Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

6.3: العوامل الثلاثية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • عامل الحدود الثلاثية للنموذجx^2+bx+c
  • العوامل الثلاثية للنموذجax^2+bx+c باستخدام التجربة والخطأ
  • معاملات ثلاثية الحدود للنموذجax^2+bx+c باستخدام الطريقةac ''
  • عامل باستخدام الاستبدال

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

  1. ابحث عن جميع عوامل 72.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
  2. ابحث عن المنتج:(3y+4)(2y+5).
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
  3. قم بالتبسيط:−9(6);\space −9(−6).
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

العوامل: القيم الثلاثية للنموذجx^2+bx+c

لقد تعلمت بالفعل كيفية ضرب المعادلات ذات الحدين باستخدام FOIL. ستحتاج الآن إلى «التراجع» عن عملية الضرب هذه. إن أخذ العوامل الثلاثية في الاعتبار يعني البدء بالمنتج والانتهاء بالعوامل.

يوضح الشكل معادلة الأقواس المفتوحة x زائد 2 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة x زائد 3 أقواس قريبة تساوي x مربعة زائد 5 x زائد 6. يُطلق على الجانب الأيسر من المعادلة اسم العوامل بينما يُطلق على الجانب الأيمن اسم المنتج. يُطلق على السهم الذي يشير إلى اليمين اسم الضرب. يسمى السهم الذي يشير إلى اليسار بالعامل.

لمعرفة كيفية احتساب ثلاثة حدود للشكلx^2+bx+c، مثلx^2+5x+6 وضعه في الاعتبار(x+2)(x+3)، دعنا نبدأ بعمليتين عامتين من الحدين للنموذج(x+m) و(x+n).

  (x+m)(x+n)
قم بالرقائق للعثور على المنتج. x^{2}+m x+n x+m n
ضع في اعتبارك GCF من المصطلحات المتوسطة. x^{2}+(m+n) x+m n
الحد الثلاثي الخاص بنا هو الشكلx^2+bx+c. \overbrace{x^{2}+(m+n) x+m n}^{\color{red}x^{2}+b x+c}

ويخبرنا هذا أنه لتحليل ثلاثية الحدود للنموذجx^2+bx+c، نحتاج إلى عاملين(x+m)(x+n) حيث يتمn ضربm الرقمينc والإضافة إليهماb.

مثال\PageIndex{1}: How to Factor a Trinomial of the form x^2+bx+c

عامل:x^2+11x+24.

إجابة

الخطوة الأولى هي كتابة معاملات x squared زائد 11x زائد 24 كحدين بالحدين الأولين x. اكتب مجموعتين من الأقواس ثم ضع x كحد أول.الخطوة 2 هي إيجاد عددين m و n يضربان في c، m في n هو c ويضيفان إلى b، m زائد n هو b، لذا ابحث عن عددين يضربان في 24 ويضاعفان إلى 11. عوامل 24 هي 1 و 24 و 2 و 12 و 3 و 8 و 4 و 6. مجموع العوامل: 1 زائد 24 هو 25، 2 زائد 12 هو 14، 3 زائد 8 هو 11 و 4 زائد 6 هو 10.الخطوة 3 هي استخدام m و n، في هذه الحالة، 3 و 8، كمصطلحات أخيرة للحدين. لذلك نحصل على أقواس مفتوحة x بالإضافة إلى 3 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة x بالإضافة إلى 8 أقواس قريبةالخطوة 4 هي التحقق بضرب العوامل للحصول على متعدد الحدود الأصلي.

مثال\PageIndex{2}

عامل:q^2+10q+24.

إجابة

(q+4)(q+6)

مثال\PageIndex{3}

عامل:t^2+14t+24.

إجابة

(t+2)(t+12)

دعونا نلخص الخطوات التي استخدمناها للعثور على العوامل.

 
  1. اكتب العوامل في صورة ذات حدين باستخدام الحدود الأولى x. \quad \begin{array} {l} x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad) \end{array}
  2. ابحث عن رقمينmn وهذا
    • اضرب إلىc،m·n=c
    • أضف إلىb،m+n=b
  3. استخدمmn وكالمصطلحات الأخيرة للعوامل. \quad (x+m)(x+n)
  4. تحقق من ذلك بضرب العوامل.

في المثال الأول، كانت جميع المصطلحات في الثلاثية إيجابية. ماذا يحدث عندما تكون هناك مصطلحات سلبية؟ حسنًا، يعتمد ذلك على المصطلح السلبي. دعونا ننظر أولاً إلى القيم الثلاثية ذات المدى المتوسط السلبية فقط.

كيف تحصل على منتج إيجابي ومبلغ سلبي؟ نحن نستخدم رقمين سالبين.

مثال\PageIndex{4}

عامل:y^2−11y+28.

إجابة

مرة أخرى، مع المدى الأخير الإيجابي28، والأجل المتوسط السلبي−11y، نحتاج إلى عاملين سلبيين. ابحث عن رقمين يتم ضربهما28 والإضافة إليهما−11.
\begin{array} {ll} &y^2−11y+28 \\ \text{Write the factors as two binomials with first terms }y. &( y \quad )( y \quad ) \\ \text{Find two numbers that: multiply to }28\text{ and add to }−11.\end{array}

عوامل28 مجموع العوامل
\ (28\)» data-valign= «top>»−1,\space −28

−2,\space −14

−4,\space −7
−1+(−28)=−29

−2+(−14)=−16

−4+(−7)=−11^∗

\begin{array} {ll} \text{Use }−4,\space −7\text{ as the last terms of the binomials.} &(y−4)(y−7) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (y−4)(y−7) & \\ \hspace{25mm} y^2−7y−4y+28 & \\ \hspace{30mm} y^2−11y+28\checkmark & \end{array}

مثال\PageIndex{5}

عامل:u^2−9u+18.

إجابة

(u−3)(u−6)

مثال\PageIndex{6}

عامل:y^2−16y+63.

إجابة

(y−7)(y−9)

الآن، ماذا لو كان الحد الأخير في الثلاثية سالبًا؟ فكر في FOIL. المصطلح الأخير هو نتاج المصطلحات الأخيرة في الحدين. ينتج المنتج السالب عن ضرب رقمين بإشارات معاكسة. يجب أن تكون حريصًا جدًا على اختيار العوامل للتأكد من حصولك على العلامة الصحيحة للمدى المتوسط أيضًا.

كيف تحصل على منتج سلبي ومبلغ إيجابي؟ نحن نستخدم رقمًا موجبًا واحدًا ورقمًا سالبًا.

عند حساب القيم الثلاثية، يجب أن تكون المصطلحات مكتوبة بترتيب تنازلي - بالترتيب من أعلى درجة إلى أدنى درجة.

مثال\PageIndex{7}

عامل:2x+x^2−48.

إجابة

\begin{array} {ll} &2x+x^2−48 \\ \text{First we put the terms in decreasing degree order.} &x^2+2x−48 \\ \text{Factors will be two binomials with first terms }x. &(x\quad)(x\quad) \end{array}

عوامل −48-48 مجموع العوامل
−1,\space 48
−2,\space 24
−3,\space 16
−4,\space 12
−6,\space 8
−1+48=47
−2+24=22
−3+16=13
−4+12=8
−6+8=2^∗

\begin{array} {ll} \text{Use }−6,\space 8\text{ as the last terms of the binomials.} &(x−6)(x+8) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (x−6)(x+8) & \\ \hspace{25mm} x^2−6q+8q−48 & \\ \hspace{30mm} x^2+2x−48\checkmark & \end{array}

مثال\PageIndex{8}

عامل:9m+m^2+18.

إجابة

(m+3)(m+6)

مثال\PageIndex{9}

عامل:−7n+12+n^2.

إجابة

(n−3)(n−4)

ستحتاج أحيانًا إلى تحليل القيم الثلاثية للنموذجx^2+bxy+cy^2 باستخدام متغيرين، مثلx^2+12xy+36y^2. المصطلح الأولx^2، هو نتاج المصطلحات الأولى للعوامل ذات الحدين،x·x. يعني المصطلح الأخير أن المصطلحات الثانية من العوامل ذات الحدين يجب أن تحتوي كل منهاy.y^2 للحصول على المعاملاتbc، يمكنك استخدام نفس العملية الملخصة في How To Factor trymals الثلاثية.

مثال\PageIndex{10}

عامل:r^2−8rs−9s^2.

إجابة

نحن بحاجةr في الفصل الأول من كل معادلة ذات حدينs وفي الفصل الثاني. المصطلح الأخير من الثلاثي سلبي، لذلك يجب أن تحتوي العوامل على علامات معاكسة.
\begin{array} {ll} &r^2−8rs−9s^2 \\ \text{Note that the first terms are }r,\text{last terms contain }s. &(r\quad s)(r\quad s) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−9\text{ and add to }−8. \end{array}

عوامل−9 مجموع العوامل
\ (−9\)» data-valign= «top>»1,\space −9 −1+9=8
\ (−9\)» data-valign= «top>»−1,\space 9 1+(−9)=−8^∗
\ (−9\)» data-valign= «top>»3,\space −3 3+(−3)=0

\begin{array} {ll} \text{Use }1,\space -9\text{ as coefficients of the last terms.} &(r+s)(r−9s) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (r−9s)(r+s) & \\ \hspace{25mm} r^2+rs−9rs−9s^2 & \\ \hspace{30mm} r^2−8rs−9s^2\checkmark & \end{array}

مثال\PageIndex{11}

عامل:a^2−11ab+10b^2.

إجابة

(a−b)(a−10b)

مثال\PageIndex{12}

عامل:m^2−13mn+12n^2.

إجابة

(m−n)(m−12n)

بعض العبارات الثلاثية أساسية. الطريقة الوحيدة للتأكد من ثلاثية الحدود هي الأولية هي سرد جميع الاحتمالات وإظهار أن أيًا منها لا يعمل.

مثال\PageIndex{13}

عامل:u^2−9uv−12v^2.

إجابة

نحن بحاجةu في الفصل الأول من كل معادلة ذات حدينv وفي الفصل الثاني. المصطلح الأخير من الثلاثي سلبي، لذلك يجب أن تحتوي العوامل على علامات معاكسة.
\begin{array} {ll} &u^2−9uv−12v^2 \\ \text{Note that the first terms are }u,\text{ last terms contain }v. &(u\quad v)(u\quad v) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−12\text{ and add to }−9. & \end{array}

عوامل−12 مجموع العوامل
\ (−12\)» data-valign= «top>»1,−12
−1,12
2,−6
−2,6
3,−4
−3,4
1+(−12)=−11
−1+12=11
2+(−6)=−4
−2+6=4
3+(−4)=−1
−3+4=1

لاحظ أنه لا توجد أزواج عوامل تعطينا−9 كمجموع. الثلاثي هو الأول.

مثال\PageIndex{14}

عامل:x^2−7xy−10y^2.

إجابة

أولي

مثال\PageIndex{15}

عامل:p^2+15pq+20q^2.

إجابة

أولي

دعونا نلخص الطريقة التي طورناها للتو لحساب القيم الثلاثية للنموذجx^2+bx+c.

استراتيجية لتخصيم القيم الثلاثية للنموذجx^2+bx+c

عندما نأخذ في الاعتبار الثلاثي، ننظر إلى علامات مصطلحاته أولاً لتحديد علامات العوامل ذات الحدين.

  x^{2}+b x+c  
  (x+m)(x+n)  
عندما c تكون إيجابية، m n ولها نفس العلامة.
b إيجابي   b سلبي
m,n إيجابي   m,n سلبي
x^{2}+5 x+6   x^{2}-6 x+8
(x+2)(x+3)   (x-4)(x-2)
نفس العلامات   نفس العلامات
عندما c تكون سلبية، m n ولها علامة عكسية.
x^{2}+x-12   x^{2}-2 x-15
(x+4)(x-3)   (x-5)(x+3)
علامات معاكسة   علامات معاكسة

لاحظ أنه في حالةm وجود علاماتn معاكسة، فإن علامة العلامة ذات القيمة المطلقة الأكبر تتطابق مع علامةb.

العوامل الثلاثية للنموذج بحد أقصى 2 + مربع+c باستخدام التجربة والخطأ

تتمثل خطوتنا التالية في حساب المثلثات الثلاثية التي لا يكون معاملها الرئيسي هو 1، وهي ثلاثية الحدود للنموذجax^2+bx+c.

تذكر دائمًا التحقق من GCF أولاً! في بعض الأحيان، بعد حساب GCF، يصبح المعامل الرئيسي للثلاثية الحدود1 ويمكنك حسابه بالطرق التي استخدمناها حتى الآن. دعونا نفعل مثالاً لنرى كيف يعمل هذا.

مثال\PageIndex{16}

عامل بالكامل:4x^3+16x^2−20x.

إجابة

\begin{array} {lll} \text{Is there a greatest common factor?} &\qquad &4x^3+16x^2−20x \\ \quad \text{Yes, }GCF=4x.\text{ Factor it.} & &4x(x^2+4x−5) \\ & & \\ & & \\ \text{Binomial, trinomial, or more than three terms?} & & \\ \quad \text{It is a trinomial. So “undo FOIL.”} & &4x(x\quad)(x\quad) \\ & & \\ & & \\ \text{Use a table like the one shown to find two numbers that} & &4x(x−1)(x+5) \\ \text{multiply to }−5\text{ and add to }4. & & \\ & & \\ & & \end{array}

عوامل−5 مجموع العوامل
\ (−5\)» data-valign= «top>»−1,5
1,−5
−1+5=4^∗
1+(−5)=−4

\begin{array} {l} \text{Check:}\\ \hspace{27mm}4x(x−1)(x+5) \\ \hspace{25mm} 4x(x^2+5x−x−5) \\ \hspace{30mm} 4x(x^2+4x−5) \\ \hspace{25mm} 4x^3+16x2−20x\checkmark \end{array}

مثال\PageIndex{17}

عامل بالكامل:5x^3+15x^2−20x.

إجابة

5x(x−1)(x+4)

مثال\PageIndex{18}

عامل بالكامل:6y^3+18y^2−60y.

إجابة

6y(y−2)(y+5)

ماذا يحدث عندما لا يكون المعامل الرائد1 موجودًا ولا يوجد GCF؟ هناك العديد من الطرق التي يمكن استخدامها لتحليل هذه القيم الثلاثية. أولاً سنستخدم طريقة التجربة والخطأ.

دعونا نأخذ في الاعتبار الثلاثي3x^2+5x+2.

من عملنا السابق، نتوقع أن يتحول هذا إلى حدين.

3x^2+5x+2\nonumber(\quad)(\quad)\nonumber

نحن نعلم أن المصطلحات الأولى للعوامل ذات الحدين ستتضاعف لتعطينا3x^2. العوامل الوحيدة3x^2 هي1x,\space 3x. يمكننا وضعها في الحدود الثنائية.

كثير الحدود هو 3x مربع زائد 5x زائد 2. يوجد زوجان من الأقواس، حيث تكون المصطلحات الأولى فيهما x و 3x.

تحقق من: هل1x·3x=3x^2؟

نحن نعلم أن المصطلحات الأخيرة من الحدين ستتضاعف إلى2. نظرًا لأن هذه العبارة الثلاثية تحتوي على جميع المصطلحات الإيجابية، فإننا نحتاج فقط إلى النظر في العوامل الإيجابية. العوامل الوحيدة2 هي1 و2. ولكن لدينا الآن حالتان يجب مراعاتهما حيث ستحدث فرقًا إذا1 كتبنا22 أو1.

يوضِّح الشكل رقم ٣ × مربع زائد ٥ × زائد ٢ وزوجين محتملين من العوامل. واحد هو الأقواس المفتوحة x بالإضافة إلى 1 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة 3x بالإضافة إلى قوسين مغلقين. والآخر هو الأقواس المفتوحة x بالإضافة إلى 2 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة 3x بالإضافة إلى 1 أقواس قريبة.

ما هي العوامل الصحيحة؟ لنقرر ذلك، نضرب المصطلحات الداخلية والخارجية.

يوضِّح الشكل رقم ٣ × مربع زائد ٥ × زائد ٢ وزوجين محتملين من العوامل. واحد هو الأقواس المفتوحة x بالإضافة إلى 1 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة 3x بالإضافة إلى قوسين مغلقين. والآخر هو الأقواس المفتوحة x بالإضافة إلى 2 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة 3x بالإضافة إلى 1 أقواس قريبة. في كل حالة، تظهر الأسهم وهي تقرن المصطلح الأول للعامل الأول مع الفصل الأخير من العامل الثاني والحد الأول من العامل الثاني مع الحد الأخير من العامل الأول.

نظرًا لأن المدى المتوسط للثلاثية هو5x، فإن العوامل في الحالة الأولى ستنجح. دعونا نستخدم FOIL للتحقق.

(x+1)(3x+2)\nonumber3x^2+2x+3x+2\nonumber3x^2+5x+2\checkmark\nonumber

نتيجة التخصيم لدينا هي:

3x^2+5x+2\nonumber(x+1)(3x+2)\nonumber

مثال\PageIndex{19}: How to Factor a Trinomial Using Trial and Error

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:3y^2+22y+7.

إجابة

الخطوة 1 هي كتابة الثلاثية بترتيب تنازلي. تم ترتيب المربع الثلاثي 3 y زائد 22y زائد 7 بترتيب تنازلي بالفعل.الخطوة 2 هي حساب GCF. هنا، لا يوجد أحد.الخطوة 3 هي العثور على جميع أزواج عوامل الحد الأول. العوامل الوحيدة هنا هي 1y و 3y. نظرًا لوجود زوج واحد فقط، يمكننا وضع كل منهما كمصطلح أول بين قوسين.الخطوة 4 هي إيجاد جميع أزواج العوامل للمصطلح الثالث. هنا، الزوج الوحيد هو 1 و 7.الخطوة 5 هي اختبار جميع المجموعات الممكنة من العوامل حتى يتم العثور على المنتج الصحيح. بالنسبة للعوامل المحتملة، افتح الأقواس y زائد 1 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة 37 زائد 7 أقواس قريبة، المنتج هو 3 y مربع زائد 10 سنوات زائد 7. بالنسبة للعوامل المحتملة، افتح الأقواس y بالإضافة إلى 7 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة 3y بالإضافة إلى 1 أقواس قريبة، يكون المنتج هو 3 y squared بالإضافة إلى 22y زائد 7، وهو المنتج الصحيح. وبالتالي، فإن العوامل الصحيحة هي الأقواس المفتوحة y بالإضافة إلى 7 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة 3y بالإضافة إلى 1 أقواس قريبة.الخطوة 6 هي التحقق عن طريق الضرب.

مثال\PageIndex{20}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:2a^2+5a+3.

إجابة

(a+1)(2a+3)

مثال\PageIndex{21}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:4b^2+5b+1.

إجابة

(b+1)(4b+1)

عامل الحدود الثلاثية للنموذجax^2+bx+c USING TRIAL AND ERROR.
  1. اكتب الثلاثية بترتيب تنازلي للدرجات حسب الحاجة.
  2. عامل أي GCF.
  3. أوجد جميع أزواج عوامل الحد الأول.
  4. أوجد جميع أزواج عوامل الحد الثالث.
  5. اختبر جميع المجموعات الممكنة من العوامل حتى يتم العثور على المنتج الصحيح.
  6. تحقق عن طريق الضرب.

تذكر أنه عندما يكون الحد المتوسط سالبًا ويكون المصطلح الأخير إيجابيًا، يجب أن تكون العلامات في الحدين سالبة.

مثال\PageIndex{22}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:6b^2−13b+5.

إجابة
تم ترتيب الثلاثي بالفعل ترتيبًا تنازليًا. .
ابحث عن عوامل الفصل الدراسي الأول. .
ابحث عن عوامل الفصل الأخير. ضع في اعتبارك العلامات.
نظرًا لأن المصطلح الأخير إيجابي5، يجب أن تكون عوامله
إيجابية أو كلاهما سلبية. معامل المدى
المتوسط سلبي، لذلك نستخدم العوامل السلبية.
.

ضع في اعتبارك جميع مجموعات العوامل.

6b^2−13b+5
العوامل المحتملة المنتج
\ (6b^2−13b+5\) العوامل المحتملة» data-valign= top>(b−1)(6b−5) \ (6b^2−13b+5\) المنتج» data-valign= top>6b^2−11b+5
\ (6b^2−13b+5\) العوامل المحتملة» data-valign= top>(b−5)(6b−1) \ (6b^2−13b+5\) المنتج» data-valign= top>6b^2−31b+5
\ (6b^2−13b+5\) العوامل المحتملة» data-valign= top>(2b−1)(3b−5) \ (6b^2−13b+5\) المنتج» data-valign= = middle>6b^2−13b+5^∗
\ (6b^2−13b+5\) العوامل المحتملة» data-valign= top>(2b−5)(3b−1) \ (6b^2−13b+5\) المنتج» data-valign= = middle>6b^2−17b+5

\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} &(2b−1)(3b−5) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} (2b−1)(3b−5) & \\ \hspace{47mm} 6b^2−10b−3b+5 & \\ \hspace{50mm} 6b^2−13b+5\checkmark & \end{array}

مثال\PageIndex{23}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:8x^2−14x+3.

إجابة

(2x−3)(4x−1)

مثال\PageIndex{24}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:10y^2−37y+7.

إجابة

(2y−7)(5y−1)

عندما نضع تعبيرًا في الاعتبار، فإننا نبحث دائمًا عن العامل المشترك الأكبر أولاً. إذا لم يكن للتعبير عامل مشترك أكبر، فلا يمكن أن يكون هناك عامل واحد في عوامله أيضًا. قد يساعدنا هذا في التخلص من بعض تركيبات العوامل المحتملة.

مثال\PageIndex{25}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:18x^2−37xy+15y^2.

إجابة
تم ترتيب الثلاثي بالفعل ترتيبًا تنازليًا. .
ابحث عن عوامل الفصل الدراسي الأول. .
ابحث عن عوامل الفصل الأخير. ضع في اعتبارك العلامات.
نظرًا لأن 15 إيجابي ومعامل
المدى المتوسط سلبي، فإننا نستخدم العوامل السلبية.
.

فكر في جميع مجموعات العوامل.

يوضِّح هذا الجدول العوامل المحتملة والنواتج المناظرة للمربع الثلاثي 18 x ناقص 37xy زائد 15 y مربعًا. في بعض أزواج العوامل، عندما يحتوي أحد العوامل على مصطلحين مع عامل مشترك، يتم تمييز هذا العامل. في مثل هذه الحالات، لا يعد المنتج خيارًا لأنه إذا لم يكن للثلاثي أي عوامل مشتركة، فلا يمكن أن يحتوي أي عامل على عامل مشترك. العامل: الأقواس المفتوحة x ناقص 1y أقواس الإغلاق الأقواس المفتوحة 18x ناقص 15y أقواس الإغلاق، مظللة. العامل، الأقواس المفتوحة x ناقص 15y أقواس الإغلاق الأقواس المفتوحة 18x ناقص 1y أقواس الإغلاق؛ المنتج: 18 × مربع ناقص 271xy بالإضافة إلى 15 y مربعًا. عامل الأقواس المفتوحة x ناقص 3y أقواس الإغلاق الأقواس المفتوحة 18x ناقص 5 y أقواس الإغلاق؛ المنتج: 18 × مربع ناقص 59xy بالإضافة إلى 15 y مربعًا. العامل: الأقواس المفتوحة x ناقص 5y أقواس الإغلاق الأقواس المفتوحة 18x ناقص 3y تم تمييز أقواس الإغلاق. العامل: الأقواس المفتوحة 2x ناقص 1y أقواس الإغلاق الأقواس المفتوحة 9x ناقص 15y تم تمييز أقواس الإغلاق. العامل: الأقواس المفتوحة 2x ناقص 15y أقواس الإغلاق الأقواس المفتوحة 9x ناقص 1y أقواس الإغلاق؛ المنتج 18 × مربع ناقص 137 xy بالإضافة إلى 15 سنة مربعة. العامل: الأقواس المفتوحة 2x ناقص 3y أقواس الإغلاق الأقواس المفتوحة 9x ناقص 5y أقواس الإغلاق؛ المنتج: 18 × مربع ناقص 37xy زائد 15 y مربعًا، وهو الثلاثي الأصلي. العامل: الأقواس المفتوحة 2x ناقص 57 أقواس الإغلاق الأقواس المفتوحة 9x ناقص 3y تم تمييز أقواس الإغلاق. العامل: الأقواس المفتوحة 3x ناقص 1y أقواس الإغلاق الأقواس المفتوحة 6x ناقص 15y تم تمييز أقواس الإغلاق. العامل: الأقواس المفتوحة 3x ناقص 15y أقواس الإغلاق المميزة الأقواس المفتوحة 6x ناقص 1y أقواس الإغلاق. العامل: الأقواس المفتوحة 3x ناقص 3y أقواس الإغلاق المميزة الأقواس المفتوحة 6x ناقص 5y.

\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product is} & \\ \text{the original trinomial.} &(2x−3y)(9x−5y) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ & \\ & \\ & \\ \hspace{50mm} (2x−3y)(9x−5y) & \\ \hspace{45mm}18x^2−10xy−27xy+15y^2 & \\ \hspace{47mm}18x^2−37xy+15y^2\checkmark & \end{array}

مثال\PageIndex{26}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل18x^2−3xy−10y^2.

إجابة

(3x+2y)(6x−5y)

مثال\PageIndex{27}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:30x^2−53xy−21y^2.

إجابة

(3x+y)(10x−21y)

لا تنس البحث عن GCF أولاً وتذكر ما إذا كان المعامل الرئيسي سالبًا، وكذلك GCF.

مثال\PageIndex{28}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:−10y^4−55y^3−60y^2.

إجابة
  .
لاحظ العامل المشترك الأكبر، لذا ضعه في الاعتبار أولاً. .
عامل ثلاثي الحدود. .

ضع في اعتبارك جميع المجموعات.

يوضِّح هذا الجدول العوامل المحتملة ومنتج المربع الثلاثي الذي يساوي ٢ ص زائد ١١ سنة زائد ١٢. في بعض أزواج العوامل، عندما يحتوي أحد العوامل على مصطلحين مع عامل مشترك، يتم تمييز هذا العامل. في مثل هذه الحالات، لا يعد المنتج خيارًا لأنه إذا لم يكن للثلاثي أي عوامل مشتركة، فلا يمكن أن يحتوي أي عامل على عامل مشترك. العامل: تم تمييز y plus 1 و 2y plus 12. العامل: y plus 12، 2y plus 1؛ المنتج: 2 سنة مربعة زائد 25 سنة زائد 12. العامل: تم تمييز y plus 2 و 2y plus 6. العامل: تم تمييز y plus 6 و 2y plus 2. العامل: تم تمييز y plus 3 و 2y plus 4. العامل: y plus 4، 2y plus 3؛ المنتج: 2 ص مربع زائد 11 سنة زائد 12. هذه هي النسخة الثلاثية الأصلية.

\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial. Remember to include} & \\ \text{the factor }−5^y2. &−5y^2(y+4)(2y+3) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} −5y^2(y+4)(2y+3) & \\ \hspace{45mm} −5y^2(2y^2+8y+3y+12) & \\ \hspace{47mm}−10y^4−55y^3−60y^2\checkmark & \end{array}

مثال\PageIndex{29}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:15n^3−85n^2+100n.

إجابة

5n(n−4)(3n−5)

مثال\PageIndex{30}

عامل يستخدم التجربة والخطأ بالكامل:56q^3+320q^2−96q.

إجابة

8q(q+6)(7q−2)

معاملات ثلاثية الحدود للنموذجax^2+bx+c باستخدام الطريقة «ac»

هناك طريقة أخرى لحساب القيم الثلاثية للنموذجax^2+bx+c وهي طريقة «ac». (تسمى الطريقة «ac» أحيانًا طريقة التجميع.) تعد الطريقة «ac» في الواقع امتدادًا للطرق التي استخدمتها في القسم الأخير لحساب التثليث بالمعامل الرائد الأول. هذه الطريقة منظمة للغاية (خطوة بخطوة)، وهي تعمل دائمًا!

مثال\PageIndex{31}: How to Factor Trinomials using the “ac” Method

عامل باستخدام طريقة «ac»:6x^2+7x+2.

إجابة

الخطوة 1 هي حساب GCF. لا يوجد شيء في 6 × مربع زائد 7x plus 2.الخطوة 2 هي العثور على منتج a و c. منتج 6 و 2 هو 12.الخطوة 3 هي إيجاد عددين m و n بحيث يكون mn هو ac و m زائد n هو b، لذلك نحتاج إلى الأرقام التي تضرب إلى 12 وتضاف إلى 7. يجب أن يكون كلا العاملين إيجابيين. 3 مرات 4 هي 12 و 3 زائد 4 هي 7.الخطوة 4 هي تقسيم الحد الأوسط باستخدام m و n. لذلك نعيد كتابة 7 x كـ 3x بالإضافة إلى 4x. ستعطي نفس النتيجة إذا استخدمنا 4x plus 3x. عند إعادة الكتابة، نحصل على 6 × مربع زائد 3x بالإضافة إلى 4x زائد 2. لاحظ أن هذا هو نفس متعدد الحدود الأصلي. قمنا فقط بتقسيم المدى المتوسط للحصول على نموذج أكثر فائدةالخطوة 5 هي الأخذ في الاعتبار عن طريق التجميع. لذلك، نحصل على 3 × أقواس مفتوحة 2x بالإضافة إلى 1 أقواس مغلقة بالإضافة إلى قوسين مفتوحين 2x بالإضافة إلى 1 أقواس قريبة. هذا يساوي 2x زائد 1، 3x زائد 2.الخطوة 6 هي التحقق بضرب العوامل.

مثال\PageIndex{32}

عامل باستخدام طريقة «ac»:6x^2+13x+2.

إجابة

(x+2)(6x+1)

مثال\PageIndex{33}

عامل باستخدام طريقة «ac»:4y^2+8y+3.

إجابة

(2y+1)(2y+3)

يتم تلخيص الطريقة «ac» هنا.

عامل الحدود الثلاثية للنموذجax^2+bx+c USING THE “ac” METHOD.
  1. عامل أي GCF.
  2. ابحث عن المنتجac.
  3. ابحث عن رقمينmn وهذا:
    \begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac &m·n=a·c \\ \text{Add to }b &m+n=b \\ &ax^2+bx+c \end{array}
  4. قسّم المدى المتوسط باستخدامm وn. ax^2+mx+nx+c
  5. عامل حسب التجميع.
  6. تحقق من ذلك بضرب العوامل.

لا تنس البحث عن عامل مشترك!

مثال\PageIndex{34}

عامل باستخدام طريقة «ac»:10y^2−55y+70.

إجابة
هل هناك عامل مشترك أكبر؟    
نعم. GCF هو5.   .
ضع في اعتبارك ذلك.   .
يحتوي الثلاثي الموجود داخل الأقواس على معامل
رئيسي ليس كذلك1.
  .
ابحث عن المنتجac. ac=28  
ابحث عن رقمين يتم ضربهما فيac (−4)(−7)=28  
وأضف إلىb. −4(−7)=−11  
قسّم المدى المتوسط.   .
    .
ضع في الاعتبار الثلاثي عن طريق التجميع.   .
    .

تحقق من ذلك بضرب جميع العوامل الثلاثة.

\hspace{50mm} 5(y−2)(2y−7)

\hspace{45mm} 5(2y^2−7y−4y+14)

\hspace{48mm} 5(2y^2−11y+14)

\hspace{49mm} 10y^2−55y+70\checkmark

   
مثال\PageIndex{35}

عامل باستخدام طريقة «ac»:16x^2−32x+12.

إجابة

4(2x−3)(2x−1)

مثال\PageIndex{36}

عامل باستخدام طريقة «ac»:18w^2−39w+18.

إجابة

3(3w−2)(2w−3)

عامل باستخدام الاستبدال

في بعض الأحيان لا يبدو أن ثلاثية الحدود فيax^2+bx+c الشكل. ومع ذلك، يمكننا في كثير من الأحيان إجراء استبدال مدروس يسمح لنا بجعله مناسبًاax^2+bx+c للنموذج. وهذا ما يسمى التخصيم عن طريق الاستبدال. إنه معيارu للاستخدام في الاستبدال.

فيax^2+bx+c، يحتوي الحد الأوسط على متغيرx، ومربعهx^2 هو الجزء المتغير من الحد الأول. ابحث عن هذه العلاقة أثناء محاولتك العثور على بديل.

مثال\PageIndex{37}

عامل عن طريق الاستبدال:x^4−4x^2−5.

إجابة

الجزء المتغير من الحد الأوسط هوx^2 ومربعه،x^4، هو الجزء المتغير من المصطلح الأول. (نحن نعلم(x^2)^2=x^4). إذا سمحنا بذلكu=x^2، يمكننا وضع المعادلة الثلاثيةax^2+bx+c بالشكل الذي نحتاجه لأخذها في الاعتبار.

  x^4−4x^2−5
أعد كتابة الثلاثية للتحضير للاستبدال. (x^2)^2−4(x^2)-5
دعu=x^2 واستبدل. (u)^2−4(u)-5
عامل ثلاثي الحدود. (u+1)(u-5)
استبدلu بـx^2. (x^2+1)(x^2-5)
تحقق من:

\begin{array} {l} \hspace{37mm} (x^2+1)(x^2−5) \\ \hspace{35mm}x^4−5x^2+x^2−5 \\ \hspace{40mm}x^4−4x^2−5\checkmark\end{array}
 
مثال\PageIndex{38}

عامل عن طريق الاستبدال:h^4+4h^2−12.

إجابة

(h^2−2)(h^2+6)

مثال\PageIndex{39}

عامل عن طريق الاستبدال:y^4−y^2−20.

إجابة

(y^2+4)(y^2−5)

في بعض الأحيان لا يكون التعبير الذي سيتم استبداله أحادي الحد.

مثال\PageIndex{40}

عامل عن طريق الاستبدال:(x−2)^2+7(x−2)+12

إجابة

يتم تربيع المعادلة ذات الحدين في المدى المتوسط في الفصل الدراسي الأول.(x−2) إذا سمحناu=x−2 واستبدلنا، ستكون معادلتنا الثلاثية فيax^2+bx+c الشكل.

  .
أعد كتابة الثلاثية للتحضير للاستبدال. .
دعu=x−2 واستبدل. .
عامل ثلاثي الحدود. .
استبدلu بـx−2. .
قم بالتبسيط داخل الأقواس. .

يمكن أيضًا أخذ ذلك في الاعتبار عن طريق ضرب المصطلحات المتشابهة(x−2)^2 أولاً7(x−2) ثم الجمع بين المصطلحات المتشابهة ثم العوملة. يفضل معظم الطلاب طريقة الاستبدال.

مثال\PageIndex{41}

عامل عن طريق الاستبدال:(x−5)^2+6(x−5)+8.

إجابة

(x−3)(x−1)

مثال\PageIndex{42}

عامل عن طريق الاستبدال:(y−4)^2+8(y−4)+15.

إجابة

(y−1)(y+1)

شاهد هذا الفيديو للحصول على تعليمات إضافية وممارسة مع التخصيم.

المفاهيم الرئيسية

  • كيفية حساب القيم الثلاثية للنموذجx^2+bx+c.
    1. اكتب العوامل في صورة ذات حدين باستخدام الحدود الأولى x. \quad \begin{array} (l) x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad)\end{array}
    2. ابحث عن رقمينmn وهذا
      \begin{array} {ll} \text{multiply to} &c,\space m·n=c \\ \text{add to} &b,\space m+n=b\end{array}
    3. استخدمmn وكالمصطلحات الأخيرة للعوامل. \qquad (x+m)(x+n)
    4. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
  • إستراتيجية احتساب القيم الثلاثية للنموذجx^2+bx+c: عندما نضع المعادلة الثلاثية في الاعتبار، ننظر إلى علامات شروطها أولاً لتحديد علامات العوامل ذات الحدين.

    بالنسبة للأشكال الثلاثية للنموذج:x^2+bx+c = (x+m)(x+n)

    عندماc تكون إيجابية،mn ويجب أن تحمل نفس العلامة (وستكون هذه علامةb ).

    أمثلة:x^2+5x+6=(x+2)(x+3)،x^2−6x+8 = (x−4)(x−2)

    عندماc تكون سلبية،mn ولها علامات معاكسة. الأكبر منm nوسيحمل علامةb.

    أمثلة:x^2+x−12=(x+4)(x−3)x^2−2x−15=(x−5)(x+3)

    لاحظ أنه في حالةm وجود علاماتn معاكسة، فإن علامة العلامة ذات القيمة المطلقة الأكبر تتطابق مع علامةb.
  • كيفية حساب القيم الثلاثية للنموذجax^2+bx+c باستخدام التجربة والخطأ.
    1. اكتب الثلاثية بترتيب تنازلي للدرجات حسب الحاجة.
    2. عامل أي GCF.
    3. أوجد جميع أزواج عوامل الحد الأول.
    4. أوجد جميع أزواج عوامل الحد الثالث.
    5. اختبر جميع المجموعات الممكنة من العوامل حتى يتم العثور على المنتج الصحيح.
    6. تحقق عن طريق الضرب.
  • كيفية حساب القيم الثلاثية للنموذجax^2+bx+c باستخدام الطريقة «ac».
    1. عامل أي GCF.
    2. ابحث عن المنتجac.
    3. ابحث عن رقمينmn وهذا:
      \begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac. &m·n=a·c \\ \text{Add to }b. &m+n=b \\ &ax^2+bx+c\end{array}
    4. قسّم المدى المتوسط باستخدامm وn. \quad ax^2+mx+nx+c
    5. عامل حسب التجميع.
    6. تحقق من ذلك بضرب العوامل.