Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

6.6: معادلات كثيرة الحدود

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • استخدم خاصية المنتج الصفري
  • حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل
  • حل المعادلات ذات الدوال الكثيرة الحدود
  • حل تطبيقات نموذجية باستخدام معادلات كثيرة الحدود

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

  1. حل:5y3=0.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
  2. عامل بالكامل:n39n222n.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
  3. إذاf(x)=8x16، ابحثf(3) وحلf(x)=0.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

لقد أمضينا وقتًا طويلاً في تعلم كيفية حساب كثيرات الحدود. سننظر الآن في المعادلات كثيرة الحدود ونحلها باستخدام التحليل، إن أمكن.

معادلة كثيرة الحدود هي معادلة تحتوي على تعبير متعدد الحدود. درجة المعادلة كثيرة الحدود هي درجة كثيرة الحدود.

معادلة كثيرة الحدود

معادلة كثيرة الحدود هي معادلة تحتوي على تعبير متعدد الحدود.

درجة المعادلة كثيرة الحدود هي درجة كثيرة الحدود.

لقد قمنا بالفعل بحل المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الأولى. المعادلات كثيرة الحدود من الدرجة الأولى هي معادلات خطية من الشكلax+b=c.

سنقوم الآن بحل معادلات كثيرة الحدود من الدرجة الثانية. تُسمى المعادلة الكثيرة الحدود من الدرجة الثانية بالمعادلة التربيعية. فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التربيعية:

x2+5x+6=03y2+4y=1064u281=0n(n+1)=42

لا يبدو أن المعادلة الأخيرة تحتوي على متغير مربع، ولكن عندما نبسط التعبير على اليسار سنحصل عليهn2+n.

الشكل العام للمعادلة التربيعية هوax2+bx+c=0، معa0. (إذاa=0، إذن0·x2=0، ولم يتبق لنا حد تربيعي.)

معادلة تربيعية

تُسمى معادلة الشكلax2+bx+c=0 بالمعادلة التربيعية.

a,b, and c are real numbers and a0

لحل المعادلات التربيعية، نحتاج إلى طرق مختلفة عن تلك التي استخدمناها في حل المعادلات الخطية. سننظر إلى طريقة واحدة هنا ثم عدة طرق أخرى في فصل لاحق.

استخدم خاصية المنتج الصفري

سنقوم أولاً بحل بعض المعادلات التربيعية باستخدام خاصية المنتج الصفري. تقول خاصية Zero Product أنه إذا كان منتج الكميتين صفرًا، فإن واحدة على الأقل من الكميات هي صفر. الطريقة الوحيدة للحصول على منتج يساوي الصفر هي الضرب في الصفر نفسه.

خاصية المنتج الصفري

إذاa·b=0، ثم إماa=0b=0 أو كليهما.

سنستخدم الآن خاصية المنتج الصفري لحل المعادلة التربيعية.

مثال6.6.1: How to Solve a Quadratic Equation Using the Zero Product Property

حل:(5n2)(6n1)=0.

إجابة

المعادلة عبارة عن أقواس مفتوحة 5n ناقص 2 أقواس قريبة أقواس مفتوحة 6n ناقص 1 أقواس قريبة تساوي 0. المنتج يساوي صفرًا، لذلك يجب أن يساوي عامل واحد على الأقل صفرًا. الخطوة 1 هي تعيين كل عامل يساوي الصفر. إذن، 5n ناقص 2 يساوي 0 و 6n ناقص 1 يساوي 0.الخطوة 2 هي حل المعادلات الخطية. إذن، نحصل على n يساوي 2 في 5 و n يساوي 1 في 6.الخطوة 3 هي التحقق من خلال استبدال كل حل على حدة في المعادلة الأصلية.

مثال6.6.2

حل:(3m2)(2m+1)=0.

إجابة

m=23, m=12

مثال6.6.3

حل:(4p+3)(4p3)=0.

إجابة

p=34, p=34

استخدم خاصية المنتج الصفري.
  1. اضبط كل عامل مساويًا للصفر.
  2. حل المعادلات الخطية.
  3. تحقق.

حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل

تعمل خاصية المنتج الصفري بشكل جيد جدًا لحل المعادلات التربيعية. يجب أخذ المعادلة التربيعية في الاعتبار، مع عزل الصفر على جانب واحد. لذلك نتأكد من البدء بالمعادلة التربيعية في الشكل القياسي،ax2+bx+c=0. ثم نقوم بحساب التعبير على اليسار.

حل:2y2=13y+45.

إجابة

المعادلة هي 2 y مربع يساوي 13y زائد 45. الخطوة 1 هي كتابتها بالشكل القياسي a x squared زائد bx زائد c. لذلك لدينا 2 y مربع ناقص 13y ناقص 45 يساوي 0.الخطوة 2 هي تحليل التعبير التربيعي. لذلك لدينا 2y زائد 5، y ناقص 9 يساوي 0.الخطوة 3 هي استخدام خاصية المنتج الصفري. بتعيين كل عامل يساوي الصفر، لدينا معادلتين خطيتين: 2y زائد 5 يساوي 0 و y ناقص 9 يساوي 0.الخطوة 4 هي حل المعادلات الخطية. نحصل على، y يساوي ناقص 5 في 2 و y يساوي 9.الخطوة 5 هي التحقق من خلال استبدال كل حل على حدة في المعادلة الأصلية

مثال6.6.5

حل:3c2=10c8.

إجابة

c=2, c=43

مثال6.6.6

حل:2d25d=3.

إجابة

d=3, d=12

حل المعادلة التربيعية عن طريق التحليل.
  1. اكتب المعادلة التربيعية في الصورة القياسية،ax2+bx+c=0.
  2. عامِل التعبير التربيعي.
  3. استخدم خاصية المنتج الصفري.
  4. حل المعادلات الخطية.
  5. تحقق. استبدل كل حل على حدة في المعادلة الأصلية.

قبل إجراء التحليل، يجب أن نتأكد من أن المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.

سيؤدي حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل إلى الاستفادة من جميع تقنيات العوملة التي تعلمتها في هذا الفصل! هل تتعرف على نمط المنتج الخاص في المثال التالي؟

مثال6.6.7

حل:169q2=49.

إجابة

169x2=49Write the quadratic equation in standard form.169x249=0Factor. It is a difference of squares.(13x7)(13x+7)=0Use the Zero Product Property to set each factor to 0.Solve each equation.13x7=013x+7=013x=713x=7x=713x=713

تحقق من:

نترك الفحص لك.

مثال6.6.8

حل:25p2=49.

إجابة

p=75,p=75

مثال6.6.9

حل:36x2=121.

إجابة

x=116,x=116

في المثال التالي، يتم أخذ الجانب الأيسر من المعادلة في الاعتبار، ولكن الجانب الأيمن ليس صفرًا. من أجل استخدام خاصية Zero Product، يجب أن يكون أحد طرفي المعادلة صفرًا. سنضرب العوامل ثم نكتب المعادلة في الصورة القياسية.

مثال6.6.10

حل:(3x8)(x1)=3x.

إجابة

(3x8)(x1)=3xMultiply the binomials.3x211x+8=3xWrite the quadratic equation in standard form.3x214x+8=0Factor the trinomial.(3x2)(x4)=0Use the Zero Product Property to set each factor to 0.Solve each equation.3x2=0x4=03x=2x=4x=23Check your answers.The check is left to you.

مثال6.6.11

حل:(2m+1)(m+3)=12m.

إجابة

m=1, m=32

مثال6.6.12

حل:(k+1)(k1)=8.

إجابة

k=3, k=3

في المثال التالي، عندما نحلل المعادلة التربيعية سنحصل على ثلاثة عوامل. لكن العامل الأول ثابت. نحن نعلم أن هذا العامل لا يمكن أن يساوي 0.

مثال6.6.13

حل:3x2=12x+63.

إجابة

3x2=12x+63Write the quadratic equation in standard form.3x212x63=0Factor the greatest common factor first.3(x24x21)=0Factor the trinomial.3(x7)(x+3)=0Use the Zero Product Property to set each factor to 0.Solve each equation.30x7=0x+3=030x=7x=3Check your answers.The check is left to you.

مثال6.6.14

حل:18a230=33a.

إجابة

a=52,a=23

مثال6.6.15

حل:123b=660b2

إجابة

b=2, b=120

تنطبق خاصية Zero Product أيضًا على المنتج المكون من ثلاثة عوامل أو أكثر. إذا كان المنتج صفرًا، يجب أن يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. يمكننا حل بعض المعادلات بدرجة أكبر من درجتين باستخدام خاصية المنتج الصفري، تمامًا كما قمنا بحل المعادلات التربيعية.

مثال6.6.16

حل:9m3+100m=60m2

إجابة

9m3+100m=60m2Bring all the terms to one side so that the other side is zero.9m360m2+100m=0Factor the greatest common factor first.m(9m260m+100)=0Factor the trinomial.m(3m10)2=0Use the Zero Product Property to set each factor to 0.Solve each equation.m=03m10=0m=0m=103Check your answers.The check is left to you.

مثال6.6.17

حل:8x3=24x218x.

إجابة

x=0, x=32

مثال6.6.18

حل:16y2=32y3+2y.

إجابة

y=0, y=14

حل المعادلات ذات الدوال الكثيرة الحدود

مع استمرار دراستنا للدوال كثيرة الحدود، سيكون من المهم غالبًا معرفة متى سيكون للدالة قيمة معينة أو النقاط الموجودة على الرسم البياني للدالة. سيساعدنا عملنا مع خاصية Zero Product في العثور على هذه الإجابات.

مثال6.6.19

بالنسبة للوظيفةf(x)=x2+2x2،

ⓐ ابحث عنx وقتf(x)=6
ⓑ ابحث عن نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

إجابة


f(x)=x2+2x2Substitute 6 for f(x).6=x2+2x2Put the quadratic in standard form.x2+2x8=0Factor the trinomial.(x+4)(x2)=0Use the zero product property.Solve.x+4=0orx2=0x=4orx=2Check:f(x)=x2+2x2f(x)=x2+2x2f(4)=(4)2+2(4)2f(2)=22+2·22f(4)=1682f(2)=4+42f(4)=6f(2)=6

ⓑ منذ ذلك الحينf(4)=6f(2)=6،(2,6) تكمن النقاط(4,6) والنقاط على الرسم البياني للدالة.

مثال6.6.20

بالنسبة للوظيفةf(x)=x22x8،

ⓐ ابحث عنx الوقتf(x)=7
ⓑ ابحث عن نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

إجابة

x=3 أوx=5
(3,7) (5,7)

مثال6.6.21

بالنسبة للوظيفةf(x)=x28x+3،

ⓐ ابحث عنx الوقتf(x)=4
ⓑ ابحث عن نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

إجابة

x=1 أوx=7
(1,4) (7,4)

تساعدنا خاصية Zero Product أيضًا في تحديد مكان الوظيفة صفر. تُسمى قيمةx مكان0 الدالة صفرًا للدالة.

صفر دالة

بالنسبة لأي وظيفةf، إذا كانتf(x)=0، إذن،x تساوي صفرًا للدالة.

عندما تكونf(x)=0 النقطة(x,0) هي نقطة على الرسم البياني. هذه النقطة هيx نقطة تقاطع للرسم البياني. غالبًا ما يكون من المهم معرفة مكان تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحاور. سنرى بعض الأمثلة لاحقًا.

مثال6.6.22

للحصول على الوظيفةf(x)=3x2+10x8، ابحث

ⓐ أصفار الدالة،
ⓑ أيx - تقاطعات من الرسم البياني للدالة
ⓒ أيy - تقاطعات من الرسم البياني للدالة

إجابة

ⓐ للعثور على أصفار الدالة، نحتاج إلى معرفة متى تكون قيمة الدالة 0.
f(x)=3x2+10x8Substitute 0 forf(x).0=3x2+10x8Factor the trinomial.(x+4)(3x2)=0Use the zero product property.Solve.x+4=0or3x2=0x=4orx=23

ⓑ يحدثx الاعتراض عند حدوث ذلكy=0. منذ ذلك الحينf(4)=0f(23)=0،(23,0) تكمن النقاط(4,0) والنقاط على الرسم البياني. هذه النقاط عبارةx عن نقاط تقاطع للدالة.


ⓒ يحدثy التقاطع عند حدوث ذلكx=0. للعثور علىy نقاط الاعتراض التي نحتاج إلى العثور عليهاf(0).
f(x)=3x2+10x8Find f(0) by substituting 0 for x.f(0)=3·02+10·08Simplify.f(0)=8
نظرًا لأنf(0)=8 النقطة(0,8) تكمن في الرسم البياني. هذه النقطة هيy التقاطع - للدالة.

مثال6.6.23

للحصول على الوظيفةf(x)=2x27x+5، ابحث

ⓐ أصفار الدالة
ⓑ أيx - تقاطعات من الرسم البياني للدالة
ⓒ أيy - تقاطعات من الرسم البياني للدالة.

إجابة

x=1 أوx=52
(1,0), (52,0)(0,5)

مثال6.6.24

للحصول على الوظيفةf(x)=6x2+13x15، ابحث

ⓐ أصفار الدالة
ⓑ أيx - تقاطعات من الرسم البياني للدالة
ⓒ أيy - تقاطعات من الرسم البياني للدالة.

إجابة

x=3 أوx=56
(3,0), (56,0)(0,15)

حل تطبيقات نموذجية باستخدام معادلات كثيرة الحدود

ستعمل إستراتيجية حل المشكلات التي استخدمناها سابقًا للتطبيقات التي تترجم إلى معادلات خطية تمامًا مع التطبيقات التي تترجم إلى معادلات كثيرة الحدود. سنقوم بنسخ استراتيجية حل المشكلات هنا حتى نتمكن من استخدامها كمرجع.

استخدم استراتيجية حل المشكلات لحل مشكلات الكلمات.
  1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
  2. حدد ما نبحث عنه.
  3. اذكر ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
  4. ترجم إلى معادلة. قد يكون من المفيد إعادة ذكر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.
  5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر المناسبة.
  6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. أجب على السؤال بجملة كاملة.

سنبدأ بمشكلة عددية للتدرب على ترجمة الكلمات إلى معادلة كثيرة الحدود.

مثال6.6.25

حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين هو 323. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

إجابة

Step 1. Read the problem.Step 2. Identify what we are looking for.We are looking for two consecutive integers.Step 3. Name what we are looking for.Let n= the first integer.n+2= next consecutive odd integerStep 4. Translate into an equation. Restate theproblem in a sentence.The product of the two consecutive oddintegers is 323.n(n+2)=323Step 5. Solve the equation.n2+2n=323Bring all the terms to one side.n2+2n323=0Factor the trinomial.(n17)(n+19)=0Use the Zero Product Property.Solve the equations.n17=0n+19=0n=17n=19
هناك قيمتانn لذلك وهما حلول لهذه المشكلة. لذلك هناك مجموعتان من الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية التي ستعمل.

If the first integer is n=17If the first integer is n=19then the next odd integer isthen the next odd integer isn+2n+217+219+2191717,1917,19Step 6. Check the answer.The results are consecutive odd integers17, 19 and 19, 17.17·19=32319(17)=323Both pairs of consecutive integers are solutions.Step 7. Answer the questionThe consecutive integers are 17,19 and 19,17.

مثال6.6.26

حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين هو 255. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

إجابة

15,17و15,17

مثال6.6.27

حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين هو 483 أوجد الأعداد الصحيحة.

إجابة

23,21و21,23

هل فوجئت بزوج الأعداد الصحيحة السالبة الذي يعد أحد الحلول للمثال السابق؟ يعطي كل من ناتج العددين الصحيحين الموجبين ومنتج العددين الصحيحين السالبين نتائج إيجابية.

في بعض التطبيقات، ستنتج الحلول السلبية عن الجبر، ولكنها لن تكون واقعية بالنسبة للحالة.

مثال6.6.28

تبلغ مساحة غرفة النوم المستطيلة 117 قدمًا مربعًا. يبلغ طول غرفة النوم أربعة أقدام أكثر من العرض. ابحث عن طول وعرض غرفة النوم.

إجابة
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. في المشكلات التي تتضمن أشكالًا
هندسية، يمكن أن يساعدك الرسم
على تصور الموقف.
.
الخطوة 2. حدد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن الطول والعرض.
الخطوة 3. قم بتسمية ما تبحث عنه. دعوناw= the width of the bedroom.
الطول يزيد بأربعة أقدام عن العرض. w+4= the length of the garden
الخطوة 4. ترجم إلى معادلة.  
أعد ذكر المعلومات المهمة في الجملة. تبلغ مساحة غرفة النوم 117 قدمًا مربعًا.
استخدم الصيغة الخاصة بمساحة المستطيل. A=l·w
استبدل في المتغيرات. 117=(w+4)w
الخطوة 5. حل معادلة التوزيع أولاً. 117=w2+4w
احصل على صفر على جانب واحد. 117=w2+4w
عامل ثلاثي الحدود. 0=w2+4w117
استخدم خاصية المنتج الصفري. 0=(w2+13)(w9)
حل كل معادلة. 0=w+130=w9
wنظرًا لعرض غرفة النوم، فليس من
المنطقي أن تكون سلبية. نحن نزيل هذه القيمة لـw.
w=13w=9
  w=9العرض هو 9 أقدام.
أوجد قيمة الطول. w+4
9+4
13 الطول هو 13 قدمًا.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة.
هل الإجابة منطقية؟

.
نعم، هذا أمر منطقي.
 
الخطوة 7. أجب على السؤال. يبلغ عرض غرفة النوم 9 أقدام والطول
13 قدمًا.
مثال6.6.29

اللافتة المستطيلة مساحتها 30 قدمًا مربعًا. طول العلامة يزيد بمقدار قدم واحدة عن العرض. ابحث عن طول وعرض العلامة.

إجابة

العرض هو 5 أقدام والطول هو 6 أقدام.

مثال6.6.30

فناء مستطيل بمساحة 180 قدم مربع. عرض الفناء أقل بثلاثة أقدام من الطول. ابحث عن طول وعرض الفناء.

إجابة

يبلغ طول الفناء 12 قدمًا والعرض 15 قدمًا.

في المثال التالي، سنستخدم نظرية فيثاغورس(a2+b2=c2). توضح هذه الصيغة العلاقة بين الساقين والوتر في المثلث القائم.

يوضِّح الشكل مثلثًا قائمًا، وأقصر ضلعه هو a، والضلع الثاني هو b، والوتر هو c.

سنستخدم هذه الصيغة في المثال التالي.

مثال6.6.31

شراع القارب على شكل مثلث قائم كما هو موضح. سيكون طول الوتر 17 قدمًا. سيكون طول أحد الجانبين أقل بـ 7 أقدام من طول الجانب الآخر. أوجد أطوال أضلاع الشراع.

يوضح الشكل مثلثًا قائمًا يكون ضلعه الأقصر هو x، والضلع الثاني هو x ناقص 7 والوتر 17.

إجابة
الخطوة 1. اقرأ المشكلة  
الخطوة 2. حدد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن أطوال
جوانب الشراع.
الخطوة 3. قم بتسمية ما تبحث عنه.
أحد الجانبين أقل بـ 7 من الآخر.
دعوناx= length of a side of the sail.
x7= length of other side
الخطوة 4. ترجم إلى معادلة. نظرًا لأن هذا مثلث
قائم، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس.
a2+b2=c2
استبدل في المتغيرات. x2+(x7)2=172
الخطوة 5. حل المعادلة قم
بالتبسيط.
x2+x214x+49=289
  2x214x+49=289
إنها معادلة تربيعية، لذا احصل على صفر على أحد الجانبين. 2x214x240=0
العامل هو العامل المشترك الأكبر. 2(x27x120)=0
عامل ثلاثي الحدود. 2(x15)(x+8)=0
استخدم خاصية المنتج الصفري. 20x15=0x+8=0
حل. 20x=15x=8
نظرًاx لأنه جانب من المثلث،x=8 فلا
معنى له.
20x=15x=8
أوجد طول الضلع الآخر.  
إذا كان طول أحد
الضلعين يساوي طول الضلع الآخر
.
.
.
8 هو طول الجانب الآخر.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة
هل هذه الأرقام منطقية؟

.
 
الخطوة 7. أجب على السؤال جوانب الشراع هي 8 و 15 و 17 قدمًا.
مثال6.6.32

تريد جوستين وضع سطح السفينة في زاوية الفناء الخلفي لها على شكل مثلث قائم. يبلغ طول أحد جانبي سطح السفينة 7 أقدام أكثر من الجانب الآخر. الوتر هو 13. أوجد أطوال جانبي سطح السفينة.

إجابة

5 أقدام و 12 قدمًا

مثال6.6.33

تقع حديقة التأمل على شكل مثلث قائم، بساق واحدة يبلغ 7 أقدام. يزيد طول الوتر بمقدار واحد عن طول الساق الأخرى. أوجد طول الوتر والساق الأخرى.

إجابة

24 قدمًا و 25 قدمًا

يستخدم المثال التالي الوظيفة التي تعطي ارتفاع الكائن كدالة للوقت عند رميه من 80 قدمًا فوق سطح الأرض.

مثال6.6.34

سيقوم دينيس برمي كرة الشريط المطاطي لأعلى من أعلى مبنى بالحرم الجامعي. عندما يرمي الكرةh(t)=16t2+64t+80 ذات الشريط المطاطي من ارتفاع 80 قدمًا فوق سطح الأرضh، فإن الدالة تمثل ارتفاع الكرة فوق الأرض كدالة للوقتt. ابحث عن:

ⓐ أصفار هذه الدالة التي تخبرنا عندما تصطدم الكرة بالأرض
ⓑ متى ستكون الكرة فوق سطح الأرض بمقدار 80 قدمًا
ⓒ ارتفاع الكرةt=2 بالثواني.

إجابة

ⓐ تم العثور على أصفار هذه الدالة عن طريق الحلh(t)=0. سيخبرنا هذا متى ستصل الكرة إلى الأرض.
h(t)=0Substitute in the polynomial for h(t).16t2+64t+80=0Factor the GCF, 16.16(t24t5)=0Factor the trinomial.16(t5)(t+1)=0Use the Zero Product Property.Solve.t5=0t+1=0t=5t=1

t=5تخبرنا النتيجة أن الكرة ستصطدم بالأرض بعد 5 ثوانٍ من رميها. نظرًا لأن الوقت لا يمكن أن يكون سلبيًا،t=1 يتم تجاهل النتيجة.

ⓑ ستكون الكرة فوق سطح الأرض بمقدار 80 قدمًا عندماh(t)=80.
h(t)=80Substitute in the polynomial for h(t).16t2+64t+80=80Subtract 80 from both sides.16t2+64t=0Factor the GCF, 16t.16t(t4)=0Use the Zero Product Property.Solve.16t=0t4=0t=0t=4The ball will be at 80 feet the moment Dennistosses the ball and then 4 seconds later, whenthe ball is falling.

ⓒ للعثور على ارتفاع الكرة فيt=2 ثوانٍ نجدهاh(2).
h(t)=16t2+64t+80To find h(2) substitute 2 for t.h(2)=16(2)2+64·2+80Simplify.h(2)=144After 2 seconds, the ball will be at 144 feet.

مثال6.6.35

ستقوم جينيفيف برمي صخرة من أعلى ممر يطل على المحيط. عندما تقوم برمي الصخرة صعودًا من ارتفاع 160 قدمًا فوق المحيطh، تمثل الدالةh(t)=16t2+48t+160 ارتفاع الصخرة فوق المحيط كدالة للوقتt. ابحث عن:

ⓐ أصفار هذه الدالة التي تخبرنا متى ستصطدم الصخرة بالمحيط
ⓑ عندما تكون الصخرة على ارتفاع 160 قدمًا فوق المحيط.
ⓒ ارتفاع الصخرةt=1.5 بالثواني.

إجابة

ⓐ 5 ⓑ 0؛ 3 ⓒ 196

مثال6.6.36

سيلقي كاليب بنسه المحظوظ من شرفته على متن سفينة سياحية. عندما يرمي الفلس إلى أعلى من ارتفاع ١٢٨ قدمًا فوق سطح الأرضh، تُمثل الدالةh(t)=16t2+32t+128 ارتفاع الفلس الواحد فوق المحيط كدالة للوقتt. ابحث عن:

ⓐ أصفار هذه الدالة وهي عندما يصطدم الفلس بالمحيط
ⓑ عندما يكون القرش على ارتفاع 128 قدمًا فوق المحيط.
ⓒ سيكون ارتفاع البنسt=1 بالثواني وهو الوقت الذي سيكون فيه البنس في أعلى نقطة له.

إجابة

ⓐ 4 ⓑ 0؛ 2 ⓒ 144

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة باستخدام المعادلات التربيعية.

المفاهيم الرئيسية

  • معادلة كثيرة الحدود: معادلة كثيرة الحدود هي معادلة تحتوي على تعبير متعدد الحدود. درجة المعادلة كثيرة الحدود هي درجة كثيرة الحدود.
  • المعادلة التربيعية: معادلة الشكلax2+bx+c=0 تسمى المعادلة التربيعية.

    a,b,c are real numbers and a0

  • خاصية المنتج الصفري: إذا كانa·b=0 الأمرa=0 كذلكb=0 أو كلاهما.
  • كيفية استخدام خاصية Zero Product
    1. اضبط كل عامل مساويًا للصفر.
    2. حل المعادلات الخطية.
    3. تحقق.
  • كيفية حل المعادلة التربيعية عن طريق التحليل.
    1. اكتب المعادلة التربيعية في الصورة القياسية،ax2+bx+c=0.
    2. عامِل التعبير التربيعي.
    3. استخدم خاصية المنتج الصفري.
    4. حل المعادلات الخطية.
    5. تحقق. استبدل كل حل على حدة في المعادلة الأصلية.
  • صفر الدالة: بالنسبة لأي دالةff(x)=0، إذا كانتx تساوي صفرًا للدالة.
  • كيفية استخدام استراتيجية حل المشكلات لحل مشاكل الكلمات.
    1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
    2. حدد ما نبحث عنه.
    3. اذكر ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
    4. ترجم إلى معادلة. قد يكون من المفيد إعادة ذكر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.
    5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر المناسبة.
    6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    7. أجب على السؤال بجملة كاملة.