11.3: بارابولاس

Last updated
Save as PDF

Page ID: 201770

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

الأشكال الرأسية للرسم البياني
الأشكال الجانبية الأفقية للرسم البياني
حل التطبيقات باستخدام بارابولاس

كن مستعدًا

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

رسم بياني:$y=-3 x^{2}+12 x-12$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 9.47.
حل بإكمال المربع:$x^{2}-6 x+6=0$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 9.12.
اكتب في النموذج القياسي:$y=3 x^{2}-6 x+5$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 9.59.

الرسم البياني: البارابولاس الرأسية

القسم المخروطي التالي الذي سننظر إليه هو القطع المكافئ. نحدد المكافئ على أنه جميع النقاط في المستوى التي هي نفس المسافة من نقطة ثابتة وخط ثابت. تسمى النقطة الثابتة بالتركيز، والخط الثابت يسمى دليل المكافئ.

يوضِّح هذا الشكل مخروطًا مزدوجًا. تتقاطع القيلولة السفلية مع مستوى بحيث يشكل التقاطع المكافئ. — الشكل 11.2.1

تعريف$\PageIndex{1}$: Parabola, Focus, and Directrix

المكافئ هو كل النقاط في المستوى الذي يقع على نفس المسافة من نقطة ثابتة وخط ثابت. تسمى النقطة الثابتة بالتركيز، والخط الثابت يسمى دليل المكافئ.

يوضح هذا الشكل فتحة القطع المكافئ لأعلى. يوجد أسفل القطع المكافئ خط أفقي يسمى Directrix. يُطلق على الخط العمودي المتقطع الذي يمر عبر مركز القطع المكافئ اسم محور التماثل. تُسمى النقطة التي يتقاطع فيها المحور مع القطع المكافئ بالرأس. تُسمى النقطة الموجودة على المحور، داخل المكافئ، بالتركيز. يربط خط عمودي على الدليل الدليل بنقطة على المكافئ وخط آخر يربط هذه النقطة بالتركيز. كلا الخطين لهما نفس الطول. — الشكل 11.2.2

في السابق، تعلمنا رسم البارابولاس الرأسية من النموذج العام أو النموذج القياسي باستخدام الخصائص. ستعمل هذه الأساليب هنا أيضًا. سنلخص الخصائص هنا.

بارابولاس عمودية

الجدول 11.2.1
	نموذج عام $y=a x^{2}+b x+c$	نموذج قياسي $y=a(x-h)^{2}+k$
اتجاه	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">$a>0$ لأعلى؛$a<0$ لأسفل	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$a>0$ لأعلى؛$a<0$ لأسفل
محور التماثل	\ (y=a x^ {2} +ب x+c\) ">$x=-\dfrac{b}{2 a}$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$x=h$
فيرتكس	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">بديل$x=-\dfrac{b}{2 a}$ وحل لـ$y .$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$(h, k)$
$y$-اعتراض	\ (y=a x^ {2} +ب x+c\) ">Let$x=0$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">دع$x=0$
$x$- عمليات الاعتراض	\ (y=a x^ {2} +ب x+c\) ">Let$y=0$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">دع$y=0$

تُظهر الرسوم البيانية كيف تبدو المظلات عندما تفتح لأعلى أو لأسفل. إن موقفهم فيما يتعلق$y$ بالمحور$x$ - أو - هو مجرد مثال.

يوضِّح هذا الشكل مثالين يكون محورهما x يساوي h ورأسهما h وk، حيث ينفتح الواحد الموجود على اليسار لأعلى ويكون A أكبر من 0. الشخص الموجود على اليمين يفتح. هنا A أقل من 0. — الشكل 11.2.3

لرسم مكافئ من هذه النماذج، استخدمنا الخطوات التالية.

تمثيل الأشكال الرأسية بيانيًا

كيفية رسم بارابولاس عمودية$y=a x^{2}+b x+c$ أو$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ استخدام الخصائص.

الخطوة 1: حدد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل.
الخطوة 2. أوجد محور التماثل.
الخطوة 3. ابحث عن قمة الرأس.
الخطوة 4. ابحث$y$ عن التقاطع. ابحث عن النقطة المتماثلة للجزء$y$ المقطوع عبر محور التماثل.
الخطوة 5. ابحث عن$x$ -Intercepts.
الخطوة 6. رسم بياني للقطع المكافئ.

يستعرض المثال التالي طريقة رسم المكافئ بيانيًا من الشكل العام لمعادلته.

مثال$\PageIndex{1}$

رسم بياني$y=-x^{2}+6 x-8$ باستخدام الخصائص.

الحل:

الجدول 11.2.2
	$ \begin{align} \color{red}{y} &\color{red}{=} a x^{2}+b x+c \\[4pt] \color{black}{y} &=-x^{2}+6 x-8 \end{align}$
منذ$a$ ذلك الحين$-1$، ينفتح المكافئ لأسفل.
$.$
للعثور على محور التماثل، ابحث$x=-\dfrac{b}{2 a}$.	$ \begin{align} x &=-\dfrac{b}{2 a}\\[4pt] x &=-\dfrac{6}{2(-1)} \\[4pt] x &= 3 \end{align}$
	محور التماثل هو$x=3$.
	$.$
قمة الرأس على الخط$x=3$.	$y=-x^{2}+6 x-8$
دعونا$x=3$.	$.$
	$\begin{align} y &=-9+18-8 \\[4pt] y &=1 \end{align}$
	قمة الرأس هي$(3,1)$.
	$.$
يحدث$y$ التقاطع عند حدوث ذلك$x=0$.	$y=-x^{2}+6 x-8$
بديل$x=0$.	$y=-\color{red}{0}^{\color{black}{2}}+6 \cdot \color{red}{0} \color{black}{-} 8$
قم بالتبسيط.	$y=-8$
	$y$التقاطع هو$(0,-8)$.
النقطة$(0,−8)$ هي ثلاث وحدات على يسار خط التماثل. النقطة الثلاث وحدات على يمين خط التماثل هي$(6,−8)$.	النقطة المتماثلة في$y$ التقاطع السيني هي$(6,−8)$.
	$.$
يحدث$x$ التقاطع عند حدوث ذلك$y=0$.	$y=-x^{2}+6 x-8$
دعونا$y=0$.	$\color{red}{0} \color{black}{=}-x^{2}+6 x-8$
عامل عامل GCF.	$0=-\left(x^{2}-6 x+8\right)$
عامل ثلاثي الحدود.	$0=-(x-4)(x-2)$
حل لـ$x$.	$x=4, \quad x=2$
	$x$عمليات الاعتراض الإلكترونية هي$(4,0),(2,0)$.
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

التمارين$\PageIndex{1}$

رسم بياني$y=-x^{2}+5 x-6$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضِّح هذا الرسم البياني فتحة القطع المكافئ لأسفل، مع وجود نقاط تقاطع x (2، 0) و (3، 0) ونقطة التقاطع y (0، سالب 6).$
الشكل 11.2.24

التمارين$\PageIndex{2}$

رسم بياني$y=-x^{2}+8 x-12$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضِّح هذا الرسم البياني فتحة القطع المكافئ لأسفل، مع تقاطع الرأس (4، 4) وx (2، 0) و (6، 0).$
الشكل 11.2.25

يستعرض المثال التالي طريقة رسم المكافئ بيانيًا من الشكل القياسي لمعادلته,$y=a(x-h)^{2}+k$.

مثال$\PageIndex{2}$

اكتب$y=3 x^{2}-6 x+5$ في النموذج القياسي ثم استخدم خصائص النموذج القياسي لرسم المعادلة بيانيًا.

الحل:

الجدول 11.2.3
أعد كتابة الدالة في$y=a(x-h)^{2}+k$ الشكل بإكمال المربع.	$\begin{align} y &=3 x^{2}-6 x+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x\right)+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x+1\right) + 5-3 \\[4pt] y &=3(x-1)^{2}+2 \end{align}$
حدد الثوابت$a, h, k$.	$a=3, h=1, k=2$
منذ ذلك الحين$a=2$، ينفتح المكافئ لأعلى.
$.$
محور التماثل هو$x=h$.	محور التماثل هو$x=1$.
قمة الرأس هي$(h,k)$.	قمة الرأس هي$(1,2)$.
ابحث عن$y$ التقاطع السيني عن طريق الاستبدال$x=0$،	$ \begin{align} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] y &=3 \cdot 0^{2}-6 \cdot 0+5 \\[4pt] y &=0 \end{align} $
	$y$-اعتراض$(0,5)$
ابحث عن النقطة المتماثلة$(0,5)$ لعبور محور التماثل.	$(2,5)$
ابحث عن$x$ -Intercepts.	$\begin{aligned} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] 0 &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] -2 &=3(x-1)^{2} \\[4pt] -\dfrac{2}{3} &=(x-1)^{2} \\[4pt] \pm \sqrt{-\dfrac{2}{3}} &=x-1 \end{aligned}$
	يخبرنا الجذر التربيعي لرقم سالب أن الحلول هي أرقام معقدة. لذلك لا$x$ توجد اعتراضات.
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

التمارين$\PageIndex{3}$

اكتب$y=2 x^{2}+4 x+5$ في النموذج القياسي و
استخدم خصائص النموذج القياسي لرسم المعادلة بيانيًا.

إجابة

$y=2(x+1)^{2}+3$

يوضِّح هذا الرسم البياني فتحة القطع المكافئ لأعلى، مع وجود الرأس (سالب 1، 3) ونقطة التقاطع y (0، 5). يحتوي على النقطة السالبة (2، 5). — الشكل 11.2.28

التمارين$\PageIndex{4}$

اكتب$y=-2 x^{2}+8 x-7$ في النموذج القياسي و
استخدم خصائص النموذج القياسي لرسم المعادلة بيانيًا.

إجابة

$y=-2(x-2)^{2}+1$

يوضِّح هذا الرسم البياني فتحة القطع المكافئ لأسفل، بحيث يساوي الرأس (2، 1) ومحور التماثل x 2. اعتراضها هو (0، سالب 7). — الشكل 11.2.29

رسم بياني: بارابولاس أفقية

لم يتعامل عملنا حتى الآن إلا مع الأشكال المظللة التي تنفتح لأعلى أو لأسفل. سننظر الآن في الأشكال الأفقية. تفتح هذه الأشكال المظللة إما إلى اليسار أو إلى اليمين. إذا تبادلنا الحرف «$x$و»$y$ في معادلاتنا السابقة للبارابولاس، نحصل على معادلات البارابولاس التي تنفتح على اليسار أو إلى اليمين.

بارابولاس أفقية

الجدول 11.2.4
	نموذج عام $x=a y^{2}+b y+c$	نموذج قياسي $x=a(y-k)^{2}+h$
اتجاه	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">$a>0$ اليمين؛$a<0$ اليسار	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$a>0$ اليمين؛$a<0$ اليسار
محور التماثل	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">$y=-\dfrac{b}{2 a}$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$y=k$
فيرتكس	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">بديل$y=-\dfrac{b}{2 a}$ وحل لـ$x .$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$(h, k)$
$x$- عمليات الاعتراض	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Let$x=0$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Let$x=0$
$y$-اعتراض	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Let$y=0$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Let$y=0$

تُظهر الرسوم البيانية كيف تبدو البارابولاس عندما تكون على اليسار أو إلى اليمين. إن موقفهم فيما يتعلق$y$ بالمحور$x$ - أو - هو مجرد مثال.

يوضِّح هذا الشكل نموذجين لهما محور التماثل y يساوي k،) وزاوية الرأس (h، k)، ويُسمى الواحد الموجود على اليسار بأنه أكبر من 0 ويفتح على اليمين. يتم فتح المكافئ الآخر إلى اليسار. — الشكل 11.2.30

بالنظر إلى هذه الأشكال المماثلة، هل تمثل رسوماتها البيانية دالة؟ نظرًا لأن كلا الرسمين البيانيين سيفشلان في اختبار الخط العمودي، فإنهما لا يمثلان دالة.

إن رسم القطع المكافئ الذي يفتح إلى اليسار أو اليمين هو في الأساس نفس ما فعلناه للبارابولاس التي تنفتح لأعلى أو لأسفل، مع عكس$y$ المتغيرات.$x$

كيفية: رسم بياني لبارابولاس أفقية$y=a x^{2}+b x+c$ or $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ using Properties

الخطوة 1: حدد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح على اليسار أو إلى اليمين.
الخطوة 2: ابحث عن محور التماثل.
الخطوة 3: ابحث عن قمة الرأس.
الخطوة 4: ابحث$x$ عن التقاطع. ابحث عن النقطة المتماثلة للجزء$x$ المقطوع عبر محور التماثل.
الخطوة 5: ابحث عن$y$ -Intercepts.
الخطوة 6: رسم القطع المكافئ.

مثال$\PageIndex{3}$

رسم بياني$x=2 y^{2}$ باستخدام الخصائص.

الحل:

الجدول 11.2.5
	$.$
منذ ذلك الحين$a=2$، ينفتح المكافئ على اليمين.
$.$
للعثور على محور التماثل، ابحث$y=-\dfrac{b}{2 a}$	$y=-\dfrac{b}{2 a}$
	$y=-\dfrac{0}{2(2)}$
	$y=0$
	محور التماثل هو$y=0$.
قمة الرأس على الخط$y=0$.	$x=2 y^{2}$
دعونا$y=0$.	$.$
	$x=0$
	قمة الرأس هي$(0,0)$.

نظرًا لوجود قمة الرأس$(0,0)$، فإن كلا من$x$ - و$y$ -المعترضين هما النقطة$(0,0)$. لرسم المكافئ نحتاج إلى المزيد من النقاط. في هذه الحالة، يكون من الأسهل اختيار قيم$y$.

في المعادلة x يساوي 2 y مربعًا، عندما y هو 1، x هو 2 وعندما y هو 2، x هو 8. النقاط هي (2، 1) و (8، 2). — الشكل 11.2.38

نرسم أيضًا النقاط المتماثلة مع$(2,1)$$y$ المحور -وعبره، النقاط$(2,−1),(8,−2)$.$(8,2)$

رسم بياني للقطع المكافئ.

يوضح هذا الرسم البياني القطع المكافئ الافتتاحي الأيمن مع قمة الرأس (0، 0). يتم وضع علامة على أربع نقاط: النقطة (2، 1)، النقطة (2، السالب 1)، النقطة (8، 2) والنقطة (8 ناقص 2). — الشكل 11.2.39

التمارين$\PageIndex{5}$

رسم بياني$x=y^{2}$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضح هذا الرسم البياني القطع المكافئ الافتتاحي الأيمن مع قمة الرأس في الأصل. نقطتان عليه هما (4، 2) و (4، سالب 2).$
الشكل 11.2.40

التمارين$\PageIndex{6}$

رسم بياني$x=-y^{2}$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضح هذا الرسم البياني القطع المكافئ الافتتاحي الأيسر مع قمة الرأس عند الأصل. نقطتان عليه هما (سالب 4، 2) و (سالب 4، سالب 2).$
الشكل 11.2.41

في المثال التالي، لا تكون قمة الرأس هي الأصل.

مثال$\PageIndex{4}$

رسم بياني$x=-y^{2}+2 y+8$ باستخدام الخصائص.

الحل:

الجدول 11.2.6
	$.$
منذ ذلك الحين$a=-1$، يفتح القطع المكافئ على اليسار.
$.$
للعثور على محور التماثل، ابحث$y=-\dfrac{b}{2 a}$	$y=-\dfrac{b}{2 a}$
	$y=-\dfrac{2}{2(-1)}$
	$y=1$
	محور التماثل هو$y=1$.
قمة الرأس على الخط$y=1$.	$x=-y^{2}+2 y+8$
دعونا$y=1$.	$.$
	$x=9$
	قمة الرأس هي$(9,1)$.
يحدث$x$ التقاطع عند حدوث ذلك$y=0$.	$x=-y^{2}+2 y+8$
	$.$
	$x=8$
	$x$التقاطع هو$(8,0)$.
النقطة$(8,0)$ هي وحدة واحدة تحت خط التماثل. النقطة المتماثلة التي تقع فوق خط التماثل بوحدة واحدة هي$(8,2)$	النقطة المتماثلة هي$(8,2)$.
يحدث$y$ التقاطع عند حدوث ذلك$x=0$.	$x=-y^{2}+2 y+8$
بديل$x=0$.	$0=-y^{2}+2 y+8$
حل.	$y^{2}-2 y-8=0$
	$(y-4)(y+2)=0$
	$y=4, \quad y=-2$
	$y$عمليات الاعتراض - هي$(0,4)$ و$(0,-2)$.
قم بتوصيل النقاط لرسم القطع المكافئ.	$.$

التمارين$\PageIndex{7}$

رسم بياني$x=-y^{2}-4 y+12$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضِّح هذا الرسم البياني القطع المكافئ الافتتاحي الأيسر ذو الرأس (16، سالب 2) ونقطة التقاطع x (12، 0).$
الشكل 11.2.58

التمارين$\PageIndex{8}$

رسم بياني$x=-y^{2}+2 y-3$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضِّح هذا الرسم البياني القطع المكافئ الافتتاحي الأيسر ذو الرأس (سالب 2، 1) وx التقاطع السالب (3، 0).$
الشكل 11.2.59

في الجدول 11.2.4، نرى العلاقة بين المعادلة في الشكل القياسي وخصائص القطع المكافئ. يسرد مربع How To خطوات رسم المكافئ بيانيًا في النموذج القياسي$x=a(y-k)^{2}+h$. سنستخدم هذا الإجراء في المثال التالي.

مثال$\PageIndex{5}$

رسم بياني$x=2(y-2)^{2}+1$ باستخدام الخصائص.

الحل:

الجدول 11.2.7
	$.$
حدد الثوابت$a, h, k$.	$a=2, h=1, k=2$
منذ ذلك الحين$a=2$، ينفتح المكافئ على اليمين.
$.$
محور التماثل هو$y=k$.	محور التماثل هو$y=2$.
قمة الرأس هي$(h,k)$.	قمة الرأس هي$(1,2)$.
ابحث عن$x$ التقاطع -عن طريق الاستبدال$y=0$.	$x=2(y-2)^{2}+1$ $x=2(0-2)^{2}+1$ $x=9$
	$x$التقاطع هو$(9,0)$.
ابحث عن النقطة المتماثلة$(9,0)$ لعبور محور التماثل.	$(9,4)$
ابحث عن$y$ -Intercepts. دعونا$x=0$.	$\begin{aligned} x &=2(y-2)^{2}+1 \\ 0 &=2(y-2)^{2}+1 \\-1 &=2(y-2)^{2} \end{aligned}$
	لا يمكن أن يكون المربع سالبًا، لذلك لا يوجد حل حقيقي. لذلك لا$y$ توجد اعتراضات.
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

التمارين$\PageIndex{9}$

رسم بياني$x=3(y-1)^{2}+2$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضِّح هذا الرسم البياني فتحة القطع المكافئ يمينًا باستخدام قمة الرأس (2، 1) ونقطة التقاطع x (5، 0).$
الشكل 11.2.63

التمارين$\PageIndex{10}$

رسم بياني$x=2(y-3)^{2}+2$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضِّح هذا الرسم البياني فتحة القطع المكافئ يمينًا بنقطة الذروة (2، 3) والنقاط المتماثلة (4، 2)، (4، 4).$
الشكل 11.2.64

في المثال التالي، نلاحظ أن a سالب وبالتالي يتم فتح القطع المكافئ إلى اليسار.

مثال$\PageIndex{6}$

رسم بياني$x=-4(y+1)^{2}+4$ باستخدام الخصائص.

الحل:

الجدول 11.2.8
	$.$
حدد الثوابت$a, h, k$.	$a=-4, h=4, k=-1$
منذ ذلك الحين$a=-4$، يفتح القطع المكافئ على اليسار.
$.$
محور التماثل هو$y=k$.	محور التماثل هو$y=-1$.
قمة الرأس هي$(h,k)$.	قمة الرأس هي$(4,-1)$.
ابحث عن$x$ التقاطع -عن طريق الاستبدال$y=0$.	$x=-4(y+1)^{2}+4$ $x=-4(0+1)^{2}+4$ $x=0$
	$x$التقاطع هو$(0,0)$.
ابحث عن النقطة المتماثلة$(0,0)$ لعبور محور التماثل.	$(0,-2)$
ابحث عن$y$ -Intercepts.	$x=-4(y+1)^{2}+4$
دعونا$x=0$.	$\begin{aligned} 0 &=-4(y+1)^{2}+4 \\-4 &=-4(y+1)^{2} \\ 1 &=(y+1)^{2} \\ y+1 &=\pm 1 \end{aligned}$
	$y=-1+1 \quad y=-1-1$
	$y=0 \quad\quad y=-2$
	$y$عمليات الاعتراض - هي$(0,0)$ و$(0,-2)$.
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

التمارين$\PageIndex{11}$

رسم بياني$x=-4(y+2)^{2}+4$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضِّح هذا الشكل فتحة القطع المكافئ على اليسار باستخدام الرأس (4، سالب 2) وقطعي التقاطع y (0، سالب 1) و (0، سالب 3).$
الشكل 11.2.68

التمارين$\PageIndex{12}$

رسم بياني$x=-2(y+3)^{2}+2$ باستخدام الخصائص.

إجابة: $يوضِّح هذا الشكل فتحة القطع المكافئ على اليسار باستخدام الرأس (2، سالب 3) وقطعي التقاطع y (0، سالب 2) و (0، سالب 4).$
الشكل 11.2.69

يتطلب المثال التالي أن نضع المعادلة أولاً في النموذج القياسي ثم نستخدم الخصائص.

مثال$\PageIndex{7}$

اكتب$x=2 y^{2}+12 y+17$ في النموذج القياسي ثم استخدم خصائص النموذج القياسي لرسم المعادلة بيانيًا.

الحل:

الجدول 11.2.9
	$x=2 y^{2}+12 y+17$
أعد كتابة الدالة في$x=a(y-k)^{2}+h$ الشكل بإكمال المربع.	$x=2\left(y^{2}+6 y\right)+17$
	$.$
	$x=2(y+3)^{2}-1$
	$.$
حدد الثوابت$a, h, k$.	$a=2, h=-1, k=-3$
منذ ذلك الحين$a=2$، ينفتح المكافئ على اليمين.
$.$
محور التماثل هو$y=k$.	محور التماثل هو$y=-3$.
قمة الرأس هي$(h,k)$.	قمة الرأس هي$(-1,-3)$.
ابحث عن$x$ التقاطع -عن طريق الاستبدال$y=0$.	$x=2(y+3)^{2}-1$ $x=2(0+3)^{2}-1$ $x=17$
	$x$التقاطع هو$(17,0)$.
ابحث عن النقطة المتماثلة$(17,0)$ لعبور محور التماثل.	$(17,-6)$
ابحث عن$y$ -Intercepts. دعونا$x=0$.	$\begin{aligned} x &=2(y+3)^{2}-1 \\ 0 &=2(y+3)^{2}-1 \\ 1 &=2(y+3)^{2} \\ \dfrac{1}{2} &=(y+3)^{2} \\ y+3 &=\pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ y &=-3 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$
	$y=-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad y=-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
	$y \approx-2.3 \quad y \approx-3.7$
	$y$عمليات الاعتراض الإلكترونية هي$\left(0,-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(0,-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

التمارين$\PageIndex{13}$

اكتب$x=3 y^{2}+6 y+7$ في النموذج القياسي و
استخدم خصائص النموذج القياسي لرسم المعادلة بيانيًا.

إجابة

$x=3(y+1)^{2}+4$

يوضِّح هذا الرسم البياني فتحة القطع المكافئ إلى اليمين باستخدام الرأس (4، سالب 1) ونقطة تقاطع x (7، 0). — الشكل 11.2.77

التمارين$\PageIndex{14}$

اكتب$x=-4 y^{2}-16 y-12$ في النموذج القياسي و
استخدم خصائص النموذج القياسي لرسم المعادلة بيانيًا.

إجابة

$x=-4(y+2)^{2}+4$

يوضِّح هذا الرسم البياني فتحة القطع المكافئ على اليسار مع رأس المنحنى (4، سالب 2) وx التقاطع السالب (12، 0). — الشكل 11.2.78

حل التطبيقات باستخدام Parabolas

تتضمن العديد من التصميمات المعمارية بارابولاس. ليس من غير المألوف أن يتم بناء الجسور باستخدام parabolas كما سنرى في المثال التالي.

مثال$\PageIndex{8}$

أوجد معادلة القوس المكافئ المتكوَّن في أساس الجسر الموضَّح. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.

يوضِّح هذا الشكل قوسًا قطريًا مكوَّن على أساس جسر. يبلغ ارتفاعه 10 أقدام وعرضه 20 قدمًا عند القاعدة. — الشكل 11.2.79

الحل:

سنقوم أولاً بإعداد نظام الإحداثيات ورسم القطع المكافئ. سيعطينا الرسم البياني المعلومات التي نحتاجها لكتابة معادلة الرسم البياني في النموذج القياسي$y=a(x-h)^{2}+k$.

الجدول 11.2.10
اجعل الجانب الأيسر السفلي من الجسر هو أصل شبكة الإحداثيات عند النقطة$(0,0)$. نظرًا لأن القاعدة بعرض$20$ قدم، فإن النقطة$(20,0)$ تمثل الجانب الأيمن السفلي. يبلغ ارتفاع الجسر 10 أقدام عند أعلى نقطة. أعلى نقطة هي قمة المكافئ، لذا سيكون$y$ الإحداثي -للرأس$10$. نظرًا لأن الجسر متماثل، يجب أن تقع قمة الرأس في منتصف المسافة بين أقصى نقطة على اليسار$(0,0)$ والنقطة الموجودة في أقصى اليمين$(20,0)$. من هذا نعلم أن$x$ الإحداثي -للرأس سيكون أيضًا$10$.	$.$
تحديد قمة الرأس،$(h,k)$.	$(h, k)=(10,10)$
	$h=10, \quad k=10$
استبدل القيم في النموذج القياسي. لا تزال قيمة$a$ الـ غير معروفة. للعثور على قيمة$a$ استخدام إحدى النقاط الأخرى على القطع المكافئ.	$\begin{aligned} y &=a(x-h)^{2}+k \\ y &=a(x-10)^{2}+10 \\(x, y) &=(0,0) \end{aligned}$
استبدل قيم النقطة الأخرى في المعادلة.	$y=a(x-10)^{2}+10$ $0=a(0-10)^{2}+10$
حل لـ$a$.	$\begin{aligned} 0 &=a(0-10)^{2}+10 \\-10 &=a(-10)^{2} \\-10 &=100 a \\ \dfrac{-10}{100} &=a \\ a &=-\dfrac{1}{10} \end{aligned}$
	$y=a(x-10)^{2}+10$
استبدل القيمة بـ$a$ في المعادلة.	$y=-\dfrac{1}{10}(x-10)^{2}+10$

التمارين$\PageIndex{15}$

أوجد معادلة القوس المكافئ المتكوَّن في أساس الجسر الموضَّح. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.

يوضِّح هذا الشكل قوسًا قطريًا مكوَّن على أساس جسر. يبلغ ارتفاعه 20 قدمًا وعرضه 40 قدمًا عند القاعدة. — الشكل 11.2.81

إجابة: $y=-\dfrac{1}{20}(x-20)^{2}+20$

التمارين$\PageIndex{16}$

أوجد معادلة القوس المكافئ المتكوَّن في أساس الجسر الموضَّح. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.

يوضِّح هذا الشكل قوسًا قطريًا مكوَّن على أساس جسر. يبلغ ارتفاعه 5 أقدام وعرضه 10 أقدام عند القاعدة. — الشكل 11.2.82

إجابة: $y=-\dfrac{1}{5} x^{2}+2 x y=-\dfrac{1}{5}(x-5)^{2}+5$

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام الوظائف التربيعية والممثلات.

الدوال التربيعية
مقدمة إلى القصص المخروطية ورسم الأشكال الجانبية الأفقية

المفاهيم الرئيسية

بارابولا: المكافئ هو جميع النقاط في المستوى التي تكون على نفس المسافة من نقطة ثابتة وخط ثابت. تسمى النقطة الثابتة بالتركيز، والخط الثابت يسمى دليل المكافئ.

بارابولاس عمودية

الجدول 11.2.1
	نموذج عام $y=a x^{2}+b x+c$	نموذج قياسي $y=a(x-h)^{2}+k$
اتجاه	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">$a>0$ لأعلى؛$a<0$ لأسفل	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$a>0$ لأعلى؛$a<0$ لأسفل
محور التماثل	\ (y=a x^ {2} +ب x+c\) ">$x=-\dfrac{b}{2 a}$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$x=h$
فيرتكس	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">بديل$x=-\dfrac{b}{2 a}$ وحل لـ$y .$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$(h, k)$
$y$-اعتراض	\ (y=a x^ {2} +ب x+c\) ">Let$x=0$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">دع$x=0$
$x$- عمليات الاعتراض	\ (y=a x^ {2} +ب x+c\) ">Let$y=0$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">دع$y=0$

كيفية رسم بياني للبارابولاس الرأسية$y=a x^{2}+b x+c$ أو$f(x)=a(x-h)^{2}+k)$ استخدام الخصائص.

حدِّد ما إذا كان القطع المكافئ ينفتح لأعلى أم لأسفل.
أوجد محور التماثل.
ابحث عن قمة الرأس.
ابحث$y$ عن التقاطع. ابحث عن النقطة المتماثلة للجزء$y$ المقطوع عبر محور التماثل.
ابحث عن$x$ -Intercepts.
رسم بياني للقطع المكافئ.

بارابولاس أفقية

الجدول 11.2.4
	نموذج عام $x=a y^{2}+b y+c$	نموذج قياسي $x=a(y-k)^{2}+h$
اتجاه	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">$a>0$ اليمين؛$a<0$ اليسار	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$a>0$ اليمين؛$a<0$ اليسار
محور التماثل	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">$y=-\dfrac{b}{2 a}$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$y=k$
فيرتكس	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">بديل$y=-\dfrac{b}{2 a}$ وحل لـ$x .$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$(h, k)$
$x$- عمليات الاعتراض	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Let$x=0$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Let$x=0$
$y$-اعتراض	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Let$y=0$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Let$y=0$

تمثيل الأشكال الأفقية بيانيًا

كيفية رسم الأشكال الأفقية للرسم البياني$x=a y^{2}+b y+c$ أو$x=a(y-k)^{2}+h$ استخدام الخصائص.

حدِّد ما إذا كان القطع المكافئ ينفتح على اليسار أم إلى اليمين.
أوجد محور التماثل.
ابحث عن قمة الرأس.
ابحث$x$ عن التقاطع. ابحث عن النقطة المتماثلة للجزء$x$ المقطوع عبر محور التماثل.
ابحث عن$y$ -Intercepts.
رسم بياني للقطع المكافئ.

مسرد المصطلحات

المكافئ: المكافئ هو كل النقاط في المستوى الذي يقع على نفس المسافة من نقطة ثابتة وخط ثابت.

	نموذج عام \(y=a x^{2}+b x+c\)	نموذج قياسي \(y=a(x-h)^{2}+k\)
اتجاه	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">\(a>0\) لأعلى؛\(a<0\) لأسفل	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\(a>0\) لأعلى؛\(a<0\) لأسفل
محور التماثل	\ (y=a x^ {2} +ب x+c\) ">\(x=-\dfrac{b}{2 a}\)	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\(x=h\)
فيرتكس	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">بديل\(x=-\dfrac{b}{2 a}\) وحل لـ\(y .\)	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\((h, k)\)
\(y\)-اعتراض	\ (y=a x^ {2} +ب x+c\) ">Let\(x=0\)	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">دع\(x=0\)
\(x\)- عمليات الاعتراض	\ (y=a x^ {2} +ب x+c\) ">Let\(y=0\)	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">دع\(y=0\)

	\( \begin{align} \color{red}{y} &\color{red}{=} a x^{2}+b x+c \\[4pt] \color{black}{y} &=-x^{2}+6 x-8 \end{align}\)
منذ\(a\) ذلك الحين\(-1\)، ينفتح المكافئ لأسفل.
$.$
للعثور على محور التماثل، ابحث\(x=-\dfrac{b}{2 a}\).	\( \begin{align} x &=-\dfrac{b}{2 a}\\[4pt] x &=-\dfrac{6}{2(-1)} \\[4pt] x &= 3 \end{align}\)
	محور التماثل هو\(x=3\).
	$.$
قمة الرأس على الخط\(x=3\).	\(y=-x^{2}+6 x-8\)
دعونا\(x=3\).	$.$
	\(\begin{align} y &=-9+18-8 \\[4pt] y &=1 \end{align}\)
	قمة الرأس هي\((3,1)\).
	$.$
يحدث\(y\) التقاطع عند حدوث ذلك\(x=0\).	\(y=-x^{2}+6 x-8\)
بديل\(x=0\).	\(y=-\color{red}{0}^{\color{black}{2}}+6 \cdot \color{red}{0} \color{black}{-} 8\)
قم بالتبسيط.	\(y=-8\)
	\(y\)التقاطع هو\((0,-8)\).
النقطة\((0,−8)\) هي ثلاث وحدات على يسار خط التماثل. النقطة الثلاث وحدات على يمين خط التماثل هي\((6,−8)\).	النقطة المتماثلة في\(y\) التقاطع السيني هي\((6,−8)\).
	$.$
يحدث\(x\) التقاطع عند حدوث ذلك\(y=0\).	\(y=-x^{2}+6 x-8\)
دعونا\(y=0\).	\(\color{red}{0} \color{black}{=}-x^{2}+6 x-8\)
عامل عامل GCF.	\(0=-\left(x^{2}-6 x+8\right)\)
عامل ثلاثي الحدود.	\(0=-(x-4)(x-2)\)
حل لـ\(x\).	\(x=4, \quad x=2\)
	\(x\)عمليات الاعتراض الإلكترونية هي\((4,0),(2,0)\).
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

أعد كتابة الدالة في\(y=a(x-h)^{2}+k\) الشكل بإكمال المربع.	\(\begin{align} y &=3 x^{2}-6 x+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x\right)+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x+1\right) + 5-3 \\[4pt] y &=3(x-1)^{2}+2 \end{align}\)
حدد الثوابت\(a, h, k\).	\(a=3, h=1, k=2\)
منذ ذلك الحين\(a=2\)، ينفتح المكافئ لأعلى.
$.$
محور التماثل هو\(x=h\).	محور التماثل هو\(x=1\).
قمة الرأس هي\((h,k)\).	قمة الرأس هي\((1,2)\).
ابحث عن\(y\) التقاطع السيني عن طريق الاستبدال\(x=0\)،	\( \begin{align} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] y &=3 \cdot 0^{2}-6 \cdot 0+5 \\[4pt] y &=0 \end{align} \)
	\(y\)-اعتراض\((0,5)\)
ابحث عن النقطة المتماثلة\((0,5)\) لعبور محور التماثل.	\((2,5)\)
ابحث عن\(x\) -Intercepts.	\(\begin{aligned} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] 0 &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] -2 &=3(x-1)^{2} \\[4pt] -\dfrac{2}{3} &=(x-1)^{2} \\[4pt] \pm \sqrt{-\dfrac{2}{3}} &=x-1 \end{aligned}\)
	يخبرنا الجذر التربيعي لرقم سالب أن الحلول هي أرقام معقدة. لذلك لا\(x\) توجد اعتراضات.
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

	نموذج عام \(x=a y^{2}+b y+c\)	نموذج قياسي \(x=a(y-k)^{2}+h\)
اتجاه	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">\(a>0\) اليمين؛\(a<0\) اليسار	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\(a>0\) اليمين؛\(a<0\) اليسار
محور التماثل	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\(y=k\)
فيرتكس	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">بديل\(y=-\dfrac{b}{2 a}\) وحل لـ\(x .\)	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\((h, k)\)
\(x\)- عمليات الاعتراض	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Let\(x=0\)	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Let\(x=0\)
\(y\)-اعتراض	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Let\(y=0\)	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Let\(y=0\)

	$.$
منذ ذلك الحين\(a=2\)، ينفتح المكافئ على اليمين.
$.$
للعثور على محور التماثل، ابحث\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)	\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)
	\(y=-\dfrac{0}{2(2)}\)
	\(y=0\)
	محور التماثل هو\(y=0\).
قمة الرأس على الخط\(y=0\).	\(x=2 y^{2}\)
دعونا\(y=0\).	$.$
	\(x=0\)
	قمة الرأس هي\((0,0)\).

تعريف\(\PageIndex{1}\): Parabola, Focus, and Directrix

تمثيل الأشكال الرأسية بيانيًا

مثال\(\PageIndex{1}\)

التمارين\(\PageIndex{1}\)

التمارين\(\PageIndex{2}\)

مثال\(\PageIndex{2}\)

التمارين\(\PageIndex{3}\)

التمارين\(\PageIndex{4}\)

كيفية: رسم بياني لبارابولاس أفقية\(y=a x^{2}+b x+c\) or \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) using Properties

مثال\(\PageIndex{3}\)

التمارين\(\PageIndex{5}\)

التمارين\(\PageIndex{6}\)

مثال\(\PageIndex{4}\)

التمارين\(\PageIndex{7}\)

التمارين\(\PageIndex{8}\)

مثال\(\PageIndex{5}\)

التمارين\(\PageIndex{9}\)

التمارين\(\PageIndex{10}\)

مثال\(\PageIndex{6}\)

التمارين\(\PageIndex{11}\)

التمارين\(\PageIndex{12}\)

مثال\(\PageIndex{7}\)

التمارين\(\PageIndex{13}\)

التمارين\(\PageIndex{14}\)

مثال\(\PageIndex{8}\)

التمارين\(\PageIndex{15}\)

التمارين\(\PageIndex{16}\)

تمثيل الأشكال الأفقية بيانيًا

	$.$
منذ ذلك الحين\(a=-1\)، يفتح القطع المكافئ على اليسار.
$.$
للعثور على محور التماثل، ابحث\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)	\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)
	\(y=-\dfrac{2}{2(-1)}\)
	\(y=1\)
	محور التماثل هو\(y=1\).
قمة الرأس على الخط\(y=1\).	\(x=-y^{2}+2 y+8\)
دعونا\(y=1\).	$.$
	\(x=9\)
	قمة الرأس هي\((9,1)\).
يحدث\(x\) التقاطع عند حدوث ذلك\(y=0\).	\(x=-y^{2}+2 y+8\)
	$.$
	\(x=8\)
	\(x\)التقاطع هو\((8,0)\).
النقطة\((8,0)\) هي وحدة واحدة تحت خط التماثل. النقطة المتماثلة التي تقع فوق خط التماثل بوحدة واحدة هي\((8,2)\)	النقطة المتماثلة هي\((8,2)\).
يحدث\(y\) التقاطع عند حدوث ذلك\(x=0\).	\(x=-y^{2}+2 y+8\)
بديل\(x=0\).	\(0=-y^{2}+2 y+8\)
حل.	\(y^{2}-2 y-8=0\)
	\((y-4)(y+2)=0\)
	\(y=4, \quad y=-2\)
	\(y\)عمليات الاعتراض - هي\((0,4)\) و\((0,-2)\).
قم بتوصيل النقاط لرسم القطع المكافئ.	$.$

	$.$
حدد الثوابت\(a, h, k\).	\(a=2, h=1, k=2\)
منذ ذلك الحين\(a=2\)، ينفتح المكافئ على اليمين.
$.$
محور التماثل هو\(y=k\).	محور التماثل هو\(y=2\).
قمة الرأس هي\((h,k)\).	قمة الرأس هي\((1,2)\).
ابحث عن\(x\) التقاطع -عن طريق الاستبدال\(y=0\).	\(x=2(y-2)^{2}+1\) \(x=2(0-2)^{2}+1\) \(x=9\)
	\(x\)التقاطع هو\((9,0)\).
ابحث عن النقطة المتماثلة\((9,0)\) لعبور محور التماثل.	\((9,4)\)
ابحث عن\(y\) -Intercepts. دعونا\(x=0\).	\(\begin{aligned} x &=2(y-2)^{2}+1 \\ 0 &=2(y-2)^{2}+1 \\-1 &=2(y-2)^{2} \end{aligned}\)
	لا يمكن أن يكون المربع سالبًا، لذلك لا يوجد حل حقيقي. لذلك لا\(y\) توجد اعتراضات.
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

	$.$
حدد الثوابت\(a, h, k\).	\(a=-4, h=4, k=-1\)
منذ ذلك الحين\(a=-4\)، يفتح القطع المكافئ على اليسار.
$.$
محور التماثل هو\(y=k\).	محور التماثل هو\(y=-1\).
قمة الرأس هي\((h,k)\).	قمة الرأس هي\((4,-1)\).
ابحث عن\(x\) التقاطع -عن طريق الاستبدال\(y=0\).	\(x=-4(y+1)^{2}+4\) \(x=-4(0+1)^{2}+4\) \(x=0\)
	\(x\)التقاطع هو\((0,0)\).
ابحث عن النقطة المتماثلة\((0,0)\) لعبور محور التماثل.	\((0,-2)\)
ابحث عن\(y\) -Intercepts.	\(x=-4(y+1)^{2}+4\)
دعونا\(x=0\).	\(\begin{aligned} 0 &=-4(y+1)^{2}+4 \\-4 &=-4(y+1)^{2} \\ 1 &=(y+1)^{2} \\ y+1 &=\pm 1 \end{aligned}\)
	\(y=-1+1 \quad y=-1-1\)
	\(y=0 \quad\quad y=-2\)
	\(y\)عمليات الاعتراض - هي\((0,0)\) و\((0,-2)\).
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

	\(x=2 y^{2}+12 y+17\)
أعد كتابة الدالة في\(x=a(y-k)^{2}+h\) الشكل بإكمال المربع.	\(x=2\left(y^{2}+6 y\right)+17\)
	$.$
	\(x=2(y+3)^{2}-1\)
	$.$
حدد الثوابت\(a, h, k\).	\(a=2, h=-1, k=-3\)
منذ ذلك الحين\(a=2\)، ينفتح المكافئ على اليمين.
$.$
محور التماثل هو\(y=k\).	محور التماثل هو\(y=-3\).
قمة الرأس هي\((h,k)\).	قمة الرأس هي\((-1,-3)\).
ابحث عن\(x\) التقاطع -عن طريق الاستبدال\(y=0\).	\(x=2(y+3)^{2}-1\) \(x=2(0+3)^{2}-1\) \(x=17\)
	\(x\)التقاطع هو\((17,0)\).
ابحث عن النقطة المتماثلة\((17,0)\) لعبور محور التماثل.	\((17,-6)\)
ابحث عن\(y\) -Intercepts. دعونا\(x=0\).	\(\begin{aligned} x &=2(y+3)^{2}-1 \\ 0 &=2(y+3)^{2}-1 \\ 1 &=2(y+3)^{2} \\ \dfrac{1}{2} &=(y+3)^{2} \\ y+3 &=\pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ y &=-3 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\)
	\(y=-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad y=-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
	\(y \approx-2.3 \quad y \approx-3.7\)
	\(y\)عمليات الاعتراض الإلكترونية هي\(\left(0,-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(0,-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
رسم بياني للقطع المكافئ.	$.$

اجعل الجانب الأيسر السفلي من الجسر هو أصل شبكة الإحداثيات عند النقطة\((0,0)\). نظرًا لأن القاعدة بعرض\(20\) قدم، فإن النقطة\((20,0)\) تمثل الجانب الأيمن السفلي. يبلغ ارتفاع الجسر 10 أقدام عند أعلى نقطة. أعلى نقطة هي قمة المكافئ، لذا سيكون\(y\) الإحداثي -للرأس\(10\). نظرًا لأن الجسر متماثل، يجب أن تقع قمة الرأس في منتصف المسافة بين أقصى نقطة على اليسار\((0,0)\) والنقطة الموجودة في أقصى اليمين\((20,0)\). من هذا نعلم أن\(x\) الإحداثي -للرأس سيكون أيضًا\(10\).	$.$
تحديد قمة الرأس،\((h,k)\).	\((h, k)=(10,10)\)
	\(h=10, \quad k=10\)
استبدل القيم في النموذج القياسي. لا تزال قيمة\(a\) الـ غير معروفة. للعثور على قيمة\(a\) استخدام إحدى النقاط الأخرى على القطع المكافئ.	\(\begin{aligned} y &=a(x-h)^{2}+k \\ y &=a(x-10)^{2}+10 \\(x, y) &=(0,0) \end{aligned}\)
استبدل قيم النقطة الأخرى في المعادلة.	\(y=a(x-10)^{2}+10\) \(0=a(0-10)^{2}+10\)
حل لـ\(a\).	\(\begin{aligned} 0 &=a(0-10)^{2}+10 \\-10 &=a(-10)^{2} \\-10 &=100 a \\ \dfrac{-10}{100} &=a \\ a &=-\dfrac{1}{10} \end{aligned}\)
	\(y=a(x-10)^{2}+10\)
استبدل القيمة بـ\(a\) في المعادلة.	\(y=-\dfrac{1}{10}(x-10)^{2}+10\)