9.2: حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي
- Page ID
- 201640
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- حل المعادلات التربيعية للنموذج\(ax^{2}=k\) باستخدام خاصية الجذر التربيعي
- حل المعادلات التربيعية للنموذج\(a(x–h)^{2}=k\) باستخدام خاصية الجذر التربيعي
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- قم بالتبسيط:\(\sqrt{128}\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 8.13. - قم بالتبسيط:\(\sqrt{\frac{32}{5}}\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 8.50. - عامل:\(9 x^{2}-12 x+4\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.23.
المعادلة التربيعية هي معادلة الشكل\(a x^{2}+b x+c=0\)، أين\(a≠0\). تختلف المعادلات التربيعية عن المعادلات الخطية من خلال تضمين الحد التربيعي مع رفع المتغير إلى القوة الثانية للنموذج\(ax^{2}\). نحن نستخدم طرقًا مختلفة لحل المعادلات التربيعية عن المعادلات الخطية، لأن مجرد جمع الحدود وطرحها وضربها وقسمتها لن يعزل المتغير.
لقد رأينا أن بعض المعادلات التربيعية يمكن حلها عن طريق التحليل. في هذا الفصل، سوف نتعلم ثلاث طرق أخرى لاستخدامها في حالة عدم إمكانية حساب المعادلة التربيعية.
حل المعادلات التربيعية للنموذج\(ax^{2}=k\) باستخدام خاصية الجذر التربيعي
لقد قمنا بالفعل بحل بعض المعادلات التربيعية عن طريق التحليل. دعونا نراجع كيف استخدمنا التحليل لحل المعادلة التربيعية\(x^{2}=9\).
\(x^{2}=9\)
ضع المعادلة في النموذج القياسي.
\(x^{2}-9=0\)
عامل الفرق بين المربعات.
\((x-3)(x+3)=0\)
استخدم خاصية Zero Product.
\(x-3=0 \quad x-3=0\)
حل كل معادلة.
\(x=3 \quad x=-3\)
يمكننا بسهولة استخدام التحليل لإيجاد حلول لمعادلات متشابهة، مثل\(x^{2}=25\)،\(x^{2}=16\)\(16\) ولأن\(25\)، مربعات مثالية. في كل حالة، سنحصل على حلين،\(x=4, x=-4\) و\(x=5, x=-5\)
ولكن ماذا يحدث عندما تكون لدينا معادلة مثل\(x^{2}=7\)؟ نظرًا لأنه\(7\) ليس مربعًا مثاليًا، فلا يمكننا حل المعادلة عن طريق التحليل.
لقد تعلمنا سابقًا أنه نظرًا لأن هذا\(169\) هو المربع\(13\)، يمكننا أيضًا القول أن هذا\(13\) هو الجذر التربيعي لـ\(169\). أيضًا\((-13)^{2}=169\)،\(−13\) هذا هو الجذر التربيعي لـ\(169\). لذلك،\(−13\) كلاهما\(13\) لهما جذور مربعة لـ\(169\). لذلك، كل عدد موجب له جذران مربعان - أحدهما موجب والآخر سالب. لقد حددنا سابقًا الجذر التربيعي للرقم بهذه الطريقة:
إذا كان\(n^{2}=m\)، إذن\(n\) هو الجذر التربيعي لـ\(m\).
نظرًا لأن هذه المعادلات كلها في الشكل\(x^{2}=k\)، فإن تعريف الجذر التربيعي يخبرنا أن الحلول هي الجذرين التربيعيين لـ\(k\). هذا يؤدي إلى خاصية الجذر التربيعي.
خاصية الجذر التربيعي
إذا\(x^{2}=k\)، إذن
\(x=\sqrt{k} \quad\)أو\(\quad x=-\sqrt{k} \quad\) أو\(\quad x=\pm \sqrt{k}\)
لاحظ أن خاصية الجذر التربيعي تعطي حلين لمعادلة الشكل\(x^{2}=k\)، الجذر التربيعي الرئيسي\(k\) وعكسه. يمكننا أيضًا كتابة الحل كـ\(x=\pm \sqrt{k}\). نقرأ هذا على أنه\(x\) يساوي الموجب أو السالب الجذر التربيعي لـ\(k\).
الآن سنحل المعادلة\(x^{2}=9\) مرة أخرى، هذه المرة باستخدام خاصية الجذر التربيعي.
\(\begin{aligned} &x^{2} =9 \\ \text { Use the Square Root Property. } \quad& x=\pm \sqrt{9} \\& x =\pm 3 \end{aligned}\)
لذا\(x=3\) أو\(x=-3\)
ماذا يحدث عندما لا يكون الثابت مربعًا مثاليًا؟ دعونا نستخدم خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة\(x^{2}=7\).
\(x^{2}=7\)
استخدم خاصية الجذر التربيعي. \(x=\sqrt{7}, \quad x=-\sqrt{7}\)
لا يمكننا التبسيط\(\sqrt{7}\)، لذلك نترك الإجابة على أنها جذرية.
حل:\(x^{2}-50=0\).
الحل:
| الخطوة 1: اعزل الحد التربيعي واجعل معامله واحدًا. | أضف\(50\) إلى كلا الجانبين\(x^{2}\) لتستمتع بنفسك. | \(\begin{aligned} x^{2}-50 &=0 \\ x^{2} &=50 \end{aligned}\) |
| الخطوة 2: استخدم خاصية الجذر التربيعي. | تذكر أن تكتب\(\pm\) الرمز. | \(x=\pm \sqrt{50}\) |
| الخطوة 3: تبسيط الراديكالية. | أعد الكتابة لإظهار حلين. | \(\begin{array}{l}{x=\pm \sqrt{25} \cdot \sqrt{2}} \\ {x=\pm 5 \sqrt{2}} \\ {}x=5\sqrt{2}, \:x=-5\sqrt{2}\end{array}\) |
| الخطوة 4: تحقق من الحلول. | استبدل في\(x=5 \sqrt{2}\) و\(x=-5 \sqrt{2}\) |
\(\begin{array}{r}{x^{2}-50=0} \\ {(\color{red}{5 \sqrt{2}}\color{black}{)}^{2}-50 \stackrel{?}{=} 0} \\ {25 \cdot 2-50 \stackrel{?}{=} 0} \\ {0=0}\end{array}\) \(\begin{array}{r}{x^{2}-50=0} \\ {(\color{red}{-5 \sqrt{2}}\color{black}{)}^{2}-50 \stackrel{?}{=} 0} \\ {25 \cdot 2-50 \stackrel{?}{=} 0} \\ {0=0}\end{array}\) |
حل:\(x^{2}-48=0\).
- إجابة
-
\(x=4 \sqrt{3}, x=-4 \sqrt{3}\)
حل:\(y^{2}-27=0\).
- إجابة
-
\(y=3 \sqrt{3}, y=-3 \sqrt{3}\)
يتم سرد الخطوات التي يجب اتخاذها لاستخدام خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة التربيعية هنا.
حل معادلة تربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي
- اعزل الحد التربيعي واجعل معامله واحدًا.
- استخدم خاصية الجذر التربيعي.
- قم بتبسيط الراديكالية.
- تحقق من الحلول.
من أجل استخدام خاصية الجذر التربيعي، يجب أن يساوي معامل المصطلح المتغير واحدًا. في المثال التالي، يجب أن نقسم كلا طرفي المعادلة على المعامل\(3\) قبل استخدام خاصية الجذر التربيعي.
حل:\(3 z^{2}=108\).
الحل:
| \(3 z^{2}=108\) | |
| يتم عزل المصطلح التربيعي. اقسم\(3\) على حساب معاملها\(1\). | \(\frac{3 z^{2}}{3}=\frac{108}{3}\) |
| قم بالتبسيط. | \(z^{2}=36\) |
| استخدم خاصية الجذر التربيعي. | \(z=\pm \sqrt{36}\) |
| قم بتبسيط الراديكالية. | \(z=\pm 6\) |
| أعد الكتابة لإظهار حلين. | \(z=6, \quad z=-6\) |
|
تحقق من الحلول: 
|
حل:\(2x^{2}=98\).
- إجابة
-
\(x=7, x=-7\)
حل:\(5m^{2}=80\).
- إجابة
-
\(m=4, m=-4\)
تنص خاصية الجذر التربيعي على «إذا\(x^{2}=k\)،» ماذا سيحدث إذا\(k<0\)؟ سيكون هذا هو الحال في المثال التالي.
حل:\(x^{2}+72=0\).
الحل:
| \(x^{2}+72=0\) | |
| اعزل الحد التربيعي. | \(x^{2}=-72\) |
| استخدم خاصية الجذر التربيعي. | \(x=\pm \sqrt{-72}\) |
| قم بالتبسيط باستخدام الأرقام المعقدة. | \(x=\pm \sqrt{72} i\) |
| قم بتبسيط الراديكالية. | \(x=\pm 6 \sqrt{2} i\) |
| أعد الكتابة لإظهار حلين | \(x=6 \sqrt{2} i, x=-6 \sqrt{2} i\) |
|
تحقق من الحلول: 
|
حل:\(c^{2}+12=0\).
- إجابة
-
\(c=2 \sqrt{3} i, \quad c=-2 \sqrt{3} i\)
حل:\(q^{2}+24=0\).
- إجابة
-
\(c=2 \sqrt{6} i, \quad c=-2 \sqrt{6} i\)
تعمل طريقتنا أيضًا عندما تحدث الكسور في المعادلة، فنحن نحلها مثل أي معادلة تحتوي على كسور. في المثال التالي، نقوم أولاً بعزل الحد التربيعي، ثم نجعل المعامل مساويًا لواحد.
حل:\(\frac{2}{3} u^{2}+5=17\).
الحل:
| \(\frac{2}{3} u^{2}+5=17\) | |
| اعزل الحد التربيعي. |  |
| اضرب\(\frac{3}{2}\) في لعمل المعامل\(1\). |  |
| قم بالتبسيط. |  |
| استخدم خاصية الجذر التربيعي. |  |
| قم بتبسيط الراديكالية. |  |
| قم بالتبسيط. |  |
| أعد الكتابة لإظهار حلين. |  |
|
تحقق من: 
|
حل:\(\frac{1}{2} x^{2}+4=24\).
- إجابة
-
\(x=2 \sqrt{10}, x=-2 \sqrt{10}\)
حل:\(\frac{3}{4} y^{2}-3=18\).
- إجابة
-
\(y=2 \sqrt{7}, y=-2 \sqrt{7}\)
قد تحتوي حلول بعض المعادلات على كسور داخل الجذور. عندما يحدث هذا، يجب علينا ترشيد القاسم.
حل:\(2 x^{2}-8=41\).
الحل:
 |
|
| اعزل الحد التربيعي. |  |
| اقسم\(2\) على حساب المعامل\(1\). |  |
| قم بالتبسيط. |  |
| استخدم خاصية الجذر التربيعي. |  |
| أعد كتابة الجذر في صورة جزء من الجذور التربيعية. |  |
| قم بترشيد المقام. |  |
| قم بالتبسيط. |  |
| أعد الكتابة لإظهار حلين. |  |
|
تحقق من: نترك الشيك لك. |
حل:\(5 r^{2}-2=34\).
- إجابة
-
\(r=\frac{6 \sqrt{5}}{5}, \quad r=-\frac{6 \sqrt{5}}{5}\)
حل:\(3 t^{2}+6=70\).
- إجابة
-
\(t=\frac{8 \sqrt{3}}{3}, \quad t=-\frac{8 \sqrt{3}}{3}\)
حل المعادلة التربيعية للنموذج\(a(x-h)^{2}=k\) باستخدام خاصية الجذر التربيعي
يمكننا استخدام خاصية الجذر التربيعي لحل معادلة النموذج\(a(x-h)^{2}=k\) أيضًا. لاحظ أن الحد التربيعي\(x\)، في الشكل الأصلي، قد تم استبداله\(ax^{2}=k\) بـ\((x-h)\).
الخطوة الأولى، كما كانت من قبل، هي عزل المصطلح الذي يحتوي على مربع المتغير. في هذه الحالة، يتم تربيع المعادلة ذات الحدين. بمجرد عزل المعادلة ذات الحدين، من خلال قسمة كل جانب على المعامل\(a\)، يمكن استخدام خاصية الجذر التربيعي على\((x-h)^{2}\).
حل:\(4(y-7)^{2}=48\).
الحل:
| \(4(y-7)^{2}=48\) | |
| قسّم كلا الجانبين على المعامل\(4\). | \((y-7)^{2}=12\) |
| استخدم خاصية الجذر التربيعي في المعادلة ذات الحدين. | \(y-7=\pm \sqrt{12}\) |
| قم بتبسيط الراديكالية. | \(y-7=\pm 2 \sqrt{3}\) |
| حل لـ\(y\). | \(y=7 \pm 2 \sqrt{3}\) |
| أعد الكتابة لإظهار حلين. | \(y=7+2 \sqrt{3}\) \(y=7-2 \sqrt{3}\) |
|
تحقق من: 
|
حل:\(3(a-3)^{2}=54\).
- إجابة
-
\(a=3+3 \sqrt{2}, \quad a=3-3 \sqrt{2}\)
حل:\(2(b+2)^{2}=80\).
- إجابة
-
\(b=-2+2 \sqrt{10}, \quad b=-2-2 \sqrt{10}\)
تذكر أنه عندما نأخذ الجذر التربيعي للكسر، يمكننا أخذ الجذر التربيعي للبسط والمقام بشكل منفصل.
حل:\(\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{9}\).
الحل:
\(\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{9}\)
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
\(x-\frac{1}{3}=\pm \sqrt{\frac{5}{9}}\)
أعد كتابة الجذر في صورة جزء من الجذور التربيعية.
\(x-\frac{1}{3}=\pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}\)
قم بتبسيط الراديكالية.
\(x-\frac{1}{3}=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}\)
حل لـ\(x\).
\(x=\frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{5}}{3}\)
أعد الكتابة لإظهار حلين.
\(x=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}, x=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{5}}{3}\)
تحقق من:
نترك الشيك لك.
حل:\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}\).
- إجابة
-
\(x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}, x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\)
حل:\(\left(y+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{7}{16}\).
- إجابة
-
\(y=-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}, y=-\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}\)
سنبدأ الحل للمثال التالي عن طريق عزل المصطلح ذي الحدين.
حل:\(2(x-2)^{2}+3=57\).
الحل:
\(2(x-2)^{2}+3=57\)
اطرح\(3\) من كلا الجانبين لعزل الحد ذي الحدين.
\(2(x-2)^{2}=54\)
قسّم كلا الجانبين على\(2\).
\((x-2)^{2}=27\)
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
\(x-2=\pm \sqrt{27}\)
قم بتبسيط الراديكالية.
\(x-2=\pm 3 \sqrt{3}\)
حل لـ\(x\).
\(x=2 \pm 3 \sqrt{3}\)
أعد الكتابة لإظهار حلين.
\(x=2+3 \sqrt{3}, x=2-3 \sqrt{3}\)
تحقق من:
نترك الشيك لك.
حل:\(5(a-5)^{2}+4=104\).
- إجابة
-
\(a=5+2 \sqrt{5}, a=5-2 \sqrt{5}\)
حل:\(3(b+3)^{2}-8=88\).
- إجابة
-
\(b=-3+4 \sqrt{2}, \quad b=-3-4 \sqrt{2}\)
في بعض الأحيان تكون الحلول عبارة عن أرقام معقدة.
حل:\((2 x-3)^{2}=-12\).
الحل:
\((2 x-3)^{2}=-12\)
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
\(2 x-3=\pm \sqrt{-12}\)
قم بتبسيط الراديكالية.
\(2 x-3=\pm 2 \sqrt{3} i\)
أضف\(3\) إلى كلا الجانبين.
\(2 x=3 \pm 2 \sqrt{3} i\)
قسّم كلا الجانبين على\(2\).
\(x=\frac{3 \pm 2 \sqrt{3 i}}{2}\)
أعد الكتابة في النموذج القياسي.
\(x=\frac{3}{2} \pm \frac{2 \sqrt{3} i}{2}\)
قم بالتبسيط.
\(x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{3} i\)
أعد الكتابة لإظهار حلين.
\(x=\frac{3}{2}+\sqrt{3} i, x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} i\)
تحقق من:
نترك الشيك لك.
حل:\((3 r+4)^{2}=-8\).
- إجابة
-
\(r=-\frac{4}{3}+\frac{2 \sqrt{2} i}{3}, r=-\frac{4}{3}-\frac{2 \sqrt{2} i}{3}\)
حل:\((2 t-8)^{2}=-10\).
- إجابة
-
\(t=4+\frac{\sqrt{10} i}{2}, t=4-\frac{\sqrt{10 i}}{2}\)
لا يبدو أن الجوانب اليسرى من المعادلات في المثالين التاليين من الشكل\(a(x-h)^{2}\). لكنها عبارة عن وحدات ثلاثية مربعة مثالية، لذلك سننظر في وضعها بالشكل الذي نحتاجه.
حل:\(4 n^{2}+4 n+1=16\).
الحل:
نلاحظ أن الجانب الأيسر من المعادلة هو مربع كامل ثلاثي الحدود. سنقوم بأخذها في الاعتبار أولاً.
| \(4 n^{2}+4 n+1=16\) | |
| عامل الشكل الثلاثي المربع المثالي. | \((2 n+1)^{2}=16\) |
| استخدم خاصية الجذر التربيعي. | \(2 n+1=\pm \sqrt{16}\) |
| قم بتبسيط الراديكالية. | \(2 n+1=\pm 4\) |
| حل لـ\(n\). | \(2 n=-1 \pm 4\) |
| قسّم كل جانب على\(2\). | \(\begin{aligned} \frac{2 n}{2} &=\frac{-1 \pm 4}{2} \\ n &=\frac{-1 \pm 4}{2} \end{aligned}\) |
| أعد الكتابة لإظهار حلين. | \(n=\frac{-1+4}{2}, n=\frac{-1-4}{2}\) |
| قم بتبسيط كل معادلة. | \(n=\frac{3}{2}, \quad n=-\frac{5}{2}\) |
|
تحقق من: 
|
حل:\(9 m^{2}-12 m+4=25\).
- إجابة
-
\(m=\frac{7}{3}, \quad m=-1\)
حل:\(16 n^{2}+40 n+25=4\).
- إجابة
-
\(n=-\frac{3}{4}, \quad n=-\frac{7}{4}\)
قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلات التربيعية.
المفاهيم الرئيسية
- خاصية الجذر التربيعي
- إذا\(x^{2}=k\)، ثم\(x=\sqrt{k}\)\(x=-\sqrt{k}\) أو\(x=\pm \sqrt{k}\)
- اعزل الحد التربيعي واجعل معامله واحدًا.
- استخدم خاصية الجذر التربيعي.
- قم بتبسيط الراديكالية.
- تحقق من الحلول.