1.6: خصائص الأعداد الحقيقية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• استخدم الخصائص التبادلية والترابطية
• استخدم خصائص الهوية والمعكوس والصفر
• قم بتبسيط التعبيرات باستخدام خاصية التوزيع

استخدم الخصائص الإبدالية والترابطية

لا يؤثر الترتيب الذي نضيف به رقمين على النتيجة. إذا أضفنا$8+9$ أو$9+8$، تكون النتائج هي نفسها - فكلاهما يساوي 17. لذلك،$8+9=9+8$. الترتيب الذي نضيف به لا يهم!

وبالمثل، عند ضرب رقمين، لا يؤثر الترتيب على النتيجة. إذا ضربنا$9·8$ أو$8·9$ كانت النتائج هي نفسها - فكلاهما يساوي 72. لذلك،$9·8=8·9$. الترتيب الذي نضرب به لا يهم! توضح هذه الأمثلة الملكية التبادلية.

الملكية التبادلية

$$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array}$$

عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير الترتيب يعطي نفس النتيجة.

الملكية التبادلية لها علاقة بالترتيب. نطرح$9−8$ ونرى$8−9$ ذلك$9−8\neq 8−9$. نظرًا لأن تغيير ترتيب الطرح لا يعطي نفس النتيجة، فنحن نعلم أن الطرح ليس إبداليًا.

القسمة ليست تبديلية أيضًا. نظرًا لأن$12÷3\neq 3÷12$ تغيير ترتيب القسم لم يعطي نفس النتيجة. تنطبق الخصائص التبادلية فقط على الجمع والضرب!

• الجمع والضرب تبديلان.
• الطرح والقسمة لا يتبادلان.

عند إضافة ثلاثة أرقام، فإن تغيير تجميع الأرقام يعطي نفس النتيجة. على سبيل المثال$(7+8)+2=7+(8+2)$، لأن كل جانب من المعادلة يساوي 17.

هذا صحيح بالنسبة للضرب أيضًا. على سبيل المثال$\left(5·\frac{1}{3}\right)·3=5·\left(\frac{1}{3}·3\right)$، لأن كل جانب من المعادلة يساوي 5.

توضح هذه الأمثلة الملكية الترابطية.

الملكية الترابطية

$$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array}$$

عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير التجميع يعطي نفس النتيجة.

الخاصية الترابطية لها علاقة بالتجميع. إذا قمنا بتغيير كيفية تجميع الأرقام، فستكون النتيجة هي نفسها. لاحظ أنها نفس الأرقام الثلاثة بنفس الترتيب - الاختلاف الوحيد هو التجميع.

لقد رأينا أن الطرح والقسمة ليسا بديلين. كما أنها ليست ترابطية.

$$\begin{array}{cc} (10−3)−2\neq 10−(3−2) & (24÷4)÷2\neq 24÷(4÷2) \\ 7−2\neq 10−1 & 6÷2\neq 24÷2 \\ 5\neq 9 & 3\neq 12 \end{array}$$

عند تبسيط التعبير، من الجيد دائمًا التخطيط للخطوات التي ستكون. من أجل دمج المصطلحات المتشابهة في المثال التالي، سنستخدم خاصية الإبدال الخاصة بالإضافة لكتابة المصطلحات المتشابهة معًا.

مثال$\PageIndex{1}$

قم بالتبسيط:$18p+6q+15p+5q$.

إجابة

$$\begin{array}{lc} \text{} & 18p+6q+15p+5q \\ \text{Use the Commutative Property of addition to} & 18p+15p+6q+5q \\ \text{reorder so that like terms are together.} & {} \\ \text{Add like terms.} & 33p+11q \end{array}$$

مثال$\PageIndex{2}$

قم بالتبسيط:$23r+14s+9r+15s$.

إجابة

$32r+29s$

مثال$\PageIndex{3}$

قم بالتبسيط:$37m+21n+4m−15n$.

إجابة

$41m+6n$

عندما يتعين علينا تبسيط التعبيرات الجبرية، يمكننا غالبًا تسهيل العمل من خلال تطبيق خاصية الإبدال أو الخاصية الترابطية أولاً.

مثال$\PageIndex{4}$

قم بالتبسيط:$(\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4}$.

إجابة

$\begin{array}{lc} \text{} & (\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4} \\ {\text{Notice that the last 2 terms have a common} \\ \text{denominator, so change the grouping.} } & \frac{5}{13}+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) \\ \text{Add in parentheses first.} & \frac{5}{13}+(\frac{4}{4}) \\ \text{Simplify the fraction.} & \frac{5}{13}+1 \\ \text{Add.} & 1\frac{5}{13} \\ \text{Convert to an improper fraction.} & \frac{18}{13} \end{array}$

مثال$\PageIndex{5}$

قم بالتبسيط:$(\frac{7}{15}+\frac{5}{8})+\frac{3}{8}.$

إجابة

$1 \frac{7}{15}$

مثال$\PageIndex{6}$

قم بالتبسيط:$(\frac{2}{9}+\frac{7}{12})+\frac{5}{12}$.

إجابة

$1\frac{2}{9}$

استخدم خصائص الهوية والمعكوس والصفر

ماذا يحدث عندما نضيف 0 إلى أي رقم؟ لا تؤدي إضافة 0 إلى تغيير القيمة. لهذا السبب، نسمي 0 الهوية الإضافية. خاصية الهوية الخاصة بالإضافة التي تنص على أنه بالنسبة لأي رقم حقيقي$a,a+0=a$ و$0+a=a.$

ماذا يحدث عندما نضرب أي رقم في واحد؟ الضرب في 1 لا يغير القيمة. لذلك نسمي 1 الهوية المضاعفة. خاصية الهوية الخاصة بالضرب التي تنص على أنه بالنسبة لأي رقم حقيقي$a,a·1=a$ و$1⋅a=a.$

نحن نلخص خصائص الهوية هنا.

خاصية الهوية

$$\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \\ \\ \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \\ \\ \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}$$

ما العدد المضاف إلى العدد ٥ الذي يُعطي الهوية الإضافية، ٠؟ نحن نعلم

كان الرقم المفقود عكس الرقم!

نسمي$−a$ المعكوس الجمعي لـ$a$. نقيض الرقم هو معكوسه الإضافي. الرقم ونقيضه يضيفان إلى الصفر، وهو الهوية الإضافية. يؤدي هذا إلى خاصية الجمع العكسية التي تنص على أي رقم حقيقي$a,a+(−a)=0.$

ما العدد$\frac{2}{3}$ مضروبًا في إعطاء الهوية المضاعفة، ١؟ بعبارة أخرى،$\frac{2}{3}$ أضعاف ما هي النتائج في 1؟ نحن نعلم

كان الرقم المفقود هو مقلوب الرقم!

نسمي$\frac{1}{a}$ المعكوس الضربي لـ a. مقلوب العدد هو معكوسه الضربي. هذا يؤدي إلى خاصية الضرب العكسية التي تنص على ذلك لأي رقم حقيقي$a,a\neq 0,a·\frac{1}{a}=1.$

سنذكر رسميًا الخصائص العكسية هنا.

خاصية عكسية

$$\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}$$

تقول خاصية الهوية الخاصة بالإضافة أنه عندما نضيف 0 إلى أي رقم، تكون النتيجة هي نفس الرقم. ماذا يحدث عندما نضرب عددًا في 0؟ الضرب في 0 يجعل المنتج يساوي صفرًا.

ماذا عن القسمة التي تتضمن الصفر؟ ما هي$0÷3$؟ فكر في مثال حقيقي: إذا لم تكن هناك ملفات تعريف الارتباط في جرة ملفات تعريف الارتباط وكان على 3 أشخاص مشاركتها، فما عدد ملفات تعريف الارتباط التي يحصل عليها كل شخص؟ لا توجد ملفات تعريف ارتباط لمشاركتها، لذلك يحصل كل شخص على 0 ملفات تعريف الارتباط. لذا،$0÷3=0.$

يمكننا التحقق من القسمة بحقيقة الضرب ذات الصلة. لذلك نحن نعرف$0÷3=0$ ذلك بسبب$0·3=0$.

الآن فكر في القسمة على الصفر. ما نتيجة قسمة 4 على 0؟ فكر في حقيقة الضرب ذات الصلة:

هل هناك رقم مضروبًا في 0 يعطي 4؟ نظرًا لأن أي رقم حقيقي مضروبًا في 0 يعطي 0، فلا يوجد رقم حقيقي يمكن ضربه في 0 للحصول على 4. نستنتج أنه لا توجد إجابة لذلك نقول أن القسمة على 0 غير محددة.$4÷0$

نحن نلخص خصائص الصفر هنا.

خصائص الصفر

الضرب بالصفر: لأي رقم حقيقي a،

$$a⋅0=0 \; \; \; 0⋅a=0 \; \; \; \; \text{The product of any number and 0 is 0.}$$

القسمة على الصفر: لأي رقم حقيقي a،$a\neq 0$

$$\begin{array}{cl} \dfrac{0}{a}=0 & \text{Zero divided by any real number, except itself, is zero.} \\ \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} & \text{Division by zero is undefined.} \end{array}$$

سنتدرب الآن على استخدام خصائص الهويات والمعكوسات والصفر لتبسيط التعبيرات.

مثال$\PageIndex{7}$

قم بالتبسيط:$−84n+(−73n)+84n.$

إجابة

$\begin{array}{lc} \text{} & −84n+(−73n)+84n \\ \text{Notice that the first and third terms are} \\ \text{opposites; use the Commutative Property of} & −84n+84n+(−73n) \\ \text{addition to re-order the terms.} \\ \text{Add left to right.} & 0+(−73n) \\ \text{Add.} & −73n \end{array}$

مثال$\PageIndex{8}$

قم بالتبسيط:$−27a+(−48a)+27a$.

إجابة

$−48a$

مثال$\PageIndex{9}$

قم بالتبسيط:$39x+(−92x)+(−39x)$.

إجابة

$−92x$

سنرى الآن كيف أن التعرف على المعاملة بالمثل مفيد. قبل الضرب من اليسار إلى اليمين، ابحث عن الترددية - منتجها هو 1.

مثال$\PageIndex{10}$

قم بالتبسيط:$\frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7}$.

إجابة

$\begin{array}{lc} \text{} & \frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7} \\ \text{Notice the first and third terms} \\ {\text{are reciprocals, so use the Commutative} \\ \text{Property of multiplication to re-order the} \\ \text{factors.}} & \frac{7}{15}·\frac{15}{7}·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply left to right.} & 1·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply.} & \frac{8}{23} \end{array}$

مثال$\PageIndex{11}$

قم بالتبسيط:$\frac{9}{16}⋅\frac{5}{49}⋅\frac{16}{9}$.

إجابة

$\frac{5}{49}$

قم بالتبسيط:$\frac{6}{17}⋅\frac{11}{25}⋅\frac{17}{6}$.

إجابة

$\frac{11}{25}$

المثال التالي يجعلنا ندرك الفرق بين قسمة 0 على رقم ما أو قسمة بعض الأرقام على 0.

تبسيط: أ.$\frac{0}{n+5}$، أين$n\neq −5$ ب.$\frac{10−3p}{0}$ أين$10−3p\neq 0.$

إجابة

أ.

$\begin{array}{lc} {} & \dfrac{0}{n+5} \\ \text{Zero divided by any real number except itself is 0.} & 0 \end{array}$

ب.

$\begin{array}{lc} {} & \dfrac{10−3p}{0} \\ \text{Division by 0 is undefined.} & \text{undefined} \end{array}$

مثال$\PageIndex{14}$

تبسيط: أ.$\frac{0}{m+7}$، أين$m\neq −7$ ب$\frac{18−6c}{0}$، أين$18−6c\neq 0$.

إجابة

أ. 0
ب. غير محدد

مثال$\PageIndex{15}$

تبسيط: أ.$\frac{0}{d−4}$، أين$d\neq 4$ ب$\frac{15−4q}{0}$، أين$15−4q\neq 0$.

إجابة

أ. 0
ب. غير محدد

تبسيط التعبيرات باستخدام خاصية التوزيع

لنفترض أن ثلاثة أصدقاء سيذهبون إلى السينما. يحتاج كل منهم إلى 9.25 دولارًا - أي 9 دولارات وربع واحد - لدفع ثمن تذاكرهم. كم من المال يحتاجون إليه جميعًا معًا؟

يمكنك التفكير في الدولارات بشكل منفصل عن الأرباع. إنهم بحاجة إلى 3 أضعاف 9 دولارات، لذا 27 دولارًا و 3 مرات في الربع الأول، أي 75 سنتًا. في المجموع، يحتاجون إلى 27.75 دولارًا. إذا كنت تفكر في إجراء الرياضيات بهذه الطريقة، فأنت تستخدم خاصية التوزيع.

خاصية التوزيع

$\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}$

في الجبر، نستخدم خاصية التوزيع لإزالة الأقواس أثناء تبسيط التعبيرات.

مثال$\PageIndex{16}$

قم بالتبسيط:$3(x+4)$.

إجابة

$\begin{array} {} & 3(x+4) \\ \text{Distribute.} \; \; \; \; \; \; \; \; & 3·x+3·4 \\ \text{Multiply.} & 3x+12 \end{array}$

قم بالتبسيط:$4(x+2)$.

إجابة

$4x8$

مثال$\PageIndex{18}$

قم بالتبسيط:$6(x+7)$.

إجابة

$6x42$

يجد بعض الطلاب أنه من المفيد رسم الأسهم لتذكيرهم بكيفية استخدام خاصية التوزيع. ثم ستبدو الخطوة الأولى في المثال كما يلي:

مثال$\PageIndex{19}$

قم بالتبسيط:$8(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4})$.

إجابة

قم بالتوزيع.
اضرب.

مثال$\PageIndex{20}$

قم بالتبسيط:$6(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2})$.

إجابة

$5y+3$

مثال$\PageIndex{21}$

قم بالتبسيط:$12(\frac{1}{3}n+\frac{3}{4})$

إجابة

$4n+9$

سيكون استخدام خاصية التوزيع كما هو موضح في المثال التالي مفيدًا جدًا عند حل تطبيقات الأموال في الفصول اللاحقة.

مثال$\PageIndex{22}$

قم بالتبسيط:$100(0.3+0.25q)$.

إجابة

قم بالتوزيع.
اضرب.

مثال$\PageIndex{23}$

قم بالتبسيط:$100(0.7+0.15p).$

إجابة

$70+15p$

مثال$\PageIndex{24}$

قم بالتبسيط:$100(0.04+0.35d)$.

إجابة

$4+35d$

عندما نوزع رقمًا سالبًا، نحتاج إلى توخي الحذر الشديد لتصحيح العلامات!

مثال$\PageIndex{25}$

قم بالتبسيط:$−11(4−3a).$

إجابة

$\begin{array}{lc} {} & −11(4−3a) \\ \text{Distribute. } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;& −11·4−(−11)·3a \\ \text{Multiply.} & −44−(−33a) \\ \text{Simplify.} & −44+33a \end{array}$

لاحظ أنه يمكنك أيضًا كتابة النتيجة على النحو «$33a−44.$هل تعرف السبب؟

قم بالتبسيط:$−5(2−3a)$.

إجابة

$−10+15a$

مثال$\PageIndex{27}$

قم بالتبسيط:$−7(8−15y).$

إجابة

$−56+105y$

في المثال التالي، سنعرض كيفية استخدام خاصية التوزيع للعثور على عكس التعبير.

قم بالتبسيط:$−(y+5)$.

إجابة

$\begin{array}{lc} {} & −(y+5) \\ \text{Multiplying by }−1 \text{ results in the opposite.}& −1(y+5) \\ \text{Distribute.} & −1·y+(−1)·5 \\ \text{Simplify.} & −y+(−5) \\ \text{Simplify.} & −y−5 \end{array}$

مثال$\PageIndex{29}$

قم بالتبسيط:$−(z−11)$.

إجابة

$−z+11$

مثال$\PageIndex{30}$

قم بالتبسيط:$−(x−4)$.

إجابة

$−x+4$

ستكون هناك أوقات سنحتاج فيها إلى استخدام خاصية التوزيع كجزء من ترتيب العمليات. ابدأ بالنظر إلى الأقواس. إذا كان التعبير الموجود داخل الأقواس لا يمكن تبسيطه، فستكون الخطوة التالية هي الضرب باستخدام خاصية التوزيع، التي تزيل الأقواس. سيوضح المثالان التاليان هذا.

مثال$\PageIndex{31}$

قم بالتبسيط:$8−2(x+3)$

إجابة

نحن نتبع ترتيب العمليات. يأتي الضرب قبل الطرح، لذلك سنقوم بتوزيع 2 أولاً ثم الطرح.

$\begin{array}{lc} {} & \text{8−2(x+3)} \\ \text{Distribute.} & 8−2·x−2·3 \\ \text{Multiply.} & 8−2x−6 \\ \text{Combine like terms.} &−2x+2 \end{array}$

مثال$\PageIndex{32}$

قم بالتبسيط:$9−3(x+2)$.

إجابة

$3−3x$

مثال$\PageIndex{33}$

قم بالتبسيط:$7x−5(x+4)$.

إجابة

$2x−20$

مثال$\PageIndex{34}$

قم بالتبسيط:$4(x−8)−(x+3)$.

إجابة

$\begin{array}{lc} {} & 4(x−8)−(x+3) \\ \text{Distribute.} & 4x−32−x−3 \\ \text{Combine like terms.} & 3x−35 \end{array}$

مثال$\PageIndex{35}$

قم بالتبسيط:$6(x−9)−(x+12)$.

إجابة

$5x−66$

مثال$\PageIndex{36}$

قم بالتبسيط:$8(x−1)−(x+5)$.

إجابة

$7x−13$

يتم تلخيص جميع خصائص الأرقام الحقيقية التي استخدمناها في هذا الفصل هنا.

الملكية التبادلية عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير الترتيب يعطي نفس النتيجة $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array}$$

الملكية الترابطية عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير التجميع يعطي نفس النتيجة. $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array}$$

خاصية التوزيع $$\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}$$

خاصية الهوية $$\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}$$

خاصية عكسية $$\begin{array}{lc} \textbf{of addition } \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}$$

خصائص الصفر $$\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}$$

المفاهيم الرئيسية

خاصية الإبدال عند الجمع أو الضرب، فإن تغيير الترتيب يعطي نفس النتيجة $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array}$$

الخاصية الترابطية عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير المجموعة يعطي نفس النتيجة. $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array}$$

خاصية التوزيع $$\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}$$

خاصية الهوية $$\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}$$

خاصية عكسية $$\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}$$

خصائص الصفر $$\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}$$

مسرد المصطلحات

هوية مضافة

الرقم 0 هو الهوية المضافة لأن إضافة 0 إلى أي رقم لا يغير قيمته.

معكوس مضاف

نقيض الرقم هو معكوسه الإضافي.

الهوية المضاعفة

الرقم 1 هو الهوية المضاعفة لأن ضرب 1 بأي رقم لا يغير قيمته.

معكوس ضربي

مقلوب العدد هو معكوسه الضربي.