Skip to main content
Global

4.8E: تمارين

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    201496

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    الممارسة تجعل من الكمال

    حدِّد ما إذا كان الزوج المُرتَّب حلاً لنظام المتباينات الخطية

    في التمارين التالية، حدد ما إذا كان كل زوج تم طلبه يمثل حلاً للنظام.

    1. \(\left\{\begin{array} {l} 3x+y>5\\2x−y\leq 10\end{array}\right.\)

    ⓐ\((3,−3)\)
    ⓑ\((7,1)\)

    2. \(\left\{\begin{array} {l} 4x−y<10\\−2x+2y>−8\end{array}\right.\)

    ⓐ\((5,−2)\)
    ⓑ\((−1,3)\)

    إجابة

    ⓐ خطأ ⓑ صحيح

    3. \(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{2}{3}x−5\\x+\frac{1}{2}y\leq 4\end{array}\right.\)

    ⓐ\((6, −4)\)
    ⓑ\((3, 0)\)

    4. \(\left\{\begin{array} {l} y<\frac{3}{2}x+3\\ \frac{3}{4}x−2y<5\end{array}\right.\)

    ⓐ\((−4,−1)\)
    ⓑ\((8, 3)\)

    إجابة

    ⓐ خطأ ⓑ صحيح

    5. \(\left\{\begin{array} {l} 7x+2y>14\\5x−y\leq 8\end{array}\right.\)

    ⓐ\((2, 3)\)
    ⓑ\((7, −1)\)

    6. \(\left\{\begin{array} {l} 6x−5y<20\\−2x+7y>−8 \end{array}\right.\)

    ⓐ\((1, −3)\)
    ⓑ\((−4, 4)\)

    إجابة

    ⓐ خطأ ⓑ صحيح

    حل نظام المتباينات الخطية عن طريق التمثيل البياني

    في التمارين التالية، قم بحل كل نظام بالرسم البياني.

    7. \(\left\{\begin{array} {l} y\leq 3x+2\\y>x−1\end{array}\right.\)

    8. \(\left\{\begin{array} {l} y<−2x+2\\y\geq −x−1\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضح الشكل الرسم البياني للمتباينات y أقل من ناقص مرتين x زائد اثنين و y أكبر من أو يساوي ناقص x ناقص واحد. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأحمر والآخر باللون الأزرق. تظهر المنطقة التي يحدها الخطان باللون الرمادي.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    9. \(\left\{\begin{array} {l} y<2x−1\\y\leq −\frac{1}{2}x+4\end{array}\right.\)

    10. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq −\frac{2}{3}x+2\\y>2x−3\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل الرسم البياني للمتباينات y الأكبر من أو يساوي ناقص اثنين في ثلاثة x زائد اثنين وy الأكبر من مرتين x ناقص ثلاثة. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأحمر والآخر باللون الأزرق. تظهر المنطقة المحيطة بهم باللون الرمادي.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    11. \(\left\{\begin{array} {l} x−y>1\\y<−\frac{1}{4}x+3\end{array}\right.\)

    12. \(\left\{\begin{array} {l} x+2y<4\\y<x−2\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل الرسم البياني للمتباينات x ناقص مرتين y أقل من أربعة وy أقل من x ناقص اثنين. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة التي تحدها الخطوط باللون الرمادي.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    13. \(\left\{\begin{array} {l} 3x−y\geq 6\\y\geq −\frac{1}{2}x\end{array}\right.\)

    14. \(\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 8\\y\leq \frac{3}{4}x\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات في x زائد أربع مرات y أكبر من أو يساوي ثمانية وy أقل من أو يساوي ناقص ثلاثة أرباع x، ويظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة التي تحدها الخطوط باللون الرمادي. هذا هو الحل.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    15. \(\left\{\begin{array} {l} 2x−5y<10\\3x+4y\geq 12\end{array}\right.\)

    16. \(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\leq 6\\−4x−2y>8\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات ثلاث مرات x ناقص مرتين y أقل من أو يساوي ستة وناقص أربع مرات x ناقص مرتين y أكبر من ثمانية. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة التي تحدها الخطوط باللون الرمادي. هذا هو الحل.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    17. \(\left\{\begin{array} {l} 2x+2y>−4\\−x+3y\geq 9\end{array}\right.\)

    18. \(\left\{\begin{array} {l} 2x+y>−6\\−x+2y\geq −4\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات في x زائد y أكبر من ناقص ستة وناقص x زائد مرتين y أكبر من أو يساوي ناقص أربعة. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة التي تحدها الخطوط باللون الرمادي. هذا هو الحل.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    19. \(\left\{\begin{array} {l} x−2y<3\\y\leq 1\end{array}\right.\)

    20. \(\left\{\begin{array} {l} x−3y>4\\y\leq −1\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات x ناقص ثلاث مرات y أكبر من أربعة وy أقل من أو يساوي ناقص واحد. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة التي تحدها الخطوط باللون الرمادي. هذا هو الحل.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    21. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq −\frac{1}{2}x−3\\x\leq 2\end{array}\right.\)

    22. \(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{2}{3}x+5\\x\geq 3\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل الرسم البياني للتفاوت y أقل من أو يساوي ناقص اثنين بمقدار ثلاث مرات x زائد خمسة وx أكبر من أو يساوي ثلاثة. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة التي تحدها الخطوط باللون الرمادي. هذا هو الحل.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    23. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq \frac{3}{4}x−2\\y<2\end{array}\right.\)

    24. \(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{2}x+3\\y<1\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل الرسم البياني للمتباينات y أقل من أو يساوي ناقص نصف x زائد ثلاثة وy أقل من واحد. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة التي تحدها الخطوط باللون الرمادي. هذا هو الحل.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    25. \(\left\{\begin{array} {l} 3x−4y<8\\x<1\end{array}\right.\)

    26. \(\left\{\begin{array} {l} −3x+5y>10\\x>−1\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات ناقص ثلاث مرات x زائد خمس مرات y أكبر من عشرة وx أكبر من ناقص واحد. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة التي تحدها الخطوط باللون الرمادي. هذا هو الحل.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    27. \(\left\{\begin{array} {l} x\geq 3\\y\leq 2\end{array}\right.\)

    28. \(\left\{\begin{array} {l} x\leq −1\\y\geq 3\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضح الشكل الرسم البياني للمتباينات x أقل من أو يساوي ناقص واحد و y أكبر من أو يساوي ثلاثة. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة التي تحدها الخطوط باللون الرمادي. هذا هو الحل.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    29. \(\left\{\begin{array} {l} 2x+4y>4 \\ y\leq −\frac{1}{2}x−2\end{array}\right.\)

    30. \(\left\{\begin{array} {l} x−3y\geq 6\\y>\frac{1}{3}x+1\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للتفاوتات x ناقص ثلاث مرات y أكبر من أو يساوي ستة وy أكبر من ثلث x زائد واحد. يظهر خطان غير متقاطعين، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر.

    لا يوجد حل.

    31. \(\left\{\begin{array} {l} −2x+6y<0\\6y>2x+4\end{array}\right.\)

    32. \(\left\{\begin{array} {l} −3x+6y>12\\4y\leq 2x−4\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات ناقص ثلاث مرات x زائد ست مرات y أكبر من اثني عشر وأربع مرات y أقل من أو يساوي مرتين x ناقص أربعة. يظهر خطان غير متقاطعين، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر.

    لا يوجد حل.

    33. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq −3x+2\\3x+y>5\end{array}\right.\)

    34. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq \frac{1}{2}x−1\\−2x+4y\geq 4\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل الرسم البياني لأوجه عدم المساواة y التي تزيد عن أو تساوي ناقص نصف x ناقص واحد وناقص مرتين x زائد أربع مرات y أكبر من أو يساوي أربعة. يظهر خطان غير متقاطعين، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر منطقة الحل باللون الرمادي.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    35. \(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{4}x−2\\x+4y<6\end{array}\right.\)

    36. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x−1\\−3x+y>−4\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل الرسم البياني للمتباينات y الأكبر من أو يساوي ثلاث مرات x ناقص واحد وناقص ثلاث مرات x زائد y أكبر من ناقص أربعة. يظهر خطان غير متقاطعين، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر منطقة الحل باللون الرمادي.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    37. \(\left\{\begin{array} {l} 3y>x+2\\−2x+6y>8\end{array}\right.\)

    38. \(\left\{\begin{array} {l} y<\frac{3}{4}x−2\\−3x+4y<7\end{array}\right.\)

    إجابة

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات y أقل من ثلاثة في الرابعة x ناقص اثنين وناقص ثلاثة x زائد أربعة y أقل من سبعة. يظهر خطان غير متقاطعين، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر منطقة الحل باللون الرمادي.

    الحل هو المنطقة الرمادية.

    حل تطبيقات أنظمة عدم المساواة

    في التمارين التالية، قم بالترجمة إلى نظام عدم المساواة وحلها.

    39. تبيع Caitlyn رسوماتها في معرض المقاطعة. إنها تريد بيع 60 رسمة على الأقل ولديها صور ومناظر طبيعية. تبيع الصور مقابل 15 دولارًا والمناظر الطبيعية مقابل 10 دولارات. تحتاج إلى بيع رسومات بقيمة 800 دولار على الأقل من أجل تحقيق ربح.

    ⓐ اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
    ⓑ رسم بياني للنظام.
    ⓒ هل ستحقق ربحًا إذا باعت 20 صورة شخصية و 35 منظرًا طبيعيًا؟
    ⓓ هل ستحقق ربحًا إذا باعت 50 صورة و 20 منظرًا طبيعيًا؟

    40. لا يريد جيك إنفاق أكثر من 50 دولارًا على أكياس الأسمدة والطحالب لحديقته. تبلغ تكلفة السماد دولارين للكيس ويكلف طحلب الخث 5 دولارات للكيس. يمكن لشاحنة جيك حمل 20 حقيبة على الأكثر.

    ⓐ اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
    ⓑ رسم بياني للنظام.
    ⓒ هل يمكنه شراء 15 كيسًا من الأسمدة و 4 أكياس من الطحالب؟
    ⓓ هل يمكنه شراء 10 أكياس من الأسمدة و 10 أكياس من الطحالب؟

    إجابة

    ⓐ\(\left\{\begin{array} {l} f\geq 0 \\ p\geq 0 \\ f+p\leq 202 \\ f+5p\leq 50\end{array}\right.\)
    ⓑ

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني لأوجه عدم المساواة f زائد p أقل من أو يساوي عشرين واثنين f وخمسة p أقل من أو يساوي خمسين. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة باللون الرمادي.

    ⓒ نعم
    ⓓ لا

    41. تحتاج Reiko إلى إرسال بطاقات وطرود عيد الميلاد الخاصة بها بالبريد وتريد إبقاء تكاليف بريدها لا تزيد عن 500 دولار. يزيد عدد البطاقات بمقدار 4 بطاقات على الأقل عن ضعف عدد الحزم. تبلغ تكلفة إرسال البطاقة بالبريد (مع الصور المرفقة) 3 دولارات، أما تكلفة الحزمة فهي 7 دولارات.

    ⓐ اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
    ⓑ رسم بياني للنظام.
    ⓒ هل يمكنها إرسال 60 بطاقة و 26 حزمة بالبريد؟
    ⓓ هل يمكنها إرسال 90 بطاقة و 40 حزمة بالبريد؟

    42. يدرس خوان لامتحاناته النهائية في الكيمياء والجبر. إنه يعلم أن لديه 24 ساعة فقط للدراسة، وسيستغرق دراسة الجبر ثلاث مرات على الأقل مقارنة بالكيمياء.

    ⓐ اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
    ⓑ رسم بياني للنظام.
    ⓒ هل يمكنه قضاء 4 ساعات في الكيمياء و 20 ساعة في الجبر؟
    ⓓ هل يمكنه قضاء 6 ساعات في الكيمياء و 18 ساعة في الجبر؟

    إجابة

    ⓐ\(\left\{\begin{array} {l} c\geq 0\\a\geq 0\\c+a\leq 24\\a\geq 3c\end{array}\right.\)
    ⓑ

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات c زائد أقل من أو يساوي أربعة وعشرين وأكبر من أو يساوي ثلاثة في c. ويظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة باللون الرمادي.

    ⓒ نعم
    ⓓ لا

    43. جوسلين حامل ولذلك تحتاج إلى تناول 500 سعرة حرارية على الأقل يوميًا أكثر من المعتاد. عند شراء البقالة يومًا ما بميزانية قدرها 15 دولارًا للطعام الإضافي، تشتري الموز الذي يحتوي كل منهما على 90 سعرًا حراريًا وألواح الجرانولا بالشوكولاتة التي تحتوي كل منها على 150 سعرًا حراريًا. تبلغ تكلفة الموز 0.35 دولارًا لكل منها وقضبان الجرانولا 2.50 دولارًا لكل منها.

    ⓐ اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
    ⓑ رسم بياني للنظام.
    ⓒ هل يمكنها شراء 5 حبات موز و 6 ألواح جرانولا؟
    ⓓ هل يمكنها شراء 3 حبات موز و 4 ألواح جرانولا؟

    44. يحاول مارك بناء كتلة عضلية ولذلك يحتاج إلى تناول 80 جرامًا إضافيًا على الأقل من البروتين يوميًا. تبلغ تكلفة زجاجة الماء البروتيني 3.20 دولارًا بينما تبلغ تكلفة شريط البروتين 1.75 دولارًا. يوفر الماء البروتيني 27 جرامًا من البروتين ويوفر البار 16 جرامًا. إذا كان لديه 10 دولارات لإنفاقها

    ⓐ اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
    ⓑ رسم بياني للنظام.
    ⓒ هل يمكنه شراء 3 زجاجات من الماء البروتيني وشريط بروتين واحد؟
    ⓓ هل يمكنه عدم شراء زجاجات من الماء البروتيني و 5 ألواح بروتين؟

    إجابة

    ⓐ\(\left\{\begin{array} {l} w\geq 0\\b\geq 0\\27w+16b>80\\3.20w+1.75b\leq 10\end{array}\right.\)
    ⓑ

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات سبعة وعشرين في w زائد ستة عشر في b أكبر من ثمانين وثلاث نقاط مرتين في w زائد نقطة واحدة سبعة ب أقل من أو يساوي عشرة. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة باللون الرمادي.

    ⓒ لا
    ⓓ نعم

    45. ترغب جوسلين في زيادة استهلاكها للبروتين والسعرات الحرارية. إنها ترغب في الحصول على 35 جرامًا إضافيًا على الأقل من البروتين يوميًا وليس أكثر من 200 سعرة حرارية إضافية يوميًا. تحتوي أوقية من جبن الشيدر على 7 غرامات من البروتين و 110 سعرة حرارية. تحتوي أونصة من جبن البارميزان على 11 جرامًا من البروتين و 22 سعرًا حراريًا.

    ⓐ اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
    ⓑ رسم بياني للنظام.
    ⓒ هل يمكنها تناول 1 أونصة من جبن الشيدر و 3 أونصات من جبن البارميزان؟
    ⓓ هل يمكنها تناول 2 أوقية من جبن الشيدر و 1 أونصة من جبن البارميزان؟

    46. يقوم مارك بزيادة روتين التمرين عن طريق الجري والمشي على الأقل 4 أميال كل يوم. هدفه هو حرق 1500 سعرة حرارية على الأقل من هذا التمرين. المشي يحرق 270 سعرة حرارية/ميل والجري يحرق 650 سعرة حرارية.

    ⓐ اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
    ⓑ رسم بياني للنظام.
    ⓒ هل يمكنه تحقيق هدفه من خلال المشي 3 أميال والجري لمسافة ميل واحد؟
    ⓓ هل يمكن أن يكون هدفه من خلال المشي لمسافة ميلين والجري لمسافة ميلين؟

    إجابة

    ⓐ\(\left\{\begin{array} {l} w\geq 0\\r\geq 0\\w+r\geq 4\\270w+650r\geq 1500\end{array}\right.\)
    ⓑ

    يوضِّح الشكل التمثيل البياني للمتباينات w زائد r الأكبر من أو يساوي أربعة واثنين وسبعين واط زائد ستة وخمسين أو أكبر من أو يساوي خمسمائة. يظهر خطان متقاطعان، أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون الأحمر. تظهر المنطقة باللون الرمادي.

    ⓒ لا
    ⓓ نعم

    تمارين الكتابة

    47. رسم بياني لعدم المساواة\(x−y\geq 3\). كيف تعرف أي جانب من الخط\(x−y=3\) يجب أن يكون مظللاً؟

    48. رسم بياني للنظام\(\left\{\begin{array} {l} x+2y\leq 6 \\ y\geq −\frac{1}{2}x−4\end{array}\right.\). ماذا يعني الحل؟

    إجابة

    سوف تتنوع الإجابات.

    فحص ذاتي

    ⓐ بعد الانتهاء من التمارين، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

    يوضِّح الشكل جدولاً يحتوي على أربعة أعمدة وأربعة صفوف. الصف الأول هو صف العنوان. العناوين الأربعة هي أنني أستطيع... بثقة، مع بعض المساعدة ولا - لا أفهم ذلك! في الصف الثاني من العمود الأول، يقول النص «حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً لنظام عدم المساواة الخطية». في الصف الثالث من العمود الأول، يقول النص «حل تطبيقات أنظمة عدم المساواة».

    ⓑ ماذا تخبرك قائمة التحقق هذه عن إتقانك لهذا القسم؟ ما الخطوات التي ستتخذها للتحسين؟