4.3: حل التطبيقات باستخدام أنظمة المعادلات
- Page ID
- 201432
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- حل تطبيقات الترجمة المباشرة
- حل تطبيقات الهندسة
- حل تطبيقات الحركة الموحدة
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- مجموع ضعف العدد وتسعة يساوي 31. ابحث عن الرقم.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link]. - حصل التوأم جون ورون معًا على 96,000 دولار العام الماضي. حصل رون على 8000 دولار أكثر من ثلاثة أضعاف ما حصل عليه جون. كم كسب كل من التوائم؟
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link]. - يغادر قطار سريع وقطار محلي بيتسبرغ للسفر إلى واشنطن العاصمة، ويمكن للقطار السريع القيام بالرحلة في أربع ساعات، ويستغرق القطار المحلي خمس ساعات للرحلة. تبلغ سرعة القطار السريع 12 ميلاً في الساعة أسرع من سرعة القطار المحلي. أوجد سرعة كلا القطارين.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
حل تطبيقات الترجمة المباشرة
أنظمة المعادلات الخطية مفيدة جدًا لحل التطبيقات. يجد بعض الأشخاص أن إعداد مشاكل الكلمات بمتغيرين أسهل من إعدادها باستخدام متغير واحد فقط. لحل أحد التطبيقات، سنقوم أولاً بترجمة الكلمات إلى نظام من المعادلات الخطية. ثم سنقرر الطريقة الأكثر ملاءمة للاستخدام، ثم نحل النظام.
- اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
- حدد ما نبحث عنه.
- اذكر ما نبحث عنه. اختر المتغيرات لتمثيل تلك الكميات.
- ترجم إلى نظام من المعادلات.
- حل نظام المعادلات باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
- تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
- أجب على السؤال بجملة كاملة.
لقد قمنا بحل مشاكل الأرقام مع متغير واحد في وقت سابق. دعونا نرى كيف يعمل بشكل مختلف باستخدام متغيرين.
مجموع الرقمين هو صفر. رقم واحد أقل بتسعة من الآخر. ابحث عن الأرقام.
- إجابة
-
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن رقمين. الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. دعونا\(n= \text{the first number} \).
\(m= \text{the second number} \)الخطوة 4. ترجم إلى نظام من المعادلات. مجموع الرقمين هو صفر. 
رقم واحد أقل بتسعة من الآخر. 
النظام هو: 
الخطوة 5. حل نظام
المعادلات. سنستخدم الاستبدال
حيث تم حل المعادلة الثانية
لـ n.استبدل m − 9 عن n في المعادلة الأولى. 
حل لي. 
استبدل\(m=\frac{9}{2}\) المعادلة الثانية
ثم قم بحل n.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة. هل هذه الأرقام منطقية في
المشكلة؟ سنترك هذا
لك!الخطوة 7. أجب على السؤال. الأرقام هي\(\frac{9}{2}\) و\(−\frac{9}{2}\).
مجموع الرقمين هو 10. رقم واحد أقل بأربعة من الآخر. ابحث عن الأرقام.
- إجابة
-
\(3, 7\)
مجموع الرقمين هو\(−6\). رقم واحد أقل بعشرة من الآخر. ابحث عن الأرقام.
- إجابة
-
\(2, −8\)
عُرض على هيذر خياران مقابل راتبها كمدربة في صالة الألعاب الرياضية. الخيار أ سيدفع لها 25,000 دولار بالإضافة إلى 15 دولارًا لكل جلسة تدريبية. الخيار (ب) سيدفع لها\($10,000+$40\) مقابل كل جلسة تدريبية. كم عدد الدورات التدريبية التي ستجعل خيارات الراتب متساوية؟
- إجابة
-
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن عدد الدورات
التدريبية التي من شأنها أن تجعل
الأجر متساويًا.الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. Let s=s= راتب هيذر.
n=n= عدد الدورات التدريبيةالخطوة 4. ترجم إلى نظام من المعادلات. الخيار أ سيدفع لها 25,000 دولار
بالإضافة إلى 15 دولارًا لكل
جلسة تدريبية.
الخيار ب سيدفع لها 10,000 دولار
+ 40 دولارًا لكل جلسة تدريبية.
يتم عرض النظام. 
الخطوة 5. حل نظام المعادلات.
سوف نستخدم الاستبدال.
استبدل 25,000 +15 n عن s في
المعادلة الثانية.
حل لـ n. 
الخطوة 6. تحقق من الإجابة. هل 600 دورة تدريبية في السنة معقولة؟
هل الخياران متساويان عندما n = 600؟الخطوة 7. أجب على السؤال. ستكون خيارات الراتب متساوية لـ 600
دورة تدريبية.
تم عرض وظائف على Geraldine من قبل شركتين للتأمين. تدفع الشركة الأولى راتبًا قدره 12,000 دولار بالإضافة إلى عمولة قدرها 100 دولار لكل بوليصة يتم بيعها. يدفع الثاني راتبًا قدره 20,000 دولار بالإضافة إلى عمولة قدرها 50 دولارًا لكل بوليصة يتم بيعها. كم عدد السياسات التي يجب بيعها لجعل إجمالي الأجر هو نفسه؟
- إجابة
-
160 سياسة
يبيع كينيث حاليًا بدلات للشركة A براتب قدره 22,000 دولار بالإضافة إلى عمولة 10 دولارات لكل بدلة يتم بيعها. تقدم له الشركة B منصبًا براتب 28,000 دولار بالإضافة إلى عمولة 4 دولارات لكل بدلة يتم بيعها. كم عدد الدعاوى التي سيحتاج كينيث إلى بيعها حتى تتساوى الخيارات؟
- إجابة
-
1000 بدلة
عند حل كل تطبيق، تذكر تحليل طريقة حل نظام المعادلات الأكثر ملاءمة.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
عندما أمضت جينا 10 دقائق على المدرب البيضاوي ثم أجرت تدريبات دائرية لمدة 20 دقيقة، يقول تطبيق اللياقة البدنية الخاص بها إنها أحرقت 278 سعرة حرارية. عندما أمضت 20 دقيقة في التدريب الإهليلجي و30 دقيقة من التدريب الدائري، أحرقت 473 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تحرقها في كل دقيقة على جهاز التدريب الإهليلجي؟ كم عدد السعرات الحرارية لكل دقيقة من التدريب الدائري؟
- إجابة
-
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن عدد
السعرات الحرارية المحروقة كل دقيقة على جهاز التدريب
الإهليلجي وكل دقيقة من
التدريب الدائري.الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. دع e=e= عدد السعرات الحرارية المحروقة في
الدقيقة على جهاز التدريب الإهليلجي.
c=c = عدد السعرات الحرارية المحروقة في
الدقيقة أثناء التدريب الدائريالخطوة 4. ترجم إلى نظام من المعادلات. 10 دقائق من التدريب البيضاوي
والتدريب الدائري لمدة 20 دقيقة، وحرق
278 سعرة حرارية
أدت 20 دقيقة على جهاز بيضاوي و
30 دقيقة من التدريب الدائري إلى حرق
473 سعرًا حراريًا
النظام هو: 
الخطوة 5. حل نظام المعادلات. اضرب المعادلة الأولى في −2 للحصول على معاملات
عكسية لـ e.
قم بتبسيط المعادلات وإضافتها.
حل لـ ج.
استبدل c = 8.3 في إحدى المعادلات
الأصلية لحلها لـ e.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة. تحقق من الرياضيات بنفسك. 
الخطوة 7. أجب على السؤال. تحرق جينا 8.3 سعرة حرارية في الدقيقة من
التدريب الدائري و11.2 سعرة حرارية في
الدقيقة أثناء استخدام جهاز التدريب الإهليلجي.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
ذهب مارك إلى صالة الألعاب الرياضية ومارس 40 دقيقة من اليوغا الساخنة من بيكرام و 10 دقائق من القفز. لقد أحرق 510 سعرة حرارية. في المرة التالية التي ذهب فيها إلى صالة الألعاب الرياضية، مارس اليوجا الساخنة لمدة 30 دقيقة من بيكرام و 20 دقيقة من القفز على الرافعات التي تحرق 470 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تم حرقها لكل دقيقة من اليوجا؟ كم عدد السعرات الحرارية التي تم حرقها في كل دقيقة من القفز؟
- إجابة
-
أحرق مارك 11 سعرًا حراريًا لكل دقيقة من اليوجا و 7 سعرات حرارية لكل دقيقة من القفز.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
أمضت إيرين 30 دقيقة على آلة التجديف و 20 دقيقة في رفع الأثقال في صالة الألعاب الرياضية وحرقت 430 سعرة حرارية. خلال زيارتها التالية إلى صالة الألعاب الرياضية، أمضت 50 دقيقة على آلة التجديف و10 دقائق في رفع الأثقال وحرق 600 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي أحرقتها لكل دقيقة على جهاز التجديف؟ كم عدد السعرات الحرارية التي أحرقتها في كل دقيقة من رفع الأثقال؟
- إجابة
-
أحرقت إيرين 11 سعرًا حراريًا لكل دقيقة على جهاز التجديف و 5 سعرات حرارية لكل دقيقة من رفع الأثقال.
حل تطبيقات الهندسة
سنقوم الآن بحل تطبيقات الهندسة باستخدام أنظمة المعادلات الخطية. سنحتاج إلى إضافة زوايا تكميلية وزوايا تكميلية لقائمتنا ببعض خصائص الزوايا.
تصل قياسات الزاويتين المتكاملتين إلى 90 درجة. تصل قياسات الزاويتين التكميليتين إلى 180 درجة.
تتكامل زاويتان إذا كان مجموع قياسات الزوايا 90 درجة.
تكون الزاويتان متكاملتان إذا كان مجموع قياسات الزوايا 180 درجة
إذا كانت زاويتان متكاملتان، فإننا نقول إن إحدى الزوايا تكمل الأخرى.
إذا كانت زاويتان متكاملتان، فإننا نقول إن إحدى الزوايا تكمل الأخرى.
قم بالترجمة إلى نظام المعادلات ثم قم بحلها.
الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 26 درجة. أوجد قياسات الزوايا.
- إجابة
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read }\text{the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify }\text{what we are looking for.}} &{\text{We are looking for the measure of each}} \\ {} &{\text{angle.}} \\ {\textbf{Step 3. Name }\text{what we are looking for.}} &{\text{Let} x=\text{ the measure of the first angle.}} \\ {} &{\hspace{3mm} y= \text{ the measure of the second angle}} \\ {\textbf{Step 4. Translate }\text{into a system of}} &{\text{The angles are complementary.}} \\ {\text{equations.}} &{\hspace{15mm} x+y=90} \\ {} &{\text{The difference of the two angles is 26}} \\ {} &{\text{degrees.}} \\ {} &{\hspace{15mm} x−y=26} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\text{The system is shown.}} &{\hspace{15mm} \left\{ \begin{array} {l} x+y=90 \\ x−y=26 \end{array} \right. } \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\textbf{Step 5. Solve }\text{the system of equations} } &{\hspace{15mm} \left\{ \begin{array} {l} x+y=90 \\ \underline{x−y=26} \end{array} \right. } \\ {\text{by elimination.}} &{\hspace{21mm} 2x\hspace{4mm}=116} \\ {} &{\hspace{28mm} x=58} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\text{Substitute }x=58\text{ into the first equation.}} &{\hspace{15mm} x+y=90} \\ {} &{\hspace{14mm} 58+y=90} \\ {} &{\hspace{22mm} y=32} \\ {\textbf{Step 6. Check }\text{the answer in the problem.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\hspace{15mm} 58+32=90\checkmark} &{} \\ {\hspace{15mm} 58−32=26\checkmark} &{} \\ {\textbf{Step 7. Answer }\text{the question.}} &{\text{The angle measures are 58 and 32 degrees.}} \end{array} \)
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 20 درجة. أوجد قياسات الزوايا.
- إجابة
-
مقاييس الزاوية هي 55 و 35.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 80 درجة. أوجد قياسات الزوايا.
- إجابة
-
مقاييس الزاوية هي 5 و 85.
في المثال التالي، نتذكر أن مقاييس الزوايا التكميلية تضيف إلى 180.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر أقل باثني عشر درجة من خمسة أضعاف قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياسات كلتا الزاويتين.
- إجابة
-
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن قياس لكل
زاوية.الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. دع x=x= قياس الزاوية الأولى.
y=y= قياس الزاوية الثانيةالخطوة 4. ترجم إلى نظام من المعادلات. الزوايا تكميلية. 
الزاوية الأكبر تقل بمقدار اثني عشر عن خمسة
أضعاف الزاوية الأصغر.
يظهر النظام:
الخطوة 5. حل نظام استبدال المعادلات.
استبدل ٥ x − ١٢ عن y في المعادلة الأولى.
حل لـ x.
استبدل ٣٢ عن x في
المعادلة الثانية، ثم قم بحل y.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة. 
الخطوة 7. أجب على السؤال. مقاييس الزاوية هي 148 و 32 درجة.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يزيد بمقدار 12 درجة عن ثلاثة أضعاف الزاوية الأصغر. أوجد قياسات الزوايا.
- إجابة
-
قياسات الزاوية هي 42 و 138.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يقل بمقدار 18 عن ضعف قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياسات الزوايا.
- إجابة
-
مقاييس الزاوية هي 66 و 114.
تذكر أن زوايا المثلث تصل إلى 180 درجة. المثلث القائم الزاوية له زاوية واحدة تساوي ٩٠ درجة. ماذا يخبرنا ذلك عن الزاويتين الأخريين؟ في المثال التالي سنجد قياسات الزاويتين الأخريين.
يزيد قياس إحدى الزوايا الصغيرة للمثلث الأيمن بمقدار عشرة أضعاف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى بمقدار عشرة أضعاف. أوجد قياسات كلتا الزاويتين.
- إجابة
-
سنقوم برسم وتسمية شخصية.
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. 
الخطوة 2. حدد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن مقاييس الزوايا. الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. دع a=a= قياس الزاوية الأولى.
b=b= قياس الزاوية الثانيةالخطوة 4. ترجم إلى نظام من المعادلات. يزيد قياس إحدى الزوايا الصغيرة للمثلث الأيمن بمقدار عشرة أضعاف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى بمقدار عشرة أضعاف. 
مجموع قياسات زوايا المثلث هو 180. 
يتم عرض النظام. 
الخطوة 5. حل نظام المعادلات. سنستخدم الاستبدال حيث تم حل المعادلة الأولى لـ a. 
استبدل 3b+103b+10 بـ a في المعادلة الثانية. 
حل لـ ب. 
استبدل b=20b=20 في المعادلة الأولى ثم قم بحل a. 
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة. سنترك هذا لك! الخطوة 7. أجب على السؤال. مقاييس الزوايا الصغيرة هي 20 و 70 درجة.
يزيد قياس إحدى الزوايا الصغيرة للمثلث الأيمن بمقدار 2 عن 3 أضعاف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى. أوجد قياس كلتا الزاويتين.
- إجابة
-
\(22, 68\)
يقل قياس إحدى الزوايا الصغيرة للمثلث القائم الزاوية بمقدار ١٨ عن ضعف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى. أوجد قياس كلتا الزاويتين.
- إجابة
-
\(36, 54\)
غالبًا ما يكون من المفيد عند حل تطبيقات الهندسة رسم صورة لتصور الموقف.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
يمتلك راندال سياجًا بطول 125 قدمًا لإحاطة الجزء من الفناء الخلفي لمنزله. سيحتاج فقط إلى السياج حول ثلاثة جوانب، لأن الجانب الرابع سيكون جدار المنزل. يريد أن يكون طول الفناء المسور (الموازي لجدار المنزل) 5 أقدام أكثر من أربعة أضعاف العرض. أوجد الطول والعرض.
- إجابة
-
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. الخطوة 2. حدد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن الطول والعرض. 
الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. دع L=L = طول الفناء المسور.
W=W = عرض الفناء المسورةالخطوة 4. ترجم إلى نظام من المعادلات. طول واحد وعرضان يساويان 125. 
سيكون الطول 5 أقدام أكثر من
أربعة أضعاف العرض.
يتم عرض النظام.
الخطوة 5. حل نظام المعادلات عن
طريق الاستبدال.
استبدل L = 4 W + 5 في
المعادلة الأولى، ثم قم بحل W.
استبدل 20 بـ W في
المعادلة الثانية، ثم حل L.
الخطوة 6. تحقق من الإجابة في
المشكلة.
الخطوة 7. أجب على المعادلة. الطول 85 قدمًا والعرض 20 قدمًا.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
يريد ماريو وضع سياج حول المسبح في الفناء الخلفي لمنزله. نظرًا لوجود جانب واحد مجاور للمنزل، فإنه سيحتاج فقط إلى السياج من ثلاثة جوانب. هناك جانبان طويلان والجانب الأقصر موازٍ للمنزل. يحتاج إلى 155 قدمًا من السياج لإحاطة المسبح. يقل طول الجانب الطويل بمقدار 10 أقدام عن ضعف العرض. ابحث عن طول وعرض منطقة حمام السباحة التي سيتم تضمينها.
- إجابة
-
الطول 60 قدمًا والعرض 35 قدمًا.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
تريد أليكسيس بناء كلب مستطيل يركض في فناء منزلها المجاور لسياج جارتها. سوف تستخدم 136 قدمًا من السياج لإحاطة مسار الكلب المستطيل بالكامل. سيكون طول مسار الكلب على طول سياج الجار أقل بـ 16 قدمًا من ضعف العرض. ابحث عن طول وعرض مسار الكلب.
- إجابة
-
الطول 60 قدمًا والعرض 38 قدمًا.
حل تطبيقات الحركة الموحدة
استخدمنا جدولًا لتنظيم المعلومات في مشاكل الحركة الموحدة عندما قدمناها مسبقًا. سنواصل استخدام الجدول هنا. كانت المعادلة الأساسية هي\(D=rt\) حيث D هي المسافة المقطوعة، و r هي المعدل، و t هي الوقت.
سيكون المثال الأول لتطبيق الحركة الموحدة هو حالة مشابهة لبعض الحالات التي رأيناها بالفعل، ولكن الآن يمكننا استخدام متغيرين ومعادلتين.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
غادر جوني سانت لويس على الطريق السريع، متجهًا غربًا نحو دنفر بسرعة 65 ميلًا في الساعة. بعد نصف ساعة، غادر كيلي سانت لويس على نفس طريق جوني، وكان يقود 78 ميلاً في الساعة. كم من الوقت ستستغرق كيلي للحاق بجوني؟
- إجابة
-
الرسم التخطيطي مفيد في مساعدتنا على تصور الموقف.
حدد ما نبحث عنه وقم بتسميته. سيساعدنا المخطط على تنظيم البيانات. نحن نعرف معدلات كل من جوني وكيلي، ولذا ندخلها في الرسم البياني. نحن نبحث عن طول الفترة الزمنية التي سيقودها كل من كيلي، ك، وجوني، جيه.
حيث\(D=r·t\) يمكننا ملء عمود المسافة.
ترجم إلى نظام من المعادلات.
لإنشاء نظام المعادلات، يجب أن ندرك أن كيلي وجوني سيقودان نفس المسافة. لذا،
\(\hspace{85mm} 65j=78k \nonumber \)
أيضًا، بما أن كيلي غادرت لاحقًا، سيكون وقتها أقل\(\frac{1}{2}\) بساعة من وقت جوني. لذا،
\( \hspace{105mm} k=j-\frac{1}{2} \nonumber \)
\(\begin{array} {ll} {\text{Now we have the system.}} &{\left\{ \begin{array} {l} k=j−\frac{1}{2} \\ 65j=78k \end{array} \right.} \\ {\textbf{Solve }\text{the system of equations by substitution.}} &{} \\ {} &{} \\ {\text{Substitute }k=j−12\text{ into the second equation,}} &{} \\ {\text{then solve for }j.} &{} \\ {} &{65j=78k} \\ {} &{65j=78(j−\frac{1}{2})} \\ {} &{65j=78j−39} \\ {} &{−13j=−39} \\ {} &{j=3} \\{\begin{array} {l} {\text{To find Kelly’s time, substitute }j=3 \text{ into the first}} \\ {\text{equation, then solve for }k.} \end{array} } &{k=j−\frac{1}{2}} \\ {} &{k=3−\frac{1}{2} } \\ {} &{k=\frac{5}{2} \text{ or } k=2\frac{1}{2}} \\ {\textbf{Check }\text{the answer in the problem.}} &{} \\ {\begin{array} {lllll} {\text{Joni}} &{3 \text{ hours}} &{(65\text{ mph})} &= &{195\text{ miles}} \\ {\text{Kelly}} &{2\frac{1}{2} \text{ hours}} &{(78\text{ mph})} &= &{195\text{ miles}} \end{array}} &{} \\ {\text{Yes, they will have traveled the same distance}} &{} \\{\text{when they meet.}} &{} \\ {\textbf{Answer }\text{the question.}} &{} \\ {} &{\text{Kelly will catch up to Joni in}} \\ {} &{2\frac{1}{2}\text{ hours. By then, Joni will}} \\ {} &{\text{have traveled }3 \text{ hours.}} \\ \end{array}\)
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
غادر ميتشل ديترويت على الطريق السريع متجهًا جنوبًا نحو أورلاندو بسرعة 60 ميل في الساعة. غادر كلارك ديترويت بعد ساعة مسافراً بسرعة 75 ميلاً في الساعة، متبعًا نفس مسار ميتشل. كم من الوقت سيستغرق كلارك للقبض على ميتشل؟
- إجابة
-
سوف يستغرق كلارك 4 ساعات للقبض على ميتشل.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
غادر تشارلي منزل والدته مسافراً بمتوسط سرعة 36 ميلاً في الساعة. غادرت شقيقته سالي\((\frac{1}{4} \text{ hour})\) بعد 15 دقيقة مسافرة في نفس الطريق بمتوسط سرعة 42 ميلاً في الساعة. كم من الوقت قبل أن تلتقي سالي بتشارلي؟
- إجابة
-
سوف تستغرق سالي\(112\) ساعات للحاق بتشارلي.
تنشأ العديد من التطبيقات الواقعية للحركة المنتظمة بسبب تأثيرات التيارات - الماء أو الهواء - على السرعة الفعلية للسيارة. تستغرق رحلات الطائرات عبر البلاد في الولايات المتحدة عمومًا وقتًا أطول من الذهاب غربًا مقارنة بالتوجه شرقًا بسبب تيارات الرياح السائدة.
دعونا نلقي نظرة على قارب يسافر على النهر. اعتمادًا على الاتجاه الذي يسير فيه القارب، يؤدي تيار الماء إما إلى إبطائه أو تسريعه.
توضح الصور أدناه كيف يؤثر تيار النهر على السرعة التي يسير بها القارب بالفعل. سنسمي سرعة القارب في المياه الساكنة b وسرعة تيار النهر c.
يتجه القارب نحو المصب، في نفس اتجاه تيار النهر. يساعد التيار في دفع القارب، وبالتالي تكون السرعة الفعلية للقارب أسرع من سرعته في الماء الساكن. السرعة الفعلية التي يتحرك بها القارب هي\(b+c\).
الآن، يتجه القارب نحو المنبع، مقابل تيار النهر. التيار يسير ضد القارب، وبالتالي فإن السرعة الفعلية للقارب أبطأ من سرعته في الماء الساكن. السرعة الفعلية للقارب هي\(b−c\).
سنضع بعض الأرقام لهذا الموقف في المثال التالي.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحله.
أبحرت سفينة سياحية نهرية 60 ميلًا في اتجاه مجرى النهر لمدة 4 ساعات ثم استغرقت 5 ساعات في الإبحار في اتجاه المنبع للعودة إلى الرصيف. أوجد سرعة السفينة في الماء الساكن وسرعة تيار النهر.
- إجابة
-
اقرأ المشكلة. هذه مشكلة حركة موحدة وستساعدنا
الصورة على تصور الموقف.
حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن سرعة السفينة
في المياه الساكنة وسرعة التيار.اذكر ما نبحث عنه. دع\(s= \text{the rate of the ship in still water.}\)
\(c= \text{the rate of the current}\)سيساعدنا المخطط على تنظيم المعلومات.
تتجه السفينة نحو المصب ثم المنبع.
عند الذهاب إلى المصب، يساعد التيار
السفينة وبالتالي فإن المعدل الفعلي للسفينة هو s + c.
عند الانتقال إلى المنبع، يؤدي التيار إلى إبطاء السفينة
وبالتالي فإن المعدل الفعلي هو s − c.
يستغرق المصب 4 ساعات.
يستغرق الأمر 5 ساعات عند المنبع.
في كل اتجاه تكون المسافة 60 ميلاً.ترجم إلى نظام من المعادلات.
نظرًا لأن معدل الوقت هو المسافة، يمكننا
كتابة نظام المعادلات.
حل نظام المعادلات.
قم بالتوزيع لوضع المعادلتين في
الشكل القياسي، ثم قم بحلهما بالحذف.
اضرب المعادلة العليا في 5 والمعادلة
السفلية في 4.
أضف المعادلات، ثم قم بحلها لـ s.
استبدل s = 13.5 في
المعادلات الأصلية.
تحقق من الإجابة في المشكلة.
سيكون معدل المصب
\(13.5+1.5=15\) ميل في الساعة.
في 4 ساعات ستسافر السفينة
\(15·4=60\) أميالاً.
سيكون معدل المنبع
\(13.5−1.5=12\) ميل في الساعة.
في غضون 5 ساعات ستسافر السفينة
\(12·5=60\) أميالاً.أجب على السؤال. معدل السفينة هو 13.5 ميل في الساعة ومعدل التيار هو 1.5 ميل في الساعة.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
أبحرت رحلة بحرية في نهر المسيسيبي 120 ميلاً في اتجاه المنبع لمدة 12 ساعة ثم استغرقت 10 ساعات للعودة إلى الرصيف. ابحث عن سرعة القارب النهري في المياه الساكنة وسرعة تيار النهر.
- إجابة
-
معدل القارب هو 11 ميل في الساعة ومعدل التيار هو 1 ميل في الساعة.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
جدف جيسون قاربه على بعد 24 ميلاً من المنبع لمدة 4 ساعات. استغرق الأمر منه 3 ساعات للتجديف مرة أخرى. أوجد سرعة الزورق في الماء الساكن وسرعة تيار النهر.
- إجابة
-
تبلغ سرعة الزورق 7 ميل في الساعة وسرعة التيار 1 ميل في الساعة.
تؤثر تيارات الرياح على سرعات الطائرة بنفس الطريقة التي تؤثر بها التيارات المائية على سرعات القوارب. سنرى هذا في المثال التالي. يُطلق على تيار الرياح في نفس اتجاه تحليق الطائرة اسم الرياح الخلفية. يُطلق على تيار الرياح الذي يهب في اتجاه الطائرة اسم الرياح المعاكسة.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
يمكن للطائرة الخاصة أن تطير 1095 ميلاً في ثلاث ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 987 ميلاً في ثلاث ساعات في رياح عكسية. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.
- إجابة
-
اقرأ المشكلة. هذه مشكلة حركة موحدة وستساعدنا
الصورة على التخيل.
حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن سرعة الطائرة
في الهواء الساكن وسرعة الرياح.اذكر ما نبحث عنه. دع j=j= سرعة الطائرة في الهواء الساكن.
w=w= سرعة الرياح.سيساعدنا المخطط على تنظيم المعلومات.
تقوم الطائرة برحلتين - واحدة في الرياح الخلفية
والأخرى في الرياح المعاكسة.
في حالة الرياح الخلفية، تساعد الرياح الطائرة وبالتالي
فإن المعدل هو j + w.
في حالة الرياح المعاكسة، تؤدي الرياح إلى إبطاء الطائرة
وبالتالي يكون المعدل هو j - w.
تستغرق كل رحلة 3 ساعات.
في الرياح الخلفية، تطير الطائرة لمسافة 1095 ميلاً.
في الرياح المعاكسة تطير الطائرة 987 ميلاً.ترجم إلى نظام من المعادلات.
نظرًا لأن معدل الوقت هو المسافة، نحصل على
نظام المعادلات.
حل نظام المعادلات.
قم بالتوزيع ثم الحل عن طريق الإزالة.
إضافة وحل لـ j.
استبدل j = 347 في إحدى
المعادلات الأصلية، ثم قم بحل w.
تحقق من الإجابة في المشكلة.
مع الرياح الخلفية، سيكون المعدل الفعلي
للطائرة
\(347+18=365\) ميل في الساعة.
في غضون 3 ساعات ستقطع الطائرة
\(365·3=1,095\)
أميالًا بالتوجه نحو الرياح المعاكسة، سيكون
المعدل الفعلي للطائرة
\(347−18=329\) ميل في الساعة.
في 3 ساعات ستقطع الطائرة
\(329·3=987\) أميالاً.أجب على السؤال. يبلغ معدل الطائرة 347 ميلاً في الساعة
ومعدل الرياح 18 ميلاً في الساعة.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
يمكن لطائرة صغيرة أن تطير 1325 ميلاً في 5 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1035 ميلاً في 5 ساعات في رياح عكسية. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.
- إجابة
-
تبلغ سرعة الطائرة 235 ميلاً في الساعة وسرعة الرياح 30 ميلاً في الساعة.
ترجم إلى نظام المعادلات ثم قم بحل:
يمكن للطائرة التجارية أن تطير 1,728 ميلاً في 4 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1,536 ميلاً في 4 ساعات في رياح عكسية. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.
- إجابة
-
تبلغ سرعة الطائرة 408 ميلاً في الساعة وسرعة الرياح 24 ميلاً في الساعة.
قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة مع أنظمة المعادلات.
- أنظمة المعادلات
المفاهيم الرئيسية
- كيفية حل التطبيقات باستخدام أنظمة المعادلات
- اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
- حدد ما نبحث عنه.
- اذكر ما نبحث عنه. اختر المتغيرات لتمثيل تلك الكميات.
- ترجم إلى نظام من المعادلات.
- حل نظام المعادلات باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
- تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
- أجب على السؤال بجملة كاملة.
مسرد المصطلحات
- زوايا تكميلية
- تتكامل زاويتان إذا كان مجموع قياسات الزوايا 90 درجة.
- زوايا تكميلية
- تكون زاويتان متكاملتان إذا كان مجموع قياسات زواياهما 180 درجة.