.
x21600+y2b2=1
المحور الصغير عمودي ولكن نقاط النهاية غير مذكورة. للعثور على ذلك،b سنستخدم موقع الشمس. نظرًا لأن الشمس هي محور القطع الناقص عند هذه النقطة(10,0)، فإننا نعلم ذلكc=10. استخدم هذا لحلهاb2.
b2=a2−c2
b2=402−102
b2=1600−100
b2=1500
استبدلa2b2 وفي الشكل القياسي للقطع الناقص.
x21600+y21500=1
يتحرك كوكب في مدار بيضاوي حول الشمس. أقرب كوكب يصل إلى الشمس هو20 AU تقريبًا والأبعد هو30 AU تقريبًا. الشمس هي واحدة من بؤر المدار الإهليلجي. عند ترك الشكل البيضاوي في نقطة الأصل ووضع علامات على المحاور في AU، سيبدو المدار كما هو موضح أدناه. استخدم الرسم البياني لكتابة معادلة للمدار الإهليلجي للكوكب.
- إجابة
-
x2625+y2600=1
يتحرك كوكب في مدار بيضاوي حول الشمس. أقرب كوكب يصل إلى الشمس هو20 AU تقريبًا والأبعد هو50 AU تقريبًا. الشمس هي واحدة من بؤر المدار الإهليلجي. عند ترك الشكل البيضاوي في نقطة الأصل ووضع علامات على المحاور في AU، سيبدو المدار كما هو موضح أدناه. استخدم الرسم البياني لكتابة معادلة للمدار الإهليلجي للكوكب.
- إجابة
-
x21225+y21000=1
يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات إضافية وممارسة باستخدام علامات الحذف.
- المقاطع المخروطية: رسم الأشكال البيضاوية - الجزء 1
- المقاطع المخروطية: رسم الأشكال البيضاوية - الجزء 2
- معادلة القطع الناقص من الرسم البياني
المفاهيم الرئيسية
- الشكل البيضاوي: القطع الناقص هو كل النقاط في المستوى حيث يكون مجموع المسافات من نقطتين ثابتتين ثابتًا. كل نقطة من النقاط الثابتة تسمى محور القطع الناقص.
الشكل 11.3.37
- إذا رسمنا خطًا عبر البؤر، يتقاطع الشكل البيضاوي في نقطتين - يُطلق على كل منهما رأس الشكل البيضاوي.
يُطلق على المقطع الذي يربط الرؤوس اسم المحور الرئيسي.
يُطلق على نقطة منتصف المقطع اسم مركز القطع الناقص.
يُطلق على المقطع العمودي على المحور الرئيسي الذي يمر عبر المركز ويتقاطع مع الشكل البيضاوي في نقطتين اسم المحور الصغير. - الشكل القياسي لمعادلة الشكل البيضاوي مع المركز(0,0): الشكل القياسي لمعادلة الشكل البيضاوي مع المركز(0,0)، هو
x2a2+y2b2=1
xعمليات الاعتراض - هي(a,0) و(−a,0).
yعمليات الاعتراض - هي(0,b) و(0,−b). - كيفية عمل القطع الناقص مع المركز(0,0)
- اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
- حدد ما إذا كان المحور الرئيسي أفقيًا أم رأسيًا.
- ابحث عن نقاط نهاية المحور الرئيسي.
- ابحث عن نقاط نهاية المحور الصغير
- ارسم الشكل البيضاوي.
- الشكل القياسي لمعادلة الشكل البيضاوي مع المركز(h,k): الشكل القياسي لمعادلة الشكل البيضاوي مع المركز(h,k)، هو
(x−h)2a2+(y−k)2b2=1
عندما يكونa>b المحور الرئيسي أفقيًا، تكون المسافة من المركز إلى قمة الرأسa.
عندما يكونb>a المحور الرئيسي عموديًا، تكون المسافة من المركز إلى قمة الرأسb.
مسرد المصطلحات
- الشكل البيضاوي
- القطع الناقص هو كل النقاط في المستوى حيث يكون مجموع المسافات من نقطتين ثابتتين ثابتًا.