4.8: تمثيل أنظمة المتباينات الخطية بيانيًّا

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• حدِّد ما إذا كان الزوج المُرتَّب حلاً لنظام المتباينات الخطية
• حل نظام المتباينات الخطية عن طريق التمثيل البياني
• حل تطبيقات أنظمة عدم المساواة

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. حل عدم المساواة\(2a<5a+12\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
2. حدد ما إذا كان الزوج\((3,12)\) المطلوب حلاً للنظام\(y>2x+3\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

حدِّد ما إذا كان الزوج المُرتَّب حلاً لنظام المتباينات الخطية

تعريف نظام عدم المساواة الخطية مشابه جدًا لتعريف نظام المعادلات الخطية.

تعريف: نظام المتباينات الخطية

يشكل اثنان أو أكثر من المتباينات الخطية المجمعة معًا نظامًا من عدم المساواة الخطية.

يشبه نظام عدم المساواة الخطية نظامًا من المعادلات الخطية، ولكنه يحتوي على تباينات بدلاً من المعادلات. يظهر هنا نظام مكون من متباينين خطيين.

\[\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\nonumber\]

لحل نظام عدم المساواة الخطية، سنجد قيم المتغيرات التي تمثل حلولًا لكلا المتباينين. نحل النظام باستخدام الرسوم البيانية لكل عدم مساواة ونعرض الحل كرسم بياني. سنجد المنطقة على متن الطائرة التي تحتوي على جميع الأزواج المرتبة\((x,y)\) التي تجعل كلا المتباينين صحيحين.

حلول نظام المتباينات الخطية

حلول نظام عدم المساواة الخطية هي قيم المتغيرات التي تجعل جميع التفاوتات صحيحة.

يظهر حل نظام المتباينات الخطية كمنطقة مظللة في نظام\(xy\) الإحداثيات -الذي يتضمن جميع النقاط التي تجعل أزواجها المرتبة عدم المساواة صحيحة.

لتحديد ما إذا كان الزوج المُرتب حلاً لنظام يتكون من تباينين، فإننا نستبدل قيم المتغيرات في كل تفاوت. إذا كان الزوج الذي تم ترتيبه يجعل كلا المتباينين صحيحين، فهذا حل للنظام.

مثال\(\PageIndex{1}\)

حدد ما إذا كان الزوج المطلوب حلاً للنظام\(\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\)

أ.\((−2,4)\) ب.\((3,1)\)

الحل:

أ. هل يعتبر الزوج\((−2,4)\) المطلوب حلاً؟

\((−2,4)\)جعل الزوج المطلوب كلا من أوجه عدم المساواة صحيحة. لذلك\((−2,4)\) هو الحل لهذا النظام.

ب. هل يعتبر الزوج\((3,1)\) المطلوب حلاً؟

\((3,1)\)جعل الزوج الذي تم ترتيبه أحد أوجه عدم المساواة صحيحًا، بينما جعل الآخر خاطئًا. لذلك\((3,1)\) ليس حلاً لهذا النظام.

جرب ذلك! \(\PageIndex{1}\)

حدد ما إذا كان الزوج المطلوب حلاً للنظام:\(\left\{ \begin{array} {l} x−5y>10\\2x+3y>−2 \end{array} \right.\)

أ.\((3,−1)\) ب.\((6,−3)\)

إجابة

أ. لا
ب. نعم

جرب ذلك! \(\PageIndex{2}\)

حدد ما إذا كان الزوج المطلوب حلاً للنظام:\(\left\{ \begin{array} {l} y>4x−2\\4x−y<20 \end{array} \right.\)

أ.\((−2,1)\) ب.\((4,−1)\)

إجابة

أ. نعم
ب. لا

حل نظام المتباينات الخطية عن طريق التمثيل البياني

إن حل عدم المساواة الخطية الواحدة هو المنطقة الموجودة على جانب واحد من خط الحدود التي تحتوي على جميع النقاط التي تجعل عدم المساواة صحيحًا. إن حل نظام المتباينين الخطيين هو المنطقة التي تحتوي على حلول لكلا المتباينين. للعثور على هذه المنطقة، سنقوم برسم بياني لكل عدم مساواة على حدة ثم تحديد المنطقة التي ينطبق فيها كلاهما. يتم عرض الحل دائمًا كرسم بياني.

مثال\(\PageIndex{2}\): How to Solve a System of Linear Inequalities by Graphing

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} y\geq 2x−1 \\ y<x+1\end{array}\right.\)

الحل:

جرب ذلك! \(\PageIndex{3}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} y<3x+2\\y>−x−1\end{array}\right.\)

إجابة

الحل هو المنطقة الرمادية.

جرب ذلك! \(\PageIndex{4}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} y<−12x+3 \\ y<3x−4\end{array}\right.\)

إجابة

الحل هو المنطقة الرمادية.

حل نظام المتباينات الخطية عن طريق التمثيل البياني

1. رسم بياني لأول عدم مساواة.
   • رسم خط الحدود.
   • ضع الظل في جانب خط الحدود حيث يكون عدم المساواة صحيحًا.
2. على نفس الشبكة، قم برسم عدم المساواة الثانية.
   • رسم خط الحدود.
   • ضع الظل على جانب خط الحدود هذا حيث يكون عدم المساواة صحيحًا.
3. الحل هو المنطقة التي يتداخل فيها التظليل.
4. تحقق من ذلك عن طريق اختيار نقطة اختبار.

مثال\(\PageIndex{3}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.\)

الحل:

	\(\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.\)
رسم بياني\(x - y > 3,\) عن طريق رسم نقطة\(x - y = 3\) واختبارها. عمليات الاعتراض\(x = 3\) موجودة\(y = −3\) وسيتم قطع خط الحدود. اختبار\((0, 0)\) يجعل عدم المساواة خاطئًا، لذا قم بتظليل الجانب الذي لا يحتوي على (أحمر)\((0, 0).\)

رسم بياني\(y<−15x+4\) بالرسم البياني\(y=−15x+4\) باستخدام المنحدر\(m=−15\) ونقطة\(y\) التقاطع سيتم\(b = 4.\) قطع خط الحدود بشكل متقطع. اختبار\((0, 0)\) يجعل عدم المساواة صحيحًا، لذلك ظل (أزرق) الجانب الذي يحتوي على\((0, 0).\) اختر نقطة اختبار في الحل وتحقق من أنها حل لكل من حالات عدم المساواة.

لم يتم تضمين نقطة تقاطع الخطين حيث تم قطع كلا الخطين الحدوديين. الحل هو المنطقة المظللة مرتين - والتي تظهر كأحلك منطقة مظللة.

جرب ذلك! \(\PageIndex{5}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} x+y\leq 2 \\ y\geq \frac{2}{3}x−1\end{array}\right.\)

إجابة

الحل هو المنطقة الرمادية.

جرب ذلك! \(\PageIndex{6}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\leq 6\\y>−\frac{1}{4}x+5\end{array} \right.\)

إجابة

الحل هو المنطقة الرمادية.

مثال\(\PageIndex{4}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.\)

الحل:

	\(\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.\)
رسم بياني\(x−2y<5\)، من خلال رسم نقطة\(x−2y=5\) واختبارها. عمليات الاعتراض\(x = 5\) موجودة\(y = −2.5\) وسيتم قطع خط الحدود. اختبار\((0, 0)\) يجعل عدم المساواة صحيحًا، لذا قم بتظليل الجانب الذي يحتوي على (أحمر)\((0, 0).\)

رسم بياني\(y>−4\)، من خلال التمثيل البياني\(y=−4\) والتعرف على أنه خط أفقي يمر به\(y=−4\). سيتم قطع خط الحدود. اختبار\((0, 0)\) يجعل عدم المساواة صحيحًا، لذا قم بتظليل (أزرق) الجانب الذي يحتوي على\((0, 0).\)

\((0,0)\)تكمن النقطة في الحل وقد وجدنا بالفعل أنه حل لكل حالة من حالات عدم المساواة. لم يتم تضمين نقطة تقاطع الخطين حيث تم قطع كلا الخطين الحدوديين.

الحل هو المنطقة المظللة مرتين - والتي تظهر كأحلك منطقة مظللة.

جرب ذلك! \(\PageIndex{7}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x−2 \\ y<−1\end{array}\right.\)

إجابة

الحل هو المنطقة الرمادية.

جرب ذلك! \(\PageIndex{8}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} x>−4x−2 \\ y\geq −4 \end{array}\right.\)

إجابة

الحل هو المنطقة الرمادية.

قد لا يكون لأنظمة عدم المساواة الخطية حيث تكون خطوط الحدود متوازية أي حل. سنرى هذا في المثال التالي.

مثال\(\PageIndex{5}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.\)

الحل:

	\(\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.\)
رسم بياني\(4x+3y\geq 12\)، من خلال رسم نقطة\(4x+3y=12\) واختبارها. نقاط الاعتراض موجودة\(x = 3\) \(y = 4\) وسيكون خط الحدود صلبًا. اختبار\((0, 0)\) يجعل عدم المساواة خاطئًا، لذا قم بتظليل الجانب الذي لا يحتوي على (أحمر)\((0, 0).\)
رسم بياني\(y<−\frac{4}{3}x+1\) بالرسم البياني\(y=−\frac{4}{3}x+1\) باستخدام المنحدر\(m=−\frac{4}{3}\) ونقطة\(y\) التقاطع\(b = 1.\) سوف يكون خط الحدود متقطعًا. اختبار\((0, 0)\) يجعل عدم المساواة صحيحًا، لذا قم بتظليل الجانب الذي يحتوي على (أزرق)\((0, 0).\)

لا توجد نقطة في كلتا المنطقتين المظللتين، لذلك لا يوجد حل للنظام.

جرب ذلك! \(\PageIndex{9}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\geq 12 \\ y\geq \frac{3}{2}x+1\end{array}\right.\)

إجابة

لا يوجد حل.

جرب ذلك! \(\PageIndex{10}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} x+3y>8\\y<−\frac{1}{3}x−2\end{array}\right.\)

إجابة

لا يوجد حل.

بعض أنظمة عدم المساواة الخطية حيث تكون خطوط الحدود متوازية سيكون لها حل. سنرى هذا في المثال التالي.

مثال\(\PageIndex{6}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.\)

الحل:

	\(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.\)
رسم بياني\(y>\frac{1}{2}x−4\) بالرسم البياني\(y=\frac{1}{2}x−4\) باستخدام المنحدر\(m=\frac{1}{2}\)\(b = −4.\) والفاصل سيتم قطع خط الحدود. اختبار\((0, 0)\) يجعل عدم المساواة صحيحًا، لذا قم بتظليل الجانب الذي يحتوي على (أحمر)\((0, 0).\)
رسم بياني\(x−2y<−4\) عن طريق رسم نقطة\(x−2y=−4\) واختبارها. عمليات الاعتراض\(x = -4\) موجودة\(y=2\) وسيتم قطع خط الحدود. اختر نقطة اختبار في الحل وتحقق من أنها حل لكل من حالات عدم المساواة. اختبار\((0, 0)\) يجعل عدم المساواة خاطئًا، لذا قم بتظليل الجانب الذي لا يحتوي على (أزرق)\((0, 0).\)

لم يتم تضمين أي نقطة على خطوط الحدود في الحل حيث أن كلا الخطين متقطعان.

الحل هو المنطقة المظللة مرتين والتي تعد أيضًا الحل لها\(x−2y<−4\).

جرب ذلك! \(\PageIndex{11}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x+1 \\ −3x+y\geq −4\end{array}\right.\)

إجابة

الحل هو المنطقة الرمادية.

جرب ذلك! \(\PageIndex{12}\)

حل النظام عن طريق الرسم البياني:\(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{4}x+2\\x+4y\leq 4\end{array}\right.\)

إجابة

الحل هو المنطقة الرمادية.

حل تطبيقات أنظمة عدم المساواة

أول شيء سنحتاج إلى القيام به لحل تطبيقات أنظمة عدم المساواة هو ترجمة كل شرط إلى عدم مساواة. ثم نقوم برسم النظام، كما فعلنا أعلاه، لرؤية المنطقة التي تحتوي على الحلول. ستكون العديد من المواقف واقعية فقط إذا كان كلا المتغيرين إيجابيين، لذلك نضيف عدم المساواة إلى النظام كمتطلبات إضافية.

مثال\(\PageIndex{7}\)

تبيع كريستي صورها في كشك في معرض الشارع. في بداية اليوم، تريد أن يكون لديها 25 صورة على الأقل لعرضها في كشكها. كل صورة صغيرة تعرضها تكلفها 4 دولارات وكل صورة كبيرة تكلفتها 10 دولارات. إنها لا تريد أن تنفق أكثر من 200 دولار على الصور لعرضها.

أ- اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
(ب) رسم بياني للنظام.
ج- هل يمكنها عرض 10 صور صغيرة و20 صورة كبيرة؟
د. هل يمكنها عرض 20 صورة كبيرة و 10 صور صغيرة؟

الحل:

أ.
\(\begin{array} {ll} \text{Let} &{x=\text{the number of small photos.}} \\ {} &{y=\text{the number of large photos}}\end{array}\)

للعثور على نظام المعادلات، قم بترجمة المعلومات.

\( \qquad \begin{array} {l} \\ \\ \text{She wants to have at least 25 photos.} \\ \text{The number of small plus the number of large should be at least }25. \\ \hspace{45mm} x+y\geq 25 \\ \\ \\ $4 \text{ for each small and }$10\text{ for each large must be no more than }$200 \\ \hspace{40mm} 4x+10y\leq 200 \\ \\ \\ \text{The number of small photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} x\geq 0 \\ \\ \\ \text{The number of large photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} y\geq 0 \end{array} \)

لدينا نظام المعادلات الخاص بنا.

\(\hspace{65mm} \left\{\begin{array} {l} x+y\geq 25 \\4x+10y\leq 200\\x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.\)

ب-
بما أن\(x\geq 0\) و\(y\geq 0\) (كلاهما أكبر من أو يساوي) ستكون جميع الحلول في الربع الأول. ونتيجة لذلك، يُظهر الرسم البياني الخاص بنا الربع الأول فقط.

للرسم البياني\(x+y\geq 25\)، قم بالرسم البياني\(x+y=25\) كخط صلب. اختر\((0, 0)\) كنقطة اختبار. نظرًا لأن هذا لا يجعل عدم المساواة صحيحًا، قم بتظليل الجانب (الأحمر) الذي لا يتضمن النقطة\((0, 0).\) إلى الرسم البياني\(4x+10y\leq 200\)، الرسم البياني\(4x+10y=200\) كخط صلب. اختر\((0, 0)\) كنقطة اختبار. نظرًا لأنه يجعل عدم المساواة صحيحًا، قم بالتظليل (الأزرق) على الجانب الذي يتضمن النقطة\((0, 0).\)

حل النظام هو منطقة الرسم البياني المظللة باللون الأغمق. يتم تضمين أقسام الخط الحدودي التي تحد القسم المظلل الداكن في الحل وكذلك النقاط الموجودة على\(x\) المحور -من\((25, 0)\) إلى\((55, 0).\)

ج- لتحديد ما إذا كانت 10 صور صغيرة و 20 صورة كبيرة ستنجح، ننظر إلى الرسم البياني لمعرفة\((10, 20)\) ما إذا كانت النقطة في منطقة الحل. يمكننا أيضًا اختبار النقطة لمعرفة ما إذا كانت حلاً لكلا المعادلتين.

ليس الأمر كذلك، فلن تعرض كريستي 10 صور صغيرة و 20 صورة كبيرة.

د- لتحديد ما إذا كانت 20 صورة صغيرة و 10 صور كبيرة ستنجح، ننظر إلى الرسم البياني لمعرفة\((20, 10)\) ما إذا كانت النقطة في منطقة الحل. يمكننا أيضًا اختبار النقطة لمعرفة ما إذا كانت حلاً لكلا المعادلتين.

إنه كذلك، لذا يمكن لكريستي اختيار عرض 20 صورة صغيرة و 10 صور كبيرة.

لاحظ أنه يمكننا أيضًا اختبار الحلول الممكنة عن طريق استبدال القيم في كل عدم مساواة.

جرب ذلك! \(\PageIndex{13}\)

يمكن للمقطورة أن تحمل وزنًا أقصى يبلغ 160 رطلاً وحجمها الأقصى 15 قدمًا مكعبًا. يزن فرن الميكروويف 30 رطلاً وحجمه قدمان مكعبان، بينما تزن الطابعة 20 رطلاً ومساحة 3 أقدام مكعبة.

أ- اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
(ب) رسم بياني للنظام.
ج. هل يمكن حمل 4 أجهزة ميكروويف وطابعتين على هذه المقطورة؟
د. هل يمكن حمل 7 أجهزة ميكروويف و3 طابعات على هذه المقطورة؟

إجابة

أ.\(\left\{\begin{array} {l} 30m+20p\leq 160\\2m+3p\leq 15\end{array}\right.\)
ب.

ج. نعم
د. لا

جرب ذلك! \(\PageIndex{14}\)

تحتاج ماري إلى شراء لوازم من أوراق الإجابة وأقلام الرصاص لإجراء اختبار موحد للصغار في مدرستها الثانوية. يزيد عدد أوراق الإجابة المطلوبة بمقدار 5 على الأقل عن عدد أقلام الرصاص. تكلفة أقلام الرصاص 2 دولار وأوراق الإجابة 1 دولار. تسمح ميزانية ماري لهذه المستلزمات بتكلفة قصوى تبلغ 400 دولار.

أ- اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
(ب) رسم بياني للنظام.
ج- هل يمكن لماري شراء 100 قلم رصاص و100 ورقة إجابة؟
د- هل يمكن لماري شراء 150 قلم رصاص و150 ورقة إجابة؟

إجابة

أ.\(\left\{\begin{array} {l} a\geq p+5 \\ a+2p\leq 400\end{array}\right.\)
ب.

ج. لا
. لا

عندما نستخدم متغيرات بخلاف\(x\) وتحديد\(y\) كمية غير معروفة، يجب علينا تغيير أسماء محاور الرسم البياني أيضًا.

مثال\(\PageIndex{8}\)

يحتاج عمر إلى تناول 800 سعرة حرارية على الأقل قبل الذهاب إلى تدريبات فريقه. كل ما يريده هو الهامبرغر والبسكويت، ولا يريد أن ينفق أكثر من 5 دولارات. في مطعم الهامبرغر بالقرب من كليته، يحتوي كل هامبرغر على 240 سعرة حرارية ويكلف 1.40 دولارًا. يحتوي كل ملف تعريف ارتباط على 160 سعرة حرارية ويكلف 0.50 دولارًا

أ- اكتب نظامًا من عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
(ب) رسم بياني للنظام.
ج- هل يمكن أن يأكل 3 هامبرغر وكوكيز واحدة؟
د- هل يمكنه تناول 2 هامبرغر و 4 كعكات؟

الحل:

أ.
\(\begin{array} {ll} \text{Let} & h=\text{the number of hamburgers.} \\ & c=\text{the number of cookies}\end{array}\)

للعثور على نظام المعادلات، قم بترجمة المعلومات.

يجب أن تكون السعرات الحرارية من الهامبرغر التي تحتوي على 240 سعرة حرارية لكل منها، بالإضافة إلى السعرات الحرارية من الكوكيز التي تحتوي على 160 سعرة حرارية لكل منها أكثر من 800.

\(\qquad \begin{array} {l} \hspace{40mm} 240h+160c\geq 800 \\ \\ \\ \text{The amount spent on hamburgers at }$1.40\text{ each, plus the amount spent on cookies}\\\text{at }$0.50\text{ each must be no more than }$5.00.\\ \hspace{40mm} 1.40h+0.50c\leq 5 \\ \\ \\ \text{The number of hamburgers must be greater than or equal to 0.} \\ \hspace{50mm} h\geq 0 \\ \text{The number of cookies must be greater than or equal to 0.}\\ \hspace{50mm} c\geq 0 \end{array} \)

\(\text{We have our system of equations.} \qquad \left\{ \begin{array} {l} 240h+160c\geq 800 \\ 1.40h+0.50c\leq 5 \\ h\geq 0 \\ c\geq 0\end{array} \right.\)

ب-
بما أن\(h\geq 0\) و\(c\geq 0\) (كلاهما أكبر من أو يساوي) ستكون جميع الحلول في الربع الأول. ونتيجة لذلك، يُظهر الرسم البياني الخاص بنا الربع الأول فقط.

للرسم البياني\(240h+160c\geq 800\)، قم بالرسم البياني\(240h+160c=800\) كخط صلب. اختر\((0, 0)\) كنقطة اختبار. نظرًا لأن هذا لا يجعل عدم المساواة صحيحًا، قم بتظليل الجانب (الأحمر) الذي لا يتضمن النقطة\((0, 0).\)

رسم بياني\(1.40h+0.50c\leq 5\). خط الحدود هو\(1.40h+0.50c=5\). نحن نختبر\((0, 0)\) ويجعل عدم المساواة حقيقة. نقوم بتظليل جانب الخط الذي يتضمن\((0, 0).\)

حل النظام هو منطقة الرسم البياني المظللة باللون الأغمق. يتم تضمين أقسام الخط الحدودي التي تحد القسم المظلل بشكل داكن في الحل وكذلك النقاط الموجودة على\(x\) المحور -من\((5, 0)\) إلى\((10, 0).\)

ج- لتحديد ما إذا كانت 3 هامبرغر و2 من ملفات تعريف الارتباط ستلبي معايير عمر، نرى ما إذا كانت النقطة\((3, 2)\) في منطقة الحل. إنه كذلك، لذلك قد يختار عمر تناول 3 هامبرغر و2 من البسكويت.

د- لتحديد ما إذا كان 2 هامبرغر و 4 ملفات تعريف الارتباط سيستوفيان معايير عمر، نرى\((2, 4)\) ما إذا كانت النقطة في منطقة الحل. أي أن عمر قد يختار تناول 2 هامبرغر و 4 كعكات.

يمكننا أيضًا اختبار الحلول الممكنة عن طريق استبدال القيم في كل عدم مساواة.

جرب ذلك! \(\PageIndex{15}\)

يحتاج التوتر إلى تناول 1000 سعر حراري إضافي على الأقل يوميًا للتحضير لسباق الماراثون. لديه 25 دولارًا فقط لإنفاقها على الطعام الإضافي الذي يحتاجه وسوف ينفقه على 0.75 دولارًا من الكعك الذي يحتوي على 360 سعرًا حراريًا لكل منها و 2 دولار من مشروبات الطاقة التي تحتوي على 110 سعرة حرارية.

أ- اكتب نظامًا من عدم المساواة يمثل هذا الموقف.
(ب) رسم بياني للنظام.
ج- هل يمكنه شراء 8 دونات و 4 مشروبات طاقة وتلبية احتياجاته من السعرات الحرارية؟
د- هل يمكنه شراء 1 دونات و 3 مشروبات طاقة وتلبية احتياجاته من السعرات الحرارية؟

إجابة

أ.\(\left\{\begin{array} {l} 0.75d+2e\leq 25\\360d+110e\geq 1000\end{array}\right.\)
ب.

ج. نعم
د. لا

جرب ذلك! \(\PageIndex{16}\)

أخبره طبيب فيليب أنه يجب أن يضيف ما لا يقل عن 1000 سعر حراري إضافي يوميًا إلى نظامه الغذائي المعتاد. يريد فيليب شراء ألواح بروتين تكلف 1.80 دولارًا لكل منها وتحتوي على 140 سعرًا حراريًا وعصيرًا يكلف 1.25 دولارًا للزجاجة ويحتوي على 125 سعرًا حراريًا. لا يريد أن ينفق أكثر من 12 دولارًا.

أ- اكتب نظامًا من عدم المساواة يمثل هذا الموقف.
(ب) رسم بياني للنظام.
ج- هل يمكنه شراء 3 ألواح بروتين و 5 زجاجات عصير؟
د- هل يمكنه شراء 5 ألواح بروتين و 3 زجاجات عصير؟

إجابة

أ.\(\left\{\begin{array} {l} 140p+125j\geq 1000\\1.80p+1.25j\leq 12\end{array}\right.\)
ب.

ج. نعم
د. لا

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية في حل أنظمة عدم المساواة الخطية عن طريق الرسوم البيانية.

• حل أنظمة المتباينات الخطية عن طريق التمثيل البياني
• أنظمة المتباينات الخطية

المفاهيم الرئيسية

• حلول نظام عدم المساواة الخطية: حلول نظام عدم المساواة الخطية هي قيم المتغيرات التي تجعل جميع التفاوتات صحيحة. يظهر حل نظام المتباينات الخطية كمنطقة مظللة في نظام\(xy\) الإحداثيات -الذي يتضمن جميع النقاط التي تجعل أزواجها المرتبة عدم المساواة صحيحة.
• كيفية حل نظام عدم المساواة الخطية بالرسم البياني.
  1. رسم بياني لأول عدم مساواة.
     رسم خط الحدود.
     ضع الظل في جانب خط الحدود حيث يكون عدم المساواة صحيحًا.
  2. على نفس الشبكة، قم برسم عدم المساواة الثانية.
     رسم خط الحدود.
     ضع الظل على جانب خط الحدود هذا حيث يكون عدم المساواة صحيحًا.
  3. الحل هو المنطقة التي يتداخل فيها التظليل.
  4. تحقق من ذلك عن طريق اختيار نقطة اختبار.

مسرد المصطلحات

نظام عدم المساواة الخطية

يشكل اثنان أو أكثر من المتباينات الخطية المجمعة معًا نظامًا من عدم المساواة الخطية.