Skip to main content
Library homepage
 
Global

10.5: استخدم خصائص اللوغاريتمات

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • استخدم خصائص اللوغاريتمات
  • استخدم تغيير الصيغة الأساسية

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

  1. تقييم: أ.a0 بa1.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 5.14.
  2. اكتب باستخدام الأس العقلاني:3x2y.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 8.27.
  3. تقريبًا إلى ثلاث منازل عشرية:2.5646415.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 1.34.

استخدم خصائص اللوغاريتمات

الآن بعد أن تعلمنا عن الدوال الأسية واللوغاريتمية، يمكننا تقديم بعض خصائص اللوغاريتمات. ستكون هذه مفيدة جدًا بينما نواصل حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية.

تُستمد الخاصيتان الأوليان من تعريف اللوغاريتمات. نظرًا لأنهa0=1 يمكننا تحويل هذا إلى شكل لوغاريتمي والحصول عليهloga1=0. أيضًا، منذa1=a ذلك الحين نحصل علىlogaa=1.

تعريف10.5.1

خصائص اللوغاريتمات

loga1=0logaa=1

في المثال التالي يمكننا تقييم اللوغاريتم عن طريق التحويل إلى الصورة الأسية، كما فعلنا سابقًا، ولكن التعرف على الخصائص ثم تطبيقها يوفر الوقت.

مثال10.5.1

قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

  1. log81
  2. log66

الحل:

أ.

log81

استخدم الخاصية،loga1=0.

0log81=0

ب.

log66

استخدم الخاصية،logaa=1.

1log66=1

التمارين10.5.1

قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

  1. log131
  2. log99
إجابة
  1. 0
  2. 1
التمارين10.5.2

قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

  1. log51
  2. log77
إجابة
  1. 0
  2. 1

يمكن أيضًا التحقق من الخاصيتين التاليتين بتحويلهما من الصورة الأسية إلى الصورة اللوغاريتمية، أو العكس.

alogax=xتتحول المعادلة الأسية إلى المعادلة اللوغاريتميةlogax=logax، وهي عبارة حقيقية للقيم الموجبةx فقط.

logaax=xتتحول المعادلة اللوغاريتمية إلى المعادلة الأسيةax=ax، وهي أيضًا عبارة حقيقية.

تسمى هاتان الخاصيتان بالخصائص العكسية لأنه عندما تكون لدينا نفس القاعدة، فإن رفع السجل إلى قوة «يلغي» السجل ويجعل السجل «يتراجع» عن الارتفاع إلى قوة. توضح هاتان الخاصيتان تكوين الوظائف. انتهى كلاهما بدالة الهوية التي توضح مرة أخرى أن الدوال الأسية واللوغاريتمية هي دوال عكسية.

تعريف10.5.2

الخصائص العكسية للوغاريتمات

من أجلa>0,x>0a1 و

alogax=xlogaax=x

في المثال التالي، قم بتطبيق الخصائص العكسية للوغاريتمات.

مثال10.5.2

قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

  1. 4log49
  2. log335

الحل:

أ.

4log49

استخدم الخاصية،alogax=x.

94log49=9

ب.

log335

استخدم الخاصية،alogax=x.

5log335=5

التمارين10.5.3

قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

  1. 5log515
  2. log774
إجابة
  1. 15
  2. 4
التمارين10.5.4

قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

  1. 2log28
  2. log2215
إجابة
  1. 8
  2. 15

هناك ثلاث خصائص أخرى للوغاريتمات التي ستكون مفيدة في عملنا. نحن نعلم أن الدوال الأسية والدالة اللوغاريتمية مترابطتان جدًا. يوضح تعريفنا للوغاريتم أن اللوغاريتم هو أس المكافئ الأسي. تحتوي خصائص الأسس على خصائص ذات صلة بالأسس.

في خاصية المنتج الخاصة بالأسسaman=am+n، نرى أنه لضرب نفس القاعدة، نضيف الأسس. logaMN=logaM+logaNتخبرنا خاصية المنتج الخاصة باللوغاريتمات بأخذ سجل المنتج، ونضيف سجل العوامل.

تعريف10.5.3

خاصية المنتج للوغاريتمات

إذاM>0,N>0,a>0a1, ثم

loga(MN)=logaM+logaN

لوغاريتم المنتج هو مجموع اللوغاريتمات.

نحن نستخدم هذه الخاصية لكتابة سجل المنتج كمجموع سجلات كل عامل.

مثال10.5.3

استخدم خاصية المنتج للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمجموع اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن:

  1. log37x
  2. log464xy

الحل:

أ.

log37x

استخدم خاصية المنتج،loga(MN)=logaM+logaN.

log37+log3x
log37x=log37+log3x

ب.

log464xy

استخدم خاصية المنتج،loga(MN)=logaM+logaN.

log464+log4x+log4y

قم بتبسيط التقييم,log464.

3+log4x+log4y
log464xy=3+log4x+log4y

التمارين10.5.5

استخدم خاصية المنتج للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمجموع اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن:

  1. log33x
  2. log28xy
إجابة
  1. 1+log3x
  2. 3+log2x+log2y
التمارين10.5.6

استخدم خاصية المنتج للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمجموع اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن:

  1. log99x
  2. log327xy
إجابة
  1. 1+log9x
  2. 3+log3x+log3y

وبالمثل، في خاصية حاصل القسمة للأسسaman=amn، نرى أنه لتقسيم نفس القاعدة، نطرح الأسس. logaMN=logaMlogaNتخبرنا خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات بأخذ لوغاريتمات، ونطرح لوغاريتمات البسط والمقام.

تعريف10.5.4

خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات

إذاM>0,N>0,a>0a1, ثم

logaMN=logaMlogaN

لوغاريتم القسمة هو الفرق بين اللوغاريتمات.

لاحظ ذلكlogaM=logaNloga(MN).

نحن نستخدم هذه الخاصية لكتابة سجل حاصل القسمة كفرق في سجلات كل عامل.

مثال10.5.4

استخدم خاصية خارج القسمة للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كفرق في اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.

  1. log557
  2. logx100

الحل:

أ.

log557

استخدم خاصية حاصل القسمة،logaMN=logaMlogaN.

log55log57

قم بالتبسيط.

1log57

log557=1log57

ب.

logx100

استخدم خاصية حاصل القسمة،logaMN=logaMlogaN.

logxlog100

قم بالتبسيط.

logx2

logx100=logx2

التمارين10.5.7

استخدم خاصية خارج القسمة للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كفرق في اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.

  1. log434
  2. logx1000
إجابة
  1. log431
  2. logx3
التمارين10.5.8

استخدم خاصية خارج القسمة للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كفرق في اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.

  1. log254
  2. log10y
إجابة
  1. log252
  2. 1logy

ترتبط الخاصية الثالثة للوغاريتمات بخاصية قوة الأسس(am)n=amn، ونرى أنه لرفع القوة إلى قوة، نضرب الأسس. logaMp=plogaMتخبرنا خاصية القوة في اللوغاريتمات بأخذ سجل الرقم المرفوع إلى قوة، ونضرب القوة في سجل الرقم.

تعريف10.5.5

خاصية قوة اللوغاريتمات

إذا كانM>0,a>0,a1p هناك أي رقم حقيقي إذن،

logaMp=plogaM

سجل الرقم الذي تم رفعه إلى طاقة كمنتج الطاقة مضروبًا في سجل الرقم.

نحن نستخدم هذه الخاصية لكتابة سجل الرقم الذي تم رفعه إلى قوة كناتج الطاقة مضروبًا في سجل الرقم. نأخذ الأس بشكل أساسي ونرميه أمام اللوغاريتم.

مثال10.5.5

استخدم خاصية قوة اللوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمنتج للوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.

  1. log543
  2. logx10

الحل:

أ.

log543

استخدم خاصية الطاقة،logaMp=plogaM.

3log54

log543=3log54

ب.

logx10

استخدم خاصية الطاقة،logaMp=plogaM.

10logx

logx10=10logx

التمارين10.5.9

استخدم خاصية قوة اللوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمنتج للوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.

  1. log754
  2. logx100
إجابة
  1. 4log75
  2. 100logx
التمارين10.5.10

استخدم خاصية قوة اللوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمنتج للوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.

  1. log237
  2. logx20
إجابة
  1. 7log23
  2. 20logx

نلخص خصائص اللوغاريتمات هنا لسهولة الرجوع إليها. في حين أن اللوغاريتمات الطبيعية هي حالة خاصة لهذه الخصائص، إلا أنه غالبًا ما يكون من المفيد أيضًا عرض نسخة اللوغاريتم الطبيعية لكل خاصية.

خصائص اللوغاريتمات

إذا كانM>0,a>0,a1p هناك أي رقم حقيقي إذن،

الملكية قاعدةa قاعدةe
\ (a\) ">loga1=0 \ (e\) ">ln1=0
\ (a\) ">logaa=1 \ (e\) ">lne=1
الخصائص العكسية \ (a\) ">alogax=x
logaax=x
\ (e\) ">elnx=x
lnex=x
خاصية المنتج للوغاريتمات \ (a\) ">loga(MN)=logaM+logaN \ (e\) ">ln(MN)=lnM+lnN
خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات \ (a\) ">logaMN=logaMlogaN \ (e\) ">lnMN=lnMlnN
خاصية قوة اللوغاريتمات \ (a\) ">logaMp=plogaM \ (e\) ">lnMp=plnM
الجدول 10-4-1

الآن لدينا الخصائص، يمكننا استخدامها «لتوسيع» التعبير اللوغاريتمي. هذا يعني كتابة اللوغاريتم كمجموع أو فرق وبدون أي صلاحيات.

نطبق بشكل عام خصائص المنتج والقسمة قبل تطبيق خاصية الطاقة.

مثال10.5.6

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog4(2x3y2). قم بالتبسيط، إن أمكن.

الحل:

استخدم خاصية المنتج،logaMN=logaM+logaN.

استخدم خاصية الطاقة،logaMp=plogaM، في المصطلحين الأخيرين. قم بالتبسيط.

التمارين10.5.11

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog2(5x4y2). قم بالتبسيط، إن أمكن.

إجابة

log25+4log2x+2log2y

التمارين10.5.12

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog3(7x5y3). قم بالتبسيط، إن أمكن.

إجابة

log37+5log3x+3log3y

عندما يكون لدينا جذر في التعبير اللوغاريتمي، فمن المفيد أولاً كتابة راديباند كأس عقلاني.

مثال10.5.7

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog24x33y2z. قم بالتبسيط، إن أمكن.

الحل

log24x33y2z

أعد كتابة الجذر باستخدام الأس العقلاني.

log2(x33y2z)14

استخدم خاصية الطاقة،logaMp=plogaM.

14log2(x33y2z)

استخدم خاصية حاصل القسمة،logaMN=logaMlogaN.

14(log2(x3)log2(3y2z))

استخدم خاصية المنتج،logaMN=logaM+logaN، في الفصل الثاني.

14(log2(x3)(log23+log2y2+log2z))

استخدم خاصية الطاقةlogaMp=plogaM، داخل الأقواس.

14(3log2x(log23+2log2y+log2z))

قم بالتبسيط من خلال التوزيع

14(3log2xlog232log2ylog2z)

log24x33y2z=14(3log2xlog232log2ylog2z)

التمارين10.5.13

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog45x42y3z2. قم بالتبسيط، إن أمكن.

إجابة

15(4log4x123log4y2log4z)

التمارين10.5.14

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog33x25yz. قم بالتبسيط، إن أمكن.

إجابة

13(2log3xlog35log3ylog3z)

عكس توسيع اللوغاريتم هو تكثيف مجموع أو اختلاف اللوغاريتمات التي لها نفس القاعدة في لوغاريتم واحد. نستخدم مرة أخرى خصائص اللوغاريتمات لمساعدتنا، ولكن في الاتجاه المعاكس.

لتكثيف التعبيرات اللوغاريتمية ذات القاعدة نفسها في لوغاريتم واحد، نبدأ باستخدام خاصية الطاقة للحصول على معاملات مصطلحات السجل لتكون واحدة ثم خصائص المنتج والقسمة حسب الحاجة.

مثال10.5.8

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتمlog43+log4xlog4y. قم بالتبسيط، إن أمكن.

الحل:

تحتوي جميع تعبيرات السجل على نفس الأساس،4.

تمت إضافة المصطلحين الأولين، لذلك نستخدم خاصية المنتج،logaM+logaN=logaM:N.

نظرًا لطرح السجلات، فإننا نستخدم خاصية Quotient،logaMlogaN=logaMN.

التمارين10.5.15

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتمlog25+log2xlog2y. قم بالتبسيط، إن أمكن.

إجابة

log25xy

التمارين10.5.16

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتمlog36log3xlog3y. قم بالتبسيط، إن أمكن.

إجابة

log36xy

مثال10.5.9

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتم2log3x+4log3(x+1). قم بالتبسيط، إن أمكن.

الحل:

تحتوي تعبيرات السجل على نفس الأساس،3.

2log3x+4log3(x+1)

استخدم خاصية الطاقة،logaM+logaN=logaMN.

log3x2+log3(x+1)4

تمت إضافة الشروط، لذلك نستخدم خاصية المنتج،logaM+logaN=logaMN.

log3x2(x+1)4
2log3x+4log3(x+1)=log3x2(x+1)4

التمارين10.5.17

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتم3log2x+2log2(x1). قم بالتبسيط، إن أمكن.

إجابة

log2x3(x1)2

التمارين10.5.18

استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتم2logx+2log(x+1). قم بالتبسيط، إن أمكن.

إجابة

logx2(x+1)2

استخدم صيغة تغيير الأساس

لتقييم اللوغاريتم مع أي قاعدة أخرى، يمكننا استخدام صيغة Change-of-Base. سنظهر كيف يتم اشتقاق هذا.

Suppose we want to evaluatelogaMlogaMLety=logaM.y=logaMRewrite the epression in exponential form. ay=MTake the logbof each side.logbay=logbMUse the Power Property.ylogba=logbMSolve fory.y=logbMlogbaSubstiturey=logaM.logaM=logbMlogba

تقدم صيغة تغيير القاعدة قاعدة جديدةb. يمكن أن تكون هذه أي قاعدةb نريدها أينb>0,b1. نظرًا لأن الآلات الحاسبة الخاصة بنا تحتوي على مفاتيح لقاعدة اللوغاريتمات10 والقاعدةe، فسنعيد كتابة صيغة تغيير الأساس باستخدام القاعدة الجديدة كـ10 أوe.

تعريف10.5.6

صيغة تغيير القاعدة

لأي قواعد لوغاريتميةa,b وM>0،

logaM=logbMlogbalogaM=logMlogalogaM=lnMlna new base b new base 10 new base e

عندما نستخدم الآلة الحاسبة للعثور على قيمة اللوغاريتم، فإننا عادة ما نقرّب إلى ثلاث منازل عشرية. هذا يعطينا قيمة تقريبية ولذا نستخدم الرمز المتساوي تقريبًا().

مثال10.5.10

التقريب إلى ثلاث منازل عشرية، بشكل تقريبيlog435.

الحل:

  .
استخدم صيغة تغيير الأساس. .
تحديدa وM. اختر10 لـb. .
أدخل التعبيرlog35log4 في الآلة الحاسبة باستخدام زر السجل للقاعدة10. قرِّب حتى ثلاث منازل عشرية. .
الجدول 10-4-2
التمارين10.5.19

التقريب إلى ثلاث منازل عشرية، بشكل تقريبيlog342.

إجابة

3.402

التمارين10.5.20

التقريب إلى ثلاث منازل عشرية، بشكل تقريبيlog546.

إجابة

2.379

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

المفاهيم الرئيسية

  • loga1=0logaa=1
  • الخصائص العكسية للوغاريتمات
    • من أجلa>0,x>0 وa1

      alogax=xlogaax=x

  • خاصية المنتج للوغاريتمات
    • إذاM>0,N>0,a>0a1، ثم،

      logaMN=logaM+logaN

      لوغاريتم المنتج هو مجموع اللوغاريتمات.
  • خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات
    • إذاM>0,N>0,a>0a1، ثم،

      logaMN=logaMlogaN

      لوغاريتم القسمة هو الفرق بين اللوغاريتمات.
  • خاصية قوة اللوغاريتمات
    • إذا كانM>0,a>0,a1p هناك أي رقم حقيقي إذن،

      logaMp=plogaM

      سجل الرقم الذي يتم رفعه إلى طاقة هو نتاج الطاقة مضروبًا في سجل الرقم.
  • ملخص خصائص اللوغاريتمات
    إذا كانM>0,a>0,a1 أي رقم حقيقي إذن،p
الملكية قاعدةa قاعدةe
\ (a\) ">loga1=0 \ (e\) ">ln1=0
\ (a\) ">logaa=1 \ (e\) ">lne=1
الخصائص العكسية \ (a\) ">alogax=x
logaax=x
\ (e\) ">elnx=x
lnex=x
خاصية المنتج للوغاريتمات \ (a\) ">loga(MN)=logaM+logaN \ (e\) ">ln(MN)=lnM+lnN
خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات \ (a\) ">logaMN=logaMlogaN \ (e\) ">lnMN=lnMlnN
خاصية قوة اللوغاريتمات \ (a\) ">logaMp=plogaM \ (e\) ">lnMp=plnM
الجدول 10-4-1
  • صيغة تغيير الأساس
    لأي قواعد لوغاريتميةa وb، وM>0،

    logaM=logbMlogbalogaM=logMlogalogaM=lnMlna new base b new base 10 new base e