10.5: استخدم خصائص اللوغاريتمات
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- استخدم خصائص اللوغاريتمات
- استخدم تغيير الصيغة الأساسية
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- تقييم: أ.a0 بa1.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 5.14. - اكتب باستخدام الأس العقلاني:3√x2y.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 8.27. - تقريبًا إلى ثلاث منازل عشرية:2.5646415.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 1.34.
استخدم خصائص اللوغاريتمات
الآن بعد أن تعلمنا عن الدوال الأسية واللوغاريتمية، يمكننا تقديم بعض خصائص اللوغاريتمات. ستكون هذه مفيدة جدًا بينما نواصل حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية.
تُستمد الخاصيتان الأوليان من تعريف اللوغاريتمات. نظرًا لأنهa0=1 يمكننا تحويل هذا إلى شكل لوغاريتمي والحصول عليهloga1=0. أيضًا، منذa1=a ذلك الحين نحصل علىlogaa=1.
خصائص اللوغاريتمات
loga1=0logaa=1
في المثال التالي يمكننا تقييم اللوغاريتم عن طريق التحويل إلى الصورة الأسية، كما فعلنا سابقًا، ولكن التعرف على الخصائص ثم تطبيقها يوفر الوقت.
قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
- log81
- log66
الحل:
أ.
log81
استخدم الخاصية،loga1=0.
0log81=0
ب.
log66
استخدم الخاصية،logaa=1.
1log66=1
قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
- log131
- log99
- إجابة
-
- 0
- 1
قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
- log51
- log77
- إجابة
-
- 0
- 1
يمكن أيضًا التحقق من الخاصيتين التاليتين بتحويلهما من الصورة الأسية إلى الصورة اللوغاريتمية، أو العكس.
alogax=xتتحول المعادلة الأسية إلى المعادلة اللوغاريتميةlogax=logax، وهي عبارة حقيقية للقيم الموجبةx فقط.
logaax=xتتحول المعادلة اللوغاريتمية إلى المعادلة الأسيةax=ax، وهي أيضًا عبارة حقيقية.
تسمى هاتان الخاصيتان بالخصائص العكسية لأنه عندما تكون لدينا نفس القاعدة، فإن رفع السجل إلى قوة «يلغي» السجل ويجعل السجل «يتراجع» عن الارتفاع إلى قوة. توضح هاتان الخاصيتان تكوين الوظائف. انتهى كلاهما بدالة الهوية التي توضح مرة أخرى أن الدوال الأسية واللوغاريتمية هي دوال عكسية.
الخصائص العكسية للوغاريتمات
من أجلa>0,x>0a≠1 و
alogax=xlogaax=x
في المثال التالي، قم بتطبيق الخصائص العكسية للوغاريتمات.
قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
- 4log49
- log335
الحل:
أ.
4log49
استخدم الخاصية،alogax=x.
94log49=9
ب.
log335
استخدم الخاصية،alogax=x.
5log335=5
قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
- 5log515
- log774
- إجابة
-
- 15
- 4
قم بالتقييم باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
- 2log28
- log2215
- إجابة
-
- 8
- 15
هناك ثلاث خصائص أخرى للوغاريتمات التي ستكون مفيدة في عملنا. نحن نعلم أن الدوال الأسية والدالة اللوغاريتمية مترابطتان جدًا. يوضح تعريفنا للوغاريتم أن اللوغاريتم هو أس المكافئ الأسي. تحتوي خصائص الأسس على خصائص ذات صلة بالأسس.
في خاصية المنتج الخاصة بالأسسam⋅an=am+n، نرى أنه لضرب نفس القاعدة، نضيف الأسس. logaM⋅N=logaM+logaNتخبرنا خاصية المنتج الخاصة باللوغاريتمات بأخذ سجل المنتج، ونضيف سجل العوامل.
خاصية المنتج للوغاريتمات
إذاM>0,N>0,a>0a≠1, ثم
loga(M⋅N)=logaM+logaN
لوغاريتم المنتج هو مجموع اللوغاريتمات.
نحن نستخدم هذه الخاصية لكتابة سجل المنتج كمجموع سجلات كل عامل.
استخدم خاصية المنتج للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمجموع اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن:
- log37x
- log464xy
الحل:
أ.
log37x
استخدم خاصية المنتج،loga(M⋅N)=logaM+logaN.
log37+log3x
log37x=log37+log3x
ب.
log464xy
استخدم خاصية المنتج،loga(M⋅N)=logaM+logaN.
log464+log4x+log4y
قم بتبسيط التقييم,log464.
3+log4x+log4y
log464xy=3+log4x+log4y
استخدم خاصية المنتج للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمجموع اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن:
- log33x
- log28xy
- إجابة
-
- 1+log3x
- 3+log2x+log2y
استخدم خاصية المنتج للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمجموع اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن:
- log99x
- log327xy
- إجابة
-
- 1+log9x
- 3+log3x+log3y
وبالمثل، في خاصية حاصل القسمة للأسسaman=am−n، نرى أنه لتقسيم نفس القاعدة، نطرح الأسس. logaMN=logaM−logaNتخبرنا خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات بأخذ لوغاريتمات، ونطرح لوغاريتمات البسط والمقام.
خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات
إذاM>0,N>0,a>0a≠1, ثم
logaMN=logaM−logaN
لوغاريتم القسمة هو الفرق بين اللوغاريتمات.
لاحظ ذلكlogaM=logaN≠loga(M−N).
نحن نستخدم هذه الخاصية لكتابة سجل حاصل القسمة كفرق في سجلات كل عامل.
استخدم خاصية خارج القسمة للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كفرق في اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- log557
- logx100
الحل:
أ.
log557
استخدم خاصية حاصل القسمة،logaMN=logaM−logaN.
log55−log57
قم بالتبسيط.
1−log57
log557=1−log57
ب.
logx100
استخدم خاصية حاصل القسمة،logaMN=logaM−logaN.
logx−log100
قم بالتبسيط.
logx−2
logx100=logx−2
استخدم خاصية خارج القسمة للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كفرق في اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- log434
- logx1000
- إجابة
-
- log43−1
- logx−3
استخدم خاصية خارج القسمة للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كفرق في اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- log254
- log10y
- إجابة
-
- log25−2
- 1−logy
ترتبط الخاصية الثالثة للوغاريتمات بخاصية قوة الأسس(am)n=am⋅n، ونرى أنه لرفع القوة إلى قوة، نضرب الأسس. logaMp=plogaMتخبرنا خاصية القوة في اللوغاريتمات بأخذ سجل الرقم المرفوع إلى قوة، ونضرب القوة في سجل الرقم.
خاصية قوة اللوغاريتمات
إذا كانM>0,a>0,a≠1p هناك أي رقم حقيقي إذن،
logaMp=plogaM
سجل الرقم الذي تم رفعه إلى طاقة كمنتج الطاقة مضروبًا في سجل الرقم.
نحن نستخدم هذه الخاصية لكتابة سجل الرقم الذي تم رفعه إلى قوة كناتج الطاقة مضروبًا في سجل الرقم. نأخذ الأس بشكل أساسي ونرميه أمام اللوغاريتم.
استخدم خاصية قوة اللوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمنتج للوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- log543
- logx10
الحل:
أ.
log543
استخدم خاصية الطاقة،logaMp=plogaM.
3log54
log543=3log54
ب.
logx10
استخدم خاصية الطاقة،logaMp=plogaM.
10logx
logx10=10logx
استخدم خاصية قوة اللوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمنتج للوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- log754
- logx100
- إجابة
-
- 4log75
- 100⋅logx
استخدم خاصية قوة اللوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم كمنتج للوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- log237
- logx20
- إجابة
-
- 7log23
- 20⋅logx
نلخص خصائص اللوغاريتمات هنا لسهولة الرجوع إليها. في حين أن اللوغاريتمات الطبيعية هي حالة خاصة لهذه الخصائص، إلا أنه غالبًا ما يكون من المفيد أيضًا عرض نسخة اللوغاريتم الطبيعية لكل خاصية.
خصائص اللوغاريتمات
إذا كانM>0,a>0,a≠1p هناك أي رقم حقيقي إذن،
الملكية | قاعدةa | قاعدةe |
---|---|---|
\ (a\) ">loga1=0 | \ (e\) ">ln1=0 | |
\ (a\) ">logaa=1 | \ (e\) ">lne=1 | |
الخصائص العكسية | \ (a\) ">alogax=x logaax=x |
\ (e\) ">elnx=x lnex=x |
خاصية المنتج للوغاريتمات | \ (a\) ">loga(M⋅N)=logaM+logaN | \ (e\) ">ln(M⋅N)=lnM+lnN |
خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات | \ (a\) ">logaMN=logaM−logaN | \ (e\) ">lnMN=lnM−lnN |
خاصية قوة اللوغاريتمات | \ (a\) ">logaMp=plogaM | \ (e\) ">lnMp=plnM |
الآن لدينا الخصائص، يمكننا استخدامها «لتوسيع» التعبير اللوغاريتمي. هذا يعني كتابة اللوغاريتم كمجموع أو فرق وبدون أي صلاحيات.
نطبق بشكل عام خصائص المنتج والقسمة قبل تطبيق خاصية الطاقة.
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog4(2x3y2). قم بالتبسيط، إن أمكن.
الحل:
استخدم خاصية المنتج،logaM⋅N=logaM+logaN.
استخدم خاصية الطاقة،logaMp=plogaM، في المصطلحين الأخيرين. قم بالتبسيط.
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog2(5x4y2). قم بالتبسيط، إن أمكن.
- إجابة
-
log25+4log2x+2log2y
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog3(7x5y3). قم بالتبسيط، إن أمكن.
- إجابة
-
log37+5log3x+3log3y
عندما يكون لدينا جذر في التعبير اللوغاريتمي، فمن المفيد أولاً كتابة راديباند كأس عقلاني.
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog24√x33y2z. قم بالتبسيط، إن أمكن.
الحل
log24√x33y2z
أعد كتابة الجذر باستخدام الأس العقلاني.
log2(x33y2z)14
استخدم خاصية الطاقة،logaMp=plogaM.
14log2(x33y2z)
استخدم خاصية حاصل القسمة،logaM⋅N=logaM−logaN.
14(log2(x3)−log2(3y2z))
استخدم خاصية المنتج،logaM⋅N=logaM+logaN، في الفصل الثاني.
14(log2(x3)−(log23+log2y2+log2z))
استخدم خاصية الطاقةlogaMp=plogaM، داخل الأقواس.
14(3log2x−(log23+2log2y+log2z))
قم بالتبسيط من خلال التوزيع
14(3log2x−log23−2log2y−log2z)
log24√x33y2z=14(3log2x−log23−2log2y−log2z)
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog45√x42y3z2. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- إجابة
-
15(4log4x−12−3log4y−2log4z)
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع اللوغاريتمlog33√x25yz. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- إجابة
-
13(2log3x−log35−log3y−log3z)
عكس توسيع اللوغاريتم هو تكثيف مجموع أو اختلاف اللوغاريتمات التي لها نفس القاعدة في لوغاريتم واحد. نستخدم مرة أخرى خصائص اللوغاريتمات لمساعدتنا، ولكن في الاتجاه المعاكس.
لتكثيف التعبيرات اللوغاريتمية ذات القاعدة نفسها في لوغاريتم واحد، نبدأ باستخدام خاصية الطاقة للحصول على معاملات مصطلحات السجل لتكون واحدة ثم خصائص المنتج والقسمة حسب الحاجة.
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتمlog43+log4x−log4y. قم بالتبسيط، إن أمكن.
الحل:
تحتوي جميع تعبيرات السجل على نفس الأساس،4.
تمت إضافة المصطلحين الأولين، لذلك نستخدم خاصية المنتج،logaM+logaN=logaM:N.
نظرًا لطرح السجلات، فإننا نستخدم خاصية Quotient،logaM−logaN=logaMN.
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتمlog25+log2x−log2y. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- إجابة
-
log25xy
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتمlog36−log3x−log3y. قم بالتبسيط، إن أمكن.
- إجابة
-
log36xy
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتم2log3x+4log3(x+1). قم بالتبسيط، إن أمكن.
الحل:
تحتوي تعبيرات السجل على نفس الأساس،3.
2log3x+4log3(x+1)
استخدم خاصية الطاقة،logaM+logaN=logaM⋅N.
log3x2+log3(x+1)4
تمت إضافة الشروط، لذلك نستخدم خاصية المنتج،logaM+logaN=logaM⋅N.
log3x2(x+1)4
2log3x+4log3(x+1)=log3x2(x+1)4
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتم3log2x+2log2(x−1). قم بالتبسيط، إن أمكن.
- إجابة
-
log2x3(x−1)2
استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتم2logx+2log(x+1). قم بالتبسيط، إن أمكن.
- إجابة
-
logx2(x+1)2
استخدم صيغة تغيير الأساس
لتقييم اللوغاريتم مع أي قاعدة أخرى، يمكننا استخدام صيغة Change-of-Base. سنظهر كيف يتم اشتقاق هذا.
Suppose we want to evaluatelogaMlogaMLety=logaM.y=logaMRewrite the epression in exponential form. ay=MTake the logbof each side.logbay=logbMUse the Power Property.ylogba=logbMSolve fory.y=logbMlogbaSubstiturey=logaM.logaM=logbMlogba
تقدم صيغة تغيير القاعدة قاعدة جديدةb. يمكن أن تكون هذه أي قاعدةb نريدها أينb>0,b≠1. نظرًا لأن الآلات الحاسبة الخاصة بنا تحتوي على مفاتيح لقاعدة اللوغاريتمات10 والقاعدةe، فسنعيد كتابة صيغة تغيير الأساس باستخدام القاعدة الجديدة كـ10 أوe.
صيغة تغيير القاعدة
لأي قواعد لوغاريتميةa,b وM>0،
logaM=logbMlogbalogaM=logMlogalogaM=lnMlna new base b new base 10 new base e
عندما نستخدم الآلة الحاسبة للعثور على قيمة اللوغاريتم، فإننا عادة ما نقرّب إلى ثلاث منازل عشرية. هذا يعطينا قيمة تقريبية ولذا نستخدم الرمز المتساوي تقريبًا(≈).
التقريب إلى ثلاث منازل عشرية، بشكل تقريبيlog435.
الحل:
استخدم صيغة تغيير الأساس. | |
تحديدa وM. اختر10 لـb. | |
أدخل التعبيرlog35log4 في الآلة الحاسبة باستخدام زر السجل للقاعدة10. قرِّب حتى ثلاث منازل عشرية. |
التقريب إلى ثلاث منازل عشرية، بشكل تقريبيlog342.
- إجابة
-
3.402
التقريب إلى ثلاث منازل عشرية، بشكل تقريبيlog546.
- إجابة
-
2.379
يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام خصائص اللوغاريتمات.
المفاهيم الرئيسية
- loga1=0logaa=1
- الخصائص العكسية للوغاريتمات
- من أجلa>0,x>0 وa≠1
alogax=xlogaax=x
- من أجلa>0,x>0 وa≠1
- خاصية المنتج للوغاريتمات
- إذاM>0,N>0,a>0a≠1، ثم،
logaM⋅N=logaM+logaN
لوغاريتم المنتج هو مجموع اللوغاريتمات.
- إذاM>0,N>0,a>0a≠1، ثم،
- خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات
- إذاM>0,N>0,a>0a≠1، ثم،
logaMN=logaM−logaN
لوغاريتم القسمة هو الفرق بين اللوغاريتمات.
- إذاM>0,N>0,a>0a≠1، ثم،
- خاصية قوة اللوغاريتمات
- إذا كانM>0,a>0,a≠1p هناك أي رقم حقيقي إذن،
logaMp=plogaM
سجل الرقم الذي يتم رفعه إلى طاقة هو نتاج الطاقة مضروبًا في سجل الرقم.
- إذا كانM>0,a>0,a≠1p هناك أي رقم حقيقي إذن،
- ملخص خصائص اللوغاريتمات
إذا كانM>0,a>0,a≠1 أي رقم حقيقي إذن،p
الملكية | قاعدةa | قاعدةe |
---|---|---|
\ (a\) ">loga1=0 | \ (e\) ">ln1=0 | |
\ (a\) ">logaa=1 | \ (e\) ">lne=1 | |
الخصائص العكسية | \ (a\) ">alogax=x logaax=x |
\ (e\) ">elnx=x lnex=x |
خاصية المنتج للوغاريتمات | \ (a\) ">loga(M⋅N)=logaM+logaN | \ (e\) ">ln(M⋅N)=lnM+lnN |
خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات | \ (a\) ">logaMN=logaM−logaN | \ (e\) ">lnMN=lnM−lnN |
خاصية قوة اللوغاريتمات | \ (a\) ">logaMp=plogaM | \ (e\) ">lnMp=plnM |
- صيغة تغيير الأساس
لأي قواعد لوغاريتميةa وb، وM>0،logaM=logbMlogbalogaM=logMlogalogaM=lnMlna new base b new base 10 new base e