6.6E: تمارين

الممارسة تجعلها مثالية

استخدم خاصية المنتج الصفري

في التمارين التالية، قم بحل.

1. $(3a−10)(2a−7)=0$

إجابة

$a=\frac{10}{3},\; a=\frac{7}{2}$

2. $(5b+1)(6b+1)=0$

3. $6m(12m−5)=0$

إجابة

$m=0,\; m=\frac{5}{12}$

4. $2x(6x−3)=0$

5. $(2x−1)^2=0$

إجابة

$x=\frac{1}{2}$

6. $(3y+5)^2=0$

حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل

في التمارين التالية، قم بحل.

7. $5a^2−26a=24$

إجابة

$a=−\frac{4}{5},\; a=6$

8. $4b^2+7b=−3$

9. $4m^2=17m−15$

إجابة

$m=\frac{5}{4},\; m=3$

10. $n^2=5−6n$

11. $7a^2+14a=7a$

إجابة

$a=−1,\; a=0$

12. $12b^2−15b=−9b$

13. $49m^2=144$

إجابة

$m=\frac{12}{7},\; m=−\frac{12}{7}$

14. $625=x^2$

15. $16y^2=81$

إجابة

$y=−\frac{9}{4},\; y=\frac{9}{4}$

16. $64p^2=225$

17. $121n^2=36$

إجابة

$n=−\frac{6}{11},\; n=\frac{6}{11}$

18. $100y^2=9$

19. $(x+6)(x−3)=−8$

إجابة

$x=2,\; x=−5$

20. $(p−5)(p+3)=−7$

21. $(2x+1)(x−3)=−4x$

إجابة

$x=\frac{3}{2},\; x=−1$

22. $(y−3)(y+2)=4y$

23. $(3x−2)(x+4)=12x$

إجابة

$x=\frac{3}{2},\; x=−1$

24. $(2y−3)(3y−1)=8y$

25. $20x^2−60x=−45$

إجابة

$x=−\frac{2}{3}$

26. $3y^2−18y=−27$

27. $15x^2−10x=40$

إجابة

$x=2,\; x=−\frac{4}{3}$

28. $14y^2−77y=−35$

29. $18x^2−9=−21x$

إجابة

$x=−\frac{3}{2},\; x=\frac{1}{3}$

30. $16y^2+12=−32y$

31. $16p^3=24p^2-9p$

إجابة

$p=0,\; p=\frac{3}{4}$

32. $m^3−2m^2=−m$

33. $2x^3+72x=24x^2$

إجابة

$x=0,\space x=6$

34. $3y^3+48y=24y^2$

35. $36x^3+24x^2=−4x$

إجابة

$x=0,\space x=\frac{1}{3}$

36. $2y^3+2y^2=12y$

حل المعادلات ذات الدوال الكثيرة الحدود

في التمارين التالية، قم بحل.

37. بالنسبة للدالة$f(x)=x^2−8x+8$، ⓐ ابحث عن الوقت$f(x)=−4$ ⓑ استخدم هذه المعلومات للعثور على نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

إجابة

ⓐ$x=2$ أو$x=6$ ⓑ$(2,−4)$$(6,−4)$

38. بالنسبة للدالة$f(x)=x^2+11x+20$، ⓐ ابحث عن الوقت$f(x)=−8$ ⓑ استخدم هذه المعلومات للعثور على نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

39. بالنسبة للدالة$f(x)=8x^2−18x+5$، ⓐ ابحث عن الوقت$f(x)=−4$ ⓑ استخدم هذه المعلومات للعثور على نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

إجابة

ⓐ$x=\frac{3}{2}$ أو$x=\frac{3}{4}$
ⓑ$(\frac{3}{2},−4)$$(\frac{3}{4},−4)$

40. بالنسبة للدالة$f(x)=18x^2+15x−10$، ⓐ ابحث عن الوقت$f(x)=15$ ⓑ استخدم هذه المعلومات للعثور على نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

في التمارين التالية، لكل دالة، ابحث عن: ⓐ أصفار الدالة ⓑ$x$ الأجزاء المقطوعة من الرسم البياني للدالة ⓒ$y$ التقاطع - للرسم البياني للدالة.

41. $f(x)=9x^2−4$

إجابة

ⓐ$x=\frac{2}{3}$ أو$x=−\frac{2}{3}$
ⓑ$(\frac{2}{3},0)$،$(−\frac{2}{3},0)$
ⓒ$(0,−4)$

42. $f(x)=25x^2−49$

43. $f(x)=6x^2−7x−5$

إجابة

ⓐ$x=\frac{5}{3}$ أو$x=−\frac{1}{2}$
ⓑ$(\frac{5}{3},0)$،$(−\frac{1}{2},0)$
ⓒ$(0,−5)$

44. $f(x)=12x^2−11x+2$

حل تطبيقات على غرار المعادلات التربيعية

في التمارين التالية، قم بحل.

45. حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين هو$143$. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

إجابة

$−13,\space −11$و$11,\space 13$

46. حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين هو$195$. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

47. ناتج عددين صحيحين متتاليين هو$168$. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

إجابة

$−14,\space −12$و$12,\space 14$

48. ناتج عددين صحيحين متتاليين هو$288$. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

49. تبلغ مساحة السجادة المستطيلة قدم$28$ مربع. الطول يزيد بثلاثة أقدام عن العرض. أوجد طول السجادة وعرضها.

إجابة

$−4$و$7$

50. $15$تبلغ مساحة الجدار الاستنادي المستطيل قدم مربع. ارتفاع الجدار أقل بقدمين من طوله. أوجد ارتفاع الجدار وطوله.

51. تبلغ مساحة لوحة الإعلانات قدمًا$55$ مربعًا. الطول أقل بأربعة أقدام من ثلاثة أضعاف العرض. أوجد طول وعرض لوحة الإعلانات.

إجابة

$5,\space 11$

52. $150$تبلغ مساحة مرآب مستطيل قدم مربع. يبلغ ارتفاع المرآب خمسة أقدام أقل من ضعف طوله. أوجد ارتفاع المرآب وطوله.

53. يتشكل الراية على شكل مثلث قائم$10$ بأقدام ذات وتر. طول أحد جانبي الراية أطول بقدمين من طول الجانب الآخر. أوجد طول ضلعي الراية.

إجابة

$6,\space 8$

54. نافذة زجاجية ملونة على شكل مثلث قائم. الوتر هو$15$ feet. One leg is three more than the other. Find the lengths of the legs.

55. يتشكل المسبح العاكس على شكل مثلث قائم، مع ساق واحدة على طول جدار المبنى. طول الوتر أطول$9$ بأقدام من الجانب الموجود على طول المبنى. الجانب الثالث أطول$7$ بأقدام من الجانب الموجود على طول المبنى. أوجد أطوال الجوانب الثلاثة لحوض السباحة العاكس.

إجابة

$8,\space 15,\space 17$

56. تكون حظيرة الماعز على شكل مثلث قائم. تم بناء ساق واحدة من العلبة على جانب الحظيرة. الساق الأخرى تزيد$4$ بأقدام عن الساق مقابل الحظيرة. يبلغ طول الوتر$8$ قدمًا أكثر من الساق على طول الحظيرة. ابحث عن الجوانب الثلاثة لحظيرة الماعز.

57. ستطلق جولي صاروخًا نموذجيًا في فنائها الخلفي. عندما تطلق الصاروخ،$h(t)=−16t^2+32t$ تمثل الوظيفة ارتفاع الصاروخ فوق الأرض كدالة للوقت$t$.$h$ ابحث عن:

ⓐ أصفار هذه الدالة التي تخبرنا متى سيصطدم الصاروخ بالأرض ⓑ الوقت الذي سيكون فيه الصاروخ فوق سطح الأرض$16$ بأقدام.

إجابة

ⓐ 0، 2 ⓑ 1

58. ستقوم جيانا برمي كرة من الطابق العلوي من مدرستها المتوسطة. عندما تقوم برمي الكرة من$48$ القدمين فوق الأرض$h$، تمثل الدالة$h(t)=−16t^2+32t+48$ ارتفاع الكرة فوق الأرض كدالة للوقت$t$. ابحث عن:

ⓐ أصفار هذه الدالة التي تخبرنا متى ستصطدم الكرة بالأرض. ⓑ الوقت (الأوقات) التي ستكون فيها الكرة فوق الأرض$48$ بالأقدام. ⓒ سيكون ارتفاع الكرة$t=1$ بالثواني وهو الوقت الذي ستكون فيه الكرة في أعلى نقطة لها.

تمارين الكتابة

59. اشرح كيفية حل المعادلة التربيعية. كم عدد الإجابات التي تتوقع الحصول عليها للمعادلة التربيعية؟

إجابة

سوف تتنوع الإجابات.

60. أعط مثالاً لمعادلة تربيعية تحتوي على GCF ولا يساوي أي حل من حلول المعادلة صفرًا.

فحص ذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بشكل عام، بعد الاطلاع على قائمة التحقق، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للقسم التالي؟ لماذا أو لماذا لا؟