Skip to main content
Global

3.7: الرسوم البيانية للوظائف

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    201424

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • استخدم اختبار الخط العمودي
    • تحديد الرسوم البيانية للوظائف الأساسية
    • اقرأ المعلومات من الرسم البياني للدالة

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. تقييم: ⓐ\(2^3\) ⓑ\(3^2\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
    2. تقييم: ⓐ\(|7|\) ⓑ\(|−3|\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
    3. تقييم: ⓐ\(\sqrt{4}\) ⓑ\(\sqrt{16}\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

    استخدم اختبار الخط العمودي

    تعلمنا في القسم الأخير كيفية تحديد ما إذا كانت العلاقة دالة. تم التعبير عن العلاقات التي نظرنا إليها كمجموعة من الأزواج المرتبة أو رسم الخرائط أو المعادلة. سننظر الآن في كيفية معرفة ما إذا كان الرسم البياني هو رسم دالة.

    \((x,y)\)يعتبر الزوج المُرتب حلاً لمعادلة خطية، إذا كانت المعادلة عبارة حقيقية عندما يتم استبدال قيم x - و y للزوج المُرتب في المعادلة.

    الرسم البياني للمعادلة الخطية هو خط مستقيم حيث كل نقطة على الخط هي حل المعادلة وكل حل لهذه المعادلة هو نقطة على هذا الخط.

    في الشكل، يمكننا أن نرى، في الرسم البياني للمعادلة\(y=2x−3\)، أن لكل قيمة x قيمة y واحدة فقط، كما هو موضح في الجدول المصاحب.

    طائرة. يمتد المحوران x و y من سالب 10 إلى 10. يمر الخط بالنقاط (0، سالب 3)، (1، سالب 1)، و (2، 1). يتم تسمية الخط بـ y يساوي 2 × ناقص 3. هناك العديد من الأسهم الرأسية التي تربط القيم على المحور x بالنقاط الموجودة على الخط. يربط السهم الأول x يساوي السالب 2 على المحور x بالنقطة (سالب 2، سالب 7) على الخط. يربط السهم الثاني x يساوي السالب 1 على المحور x بالنقطة (سالب 1، سالب 5) على الخط. يربط السهم التالي x يساوي 0 على المحور x بالنقطة (0، سالب 3) على الخط. يربط السهم التالي x يساوي 3 على المحور x بالنقطة (3، 3) على الخط. يربط السهم الأخير x يساوي 4 على المحور x بالنقطة (4، 5) على الخط. يحتوي الجدول على 7 صفوف و 3 أعمدة. الصف الأول هو صف العنوان الذي يحمل التسمية y equals2 x ناقص 3. الصف الثاني هو صف العنوان مع الرؤوس x و y و (x، y). يحتوي الصف الثالث على الإحداثيات السالبة 2، السالبة 7، (السالبة 2، السالبة 7). يحتوي الصف الرابع على الإحداثيات السالبة 1 والسالبة 5 و (السالبة 1 والسالبة 5). يحتوي الصف الخامس على الإحداثيات 0 وسالب 3 و (0، سالب 3). يحتوي الصف السادس على الإحداثيات 3 و 3 و (3، 3). يحتوي الصف السابع على الإحداثيات 4 و 5 و (4، 5).
    الشكل\(\PageIndex{1}\)

    العلاقة هي دالة إذا كان لكل عنصر من عناصر المجال قيمة واحدة بالضبط في النطاق. لذا فإن العلاقة التي تحددها المعادلة\(y=2x−3\) هي دالة.

    إذا نظرنا إلى الرسم البياني، فإن كل خط عمودي متقطع يتقاطع فقط مع الخط عند نقطة واحدة. هذا أمر منطقي كما هو الحال في الدالة، لكل قيمة x هناك قيمة y واحدة فقط.

    إذا وصل الخط العمودي إلى الرسم البياني مرتين، فسيتم تعيين قيمة x إلى قيمتين y، وبالتالي لن يمثل الرسم البياني دالة.

    هذا يقودنا إلى اختبار الخط العمودي. مجموعة النقاط في نظام الإحداثيات المستطيل هي الرسم البياني للدالة إذا كان كل خط عمودي يتقاطع مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر. إذا تقاطع أي خط عمودي مع الرسم البياني في أكثر من نقطة، فإن الرسم البياني لا يمثل دالة.

    اختبار الخط العمودي

    مجموعة النقاط في نظام الإحداثيات المستطيل هي الرسم البياني للدالة إذا كان كل خط عمودي يتقاطع مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر.

    إذا تقاطع أي خط عمودي مع الرسم البياني في أكثر من نقطة، فإن الرسم البياني لا يمثل دالة.

    مثال\(\PageIndex{1}\)

    حدد ما إذا كان كل رسم بياني يمثل رسمًا بيانيًا لدالة.

    يحتوي الشكل على رسمين بيانيين. يوجد في الرسم البياني أ خط مستقيم مرسوم بيانيًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحوران x و y من سالب 10 إلى 10. يمر الخط بالنقاط (0، 2)، (3، 0)، و (6، سالب 2). في الرسم البياني ب، توجد فتحة مكافئة على اليمين مرسومة على المستوى الإحداثي x y. يتم تشغيل المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يمر المكافئ بالنقاط (سالب 1، 0)، (0، 1)، (0، سالب 1)، (3، 2)، (3، سالب 2).

    إجابة

    ⓐ نظرًا لأن أي خط عمودي يتقاطع مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر، فإن الرسم البياني هو الرسم البياني للدالة.

    يحتوي الشكل على خط مستقيم مُبيَّن على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحوران x و y من سالب 10 إلى 10. يمر الخط بالنقاط (0، 2)، (3، 0)، و (6، سالب 2). يتم رسم ثلاثة خطوط مستقيمة رأسية متقطعة عند x يساوي سالب 5، x يساوي سالب 3، x يساوي 3. يتقاطع كل سطر مع الخط المائل عند نقطة واحدة بالضبط.

    ⓑ يتقاطع أحد الخطوط الرأسية الموضحة على الرسم البياني في نقطتين. لا يمثل هذا الرسم البياني دالة.

    يحتوي الشكل على فتحة مكافئة على اليمين مرسومة بيانيًا على المستوى الإحداثي x y. يتم تشغيل المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يمر المكافئ بالنقاط (سالب 1، 0)، (0، 1)، (0، سالب 1)، (3، 2)، (3، سالب 2). يتم رسم ثلاثة خطوط مستقيمة رأسية متقطعة عند x يساوي سالب 2، x يساوي سالب 1، x يساوي 2. لا يتقاطع الخط العمودي x - سالب 2 مع القطع المكافئ. يتقاطع الخط العمودي x يساوي السالب 1 مع القطع المكافئ عند نقطة واحدة بالضبط. يتقاطع الخط العمودي x يساوي 3 مع القطع المكافئ عند نقطتين منفصلتين.

    مثال\(\PageIndex{2}\)

    حدد ما إذا كان كل رسم بياني يمثل رسمًا بيانيًا لدالة.

    يحتوي الشكل على رسمين بيانيين. في الرسم البياني أ توجد فتحة مكافئة مرسومة بيانيًا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 2 إلى 10. يمر المكافئ بالنقاط (0، سالب 1)، (سالب 1، 0)، (1، 0)، (سالب 2، 3)، و (2، 3). في الرسم البياني ب توجد دائرة مرسومة على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 6 إلى 6. تمر الدائرة بالنقاط (سالب 2، 0)، (2، 0)، (0، سالب 2)، و (0، 2).

    إجابة

    ⓐ نعم ⓑ لا

    مثال\(\PageIndex{3}\)

    حدد ما إذا كان كل رسم بياني يمثل رسمًا بيانيًا لدالة.

    يحتوي الشكل على رسمين بيانيين. يوجد في الرسم البياني أ شكل بيضاوي مُبيَّن على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 6 إلى 6. يمر القطع الناقص بالنقاط (0، سالب 3)، (سالب 2، 0)، (2، 0)، و (0، 3). يوجد في الرسم البياني ب خط مستقيم مرسوم على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y من سالب 12 إلى 12. يمر الخط بالنقاط (0، سالب 2)، (2، 0)، و (4، 2).

    إجابة

    ⓐ لا ⓑ نعم

    تحديد الرسوم البيانية للوظائف الأساسية

    استخدمنا المعادلة\(y=2x−3\) ورسمها البياني أثناء تطوير اختبار الخط العمودي. قلنا أن العلاقة التي تحددها المعادلة\(y=2x−3\) هي دالة.

    يمكننا كتابة هذا كما هو الحال في تدوين الدالة كـ\(f(x)=2x−3\). لا يزال يعني نفس الشيء. الرسم البياني للدالة هو الرسم البياني لجميع الأزواج المرتبة\((x,y)\) حيث\(y=f(x)\). حتى نتمكن من كتابة الأزواج المرتبة كـ\((x,f(x))\). يبدو مختلفًا ولكن الرسم البياني سيكون هو نفسه.

    قارن الرسم البياني الموضح\(y=2x−3\) سابقًا في الشكل بالرسم البياني\(f(x)=2x−3\) الموضح في الشكل. لم يتغير شيء سوى الترميز.

    يحتوي هذا الشكل على رسم بياني بجوار الجدول. يحتوي الرسم البياني على خط مستقيم على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحوران x و y من سالب 10 إلى 10. يمر الخط بالنقاط (0، سالب 3)، (1، سالب 1)، و (2، 1). يسمى السطر f من x يساوي 2 × ناقص 3. هناك العديد من الأسهم الرأسية التي تربط القيم على المحور x بالنقاط الموجودة على الخط. يربط السهم الأول x يساوي السالب 2 على المحور x بالنقطة (سالب 2، سالب 7) على الخط. يربط السهم الثاني x يساوي السالب 1 على المحور x بالنقطة (سالب 1، سالب 5) على الخط. يربط السهم التالي x يساوي 0 على المحور x بالنقطة (0، سالب 3) على الخط. يربط السهم التالي x يساوي 3 على المحور x بالنقطة (3، 3) على الخط. يربط السهم الأخير x يساوي 4 على المحور x بالنقطة (4، 5) على الخط. يحتوي الجدول على 7 صفوف و 3 أعمدة. الصف الأول هو صف العنوان الذي يحمل التسمية f من x يساوي 2 x ناقص 3. الصف الثاني هو صف العنوان بالعناوين x و f من x و (x، f of x). يحتوي الصف الثالث على الإحداثيات السالبة 2، السالبة 7، (السالبة 2، السالبة 7). يحتوي الصف الرابع على الإحداثيات السالبة 1 والسالبة 5 و (السالبة 1 والسالبة 5). يحتوي الصف الخامس على الإحداثيات 0 وسالب 3 و (0، سالب 3). يحتوي الصف السادس على الإحداثيات 3 و 3 و (3، 3). يحتوي الصف السابع على الإحداثيات 4 و 5 و (4، 5).
    الشكل\(\PageIndex{2}\)
    رسم بياني لدالة

    الرسم البياني للدالة هو الرسم البياني لجميع أزواجها المرتبة، (x، y) (x، y) أو باستخدام تدوين الدالة، (x، f (x)) (x، f (x)) حيث y=f (x) .y=f (x).

    \[\begin{array} {ll} {f} &{\text{name of function}} \\ {x} &{\text{x-coordinate of the ordered pair}} \\ {f(x)} &{\text{y-coordinate of the ordered pair}} \\ \nonumber \end{array}\]

    مع تقدمنا في دراستنا، من المفيد أن نكون على دراية بالرسومات البيانية للعديد من الوظائف الأساسية وأن نكون قادرين على التعرف عليها.

    من خلال عملنا السابق، نحن على دراية بالرسوم البيانية للمعادلات الخطية. سيتم تطبيق العملية التي استخدمناها لتحديد\(y=2x−3\) ما إذا كانت دالة على جميع المعادلات الخطية. جميع المعادلات الخطية غير الرأسية هي وظائف. لا تعمل الخطوط العمودية لأن قيمة x تحتوي على عدد لا نهائي من قيم y.

    لقد كتبنا المعادلات الخطية في عدة أشكال، ولكن سيكون من المفيد جدًا لنا هنا استخدام الشكل المنحدر المقطوع للمعادلة الخطية. شكل التقاطع المنحدر للمعادلة الخطية هو\(y=mx+b\). في تدوين الدالة، تصبح هذه الدالة الخطية\(f(x)=mx+b\) حيث m هو منحدر الخط و b هو التقاطع y.

    المجال هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية، والنطاق هو أيضًا مجموعة جميع الأرقام الحقيقية.

    دالة خطية

    يحتوي هذا الشكل على رسم بياني لخط مستقيم على مستوى الإحداثيات x y. يمر الخط بالنقطة (0، ب). بجانب الرسم البياني يوجد ما يلي: «f of x يساوي x plus b»، «m، b: جميع الأرقام الحقيقية»، «m: منحدر الخط»، «b: y Intercept»، «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)».

    سنستخدم تقنيات الرسوم البيانية التي استخدمناها سابقًا لرسم الوظائف الأساسية.

    مثال\(\PageIndex{4}\)

    رسم بياني:\(f(x)=−2x−4\).

    إجابة
      \(f(x)=−2x−4\)
    نحن ندرك هذا كدالة خطية.  
    ابحث عن المنحدر ونقطة التقاطع y. \(m=−2\)
    \(b=−4\)
    رسم بياني باستخدام تقاطع المنحدر. .
    مثال\(\PageIndex{5}\)

    رسم بياني:\(f(x)=−3x−1\)

    إجابة

    يحتوي الشكل على رسم بياني لدالة خطية على مستوى الإحداثيات x y. يتم تشغيل المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يمر الخط بالنقاط (1، سالب 4)، (0، سالب 1)، و (سالب 1، 2).

    مثال\(\PageIndex{6}\)

    رسم بياني:\(f(x)=−4x−5\)

    إجابة

    يحتوي الشكل على رسم بياني لدالة خطية على مستوى الإحداثيات x y. يتم تشغيل المحاور x و y من سالب 6 إلى 6. يمر الخط بالنقاط (سالب 2، 3)، (0، سالب 5)، و (سالب 1، سالب 1).

    الدالة التالية التي سننظر إلى رسمها البياني تسمى الدالة الثابتة ومعادلتها في الشكل\(f(x)=b\)، حيث b هو أي عدد حقيقي. إذا استبدلنا\(f(x)\) بـ y، نحصل على\(y=b\). نحن ندرك أن هذا هو الخط الأفقي الذي يكون التقاطع y الخاص به هو b. الرسم البياني للدالة\(f(x)=b\)، هو أيضًا الخط الأفقي الذي يكون التقاطع y الخاص به هو b.

    لاحظ أنه بالنسبة لأي رقم حقيقي نضعه في الدالة، ستكون قيمة الدالة b. هذا يخبرنا أن النطاق يحتوي على قيمة واحدة فقط، b.

    وظيفة ثابتة

    يحتوي هذا الشكل على رسم بياني لخط أفقي مستقيم على مستوى الإحداثيات x y. يمر الخط بالنقطة (0، ب). يوجد بجانب الرسم البياني ما يلي: «f of x equalsb» و «b: أي رقم حقيقي» و «b: y Intercept» و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: b».

    مثال\(\PageIndex{7}\)

    رسم بياني:\(f(x)=4\).

    إجابة
      \(f(x)=4\)
    نحن ندرك هذا كدالة ثابتة.  
    سيكون الرسم البياني عبارة عن خط أفقي يمر به\((0,4)\). .
    مثال\(\PageIndex{8}\)

    رسم بياني:\(f(x)=−2\).

    إجابة

    يحتوي الشكل على رسم بياني لدالة ثابتة على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y من سالب 12 إلى 12. يمر الخط بالنقاط (0، سالب 2)، (1، سالب 2)، و (2، سالب 2).

    مثال\(\PageIndex{9}\)

    رسم بياني:\(f(x)=3\).

    إجابة

    يحتوي الشكل على رسم بياني لدالة ثابتة على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y من سالب 12 إلى 12. يمر الخط بالنقاط (0، 3)، (1، 3)، و (2، 3).

    وظيفة الهوية،\(f(x)=x\) هي حالة خاصة للدالة الخطية. إذا كتبناها في صورة دالة خطية\(f(x)=1x+0\)، نرى أن المنحدر هو 1 والجزء المقطوع y هو 0.

    وظيفة الهوية

    يحتوي هذا الشكل على رسم بياني لخط مستقيم على مستوى الإحداثيات x y. يمر الخط بالنقاط (0، 0)، (1، 1)، و (2، 2). بجانب الرسم البياني يوجد ما يلي: «f of x equalsx» و «m: 1" و «b: 0" و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)».

    الوظيفة التالية التي سننظر إليها ليست دالة خطية. لذلك لن يكون الرسم البياني خطًا. الطريقة الوحيدة لدينا لرسم هذه الوظيفة هي رسم النقاط. نظرًا لأن هذه وظيفة غير مألوفة، فإننا نتأكد من اختيار العديد من القيم الإيجابية والسلبية بالإضافة إلى 0 لقيم x الخاصة بنا.

    رسم بياني:\(f(x)=x^2\).

    إجابة

    نختار قيم x. نقوم باستبدالها ثم إنشاء مخطط كما هو موضح.

    يحتوي هذا الشكل على رسم بياني بجوار الجدول. يوجد في الرسم البياني فتحة مكافئة مرسومة بيانيًا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 2 إلى 6. يمر المكافئ بالنقاط (سالب 3، 9)، (سالب 2، 4)، (سالب 1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، (2، 4)، و (3، 9). يحتوي الجدول على 8 صفوف و 3 أعمدة. الصف الأول عبارة عن صف العنوان بالعناوين x و f لـ x يساوي مربع و (x، f of x). يحتوي الصف الثاني على الإحداثيات السالبة 3 و 9 و (سالب 3، 9). يحتوي الصف الثالث على الإحداثيات السالبة 2 و 4 و (سالب 2، 4). يحتوي الصف الرابع على الإحداثيات السالبة 1 و 1 و (سالب 1، 1). يحتوي الصف الخامس على الإحداثيات 0 و 0 و (0، 0). يحتوي الصف السادس على الإحداثيات 1 و 1 و (1، 1). يحتوي الصف السابع على الإحداثيات 2 و 4 و (2، 4). يحتوي الصف السابع على الإحداثيات 3 و 9 و (3، 9).

    مثال\(\PageIndex{11}\)

    رسم بياني:\(f(x)=x^2\).

    إجابة

    يحتوي هذا الشكل على رسم بياني بجوار الجدول. يوجد في الرسم البياني فتحة مكافئة مرسومة بيانيًا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 4 إلى 8. يمر المكافئ بالنقاط (سالب 2، 4)، (سالب 1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، و (2، 4).

    مثال\(\PageIndex{12}\)

    \(f(x)=−x^2\)

    إجابة

    يحتوي هذا الشكل على رسم بياني بجوار الجدول. يوجد في الرسم البياني فتحة مكافئة مرسومة بيانيًا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 4 إلى 8. يمر المكافئ بالنقاط (سالب 2، سالب 4)، (سالب 1، سالب 1)، (0، 0)، (1، سالب 1)، و (2، سالب 4).

    بالنظر إلى النتيجة في المثال، يمكننا تلخيص ميزات الدالة المربعة. نسمي هذا الرسم البياني المكافئ. عند النظر في المجال، لاحظ أنه يمكن استخدام أي رقم حقيقي كقيمة x. النطاق عبارة عن جميع الأرقام الحقيقية.

    النطاق ليس كل الأرقام الحقيقية. لاحظ أن الرسم البياني يتكون من قيم y لا تقل أبدًا عن الصفر. هذا أمر منطقي لأن مربع أي رقم لا يمكن أن يكون سالبًا. لذا، فإن نطاق الدالة المربعة هو جميع الأرقام الحقيقية غير السلبية.

    دالة مربعة

    يحتوي هذا الشكل على رسم بياني لفتحة مكافئ مرسومة بيانيًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 2 إلى 6. يمر المكافئ بالنقاط (سالب 2، 4)، (سالب 1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، و (2، 4). يوجد بجانب الرسم البياني ما يلي: «f of x يساوي مربع» و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: [0، اللانهاية)».

    الوظيفة التالية التي سننظر إليها ليست أيضًا دالة خطية، لذا لن يكون الرسم البياني خطًا. مرة أخرى سنستخدم رسم النقاط، ونتأكد من اختيار العديد من القيم الإيجابية والسلبية بالإضافة إلى 0 لقيم x الخاصة بنا.

    رسم بياني:\(f(x)=x^3\).

    إجابة

    نختار قيم x. نقوم باستبدالها ثم إنشاء مخطط.

    يحتوي هذا الشكل على خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 4 إلى 4. يمر الخط المنحني بالنقاط (سالب 2، سالب 8)، (سالب 1، سالب 1)، (0، 0)، (1، 1)، و (2، 8). بجانب الرسم البياني يوجد جدول. يحتوي الجدول على 6 صفوف و 3 أعمدة. الصف الأول عبارة عن صف العنوان بالعناوين x و f و x يساوي x مكعبًا و (x، f of x). يحتوي الصف الثاني على الإحداثيات السالبة 2، السالبة 8، (السالبة 2، السالبة 8). يحتوي الصف الثالث على الإحداثيات السالبة 1، السالبة 1، (السالبة 1، السالبة 1). يحتوي الصف الرابع على الإحداثيات 0 و 0 و (0، 0). يحتوي الصف الخامس على الإحداثيات 1 و 1 و (1، 1). يحتوي الصف السادس على الإحداثيات 2 و 8 و (2، 8).

    مثال\(\PageIndex{14}\)

    رسم بياني:\(f(x)=x^3\).

    إجابة

    يحتوي هذا الشكل على خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 6 إلى 6. يمر الخط المنحني بالنقاط (سالب 2، سالب 8)، (سالب 1، سالب 1)، (0، 0)، (1، 1)، و (2، 8).

    مثال\(\PageIndex{15}\)

    رسم بياني:\(f(x)=−x^3\).

    إجابة

    يحتوي هذا الشكل على خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 6 إلى 6. يمر الخط المنحني بالنقاط (سالب 2، 8)، (سالب 1، 1)، (0، 0)، (1، سالب 1)، و (2، سالب 8).

    بالنظر إلى النتيجة في المثال، يمكننا تلخيص ميزات وظيفة المكعب. عند النظر في المجال، لاحظ أنه يمكن استخدام أي رقم حقيقي كقيمة x. النطاق عبارة عن جميع الأرقام الحقيقية.

    النطاق هو جميع الأرقام الحقيقية. هذا أمر منطقي لأن مكعب أي رقم غير صفري يمكن أن يكون موجبًا أو سلبيًا. لذا، فإن نطاق دالة المكعب هو جميع الأرقام الحقيقية.

    وظيفة المكعب

    يحتوي هذا الشكل على خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 4 إلى 4. يمر الخط المنحني بالنقاط (سالب 2، سالب 8)، (سالب 1، سالب 1)، (0، 0)، (1، 1)، و (2، 8).). يوجد بجانب الرسم البياني ما يلي: «f of x يساوي المكعب» و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)».

    الدالة التالية التي سننظر إليها لا تربيع قيم الإدخال أو تكعيبها، بل تأخذ الجذر التربيعي لتلك القيم.

    دعونا نرسم الدالة\(f(x)=\sqrt{x}\) ثم نلخص خصائص الدالة. تذكر أنه يمكننا فقط أخذ الجذر التربيعي للأرقام الحقيقية غير السالبة، لذلك سيكون نطاقنا هو الأرقام الحقيقية غير السالبة.

    مثال\(\PageIndex{16}\)

    \(f(x)=\sqrt{x}\)

    إجابة

    نختار قيم x. نظرًا لأننا سنأخذ الجذر التربيعي، فإننا نختار الأرقام التي تمثل مربعات مثالية، لتسهيل عملنا. نقوم باستبدالها ثم إنشاء مخطط.

    يحتوي هذا الشكل على نصف خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من 0 إلى 8. يمتد المحور y من 0 إلى 8. يبدأ نصف الخط المنحني عند النقطة (0، 0) ثم يرتفع إلى اليمين. يمر خط النصف المنحني بالنقاط (1، 1) و (4، 2). بجانب الرسم البياني يوجد جدول. يحتوي الجدول على 5 صفوف و 3 أعمدة. الصف الأول هو صف العنوان بالعناوين x و f لـ x يساوي الجذر التربيعي لـ x و (x، f of x). يحتوي الصف الثاني على الإحداثيات 0 و 0 و (0، 0). يحتوي الصف الثالث على الإحداثيات 1 و 1 و (1، 1). يحتوي الصف الرابع على الإحداثيات 4 و 2 و (4، 2). يحتوي الصف الخامس على الإحداثيات 9 و 3 و (9، 3).

    مثال\(\PageIndex{17}\)

    رسم بياني:\(f(x)=x\).

    إجابة

    يحتوي هذا الشكل على نصف خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من 0 إلى 10. يمتد المحور y من 0 إلى 10. يبدأ نصف الخط المنحني عند النقطة (0، 0) ثم يرتفع إلى اليمين. يمر خط النصف المنحني بالنقاط (1، 1)، (4، 2)، و (9، 3).

    مثال\(\PageIndex{18}\)

    رسم بياني:\(f(x)=−\sqrt{x}\).

    إجابة

    يحتوي هذا الشكل على نصف خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من 0 إلى 10. يمتد المحور y من سالب 10 إلى 0. يبدأ نصف الخط المنحني عند النقطة (0، 0) ثم ينخفض إلى اليمين. يمر خط النصف المنحني بالنقاط (1، سالب 1)، (4، سالب 2)، و (9، سالب 3).

    دالة الجذر التربيعي

    يحتوي هذا الشكل على نصف خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من 0 إلى 8. يمتد المحور y من 0 إلى 8. يبدأ نصف الخط المنحني عند النقطة (0، 0) ثم يرتفع إلى اليمين. يمر خط النصف المنحني بالنقاط (1، 1) و (4، 2). يوجد بجانب الرسم البياني ما يلي: «f of x يساوي الجذر التربيعي لـ x» و «المجال: [0، اللانهاية)»، و «النطاق: [0، اللانهاية)».

    وظيفتنا الأساسية الأخيرة هي دالة القيمة المطلقة،\(f(x)=|x|\). ضع في اعتبارك أن القيمة المطلقة للرقم هي المسافة من الصفر. نظرًا لأننا لا نقيس المسافة أبدًا كرقم سالب، فلن نحصل أبدًا على رقم سالب في النطاق.

    رسم بياني:\(f(x)=|x|\).

    إجابة

    نختار قيم x. نقوم باستبدالها ثم إنشاء مخطط.

    يحتوي هذا الشكل على خط على شكل حرف v تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 1 إلى 6. يمر الخط على شكل حرف v بالنقاط (سالب 3، 3)، (سالب 2، 2)، (سالب 1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، (2، 2)، و (3، 3). بجانب الرسم البياني يوجد جدول. يحتوي الجدول على 8 صفوف و 3 أعمدة. الصف الأول هو صف العنوان بالعناوين x و f من x تساوي القيمة المطلقة لـ x و (x، f of x). يحتوي الصف الثاني على الإحداثيات السالبة 3 و 3 و (سالب 3، 3). يحتوي الصف الثالث على الإحداثيات السالبة 2 و 2 و (سالب 2، 2). يحتوي الصف الرابع على الإحداثيات السالبة 1 و 1 و (سالب 1، 1). يحتوي الصف الخامس على الإحداثيات 0 و 0 و (0، 0). يحتوي الصف السادس على الإحداثيات 1 و 1 و (1، 1). يحتوي الصف السابع على الإحداثيات 2 و 2 و (2، 2). يحتوي الصف الثامن على الإحداثيات 3 و 3 و (3، 3).

    مثال\(\PageIndex{20}\)

    رسم بياني:\(f(x)=|x|\).

    إجابة

    يحتوي هذا الشكل على خط على شكل حرف v تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 2 إلى 10. يمر الخط على شكل حرف v بالنقاط (سالب 3، 3)، (سالب 2، 2)، (سالب 1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، (2، 2)، و (3، 3).

    مثال\(\PageIndex{21}\)

    رسم بياني:\(f(x)=−|x|\).

    إجابة

    يحتوي هذا الشكل على خط على شكل حرف v تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 8 إلى 4. يمر الخط على شكل حرف v بالنقاط (سالب 3، سالب 3)، (سالب 2، سالب 2)، (سالب 1، سالب 1)، (0، 0)، (1، سالب 1)، (2، سالب 2)، و (3، سالب 3).

    دالة القيمة المطلقة

    يحتوي هذا الشكل على خط على شكل حرف v تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 1 إلى 6. يمر الخط على شكل حرف v بالنقاط (سالب 3، 3)، (سالب 2، 2)، (سالب 1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، (2، 2)، و (3، 3). تسمى النقطة (0، 0) التي يتغير فيها الخط المنحدر بالرأس. بجانب الرسم البياني يوجد ما يلي: «f of x يساوي القيمة المطلقة لـ x» و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: [0، اللانهاية)».

    اقرأ المعلومات من الرسم البياني للدالة

    في العلوم والأعمال، غالبًا ما يتم جمع البيانات ثم رسمها بيانيًا. يتم تحليل الرسم البياني، ويتم الحصول على المعلومات من الرسم البياني ثم غالبًا ما يتم إجراء تنبؤات من البيانات.

    سنبدأ بقراءة مجال ونطاق الدالة من الرسم البياني الخاص بها.

    تذكر أن المجال هو مجموعة جميع قيم x في الأزواج المرتبة في الدالة. للعثور على المجال، ننظر إلى الرسم البياني ونجد جميع قيم x التي لها قيمة مقابلة على الرسم البياني. اتبع القيمة x لأعلى أو لأسفل عموديًا. إذا قمت بالضغط على الرسم البياني للدالة، فسيكون x في المجال.

    تذكر أن النطاق هو مجموعة جميع قيم y في الأزواج المرتبة في الدالة. للعثور على النطاق، ننظر إلى الرسم البياني ونجد جميع قيم y التي لها قيمة مقابلة على الرسم البياني. اتبع القيمة y يسارًا أو يمينًا أفقيًا. إذا ضغطت على الرسم البياني للدالة، فسيكون y في النطاق.

    مثال\(\PageIndex{22}\)

    استخدم الرسم البياني للدالة للعثور على مجالها ونطاقها. اكتب المجال والنطاق في الترميز الفاصل الزمني.

    يحتوي هذا الشكل على مقطع خطي منحني مرسوم على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 4 إلى 4. يمر مقطع الخط المنحني بالنقاط (سالب 3، سالب 1)، (1.5، 3)، و (3، 1). يتم وضع علامة الفاصل الزمني [سالب 3، 3] على المحور الأفقي. يتم وضع علامة الفاصل الزمني [سالب 1، 3] على المحور الرأسي.

    إجابة

    للعثور على المجال، ننظر إلى الرسم البياني ونجد جميع قيم x التي تتوافق مع نقطة على الرسم البياني. تم تمييز المجال باللون الأحمر على الرسم البياني. المجال هو\([−3,3]\).

    للعثور على النطاق، ننظر إلى الرسم البياني ونجد جميع قيم y التي تتوافق مع نقطة على الرسم البياني. يتم تمييز النطاق باللون الأزرق على الرسم البياني. النطاق هو\([−1,3]\).

    مثال\(\PageIndex{23}\)

    استخدم الرسم البياني للدالة للعثور على مجالها ونطاقها. اكتب المجال والنطاق في الترميز الفاصل الزمني.

    يحتوي هذا الشكل على مقطع خطي منحني مرسوم على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 6 إلى 6. يمتد المحور y من سالب 6 إلى 6. يمر مقطع الخط المنحني بالنقاط (سالب 5، سالب 4)، (0، سالب 3)، و (1، 2). يتم وضع علامة الفاصل الزمني [سالب 5، 1] على المحور الأفقي. يتم وضع علامة الفاصل الزمني [سالب 4، 2] على المحور الرأسي.

    إجابة

    المجال هو\([−5,1]\). النطاق هو\([−4,2]\).

    مثال\(\PageIndex{24}\)

    استخدم الرسم البياني للدالة للعثور على مجالها ونطاقها. اكتب المجال والنطاق في الترميز الفاصل الزمني.

    يحتوي هذا الشكل على مقطع خطي منحني مرسوم على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 5. يمتد المحور y من سالب 6 إلى 4. يمر مقطع الخط المنحني بالنقاط (سالب 2، 1)، (0، 3)، و (4، سالب 5). يتم وضع علامة الفاصل الزمني [سالب 2، 4] على المحور الأفقي. يتم وضع علامة الفاصل الزمني [سالب 5، 3] على المحور الرأسي.

    إجابة

    المجال هو\([−2,4]\). النطاق هو\([−5,3]\).

    سنقوم الآن بقراءة المعلومات من الرسم البياني الذي قد تراه في فصول الرياضيات المستقبلية.

    مثال\(\PageIndex{25}\)

    استخدم الرسم البياني للدالة للعثور على القيم المشار إليها.

    يحتوي هذا الشكل على خط منحني متموج تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب مرتين في pi إلى مرتين pi. يمتد المحور y من سالب 4 إلى 4. يمر مقطع الخط المنحني بالنقاط (سالب 2 مضروبًا في pi، 0)، (سالب 3 مقسومًا على مرتين pi، 1)، (pi سالب، 0)، (سالب 1 مقسومًا على مرتين pi، سالب 1)، (0، 0)، (1 مقسومًا على مرتين pi، 1)، (pi، 0)، (3 مقسومًا على مرتين pi، سالب 1)، (2 مرات pi، 0). النقاط (سالب 3 مقسومًا على 2 في pi، 1) و (1 مقسومًا على 2 في pi، 1) هي أعلى النقاط على الرسم البياني. النقاط (سالب 1 مقسومًا على مرتين pi، سالب 1) و (3 مقسومًا على مرتين pi، سالب 1) هي أدنى النقاط على الرسم البياني. يمتد النمط بلا حدود إلى اليسار واليمين.

    ⓐ ابحث عن:\(f(0)\).
    ⓑ ابحث عن:\(f(32\pi)\).
    ⓒ ابحث عن:\(f(−12\pi)\).
    ⓓ ابحث عن قيم x عندما\(f(x)=0\).
    ⓔ ابحث عن نقاط التقاطع x.
    ⓕ ابحث عن نقاط التقاطع y.
    ⓖ ابحث عن المجال. اكتبها في تدوين الفاصل الزمني.
    ⓗ ابحث عن النطاق. اكتبها في تدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    ⓐ عندما\(x=0\) تعبر الدالة المحور y عند 0. لذلك،\(f(0)=0\).
    ⓑ عندما تكون\(x=32\pi\) قيمة y للدالة هي\(−1\). لذلك،\(f(32\pi)=−1\).
    ⓒ عندما تكون\(x=−12\pi\) قيمة y للدالة هي\(−1\). لذلك،\(f(−12\pi)=−1\).
    ⓓ الوظيفة هي 0 عند النقاط،\((−2\pi,0), (−\pi,0), (0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\). قيم x عندما\(f(x)=0\) تكون\(−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi\).
    ⓔ تحدث عمليات الاعتراض x عندما\(y=0\). لذلك تحدث عمليات الاعتراض x عندما\(f(x)=0\). عمليات الاعتراض x هي\((−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\).
    ⓕ تحدث عمليات الاعتراض y عند x=0.x=0. لذلك تحدث عمليات الاعتراض y عند\(f(0)\). اعتراض y هو\((0,0)\).
    ⓖ تحتوي هذه الوظيفة على قيمة عندما تكون x من\(−2\pi\) إلى\(2\pi\). لذلك، المجال في الترميز الفاصل الزمني هو\([−2\pi,2\pi]\).
    ⓗ تنتقل قيم الدالة هذه أو قيم y من 1\(−1\) إلى 1. لذلك، يكون النطاق، في الترميز الفاصل الزمني، هو\([−1,1]\).

    مثال\(\PageIndex{26}\)

    استخدم الرسم البياني للدالة للعثور على القيم المشار إليها.

    يحتوي هذا الشكل على خط منحني متموج تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب مرتين في pi إلى مرتين pi. يمتد المحور y من سالب 6 إلى 6. يمر مقطع الخط المنحني بالنقاط (سالب 2 مضروبًا في pi، 0)، (سالب 3 مقسومًا على مرتين pi، 2)، (pi سالب، 0)، (سالب 1 مقسومًا على مرتين pi، سالب 2)، (0، 0)، (1 مقسومًا على مرتين pi، 2)، (pi، 0)، (3 مقسومًا على مرتين pi، سالب 2)، و (2 مرات pi، 0). النقاط (سالب 3 مقسومًا على 2 في pi، 2) و (1 مقسومًا على 2 في pi، 2) هي أعلى النقاط على الرسم البياني. النقاط (سالب 1 مقسومًا على مرتين pi، سالب 2) و (3 مقسومًا على مرتين pi، سالب 2) هي أدنى النقاط على الرسم البياني. يمتد الخط بلا حدود إلى اليسار واليمين.

    ⓐ ابحث عن: (0) .f (0).
    ⓑ ابحث عن: (12\ pi) .f (12\ pi).
    ⓒ ابحث عن: (−32\ pi) .f (−32\ pi).
    ⓓ ابحث عن قيم x عندما f (x) = 0.f (x) =0.
    ⓔ ابحث عن نقاط التقاطع x.
    ⓕ ابحث عن نقاط التقاطع y.
    ⓖ ابحث عن المجال. اكتبها في تدوين الفاصل الزمني.
    ⓗ ابحث عن النطاق. اكتبها في تدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    ⓐ\(f(0)=0\) ⓑ\(f=(\pi2)=2\) ⓒ\(f=(−3\pi2)=2\) ⓓ\(f(x)=0\) لـ\(x=−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi\) ⓔ\((−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\) ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ\([−2\pi,2\pi]\) ⓗ\([−2,2]\)

    مثال\(\PageIndex{27}\)

    استخدم الرسم البياني للدالة للعثور على القيم المشار إليها.

    يحتوي هذا الشكل على خط منحني متموج تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب مرتين في pi إلى مرتين pi. يمتد المحور y من سالب 6 إلى 6. يمر مقطع الخط المنحني بالنقاط (سالب 2 مضروبًا في pi، 1)، (سالب 3 مقسومًا على مرتين pi، 0)، (pi سالب 1)، (سالب 1 مقسومًا على مرتين pi، 0)، (0، 1)، (1 مقسومًا على مرتين pi، 0)، (pi، سالب 1)، (3 مقسومًا على مرتين pi، 0)، (2 مرات pi، 1). النقاط (السالبة مرتين في pi، 1)، (0، 1)، و (2 في pi، 1) هي أعلى النقاط على الرسم البياني. النقاط (pi السلبية، السالبة 1) و (pi، السالبة 1) هي أدنى النقاط على الرسم البياني. يمتد النمط بلا حدود إلى اليسار واليمين.

    ⓐ ابحث عن:\(f(0)\).
    ⓑ ابحث عن:\(f(\pi)\).
    ⓒ ابحث عن:\(f(−\pi)\).
    ⓓ ابحث عن قيم x عندما\(f(x)=0\).
    ⓔ ابحث عن نقاط التقاطع x.
    ⓕ ابحث عن نقاط التقاطع y.
    ⓖ ابحث عن المجال. اكتبها في تدوين الفاصل الزمني.
    ⓗ ابحث عن النطاق. اكتبها في تدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    ⓐ\(f(0)=1\) ⓑ\(f(\pi)=−1\) ⓒ\(f(−\pi)=−1\) ⓓ\(f(x)=0\) لـ\(x=−3\pi2,−\pi2,\pi2,3\pi2\) ⓔ\((−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0),(2pi,0)\) ⓕ\((0,1)\) ⓖ\([−2pi,2pi]\) ⓗ\([−1,1]\)

    قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام الرسوم البيانية للوظائف.

    المفاهيم الرئيسية

    • اختبار الخط العمودي
      • مجموعة النقاط في نظام الإحداثيات المستطيل هي الرسم البياني للدالة إذا كان كل خط عمودي يتقاطع مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر.
      • إذا تقاطع أي خط عمودي مع الرسم البياني في أكثر من نقطة، فإن الرسم البياني لا يمثل دالة.
    • رسم بياني لدالة
      • الرسم البياني للدالة هو الرسم البياني لجميع أزواجها المرتبة، (x، y) (x، y) أو باستخدام تدوين الدالة، (x، f (x)) (x، f (x)) حيث y=f (x) .y=f (x).

        fxf (x) اسم الدالة - الإحداثية للزوج المطلوب - الإحداثي للزوج المطلوب - اسم الدالة x - الإحداثي للزوج المطلوب (x) y (الإحداثي) للزوج المطلوب

    • دالة خطية
      يحتوي هذا الشكل على رسم بياني لخط مستقيم على مستوى الإحداثيات x y. يمر الخط بالنقطة (0، ب). بجانب الرسم البياني يوجد ما يلي: «f of x يساوي x plus b»، «m، b: جميع الأرقام الحقيقية»، «m: منحدر الخط»، «b: y Intercept»، «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)».
    • وظيفة ثابتة
      يحتوي هذا الشكل على رسم بياني لخط أفقي مستقيم على مستوى الإحداثيات x y. يمر الخط بالنقطة (0، ب). يوجد بجانب الرسم البياني ما يلي: «f of x equalsb» و «b: أي رقم حقيقي» و «b: y Intercept» و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: b».
    • وظيفة الهوية
      يحتوي هذا الشكل على رسم بياني لخط مستقيم على مستوى الإحداثيات x y. يمر الخط بالنقاط (0، 0)، (1، 1)، و (2، 2). بجانب الرسم البياني يوجد ما يلي: «f of x equalsx» و «m: 1" و «b: 0" و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)».
    • دالة مربعة
      يحتوي هذا الشكل على رسم بياني لفتحة مكافئ مرسومة بيانيًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 2 إلى 6. يمر المكافئ بالنقاط (سالب 2، 4)، (سالب 1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، و (2، 4). يوجد بجانب الرسم البياني ما يلي: «f of x يساوي مربع» و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: [0، اللانهاية)».
    • وظيفة المكعب
      يحتوي هذا الشكل على خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 4 إلى 4. يمر الخط المنحني بالنقاط (سالب 2، سالب 8)، (سالب 1، سالب 1)، (0، 0)، (1، 1)، و (2، 8).). يوجد بجانب الرسم البياني ما يلي: «f of x يساوي المكعب» و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)».
    • دالة الجذر التربيعي
      يحتوي هذا الشكل على نصف خط منحني تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من 0 إلى 8. يمتد المحور y من 0 إلى 8. يبدأ نصف الخط المنحني عند النقطة (0، 0) ثم يرتفع إلى اليمين. يمر خط النصف المنحني بالنقاط (1، 1) و (4، 2). يوجد بجانب الرسم البياني ما يلي: «f of x يساوي الجذر التربيعي لـ x» و «المجال: [0، اللانهاية)»، و «النطاق: [0، اللانهاية)».
    • دالة القيمة المطلقة
      يحتوي هذا الشكل على خط على شكل حرف v تم رسمه على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني من سالب 4 إلى 4. يمتد المحور y من سالب 1 إلى 6. يمر الخط على شكل حرف v بالنقاط (سالب 3، 3)، (سالب 2، 2)، (سالب 1، 1)، (0، 0)، (1، 1)، (2، 2)، و (3، 3). تسمى النقطة (0، 0) التي يتغير فيها الخط المنحدر بالرأس. بجانب الرسم البياني يوجد ما يلي: «f of x يساوي القيمة المطلقة لـ x» و «المجال: (اللانهاية السالبة، اللانهاية)»، و «النطاق: [0، اللانهاية)».