الفصل 6 تمارين المراجعة

Last updated
Save as PDF

Page ID: 201560

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

تمارين مراجعة الفصل

العامل المشترك الأكبر والعامل الأكبر حسب التجميع

أوجد العامل المشترك الأكبر لتعبيرين أو أكثر

في التمارين التالية، ابحث عن العامل المشترك الأكبر.

\(12a^2b^3,\space 15ab^2\)

إجابة: \(3ab^2\)

\(12m^2n^3,42m^5n^3\)

\(15y^3,\space 21y^2,\space 30y\)

إجابة: \(3y\)

\(45x^3y^2,\space 15x^4y,\space 10x^5y^3\)

عامل العامل المشترك الأكبر من دالة كثيرة الحدود

في التمارين التالية، قم بحساب العامل المشترك الأكبر من كل كثير الحدود.

\(35y+84\)

إجابة: \(7(5y+12)\)

\(6y^2+12y−6\)

\(18x^3−15x\)

إجابة: \(3x(6x^2−5)\)

\(15m^4+6m^2n\)

\(4x^3−12x^2+16x\)

إجابة: \(4x(x^2−3x+4)\)

\(−3x+24\)

\(−3x^3+27x^2−12x\)

إجابة: \(−3x(x^2−9x+4)\)

\(3x(x−1)+5(x−1)\)

عامل حسب التجميع

في التمارين التالية، عامل حسب التجميع.

\(ax−ay+bx−by\)

إجابة: \((a+b)(x−y)\)

\(x^2y−xy^2+2x−2y\)

\(x^2+7x−3x−21\)

إجابة: \((x−3)(x+7)\)

\(4x^2−16x+3x−12\)

\(m^3+m^2+m+1\)

إجابة: \((m^2+1)(m+1)\)

\(5x−5y−y+x\)

ثلاثية العوامل

العوامل: القيم الثلاثية للنموذج\(x^2+bx+c\)

في التمارين التالية، قم بحساب كل ثلاثية من النموذج\(x^2+bx+c\).

\(a^2+14a+33\)

إجابة: \((a+3)(a+11)\)

\(k^2−16k+60\)

\(m^2+3m−54\)

إجابة: \((m+9)(m−6)\)

\(x^2−3x−10\)

في الأمثلة التالية، قم بحساب كل ثلاثية من النموذج\(x^2+bxy+cy^2\).

\(x^2+12xy+35y^2\)

إجابة: \((x+5y)(x+7y)\)

\(r^2+3rs−28s^2\)

\(a^2+4ab−21b^2\)

إجابة: \((a+7b)(a−3b)\)

\(p^2−5pq−36q^2\)

\(m^2−5mn+30n^2\)

إجابة: أولي

العوامل الثلاثية للنموذج ax2+bx+cax2+bx+c باستخدام التجربة والخطأ

في التمارين التالية، استخدم الاختبار بالكامل باستخدام التجربة والخطأ.

\(x^3+5x^2−24x\)

\(3y^3−21y^2+30y\)

إجابة: \(3y(y−5)(y−2)\)

\(5x^4+10x^3−75x^2\)

\(5y^2+14y+9\)

إجابة: \((5y+9)(y+1)\)

\(8x^2+25x+3\)

\(10y^2−53y−11\)

إجابة: \((5y+1)(2y−11)\)

\(6p^2−19pq+10q^2\)

\(−81a^2+153a+18\)

إجابة: \(−9(9a−1)(a+2)\)

العوامل الثلاثية للنموذج ax2+bx+cax2+bx+c باستخدام طريقة «ac»

في التمارين التالية، عامل.

\(2x^2+9x+4\)

\(18a^2−9a+1\)

إجابة: \((3a−1)(6a−1)\)

\(15p^2+2p−8\)

\(15x^2+6x−2\)

إجابة: \((3x−1)(5x+2)\)

\(8a^2+32a+24\)

\(3x^2+3x−36\)

إجابة: \(3(x+4)(x−3)\)

\(48y^2+12y−36\)

\(18a^2−57a−21\)

إجابة: \(3(2a−7)(3a+1)\)

\(3n^4−12n^3−96n^2\)

عامل باستخدام الاستبدال

في التمارين التالية، استخدم العامل البديل.

\(x^4−13x^2−30\)

إجابة: \((x^2−15)(x^2+2)\)

\((x−3)^2−5(x−3)−36\)

منتجات المصنع الخاصة

قصص ثلاثية مربعة من فاكتور بيرفكت

في التمارين التالية، استخدم نمط التثليث المربع المثالي باستخدام نمط ثلاثي الحدود المربع المثالي.

\(25x^2+30x+9\)

إجابة: \((5x+3)^2\)

\(36a^2−84ab+49b^2\)

\(40x^2+360x+810\)

إجابة: \(10(2x+9)^2\)

\(5k^3−70k^2+245k\)

\(75u^4−30u^3v+3u^2v^2\)

إجابة: \(3u^2(5u−v)^2\)

فروق عوامل المربعات

في التمارين التالية، ضع في اعتبارك تمامًا باستخدام فرق نمط المربعات، إن أمكن.

\(81r^2−25\)

\(169m^2−n^2\)

إجابة: \((13m+n)(13m−n)\)

\(25p^2−1\)

\(9−121y^2\)

إجابة: \((3+11y)(3−11y)\)

\(20x^2−125\)

\(169n^3−n\)

إجابة: \(n(13n+1)(13n−1)\)

\(6p^2q^2−54p^2\)

\(24p^2+54\)

إجابة: \(6(4p^2+9)\)

\(49x^2−81y^2\)

\(16z^4−1\)

إجابة: \((2z−1)(2z+1)(4z^2+1)\)

\(48m^4n^2−243n^2\)

\(a^2+6a+9−9b^2\)

إجابة: \((a+3−3b)(a+3+3b)\)

\(x^2−16x+64−y^2\)

مجاميع عوامل المكعبات والاختلافات بينها

في التمارين التالية، استخدم المعامل بالكامل باستخدام المجاميع والاختلافات في نمط المكعبات، إن أمكن.

\(a^3−125\)

إجابة: \((a−5)(a^2+5a+25)\)

\(b^3−216\)

\(2m^3+54\)

إجابة: \(2(m+3)(m^2−3m+9)\)

\(81m^3+3\)

الإستراتيجية العامة لتحليل كثيرات الحدود

تعرف على الطريقة المناسبة واستخدمها لتحليل كثير الحدود تمامًا

في التمارين التالية، ضع في اعتبارك تمامًا.

\(24x^3+44x^2\)

إجابة: \(4x^2(6x+11)\)

\(24a^4−9a^3\)

\(16n^2−56mn+49m^2\)

إجابة: \((4n−7m)^2\)

\(6a^2−25a−9\)

\(5u^4−45u^2\)

إجابة: \(5u^2(u+3)(u−3)\)

\(n^4−81\)

\(64j^2+225\)

إجابة: أولي

\(5x^2+5x−60\)

\(b^3−64\)

إجابة: \((b−4)(b^2+4b+16)\)

\(m^3+125\)

\(2b^2−2bc+5cb−5c^2\)

إجابة: \((2b+5c)(b−c)\)

\(48x^5y^2−243xy^2\)

\(5q^2−15q−90\)

إجابة: \(5(q+3)(q−6) \)

\(4u^5v+4u^2v^3\)

\(10m^4−6250\)

إجابة: \(10(m−5)(m+5)(m^2+25)\)

\(60x^2y−75xy+30y\)

\(16x^2−24xy+9y^2−64\)

إجابة: \((4x−3y+8)(4x−3y−8)\)

معادلات كثيرة الحدود

استخدم خاصية المنتج الصفري

في التمارين التالية، قم بحل.

\((a−3)(a+7)=0\)

\((5b+1)(6b+1)=0\)

إجابة: \(b=−\frac{1}{5},\space b=−\frac{1}{6}\)

\(6m(12m−5)=0\)

\((2x−1)^2=0\)

إجابة: \(x=\frac{1}{2}\)

\(3m(2m−5)(m+6)=0\)

حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل

في التمارين التالية، قم بحل.

\(x^2+9x+20=0\)

إجابة: \(x=−4,\space x=−5\)

\(y^2−y−72=0\)

\(2p^2−11p=40\)

إجابة: \(p=−\frac{5}{2},p=8\)

\(q^3+3q^2+2q=0\)

\(144m^2−25=0\)

إجابة: \(m=\frac{5}{12},\space m=−\frac{5}{12}\)

\(4n^2=36\)

\((x+6)(x−3)=−8\)

إجابة: \(x=2,\space x=−5\)

\((3x−2)(x+4)=12\)

\(16p^3=24p^2+9p\)

إجابة: \(p=0,\space p=\frac{3}{4}\)

\(2y^3+2y^2=12y\)

حل المعادلات ذات الدوال الكثيرة الحدود

في التمارين التالية، قم بحل.

بالنسبة للدالة\(f(x)=x^2+11x+20\)، ⓐ ابحث عن الوقت\(f(x)=−8\) ⓑ استخدم هذه المعلومات للعثور على نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

إجابة: ⓐ\(x=−7\) أو\\(x=−4\)
ⓑ\((−7,−8)\)\((−4,−8)\)

بالنسبة للدالة\(f(x)=9x^2−18x+5\)، ⓐ ابحث عن الوقت\(f(x)=−3\) ⓑ استخدم هذه المعلومات للعثور على نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

\(f(x)=64x^2−49\)

\(f(x)=6x^2−13x−5\)

حل تطبيقات على غرار المعادلات التربيعية

في التمارين التالية، قم بحل.

حاصل ضرب رقمين متتاليين هو 399. ابحث عن الأرقام.

إجابة: الأرقام هي 1\(−21\) و\(−19\) أو 19 و 21.

مساحة فناء مستطيل الشكل 432 قدم مربع. يبلغ طول الفناء 6 أقدام أكثر من عرضه. ابحث عن الطول والعرض.

يرتكز السلم على جدار المبنى. طول السلم أطول بـ 9 أقدام من مسافة الجزء السفلي من السلم من المبنى. المسافة من أعلى السلم إلى جانب المبنى أطول بـ 7 أقدام من مسافة أسفل السلم من المبنى. أوجد أطوال أضلاع المثلث الثلاثة المكوَّن من السلم الذي يميل على المبنى.

إجابة: الأطوال هي 8 و15 و17 قدمًا.

سيقوم شروتي برمي كرة من أعلى منحدر. عندما تقوم برمي الكرة من على ارتفاع 80 قدمًا فوق سطح الأرض، تمثل الدالة\(h(t)=−16t^2+64t+80\) ارتفاع الكرة، h، فوق الأرض كدالة للوقت، t. ابحث عن: ⓐ أصفار هذه الدالة التي تخبرنا متى ستصطدم الكرة بالأرض. ⓑ الوقت (الأوقات) التي ستكون فيها الكرة فوق سطح الأرض بمقدار 80 قدمًا. ⓒ سيكون ارتفاع الكرة\(t=2\) بالثواني وهو الوقت الذي ستكون فيه الكرة في أعلى نقطة لها.

اختبار ممارسة الفصل

في التمارين التالية، ضع في اعتبارك تمامًا.

\(80a^2+120a^3\)

إجابة: \(40a^2(2+3a)\)

\(5m(m−1)+3(m−1)\)

\(x^2+13x+36\)

إجابة: \((x+7)(x+6)\)

\(p^2+pq−12q^2\)

\(xy−8y+7x−56\)

إجابة: \((x−8)(y+7)\)

\(40r^2+810\)

\(9s^2−12s+4\)

إجابة: \((3s−2)^2\)

\(6x^2−11x−10\)

\(3x^2−75y^2\)

إجابة: \(3(x+5y)(x−5y)\)

\(6u^2+3u−18\)

\(x^3+125\)

إجابة: \((x+5)(x^2−5x+25)\)

\(32x^5y^2−162xy^2\)

\(6x^4−19x^2+15\)

إجابة: \((3x^2−5)(2x^2−3)\)

\(3x^3−36x^2+108x\)

في التمارين التالية، قم بحل

\(5a^2+26a=24\)

إجابة: \(a=\frac{4}{5},\space a=−6\)

حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين هو 156. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

تبلغ مساحة سجادة المكان المستطيلة 168 بوصة مربعة. طوله أطول ببوصتين من العرض. ابحث عن طول وعرض مفرش المائدة.

إجابة: العرض 12 بوصة والطول 14 بوصة.

ستقوم جينغ برمي كرة من شرفة شقتها. عندما تقوم برمي الكرة من على ارتفاع 80 قدمًا فوق سطح الأرض، تمثل الدالة\(h(t)=−16t^2+64t+80\) ارتفاع الكرة، h، فوق الأرض كدالة للوقت، t. ابحث عن: ⓐ أصفار هذه الدالة التي تخبرنا متى ستصطدم الكرة بالأرض. ⓑ الوقت (الأوقات) ستكون الكرة فوق سطح الأرض بمقدار 128 قدمًا. ⓒ سيكون ارتفاع الكرة\(t=4\) بالثواني.

بالنسبة للدالة\(f(x)=x^2−7x+5\)، ⓐ ابحث عن الوقت\(f(x)=−7\) ⓑ استخدم هذه المعلومات للعثور على نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

إجابة: ⓐ\(x=3\) أو\(x=4\) ⓑ\((3,−7)\)\((4,−7)\)

بالنسبة\(f(x)=25x^2−81\) للدالة، ابحث عن: ⓐ أصفار الدالة ⓑ الأجزاء المقطوعة x من الرسم البياني للدالة ⓒ التقاطع y للرسم البياني للدالة.

مسرد المصطلحات

درجة المعادلة كثيرة الحدود: درجة المعادلة كثيرة الحدود هي درجة كثيرة الحدود.

معادلة كثيرة الحدود: معادلة كثيرة الحدود هي معادلة تحتوي على تعبير متعدد الحدود.

معادلة تربيعية: تسمى المعادلات كثيرة الحدود من الدرجة الثانية المعادلات التربيعية.

صفر من الدالة: تُسمى قيمة xx، حيث تكون الدالة 0، بصفر الدالة.

خاصية المنتج الصفري: تقول خاصية Zero Product أنه إذا كان منتج الكميتين صفرًا، فإن واحدة على الأقل من الكميات هي صفر.