5.5E: تمارين

Last updated
Save as PDF

Page ID: 201511

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

الممارسة تجعل من الكمال

تقسيم المونومينالز

في التمارين التالية، قسّم الموحدتين.

1. $15r^4s^9÷(15r^4s^9)$

2. $20m^8n^4÷(30m^5n^9)$

إجابة: $\dfrac{2m^3}{3n^5}$

3. $\dfrac{18a^4b^8}{−27a^9b^5}$

4. $\dfrac{45x^5y^9}{−60x^8y^6}$

إجابة: $\dfrac{−3y^3}{4x^3}$

5. $\dfrac{(10m^5n^4)(5m^3n^6)}{25m^7n^5}$

6. $\dfrac{(−18p^4q^7)(−6p^3q^8)}{−36p^{12}q^{10}}$

إجابة: $\dfrac{−3q^5}{p^5}$

7. $\dfrac{(6a^4b^3)(4ab^5)}{(12a^2b)(a^3b)}$

8. $\dfrac{(4u^2v^5)(15u^3v)}{(12u^3v)(u^4v)}$

إجابة: $\dfrac{5v^4}{u^2}$

قسمة كثير الحدود على رقم أحادي الحد

في التمارين التالية، قسّم كل كثير الحدود على الحد الأحادي.

9. $(9n^4+6n^3)÷3n$

10. $(8x^3+6x^2)÷2x$

إجابة: $4x^2+3x$

11. $(63m^4−42m^3)÷(−7m^2)$

12. $(48y^4−24y^3)÷(−8y^2)$

إجابة: $−6y^2+3y$

13. $\dfrac{66x^3y^2−110x^2y^3−44x^4y^3}{11x^2y^2}$

14. $\dfrac{72r^5s^2+132r^4s^3−96r^3s^5}{12r^2s^2}$

إجابة: $6r^3+11r^2s−8rs^3$

15. $10x^2+5x−4−5x$

16. $20y^2+12y−1−4y$

إجابة: $−5y−3+\dfrac{1}{4y}$

قسمة كثيرات الحدود باستخدام القسمة المطولة

في التمارين التالية، قسّم كل كثير الحدود على المعادلة ذات الحدين.

17. $(y^2+7y+12)÷(y+3)$

18. $(a^2−2a−35)÷(a+5)$

إجابة: $a−7$

19. $(6m^2−19m−20)÷(m−4)$

20. $(4x^2−17x−15)÷(x−5)$

إجابة: $4x+3$

21. $(q^2+2q+20)÷(q+6)$

22. $(p^2+11p+16)÷(p+8)$

إجابة: $p+3−\dfrac{8}{p+8}$

23. $(3b^3+b^2+4)÷(b+1)$

24. $(2n^3−10n+28)÷(n+3)$

إجابة: $\dfrac{2n^2−6n+8+4}{n+3}$

25. $(z^3+1)÷(z+1)$

26. $(m^3+1000)÷(m+10)$

إجابة: $m^2−10m+100$

27. $(64x^3−27)÷(4x−3)$

28. $(125y^3−64)÷(5y−4)$

إجابة: $25y^2+20x+16$

قسمة كثيرات الحدود باستخدام القسمة التركيبية

في التمارين التالية، استخدم القسمة التركيبية لإيجاد حاصل القسمة والباقي.

29. $x^3−6x^2+5x+14$مقسّمة على$x+1$

30. $x^3−3x^2−4x+12$مقسّمة على$x+2$

إجابة: $x^2−5x+6; \space 0$

31. $2x^3−11x^2+11x+12$مقسّمة على$x−3$

32. $2x^3−11x^2+16x−12$مقسّمة على$x−4$

إجابة: $2x^2−3x+4; \space 4$

33. $x^4-5x^2+2+13x+3$مقسّمة على$x+3$

34. $x^4+x^2+6x−10$مقسّمة على$x+2$

إجابة: $x^3−2x^2+5x−4; \space −2$

35. $2x^4−9x^3+5x^2−3x−6$مقسّمة على$x−4$

36. $3x^4−11x^3+2x^2+10x+6$مقسّمة على$x−3$

إجابة: $3x^3−2x^2−4x−2;\space 0$

قسمة الدوال الكثيرة الحدود

في التمارين التالية، قسّم.

37. للوظائف$f(x)=x^2−13x+36$ وابحث$g(x)=x−4$ عن ⓐ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ ⓑ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(−1)$

38. للوظائف$f(x)=x^2−15x+54$ وابحث$g(x)=x−9$ عن ⓐ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ ⓑ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(−5)$

إجابة: ⓐ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−6$
ⓑ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(−5)=−11$

39. للوظائف$f(x)=x^3+x^2−7x+2$ وابحث$g(x)=x−2$ عن ⓐ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ ⓑ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(2)$

40. للوظائف$f(x)=x^3+2x^2−19x+12$ وابحث$g(x)=x−3$ عن ⓐ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ ⓑ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(0)$

إجابة: ⓐ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x^2+5x−4$
ⓑ$\left(\dfrac{f}{g}\right)(0)=−4$

41. للوظائف$f(x)=x^2−5x+2$ وابحث$g(x)=x^2−3x−1$ عن ⓐ$(f·g)(x)$ ⓑ$(f·g)(−1)$

42. للوظائف$f(x)=x^2+4x−3$ وابحث$g(x)=x^2+2x+4$ عن ⓐ$(f·g)(x)$ ⓑ$(f·g)(1)$

إجابة: ⓐ$(f·g)(x)=x^4+6x^3+9x^2+10x−12$؛ ⓑ$(f·g)(1)=14$

استخدم نظرية الباقي والعامل

في التمارين التالية، استخدم نظرية الباقي لإيجاد الباقي.

43. $f(x)=x^3−8x+7$مقسّمة على$x+3$

44. $f(x)=x^3−4x−9$مقسّمة على$x+2$

إجابة: $−9$

45. $f(x)=2x^3−6x−24$مقسومًا على$x−3$

46. $f(x)=7x^2−5x−8$مقسومًا على$x−1$

إجابة: $−6$

في التمارين التالية، استخدم نظرية العوامل لتحديد ما إذا كانت x−cx−c عاملًا للدالة كثيرة الحدود.

47. حدد ما إذا كان$x+3$ عامل$x^3+8x^2+21x+18$

48. حدد ما إذا كان$x+4$ عامل$x^3+x^2−14x+8$

إجابة: كلا

49. حدد ما إذا كان$x−2$ عامل$x^3−7x^2+7x−6$

50. حدد ما إذا كان$x−3$ عامل$x^3−7x^2+11x+3$

إجابة: نعم

تمارين الكتابة

51. ينقسم جيمس$48y+6$$6$ بهذه الطريقة:$\dfrac{48y+6}{6}=48y$. ما هو الخطأ في منطقه؟

52. قسّم$\dfrac{10x^2+x−12}{2x}$ واشرح بالكلمات كيف تحصل على كل مصطلح من حاصل القسمة.

إجابة: ستختلف الإجابة

53. اشرح متى يمكنك استخدام التقسيم التركيبي.

54. بكلماتك الخاصة، اكتب خطوات القسمة التركيبية$x^2+5x+6$ للقسمة على$x−2$.

إجابة: سوف تتنوع الإجابات.

فحص ذاتي

أ- بعد الانتهاء من التمارين، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم مدى إتقانك لأهداف هذا القسم

$يوضِّح الشكل جدولاً يحتوي على سبعة صفوف وأربعة أعمدة. الصف الأول عبارة عن صف العنوان ويقوم بتسمية كل عمود. عنوان العمود الأول هو «يمكنني...»، والثاني هو «بثقة»، والثالث هو «مع بعض المساعدة»، «لا ناقص لا أفهم ذلك!». تحت العمود الأول توجد عبارات «قسمة وحيدات الحد»، و «قسمة كثير الحدود باستخدام معادلة أحادية الحد»، و «قسمة كثيرات الحدود باستخدام القسمة المطولة»، و «قسمة كثيرات الحدود باستخدام القسمة التركيبية»، و «قسمة دوال كثيرة الحدود»، و «استخدام نظرية الباقي والعامل». تحت الأعمدة الثانية والثالثة والرابعة توجد مساحات فارغة حيث يمكن للمتعلم التحقق من مستوى الإتقان الذي حققه.$

ب- على مقياس من 1 إلى 10، كيف تقيم إتقانك لهذا القسم في ضوء إجاباتك على قائمة التحقق؟ كيف يمكنك تحسين هذا؟