4.4: حل تطبيقات المزيج باستخدام أنظمة المعادلات

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• حل تطبيقات الخلطات
• حل تطبيقات الاهتمام
• حل تطبيقات وظائف التكلفة والإيرادات

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. اضرب:\(4.025(1,562)\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
2. اكتب 8.2% في صورة عدد عشري.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
3. وصلت فاتورة عشاء إيرل إلى 32.50 دولارًا وأراد ترك إكرامية بنسبة 18٪. كم يجب أن تكون الإكرامية؟
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

حل تطبيقات الخلطات

يتضمن تطبيق الخليط الجمع بين كميتين أو أكثر. عندما قمنا بحل تطبيقات المزيج باستخدام العملات المعدنية والتذاكر سابقًا، بدأنا بإنشاء جدول حتى نتمكن من تنظيم المعلومات. للحصول على مثال للعملات المعدنية بالنيكل والديمات، بدا الجدول كما يلي:

استخدام متغير واحد يعني أنه كان علينا ربط عدد النيكل وعدد الدايمات. كان علينا أن نقرر ما إذا كنا سنسمح لـ n بأن يكون عدد النيكل ثم نكتب عدد الدايمات بدلالة n، أو ما إذا كنا سنسمح لـ d بأن يكون عدد الدايمات ونكتب عدد النيكل بدلالة d.

الآن بعد أن عرفنا كيفية حل أنظمة المعادلات بمتغيرين، سنجعل n هو عدد النيكل و d هو عدد الدايمات. سنكتب معادلة واحدة استنادًا إلى عمود القيمة الإجمالية، كما فعلنا من قبل، وستأتي المعادلة الأخرى من عمود الأرقام.

بالنسبة للمثال الأول، سنقوم بحل مشكلة التذاكر حيث تكون أسعار التذاكر بالدولار بالكامل، لذلك لن نحتاج إلى استخدام الأرقام العشرية حتى الآن.

مثال\(\PageIndex{1}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

باع مركز علمي 1363 تذكرة في عطلة نهاية أسبوع مزدحمة. وقد بلغ مجموع الإيرادات 146 12 دولارا. كم عدد تذاكر البالغين بقيمة 12 دولارًا وكم عدد تذاكر الأطفال التي تم بيعها بقيمة 7 دولارات؟

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.	سننشئ جدولًا لتنظيم المعلومات.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	نحن نبحث عن عدد تذاكر البالغين وعدد تذاكر الأطفال المباعة.
الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه.	دع\(a= \text{the number of adult tickets.}\) \(c= \text{the number of child tickets}\)
سيساعدنا الجدول في تنظيم البيانات. لدينا نوعان من التذاكر، للبالغين والأطفال.	اكتب في a و c لعدد التذاكر.
اكتب العدد الإجمالي للتذاكر المباعة في أسفل عمود الرقم.	تم بيع ما مجموعه 1363.
اكتب قيمة كل نوع من التذاكر في عمود القيمة.	تبلغ قيمة كل تذكرة للبالغين 12 دولارًا. تبلغ قيمة تذاكر كل طفل 7 دولارات.
عدد مرات القيمة يعطي القيمة الإجمالية، وبالتالي فإن القيمة الإجمالية لتذاكر البالغين هي\(a·12=12a\)، والقيمة الإجمالية لتذاكر الأطفال هي\(c·7=7c\).	املأ عمود القيمة الإجمالية.
وبلغت القيمة الإجمالية للتذاكر 12,146 دولارًا.
الخطوة 4. ترجم إلى نظام المعادلات.
يعطينا عمود الرقم وعمود القيمة الإجمالية نظام المعادلات.
سنستخدم طريقة الإزالة لحل هذا النظام. اضرب المعادلة الأولى في\(−7\).
قم بالتبسيط والإضافة، ثم قم بحل ملف.
استبدل\(a=521\) المعادلة الأولى، ثم قم بحل c.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة. 521 شخصًا بالغًا بسعر 12 دولارًا لكل تذكرة يجني 6252 دولارًا و 842 دولارًا للطفل بسعر 7 دولارات لكل تذكرة يدفع 58,994 دولارًا وإجمالي الإيصالات هو 12146 دولارًا\(\checkmark\)
الخطوة 7. أجب على السؤال.	باع المركز العلمي 521 تذكرة للبالغين و 842 تذكرة للأطفال.

مثال\(\PageIndex{2}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

باع مكتب التذاكر في حديقة الحيوان 553 تذكرة في يوم واحد. بلغ إجمالي الإيصالات 3,936 دولارًا. كم عدد تذاكر البالغين بقيمة 9 دولارات وكم عدد تذاكر الأطفال التي تم بيعها بقيمة 6 دولارات؟

إجابة

206 بالغون و347 طفلاً

مثال\(\PageIndex{3}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

باع شباك التذاكر في إحدى دور السينما 147 تذكرة للعرض المسائي، وبلغ إجمالي الإيصالات 1,302 دولارًا. كم عدد تذاكر البالغين البالغة 11 دولارًا وعدد تذاكر الأطفال التي تم بيعها بقيمة 8 دولارات؟

إجابة

42 بالغًا و105 طفلًا

في المثال التالي، سنحل مشكلة العملة. الآن بعد أن عرفنا كيفية العمل مع أنظمة من متغيرين، ستكون تسمية المتغيرات في عمود «الرقم» سهلة.

مثال\(\PageIndex{4}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

لدى خوان جيب مليء بالنيكل والديمات. القيمة الإجمالية للعملات هي 8.10 دولار. يقل عدد الدايمات بمقدار 9 سنتات عن ضعف عدد النيكل. كم عدد النيكل وعدد الدايمات التي يمتلكها خوان؟

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. سننشئ جدولًا لتنظيم المعلومات.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	نحن نبحث عن عدد النيكل وعدد الدايمات.
الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه.	دع\(n= \text{the number of nickels.}\) \(d= \text{the number of dimes}\)
سيساعدنا الجدول في تنظيم البيانات. لدينا نوعان من العملات المعدنية، النيكل والدايمات.	اكتب n و d لرقم كل نوع من العملات.
املأ عمود القيمة بقيمة كل نوع من أنواع العملات.	قيمة كل نيكل هي 0.05 دولار. قيمة كل عشرة سنتات هي 0.10 دولار.
العدد مضروبًا في القيمة يعطي القيمة الإجمالية، لذلك، القيمة الإجمالية للنيكل هي \(n(0.05)=0.05n\) والقيمة الإجمالية للديمات هي \(d(0.10)=0.10d\). وإجمالًا، تبلغ القيمة الإجمالية للعملات 8.10 دولارًا.
الخطوة 4. ترجم إلى نظام المعادلات.
يعطي عمود القيمة الإجمالية معادلة واحدة.
نعلم أيضًا أن عدد الدايمات يقل بمقدار 9 عن ضعف عدد النيكل.
ترجم للحصول على المعادلة الثانية.
الآن لدينا النظام الذي يجب حله.
الخطوة 5. حل نظام المعادلات سنستخدم طريقة الاستبدال.
استبدل\(d=2n−9\) المعادلة الأولى.
قم بالتبسيط والحل لـ n.
لإيجاد عدد الدايمات، استبدل \(n=36\) المعادلة الثانية.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة 63 ديمًا بسعر\($0.10=$6.30\) 36 نيكلًا في\($0.05=$1.80\) المجموع\(=$8.10\checkmark\)
الخطوة 7. أجب على السؤال.	يمتلك خوان 36 نيكلًا و 63 ديمًا.

مثال\(\PageIndex{5}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

تمتلك ماتيلدا حفنة من الأرباع والدايمات، بقيمة إجمالية تبلغ 8.55 دولارًا. عدد الأرباع يزيد بمقدار 3 عن ضعف عدد الدايمات. كم عدد الدايمات وكم عدد الأرباع التي تملكها؟

إجابة

13 سنتًا و 29 ربعًا

مثال\(\PageIndex{6}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

تحتوي Priam على مجموعة من النيكل والأرباع بقيمة إجمالية قدرها 7.30 دولارًا. يقل عدد النيكل بستة أضعاف عن ثلاثة أضعاف عدد الأرباع. كم عدد النيكل وعدد الأرباع التي يمتلكها؟

إجابة

19 ربعًا و51 نيكلًا

تتضمن بعض تطبيقات الخلطات الجمع بين الأطعمة أو المشروبات. قد تتضمن أمثلة الحالات الجمع بين الزبيب والمكسرات لعمل مزيج سريع أو استخدام نوعين من حبوب البن لعمل مزيج.

مثال\(\PageIndex{7}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

يريد كارسون صنع 20 رطلاً من المزيج السريع باستخدام المكسرات ورقائق الشوكولاتة. تتطلب ميزانيته أن يكلفه مزيج الدرب 7.60 دولارًا. للرطل. تبلغ تكلفة المكسرات 9.00 دولارًا للرطل، بينما تبلغ تكلفة رقائق الشوكولاتة 2.00 دولارًا للرطل. كم رطل من المكسرات وكم رطل من رقائق الشوكولاتة يجب أن يستخدمه؟

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. سننشئ جدولًا لتنظيم المعلومات.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	نحن نبحث عن عدد أرطال المكسرات وعدد أرطال رقائق الشوكولاتة.
الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه.	دع\(n= \text{the number of pound of nuts.}\) \(c= \text{the number of pounds of chips}\)
سيخلط كارسون المكسرات ورقائق الشوكولاتة للحصول على مزيج سريع. اكتب n و c لعدد أرطال المكسرات ورقائق الشوكولاتة.
سيكون هناك 20 رطلاً من مزيج الطرق. ضع سعر الرطل لكل عنصر في عمود القيمة. املأ العمود الأخير باستخدام \(\text{Number}•\text{Value}=\text{Total Value}\)
الخطوة 4. ترجم إلى نظام المعادلات. نحصل على المعادلات من عمودي العدد والقيمة الإجمالية.
الخطوة 5. حل نظام المعادلات سنستخدم الحذف لحل النظام. اضرب المعادلة الأولى\(−2\) لإزالة c.
قم بالتبسيط والإضافة. حل لـ n.
لإيجاد عدد أرطال رقائق الشوكولاتة، استبدل\(n=16\) المعادلة الأولى، ثم حل العدد c.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة. \(\begin{array} {lll} 16+4 &= &20\checkmark \\ 9·16+2·4 &= &152\checkmark \end{array}\)
الخطوة 7. أجب على السؤال.	يجب على كارسون خلط 16 رطلاً من المكسرات مع 4 أرطال من رقائق الشوكولاتة لإنشاء المزيج السريع.

مثال\(\PageIndex{8}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

تريد غريتا صنع 5 أرطال من مزيج الجوز باستخدام الفول السوداني والكاجو. تتطلب ميزانيتها أن يكلفها الخليط 6 دولارات للرطل. تبلغ تكلفة الفول السوداني 4 دولارات للرطل والكاجو 9 دولارات للرطل. كم رطل من الفول السوداني وكم رطل من الكاجو يجب أن تستخدمه؟

إجابة

3 رطل من الفول السوداني و 2 رطل من الكاجو

مثال\(\PageIndex{9}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

يحتوي سامي على معظم المكونات التي يحتاجها لصنع مجموعة كبيرة من الفلفل الحار. العناصر الوحيدة التي يفتقر إليها هي الفاصوليا ولحم البقر المفروم. يحتاج إلى ما مجموعه 20 رطلاً من الفاصوليا ولحم البقر المفروم ولديه ميزانية قدرها 3 دولارات للرطل. سعر الفاصوليا هو 1 دولار للرطل وسعر اللحم المفروم هو 5 دولارات للرطل. كم رطل من الفاصوليا وكم رطل من اللحم المفروم يجب أن يشتريه؟

إجابة

10 رطل من الفاصوليا، 10 أرطال من اللحم المفروم

تطبيق آخر لمشاكل الخليط يتعلق بإمدادات التنظيف المركزة والمواد الكيميائية الأخرى والمشروبات المختلطة. يتم إعطاء التركيز كنسبة مئوية. على سبيل المثال، منظف منزلي مركّز بنسبة 20٪ يعني أن 20٪ من الكمية الإجمالية عبارة عن منظف، والباقي عبارة عن ماء. للحصول على 35 أونصة من تركيز 20٪، يمكنك مزج 7 أونصات (20٪ من 35) من المنظف مع 28 أونصة من الماء.

بالنسبة لهذه الأنواع من مشاكل الخليط، سنستخدم «النسبة المئوية» بدلاً من «القيمة» لأحد الأعمدة في جدولنا.

مثال\(\PageIndex{10}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

ساشينا هي مساعدة مختبر في كلية المجتمع الخاصة بها. إنها تحتاج إلى صنع 200 مليلتر من محلول حمض الكبريتيك بنسبة 40٪ لتجربة معملية. يحتوي المختبر على 25٪ و 50٪ فقط من الحلول في المخزن. كم يجب أن تخلط بين حلول 25٪ و 50٪ لصنع حل 40٪؟

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. قد يساعدنا الشكل في تصور الموقف، ثم سننشئ جدولًا لتنظيم المعلومات.	يجب على Sasheena مزج بعض\(25%\) الحلول وبعض\(50%\) الحلول معًا للحصول\(200\space ml\) على\(40%\) الحل.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	نحن نبحث عن مقدار كل حل تحتاجه.
الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه.	دع\(x= \text{number of }ml\text{ of }25% \text{ solution.}\) \(y= \text{number of }ml\text{ of }50%\text{ solution\)
سيساعدنا الجدول في تنظيم البيانات. ستقوم بخلط x\(ml\) of\(25%\) مع y\(ml\)\(50%\) للحصول على\(200 \space ml\) \(40%\) الحل. نكتب النسب المئوية كأرقام عشرية في الرسم البياني. نضرب عدد الوحدات مضروبًا في التركيز للحصول على إجمالي كمية حمض الكبريتيك في كل محلول.
الخطوة 4. ترجم إلى نظام من المعادلات. نحصل على المعادلات من عمود الأرقام وعمود المبلغ. الآن لدينا النظام.
الخطوة 5. حل نظام المعادلات سنحل النظام بالحذف. اضرب المعادلة الأولى\(−0.5\) لإزالة y.
قم بالتبسيط والإضافة لحل لـ x.
لحل y، استبدل\(x=80\) المعادلة الأولى.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة. \(\begin{array} {lll} 80+120 &= &200\checkmark \\ 0.25(80)+0.50(120) &= &200\checkmark \\ {} &{} &\text{Yes!} \end{array} \)
الخطوة 7. أجب على السؤال.	يجب على Sasheena مزج\(80 \space ml\)\(25%\)\(50%\) الحل مع \(120 \space ml\) الحل للحصول\(200\space ml\) على \(40%\) الحل.

مثال\(\PageIndex{11}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

يحتاج LeBron إلى 150 مليلترًا من محلول حمض الكبريتيك بنسبة 30٪ لإجراء تجربة معملية ولكن يمكنه فقط الوصول إلى محلول 25٪ و 50٪. ما مقدار الـ 25٪ وكم من محلول الـ 50٪ الذي يجب أن يخلطه لصنع الحل بنسبة 30٪؟

إجابة

120 مل من محلول 25٪ و 30 مل من محلول 50٪

مثال\(\PageIndex{12}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

يحتاج أناتول إلى صنع 250 مليلترًا من محلول حمض الهيدروكلوريك بنسبة 25٪ لإجراء تجربة معملية. يحتوي المختبر على حل بنسبة 10٪ فقط وحل 40٪ في المخزن. ما مقدار الـ 10٪ وكم من حلول الـ 40٪ التي يجب أن يخلطها لصنع الحل بنسبة 25٪؟

إجابة

125 مل من محلول 10٪ و 125 مل من محلول 40٪

حل تطبيقات الاهتمام

صيغة نمذجة تطبيقات الاهتمامات البسيطة هي\(I=Prt\). الفائدة، I، هي نتاج الأصل، P، السعر، r، والوقت، t. في عملنا هنا، سنحسب الفائدة المكتسبة في عام واحد، لذلك ستكون 1.

نقوم بتعديل عناوين الأعمدة في جدول المزيج لإظهار الصيغة المثيرة للاهتمام، كما سترى في المثال التالي.

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

لدى عدنان 40 ألف دولار للاستثمار ويأمل في كسب\(7.1%\) فائدة سنويًا. سيضع بعض الأموال في صندوق أسهم يكسب 8٪ سنويًا والباقي في سندات تكسب 3٪ سنويًا. كم من المال يجب أن يودعه في كل صندوق؟

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.	سيساعدنا المخطط على تنظيم المعلومات.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	نحن نبحث عن المبلغ للاستثمار في كل صندوق.
الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه.	دع\(s= \text{the amount invested in stocks.}\) \(b= \text{the amount invested in stocks}\)
اكتب سعر الفائدة في صورة عدد عشري لكل صندوق. المضاعفة: الرئيسية · المعدل · الوقت
الخطوة 4. ترجم إلى نظام من المعادلات. نحصل على نظام المعادلات الخاص بنا من العمود الرئيسي وعمود الاهتمام.
الخطوة 5. حل نظام المعادلات بالحذف. اضرب المعادلة العليا في\(−0.03\).
قم بالتبسيط والإضافة لحل المشكلة من أجل s.
لإيجاد b، استبدل s = 32,800 في المعادلة الأولى.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة.	نترك الشيك لك.
الخطوة 7. أجب على السؤال.	يجب أن يستثمر عدنان 32,800 دولار في الأسهم و 7,200 دولار في السندات.

هل لاحظت أن العمود الرئيسي يمثل المبلغ الإجمالي للأموال المستثمرة بينما يمثل عمود الفائدة الفائدة المكتسبة فقط؟ وبالمثل، المعادلة الأولى في نظامنا،\(s+b=40,000\), represents the total amount of money invested and the second equation, \(0.08s+0.03b=0.071(40,000)\), represents the interest earned.

مثال\(\PageIndex{14}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

كان لدى ليون 50,000 دولار للاستثمار ويأمل في كسب\(6.2%\) الفائدة سنويًا. سيضع بعض الأموال في صندوق أسهم يكسب 7٪ سنويًا والباقي في حساب توفير يكسب 2٪ سنويًا. كم من المال يجب أن يودعه في كل صندوق؟

إجابة

42,000 دولار في صندوق الأسهم و 8000 دولار في حساب التوفير

مثال\(\PageIndex{15}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

استثمر جوليوس 7000 دولار في استثمارين في الأسهم. دفع أحد الأسهم فائدة بنسبة 11٪ ودفع السهم الآخر فائدة بنسبة 13٪. حصل على\(12.5%\) فائدة على إجمالي الاستثمار. كم من المال وضع في كل سهم؟

إجابة

1750 دولارًا بنسبة 11٪ و 5250 دولارًا بنسبة 13٪

يتطلب المثال التالي أن نجد رأس المال بالنظر إلى مقدار الفائدة المكتسبة.

مثال\(\PageIndex{16}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

تدين روزي بمبلغ 21,540 دولارًا على قرضي الطلاب. سعر الفائدة على قرضها المصرفي هو\(10.5%\) وسعر الفائدة على القرض الفيدرالي هو\(5.9%\). كان المبلغ الإجمالي للفائدة التي دفعتها العام الماضي\($1,669.68\). ما هو أصل كل قرض؟

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.	سيساعدنا المخطط على تنظيم المعلومات.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	نحن نبحث عن أصل كل قرض.
الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه.	دع\(b= \text{the principal for the bank loan.}\) \(f= \text{the principal on the federal loan}\)
يبلغ إجمالي القروض 21,540 دولارًا.
سجل أسعار الفائدة كأرقام عشرية في الرسم البياني. اضرب باستخدام الصيغة I = Prt للحصول على الفائدة.
الخطوة 4. ترجم إلى نظام من المعادلات. يأتي نظام المعادلات من العمود الرئيسي وعمود الاهتمام.
الخطوة 5. حل نظام المعادلات سنستخدم الاستبدال لحلها. حل المعادلة الأولى لـ b.
استبدل ب = − f + 21.540 في المعادلة الثانية.
قم بالتبسيط والحل لـ f.
لإيجاد b، استبدل f = 12,870 بالمعادلة الأولى.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة.	نترك الشيك لك.
الخطوة 7. أجب على السؤال.	وكان أصل القرض الاتحادي 870 12 دولاراً وأصل القرض المصرفي 670 8 دولاراً.

مثال\(\PageIndex{17}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

تدين لورا بمبلغ 18,000 دولار على قروض طلابها. سعر الفائدة على القرض المصرفي هو 2.5٪ وسعر الفائدة على القرض الفيدرالي هو 6.9٪. بلغ إجمالي مبلغ الفائدة الذي دفعته العام الماضي 1,066 دولارًا. ما هو أصل كل قرض؟

إجابة

البنك 4,000 دولار؛ 14,000 دولار فيدرالي

مثال\(\PageIndex{18}\)

ترجم إلى نظام المعادلات وقم بحلها:

تدين شركة Jill's Sandwich Shoppe بمبلغ 65200 دولار على قرضين تجاريين، أحدهما بفائدة 4.5٪ والآخر بفائدة 7.2٪. بلغ إجمالي مبلغ الفائدة المستحقة العام الماضي 3,582 دولارًا. ما هو أصل كل قرض؟

إجابة

41200 دولار بسعر 4.5% و 24,000 دولار بسعر 7.2%

حل تطبيقات وظائف التكلفة والإيرادات

لنفترض أن الشركة تصنع وتبيع وحدات x من المنتج. التكلفة التي تتحملها الشركة هي التكاليف الإجمالية لإنتاج وحدات x. هذه هي تكلفة التصنيع لكل وحدة مضروبة في x، وعدد الوحدات المصنعة، بالإضافة إلى التكاليف الثابتة.

الإيرادات هي الأموال التي تجلبها الشركة نتيجة بيع وحدات x. هذا هو سعر البيع لكل وحدة مضروبًا في عدد الوحدات المباعة.

عندما تساوي التكاليف الإيرادات، نقول إن الشركة قد وصلت إلى نقطة التعادل.

وظائف التكلفة والإيرادات

وظيفة التكلفة هي تكلفة تصنيع كل وحدة مضروبًا في x، وعدد الوحدات المصنعة، بالإضافة إلى التكاليف الثابتة.

\[C(x)=(\text{cost per unit})·x+\text{fixed costs}\nonumber \]

وظيفة الإيرادات هي سعر البيع لكل وحدة مضروبًا في x، وعدد الوحدات المباعة.

\[R(x)=(\text{selling price per unit})·x\nonumber \]

نقطة التعادل هي عندما تساوي الإيرادات التكاليف.

\[C(x)=R(x)\nonumber\]

مثال\(\PageIndex{19}\)

تنفق الشركة المصنعة لمقعد تدريب الأثقال 105 دولارات لبناء كل مقعد وبيعها مقابل 245 دولارًا. لدى الشركة المصنعة أيضًا تكاليف ثابتة كل شهر قدرها 7000 دولار.

ⓐ ابحث عن وظيفة التكلفة C عند تصنيع مقاعد x.

ⓑ ابحث عن وظيفة الإيرادات R عند بيع مقاعد x.

ⓒ اعرض نقطة التعادل من خلال رسم بياني لكل من وظائف الإيرادات والتكلفة على نفس الشبكة.

ⓓ ابحث عن نقطة التعادل. فسر ما تعنيه نقطة التعادل.

إجابة

ⓐ تمتلك الشركة المصنعة 7,000 دولار من التكاليف الثابتة بغض النظر عن عدد مقاعد تدريب الأثقال التي تنتجها. بالإضافة إلى التكاليف الثابتة، تنفق الشركة المصنعة أيضًا 105 دولارات لإنتاج كل مقعد. لنفترض بيع مقاعد x.

\(\begin{array} {ll} {\text{Write the general Cost function formula.}} &{C(x)=(\text{cost per unit})·x+\text{fixed costs}} \\ {\text{Substitute in the cost values.}} &{C(x)=105x+7000} \\ \end{array}\)

ⓑ تبيع الشركة المصنعة كل مقعد للتدريب على رفع الأثقال مقابل 245 دولارًا. نحصل على إجمالي الإيرادات بضرب العائد لكل وحدة مضروبًا في عدد الوحدات المباعة.

\(\begin{array} {ll} {\text{Write the general Revenue function.}} &{C(x)=(\text{selling price per unit})·x} \\ {\text{Substitute in the revenue per unit.}} &{R(x)=245x} \\ \end{array}\)

ⓒ في الأساس لدينا نظام من المعادلات الخطية. سنعرض الرسم البياني للنظام حيث يساعد ذلك في جعل فكرة نقطة التعادل أكثر وضوحًا.

\[\left\{ \begin{array} {l} C(x)=105x+7000 \\ R(x)=245x \end{array} \right. \quad \text{or} \quad \left\{ \begin{array} {l} y=105x+7000 \\ y=245x \end{array} \right. \nonumber \]

ⓓ للعثور على القيمة الفعلية، نتذكر أن نقطة التعادل تحدث عندما تساوي التكاليف الإيرادات.

\(\begin{array} {ll} {\text{Write the break-even formula.}} &{\begin{array} {l} {C(x)=R(x)} \\ {105x+7000=245x} \end{array}} \\ {\text{Solve.}} &{\begin{array} {l} {7000=140x} \\ {50=x} \end{array}} \\ \end{array}\)

عندما يتم بيع 50 مقعدًا، فإن التكاليف تساوي الإيرادات.

عند بيع 50 مقعدًا، تبلغ الإيرادات والتكاليف 12,250 دولارًا. لاحظ أن هذا يتوافق مع الزوج المطلوب\((50,12250)\).

مثال\(\PageIndex{20}\)

تنفق الشركة المصنعة لمقعد تدريب الأثقال 15 دولارًا لبناء كل مقعد وبيعها مقابل 32 دولارًا. لدى الشركة المصنعة أيضًا تكاليف ثابتة كل شهر قدرها 25,500 دولار.

ⓐ ابحث عن وظيفة التكلفة C عند تصنيع مقاعد x.

ⓑ ابحث عن وظيفة الإيرادات R عند بيع مقاعد x.

ⓒ اعرض نقطة التعادل من خلال رسم بياني لكل من وظائف الإيرادات والتكلفة على نفس الشبكة.

ⓓ ابحث عن نقطة التعادل. فسر ما تعنيه نقطة التعادل.

إجابة

ⓐ\(C(x)=15x+25,500\)

ⓑ\(R(x)=32x\)

ⓒ

ⓓ 1,5001,500؛ عند بيع 1500 مقعد، ستكون التكلفة والإيرادات 48,000

مثال\(\PageIndex{21}\)

تنفق الشركة المصنعة لمقعد تدريب الأثقال 120 دولارًا لبناء كل مقعد وبيعها مقابل 170 دولارًا. لدى الشركة المصنعة أيضًا تكاليف ثابتة كل شهر قدرها 150،000 دولار.

ⓐ ابحث عن وظيفة التكلفة C عند تصنيع مقاعد x.

ⓑ ابحث عن وظيفة الإيرادات R عند بيع مقاعد x.

ⓒ اعرض نقطة التعادل من خلال رسم بياني لكل من وظائف الإيرادات والتكلفة على نفس الشبكة.

ⓓ ابحث عن نقطة التعادل. فسر ما تعنيه نقطة التعادل.

إجابة

ⓐ\(C(x)=120x+150,000\)

ⓑ\(R(x)=170x\)

ⓒ

ⓓ\(3,000\)؛ عند بيع 3,000 مقعد، تبلغ الإيرادات والتكاليف 510,000 دولار

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باهتمام وخلطات.

• الفائدة والخلائط

المفاهيم الرئيسية

• وظيفة التكلفة: وظيفة التكلفة هي تكلفة تصنيع كل وحدة مضروبًا في x، وعدد الوحدات المصنعة، بالإضافة إلى التكاليف الثابتة.

  \(C(x)=(\text{cost per unit})·x+\text{fixed costs}\)

• الإيرادات: وظيفة الإيرادات هي سعر البيع لكل وحدة مضروبًا في x، وعدد الوحدات المباعة.

  \(R(x)=(\text{selling price per unit})·x\)

• نقطة التعادل: نقطة التعادل هي عندما تساوي الإيرادات التكاليف.

  \(C(x)=R(x)\)

مسرد المصطلحات

وظيفة التكلفة

وظيفة التكلفة هي تكلفة تصنيع كل وحدة مضروبة في xx، وعدد الوحدات المصنعة، بالإضافة إلى التكاليف الثابتة؛ C (x) = (التكلفة لكل وحدة) x + التكاليف الثابتة.

إيرادات

الإيرادات هي سعر البيع لكل وحدة مضروبًا في x، وعدد الوحدات المباعة؛ R (x) = (سعر البيع لكل وحدة) x.

نقطة التعادل

النقطة التي تساوي فيها الإيرادات التكاليف هي نقطة التعادل؛ C (x) = R (x).