1.3: الأعداد الصحيحة

Last updated
Save as PDF

Page ID: 201542

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

ملخص

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

قم بتبسيط التعبيرات ذات القيمة المطلقة
جمع الأعداد الصحيحة وطرحها
ضرب الأعداد الصحيحة وقسمها
قم بتبسيط التعبيرات باستخدام الأعداد الصحيحة
تقييم التعبيرات المتغيرة بالأعداد الصحيحة
ترجمة العبارات إلى التعبيرات مع الأعداد الصحيحة
استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات

يمكن العثور على مقدمة أكثر شمولاً للموضوعات التي يتم تناولها في هذا القسم في فصل الجبر الأولي، الأسس.

تبسيط التعبيرات ذات القيمة المطلقة

الرقم السالب هو رقم أقل من 0. الأرقام السالبة على يسار الصفر على خط الأرقام (الشكل$\PageIndex{1}$).

$يوضح الشكل خطًا أفقيًا مميزًا بأرقام على مسافات متساوية. في منتصف الخط يوجد 0. على يمين هذا الرقم، بدءًا من الرقم الأقرب إلى 0 هو 1 و 2 و 3 و 4. يتم تصنيف هذه الأرقام على أنها أرقام إيجابية. على يسار 0، بدءًا من الرقم الأقرب إلى 0 يكون ناقص 1 وناقص 2 وناقص 3 وناقص 4. يتم تصنيف هذه الأرقام على أنها أرقام سلبية.$
الشكل$\PageIndex{1}$. يُظهر خط الأرقام موقع الأرقام الموجبة والسالبة.

ربما لاحظت أن الأرقام السالبة، على خط الأعداد، هي صورة معكوسة للأرقام الموجبة، مع وجود صفر في المنتصف. نظرًا لأن الأرقام$2$$−2$ هي نفس المسافة من الصفر، فإن كل منها يسمى عكس الآخر. $2$نقيضه$−2$،$−2$ ونقيضه$2$.

مقابل

نقيض الرقم هو الرقم الذي هو نفس المسافة من الصفر على خط الأعداد ولكن على الجانب الآخر من الصفر.

$\PageIndex{2}$يوضح الشكل التعريف.

$يوضح الشكل خط الأرقام مع تمييز الرقمين 3 وناقص 3. وهذه الأرقام متساوية البعد عن 0، وكلاهما على بعد 3 أرقام من 0.$
الشكل$\PageIndex{2}$. نقيض 3 هو$−3$.

الترميز المعاكس

\[\begin{align} & -a \text{ means the opposite of the number }a \\ & \text{The notation} -a \text{ is read as “the opposite of }a \text{.”} \end{align} \]

لقد رأينا أن أعدادًا مثل 3 و−3 أضداد لأنها تساوي المسافة من 0 على خط الأعداد. كلاهما ثلاث وحدات من 0. تُسمى المسافة بين 0 وأي رقم على خط الأعداد بالقيمة المطلقة لهذا الرقم.

تعريف: القيمة المطلقة

القيمة المطلقة للرقم هي المسافة من 0 على خط الأعداد.

$n$تتم كتابة القيمة المطلقة للرقم باسم$|n|$$|n|≥0$ ولجميع الأرقام.

تكون القيم المطلقة دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر.

على سبيل المثال،

\[\begin{align} & -5 \text{ is } 5 \text{ units away from 0, so } |-5|=5. \\ & 5 \text{ is }5\text{ units away from 0, so }|5|=5. \end{align}\]

$\PageIndex{3}$يوضح الشكل هذه الفكرة.

يوضح الشكل خط الأرقام الذي يوضح الأرقام 0 و5 وناقص 5. 5 وناقص 5 متساويتان من 0، وكلاهما على بعد 5 وحدات من 0. — الشكل$\PageIndex{3}$: العددان 5 و−5 يبعدان 5 وحدات عن 0.

القيمة المطلقة للرقم ليست سالبة أبدًا لأن المسافة لا يمكن أن تكون سالبة. الرقم الوحيد ذو القيمة المطلقة التي تساوي الصفر هو الرقم صفر نفسه لأن المسافة من 0 إلى 0 على خط الأرقام هي صفر وحدة.

في المثال التالي، سنرتب التعبيرات ذات القيم المطلقة.

مثال$\PageIndex{1}$

املأ$<,\,>,$ أو$=$ لكل زوج من أزواج الأرقام التالية:

$\mathrm{|−5|}\_\_\mathrm{−|−5|}\_\_\mathrm{−|5|}$
$\text{8__−|−8|}$
$\text{−9__−|−9|}$
(\ نص {− (−16) __|−16|}\).

إجابة

أ.

$\begin{array}{lrcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {|−5| \\ 5 \\ 5 \\ |−5|} & {\_\_ \\ \_\_ \\ > \\ >} & {−|−5| \\ −5 \\ −5 \\ −|−5|} \end{array}$

ب.

$\begin{array}{llcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {8 \\ 8 \\ 8 \\ 8} & {\_\_ \\ \_\_ \\ > \\ >} & {−|−8| \\ −8 \\ −8 \\ −|−8|} \end{array}$

ج.

$\begin{array}{lrcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {−9 \\ −9 \\ −9 \\ −9} & {\_\_ \\ \_\_ \\ = \\ =} & {−|−9| \\ −9 \\ −9 \\ −|−9|} \end{array}$

د.

$\begin{array}{lrcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {−(−16) \\ 16 \\ 16 \\ −(−16)} & {\_\_ \\ \_\_ \\ = \\ =} & {−|−16| \\ 16 \\ 16 \\ |−16|} \end{array}$

مثال$\PageIndex{2}$

املأ$<,\,>,$ أو$=$ لكل زوج من أزواج الأرقام التالية:

ⓐ$−9 \_\_−|−9|$ ⓑ$2 \_\_−|−2|$ ⓒ$−8 \_\_|−8|$ ⓓ$−(−9) \_\_|−9|.$

إجابة

ⓐ$>$ ⓑ$>$ ⓒ$<$

ⓓ$=$

مثال$\PageIndex{3}$

املأ$<,>,$ أو$=$ لكل زوج من أزواج الأرقام التالية:

$7 \_\_ −|−7|$
$−(−10) \_ \_|−10|$
$|−4| \_\_ −|−4|$
$−1 \_\_ |−1|.$

إجابة

ⓐ$>$ ⓑ$=$ ⓒ$>$

ⓓ$<$

نضيف الآن أشرطة القيمة المطلقة إلى قائمة رموز التجميع. عندما نستخدم ترتيب العمليات، نقوم أولاً بالتبسيط داخل أشرطة القيمة المطلقة قدر الإمكان، ثم نأخذ القيمة المطلقة للرقم الناتج.

رموز التجميع

\[\begin{array}{lclc} \text{Parentheses} & () & \text{Braces} & \{ \} \\ \text{Brackets} & [] & \text{Absolute value} & ||\end{array}\]

في المثال التالي، نقوم بتبسيط التعبيرات داخل أشرطة القيمة المطلقة أولاً مثلما نفعل مع الأقواس.

مثال$\PageIndex{4}$

قم بالتبسيط:$\mathrm{24−|19−3(6−2)|}$.

إجابة: $\begin{array}{lc} \text{} & 24−|19−3(6−2)| \\ \text{Work inside parentheses first:} & \text{} \\ \text{subtract 2 from 6.} & 24−|19−3(4)| \\ \text{Multiply 3(4).} & 24−|19−12| \\ \text{Subtract inside the absolute value bars.} & 24−|7| \\ \text{Take the absolute value.} & 24−7 \\ \text{Subtract.} & 17 \end{array}$

مثال$\PageIndex{5}$

قم بالتبسيط:$19−|11−4(3−1)|$.

إجابة: 16

مثال$\PageIndex{6}$

قم بالتبسيط:$9−|8−4(7−5)|$.

إجابة: 9

جمع الأعداد الصحيحة وطرحها

حتى الآن في أمثلتنا، استخدمنا فقط أرقام العد والأرقام الصحيحة.

\[\begin{array}{ll} \text{Counting numbers} & 1,2,3… \\ \text{Whole numbers} 0,1,2,3…. \end{array}\]

يمنحنا عملنا مع الأضداد طريقة لتحديد الأعداد الصحيحة. تسمى الأعداد الصحيحة وأضدادها بالأعداد الصحيحة. الأعداد الصحيحة هي الأرقام$…−3,−2,−1,0,1,2,3…$

تعريف: الأعداد الصحيحة

تسمى الأعداد الصحيحة وأضدادها بالأعداد الصحيحة.

الأعداد الصحيحة هي الأرقام

\[…-3,-2,-1,0,1,2,3…,\]

يشعر معظم الطلاب بالراحة تجاه حقائق الجمع والطرح للأرقام الموجبة. لكن القيام بالجمع أو الطرح بالأرقام الإيجابية والسلبية قد يكون أكثر صعوبة.

سنستخدم عدادين للألوان لنمذجة الجمع والطرح للسلبيات بحيث يمكنك تصور الإجراءات بدلاً من حفظ القواعد.

نترك لونًا واحدًا (أزرق) يمثل إيجابيًا. سيمثل اللون الآخر (الأحمر) السلبيات.

$يوضح الشكل دائرتين مكتوبتين باللون الأزرق الإيجابي والأحمر السالب.$

إذا كان لدينا عداد إيجابي واحد وعداد سلبي واحد، فإن قيمة الزوج هي صفر. إنهم يشكلون زوجًا محايدًا. قيمة هذا الزوج المحايد هي صفر.

$يوضِّح الشكل دائرة زرقاء ودائرة حمراء محاطة بشكل أكبر. هذا يسمى 1 زائد ناقص 1 يساوي 0.$

سنستخدم العدادات لإظهار كيفية الإضافة:

\[5+3 \; \; \; \; \; \; −5+(−3) \; \; \; \; \; \; −5+3 \; \; \; \; \; \; \; 5+(−3)\]

$5+3,$يضيف المثال الأول 5 إيجابيات و 3 إيجابيات - كلاهما إيجابيات.

$−5+(−3),$يضيف المثال الثاني 5 سلبيات و 3 سلبيات - كلاهما سلبيات.

عندما تكون العلامات هي نفسها، تكون العدادات كلها بنفس اللون، ولذا نضيفها. في كل حالة نحصل على 8 - إما 8 إيجابيات أو 8 سلبيات.

$الشكل الموجود على اليسار يسمى 5 زائد 3. يظهر 8 دوائر زرقاء. 5 زائد 3 يساوي 8. الشكل الموجود على اليمين يسمى ناقص 5 بالإضافة إلى الأقواس المفتوحة ناقص 3 أقواس قريبة. يُظهر 8 دوائر زرقاء تحمل 8 صور سلبية. ناقص 5 زائد الأقواس المفتوحة ناقص 3 أقواس قريبة تساوي ناقص 8.$

إذن ماذا يحدث عندما تكون العلامات مختلفة؟ دعونا نضيف$−5+3$ و$5+(−3)$.

عندما نستخدم العدادات لتمثيل إضافة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة، يكون من السهل معرفة ما إذا كانت هناك عدادات أكثر إيجابية أو أكثر سالبة. لذلك نحن نعرف ما إذا كان المبلغ سيكون موجبًا أم سلبيًا.

$الشكل الموجود على اليسار يسمى ناقص 5 زائد 3. يحتوي على 5 دوائر حمراء و 3 دوائر زرقاء. يتم تشكيل ثلاثة أزواج من الدوائر الحمراء والزرقاء. المزيد من السلبيات يعني أن المبلغ سالب. الرقم الموجود على اليمين يسمى 5 زائد ناقص 3. يحتوي على 5 دوائر زرقاء و 3 دوائر حمراء. يتم تشكيل ثلاثة أزواج من الدوائر الحمراء والزرقاء. المزيد من الإيجابيات يعني أن المبلغ إيجابي.$

مثال$\PageIndex{7}$

إضافة: ⓐ$−1+(−4)$ ⓑ$−1+5$ ⓒ$1+(−5)$.

إجابة

ⓐ

	$بديل$
	$بديل$
1 سلبي زائد 4 سلبيات هو 5 سلبيات	$بديل$

ⓑ

	$بديل$
	$بديل$
هناك المزيد من الإيجابيات، لذا فإن المجموع إيجابي.	$بديل$

ⓒ

	$بديل$
	$بديل$
هناك المزيد من السلبيات، وبالتالي فإن المجموع سلبي.	$بديل$

مثال$\PageIndex{8}$

إضافة: ⓐ$−2+(−4)$ ⓑ$−2+4$ ⓒ$2+(−4)$.

إجابة: ⓐ$−6$ ⓑ$2$ ⓒ$−2$

مثال$\PageIndex{9}$

إضافة: ⓐ$−2+(−5)$ ⓑ$−2+5$ ⓒ$2+(−5)$.

إجابة: ⓐ$−7$ ⓑ$3$ ⓒ$−3$

سنستمر في استخدام العدادات لتمثيل الطرح. ربما عندما كنت أصغر سنًا، قرأت$“5−3”$ كـ «5 take away 3". عند استخدام العدادات، يمكنك التفكير في الطرح بنفس الطريقة!

سنستخدم العدادات لإظهارها للطرح:

\[5−3 \; \; \; \; \; \; −5−(−3) \; \; \; \; \; \; −5−3 \; \; \; \; \; \; 5−(−3) \]

المثال الأول$5−3$، نطرح 3 إيجابيات من 5 إيجابيات وننتهي بإثنتين إيجابيتين.

في المثال الثاني،$−5−(−3),$ نطرح 3 سلبيات من 5 سلبيات وننتهي بـ 2 سلبيات.

استخدم كل مثال عدادات بلون واحد فقط، وكان نموذج «take away» للطرح سهل التطبيق.

$الشكل الموجود على اليسار يسمى 5 ناقص 3 يساوي 2. هناك 5 دوائر زرقاء. ثلاثة منها محاطة بدائرة ويشير السهم إلى أنها أُخذت. الرقم الموجود على اليمين يسمى ناقص 5 ناقص الأقواس المفتوحة ناقص 3 أقواس قريبة تساوي ناقص 2. هناك 5 دوائر حمراء. ثلاثة منها محاطة بدائرة ويشير السهم إلى أنها أُخذت.$

ماذا يحدث عندما يتعين علينا طرح عدد موجب واحد وعدد سالب واحد؟ سنحتاج إلى استخدام كل من العدادات الزرقاء والحمراء بالإضافة إلى بعض الأزواج المحايدة. إذا لم يكن لدينا عدد العدادات المطلوب سحبها، فإننا نضيف أزواجًا محايدة. لا تؤدي إضافة زوج محايد إلى تغيير القيمة. إنه مثل تغيير الأرباع إلى النيكل - القيمة هي نفسها، لكنها تبدو مختلفة.

دعونا ننظر إلى$−5−3$ و$5−(−3)$.

	$بديل$	$بديل$
نموذج الرقم الأول.	$بديل$	$بديل$
نضيف الآن الأزواج المحايدة المطلوبة.	$بديل$	$بديل$
نقوم بإزالة عدد العدادات التي تم تصميمها بواسطة الرقم الثاني.	$بديل$	$بديل$
عد ما تبقى.	$بديل$	$بديل$
	$بديل$	$بديل$
	$بديل$	$بديل$

مثال$\PageIndex{10}$

الطرح: ⓐ$3−1$ ⓑ$−3−(−1)$ ⓒ$−3−1$ ⓓ$3−(−1)$.

إجابة

ⓐ

	$بديل$	$بديل$
خذ 1 إيجابيًا من 3 إيجابيات واحصل على نتيجتين إيجابيتين.		$بديل$

ⓑ

	$بديل$	$بديل$
خذ 1 إيجابي من 3 سلبيات واحصل على سلبيتين.		$بديل$

ⓒ

	$بديل$	$بديل$
خذ 1 إيجابيًا من الزوج المحايد المضاف.	$بديل$	$بديل$

ⓓ

	$بديل$	$بديل$
خذ سالبًا واحدًا من الزوج المحايد المضاف.	$بديل$	$بديل$

مثال$\PageIndex{11}$

الطرح: ⓐ$6−4$ ⓑ$−6−(−4)$ ⓒ$−6−4$ ⓓ$6−(−4)$.

إجابة: ⓐ$2$ ⓑ$−2$ ⓒ$−10$ ⓓ$10$

مثال$\PageIndex{12}$

الطرح: ⓐ$7−4$ ⓑ$−7−(−4)$ ⓒ$−7−4$ ⓓ$7−(−4)$.

إجابة: ⓐ$3$ ⓑ$−3$ ⓒ$−11$ ⓓ$11$

هل لاحظت أن طرح الأرقام الموقعة يمكن أن يتم بإضافة العكس؟ في المثال الأخير،$−3−1$ هو نفسه$−3+(−1)$$3−(−1)$ وهو نفسه$3+1$. غالبًا ما سترى هذه الفكرة، خاصية الطرح، مكتوبة على النحو التالي:

تعريف: خاصية الطرح

\[a−b=a+(−b)\]

طرح رقم هو نفس إضافة نقيضه.

مثال$\PageIndex{13}$

تبسيط: ⓐ$13−8$ و$13+(−8)$ ⓑ$−17−9$ و$−17+(−9)$ ⓒ$9−(−15)$ و$9+15$ ⓓ$−7−(−4)$ و$−7+4$.

إجابة

ⓐ

$\begin{array}{lccc} \text{} & 13−8 & \text{and} & 13+(−8) \\ \text{Subtract.} & 5 & \text{} & 5 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array}{lccc} \text{} & −17−9 & \text{and} & −17+(−9) \\ \text{Subtract.} & −26 & \text{} & −26 \end{array}$

ⓒ

$\begin{array}{lccc} \text{} & 9−(−15) & \text{and} & 9+15 \\ \text{Subtract.} & 24 & \text{} & 24 \end{array}$

ⓓ

$\begin{array}{lccc} \text{} & −7−(−4) & \text{and} & −7+4 \\ \text{Subtract.} & −3 & \text{} & −3 \end{array}$

مثال$\PageIndex{14}$

تبسيط: ⓐ$21−13$ و$21+(−13)$ ⓑ$−11−7$ و$−11+(−7)$ ⓒ$6−(−13)$ و$6+13$ ⓓ$−5−(−1)$ و$−5+1$.

إجابة

ⓐ$8,8$ ⓑ$−18,−18$

ⓒ$19,19$ ⓓ$−4,−4$

مثال$\PageIndex{15}$

تبسيط: ⓐ$15−7$ و$15+(−7)$ ⓑ$−14−8$ و$−14+(−8)$ ⓒ$4−(−19)$ و$4+19$ ⓓ$−4−(−7)$ و$−4+7$.

إجابة

ⓐ$8,8$ ⓑ$−22,−22$

ⓒ$23,23$ ⓓ$3,3$

ماذا يحدث عندما يكون هناك أكثر من ثلاثة أعداد صحيحة؟ نحن فقط نستخدم ترتيب العمليات كالمعتاد.

مثال$\PageIndex{16}$

قم بالتبسيط:$7−(−4−3)−9.$

إجابة: $\begin{array}{lc} \text{} & 7−(−4−3)−9 \\ \text{Simplify inside the parentheses first.} & 7−(−7)−9 \\ \text{Subtract left to right.} & 14−9 \\ \text{Subtract.} & 5 \end{array}$

قم بالتبسيط:$8−(−3−1)−9.$

إجابة: 3

مثال$\PageIndex{18}$

قم بالتبسيط:$12−(−9−6)−14.$

إجابة: 13

ضرب الأعداد الصحيحة وقسمتها

نظرًا لأن الضرب هو اختصار رياضي للإضافة المتكررة، يمكن تطبيق نموذجنا بسهولة لإظهار ضرب الأعداد الصحيحة. دعونا ننظر إلى هذا النموذج الملموس لنرى الأنماط التي نلاحظها. سنستخدم نفس الأمثلة التي استخدمناها للجمع والطرح. هنا، نستخدم النموذج فقط لمساعدتنا على اكتشاف النمط.

نتذكر أن aba·b تعني إضافة a، b مرة.

$الرقم الموجود على اليسار يسمى 5 نقطة 3. هنا، نحتاج إلى إضافة 5 أو 3 مرات. يتم عرض ثلاثة صفوف من خمسة عدادات زرقاء لكل منها. هذا يجعل 15 ميزة إيجابية. وبالتالي، فإن 5 في 3 يساوي 15. يُطلق على الشكل الموجود على اليمين اسم ناقص 5 أقواس مفتوحة و 3 أقواس قريبة. هنا نحتاج إلى إضافة ناقص 5 أو 3 مرات. يتم عرض ثلاثة صفوف من خمسة عدادات حمراء لكل منها. هذا يجعل 15 صورة سلبية. وبالتالي، فإن السالب 5 في 3 هو ناقص 15.$

المثالان التاليان أكثر إثارة للاهتمام. ماذا يعني ضرب 5 في −3؟ يعني طرح 5,3 مرة. بالنظر إلى الطرح على أنه «سحب»، فهذا يعني التخلص من 5 أو 3 مرات. ولكن لا يوجد شيء يمكن أخذه، لذلك نبدأ بإضافة أزواج محايدة على مساحة العمل.

$الشكل الموجود على اليسار يسمى 5 أقواس مفتوحة ناقص 3 أقواس قريبة. نحن بحاجة إلى أخذ 5 أو ثلاث مرات. يتم عرض ثلاثة صفوف من خمسة عدادات موجبة لكل منها وثلاثة صفوف من خمسة عدادات سالبة. ما تبقى هو 15 سلبيات. وبالتالي، فإن 5 مرات ناقص 3 هي ناقص 15. الشكل الموجود على اليمين يسمى الأقواس المفتوحة ناقص 5 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة ناقص 3 أقواس قريبة. نحن بحاجة إلى إزالة ناقص 5 أو ثلاث مرات. يتم عرض ثلاثة صفوف من خمسة عدادات موجبة لكل منها وثلاثة صفوف من خمسة عدادات سالبة. ما تبقى هو 15 ميزة إيجابية. وبالتالي، فإن السالب 5 في ناقص 3 هو 15.$

باختصار:

\[\begin{array}{ll} 5·3=15 & −5(3)=−15 \\ 5(−3)=−15 & (−5)(−3)=15 \end{array}\]

لاحظ أنه عند ضرب رقمين موقّعين، عندما

\[ \text{signs are the } \textbf{same} \text{, the product is } \textbf{positive.} \\ \text{signs are } \textbf{different} \text{, the product is } \textbf{negative.} \]

ماذا عن الشعبة؟ القسمة هي العملية العكسية للضرب. لذلك،$15÷3=5$ بسبب$15·3=15$. في الكلمات، يقول هذا التعبير أنه يمكن تقسيم 15 إلى 3 مجموعات من كل منها 5 لأن إضافة خمس مرات ثلاث مرات تعطي 15. إذا نظرت إلى بعض الأمثلة على ضرب الأعداد الصحيحة، يمكنك معرفة قواعد تقسيم الأعداد الصحيحة.

\[\begin{array}{lclrccl} 5·3=15 & \text{so} & 15÷3=5 & \text{ } −5(3)=−15 & \text{so} & −15÷3=−5 \\ (−5)(−3)=15 & \text{so} & 15÷(−3)=−5 & \text{ } 5(−3)=−15 & \text{so} & −15÷(−3)=5 \end{array}\]

يتبع التقسيم نفس قواعد الضرب فيما يتعلق بالعلامات.

الضرب وقسمة الأرقام الموقعة

لضرب وقسمة رقمين موقّعين:

نفس العلامات	النتيجة
• اثنان من الإيجابيات	إيجابية
• اثنين من السلبيات	إيجابية

إذا كانت العلامات هي نفسها، تكون النتيجة إيجابية.

علامات مختلفة	النتيجة
• إيجابي وسلبي	سلبي
• سلبي وإيجابي	سلبي

إذا كانت العلامات مختلفة، تكون النتيجة سلبية.

مثال$\PageIndex{19}$

الضرب أو القسمة: ⓐ$−100÷(−4)$ ⓑ$7⋅6$ ⓒ$4(−8)$ ⓓ$−27÷3.$

إجابة

ⓐ

$\begin{array}{lc} \text{} & −100÷(−4) \\ \text{Divide, with signs that are} \\ \text{the same the quotient is positive.} & 25 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array} {lc} \text{} & 7·6 \\ \text{Multiply, with same signs.} & 42 \end{array}$

ⓒ

$\begin{array} {lc} \text{} & 4(−8) \\ \text{Multiply, with different signs.} & −32 \end{array}$

ⓓ

$\begin{array}{lc} \text{} & −27÷3 \\ \text{Divide, with different signs,} \\ \text{the quotient is negative.} & −9 \end{array}$

مثال$\PageIndex{20}$

الضرب أو القسمة: ⓐ$−115÷(−5)$ ⓑ$5⋅12$ ⓒ$9(−7)$ ⓓ$−63÷7.$

إجابة: ⓐ 23 ⓑ 60 ⓒ −63 ⓓ −9

الضرب أو القسمة: ⓐ$−117÷(−3)$ ⓑ$3⋅13$ ⓒ$7(−4)$ ⓓ$−42÷6$.

عندما نضرب رقمًا في 1، تكون النتيجة هي نفس الرقم. في كل مرة نضرب فيها عددًا في −1، نحصل على العكس!

الضرب بنسبة −1

\[−1a=−a\]

ضرب عدد في إعطاء$−1$ نقيضه.

تبسيط التعبيرات باستخدام الأعداد الصحيحة

ماذا يحدث عندما يكون هناك أكثر من رقمين في التعبير؟ لا يزال ترتيب العمليات ساريًا عند تضمين السلبيات. تذكر من فضلك اعذريني عمتي العزيزة سالي?

دعونا نجرب بعض الأمثلة. سنقوم بتبسيط التعبيرات التي تستخدم جميع العمليات الأربع مع الأعداد الصحيحة - الجمع والطرح والضرب والقسمة. تذكر اتباع ترتيب العمليات.

مثال$\PageIndex{22}$

تبسيط: ⓐ$(−2)^4$ ⓑ$−2^4$.

إجابة

لاحظ الفرق في الأجزاء (أ) و (ب). في الجزء (أ)، يعني الأس رفع ما يوجد بين القوسين، أي من −2 إلى القوة ^{الرابعة}. في الجزء (ب)، يعني الأس رفع ^القوة من 2 إلى 4 فقط ثم أخذ العكس.

ⓐ

$\begin{array}{lc} \text{} & (−2)^4 \\ \text{Write in expanded form.} & (−2)(−2)(−2)(−2) \\ \text{Multiply.} & 4(−2)(−2) \\ \text{Multiply.} & −8(−2) \\ \text{Multiply.} & 16 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array}{lc} \text{} & −2^4 \\ \text{Write in expanded form.} & −(2·2·2·2) \\ \text{We are asked to find} & \text{} \\ \text{the opposite of }24. & \text{} \\ \text{Multiply.} & −(4·2·2) \\ \text{Multiply.} & −(8·2) \\ \text{Multiply.} & −16 \end{array}$

تبسيط: ⓐ$(−3)^4$ ⓑ$−3^4$.

إجابة: ⓐ 81 ⓑ −81

مثال$\PageIndex{24}$

تبسيط: ⓐ$(−7)^2$ ⓑ$−7^2$.

إجابة: ⓐ 49 ⓑ −49

أظهر لنا المثال الأخير الفرق بين$(−2)^4$ و$−2^4$. هذا التمييز مهم لمنع الأخطاء المستقبلية. يذكرنا المثال التالي بالضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

مثال$\PageIndex{25}$

تبسيط: ⓐ$8(−9)÷(−2)^3$ ⓑ$−30÷2+(−3)(−7)$.

إجابة

ⓐ

$\begin{array}{lc} \text{} & 8(−9)÷(−2)^3 \\ \text{Exponents first.} & 8(−9)÷(−8) \\ \text{Multiply.} & −72÷(−8) \\ \text{Divide.} & 9 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array}{lc} \text{} & −30÷2+(−3)(−7) \\ \text{Multiply and divide} \\ \text{left to right, so divide first.} & −15+(−3)(−7) \\ \text{Multiply.} & −15+21 \\ \text{Add.} & 6 \end{array}$

تبسيط: ⓐ$12(−9)÷(−3)^3$ ⓑ$−27÷3+(−5)(−6).$

إجابة: ⓐ 4 ⓑ 21

مثال$\PageIndex{27}$

تبسيط: ⓐ$18(−4)÷(−2)^3$ ⓑ$−32÷4+(−2)(−7).$

إجابة: ⓐ 9 ⓑ 6

إيجاد قيمة التعبيرات المتغيرة باستخدام الأعداد الصحيحة

تذكر أن تقييم التعبير يعني استبدال رقم للمتغير في التعبير. الآن يمكننا استخدام الأرقام السالبة وكذلك الأرقام الموجبة.

مثال$\PageIndex{28}$

قم بتقييم$4x^2−2xy+3y^2$ متى$x=2,y=−1$.

إجابة

	$بديل$
$بديل$	$بديل$
قم بتبسيط الأسس.	$بديل$
اضرب.	$بديل$
اطرح.	$بديل$
أضف.	$بديل$

مثال$\PageIndex{29}$

تقييم:$3x^2−2xy+6y^2$ متى$x=1,y=−2$.

إجابة: 31

مثال$\PageIndex{30}$

تقييم:$4x^2−xy+5y^2$ متى$x=−2,y=3$.

إجابة: 67

ترجمة العبارات إلى التعبيرات مع الأعداد الصحيحة

ينطبق عملنا السابق الذي يترجم الإنجليزية إلى الجبر أيضًا على العبارات التي تتضمن الأرقام الإيجابية والسلبية.

مثال$\PageIndex{31}$

الترجمة والتبسيط: مجموع 8 و−12، بزيادة 3.

إجابة: $\begin{array}{lc} \text{} & \text{the } \textbf{sum } \underline{\text{of}} \; –8 \; \underline{\text{and}} −12 \text{ increased by } 3 \\ \text{Translate.} & [8+(−12)]+3 \\ \text{Simplify. Be careful not to confuse the} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & (−4)+3 \\ \text{brackets with an absolute value sign.} \\ \text{Add.} & −1 \end{array}$

مثال$\PageIndex{32}$

ترجم وبسّط مجموع العددين 9 و−16، مع زيادته بمقدار 4.

إجابة: $(9+(−16))+4;−3$

مثال$\PageIndex{33}$

قم بترجمة وتبسيط مجموع −8 و−12، مع زيادته بمقدار 7.

إجابة: $(−8+(−12))+7;−13$

استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات

سنحدد خطة لحل التطبيقات. من الصعب العثور على شيء ما إذا كنا لا نعرف ما نبحث عنه أو ما نسميه! لذلك عندما نحل أحد التطبيقات، نحتاج أولاً إلى تحديد المشكلة التي تطلب منا العثور عليها. ثم سنكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها. سنترجم العبارة إلى تعبير ثم نبسط التعبير للحصول على الإجابة. أخيرًا، نلخص الإجابة في جملة للتأكد من أنها منطقية.

مثال$\PageIndex{34}$: How to Solve Application Problems Using Integers

كانت درجة الحرارة في كيندالفيل بولاية إنديانا ذات صباح 11 درجة. وفي منتصف الظهيرة، انخفضت درجة الحرارة إلى −9-9 درجات. ما الفرق بين درجات الحرارة في الصباح وبعد الظهر؟

$يوضح الشكل مقياس حرارة زجاجي، بعلامات درجة حرارة تتراوح من 10 إلى 30 تحت الصفر. تم تمييز علامتين، تحت الصفر 9 درجات مئوية و 11 درجة مئوية.$

إجابة: $الخطوة 1 هي قراءة المشكلة والتأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.$
$الخطوة 2 هي تحديد ما يُطلب منا العثور عليه. هنا هذا هو الفرق بين درجات الحرارة في الصباح وبعد الظهر.$
$الخطوة 3 هي كتابة عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها. في هذه الحالة، تكون العبارة هي الفرق بين 11 وناقص 9.$
$الخطوة 4 هي ترجمة العبارة إلى تعبير. هذا هو أحد عشر ناقص سالب تسعة.$
$في الخطوة 5، نقوم بتبسيط التعبير للحصول على 20.$
$الخطوة 6 هي الإجابة على السؤال بجملة كاملة. كان الفرق في درجات الحرارة 20 درجة.$

مثال$\PageIndex{35}$

كانت درجة الحرارة في أنكوراج بألاسكا ذات صباح 15 درجة. بحلول منتصف فترة ما بعد الظهر، انخفضت درجة الحرارة إلى 30 درجة تحت الصفر. ما الفرق بين درجات الحرارة في الصباح وبعد الظهر؟

إجابة: كان الفرق في درجات الحرارة 45 درجة فهرنهايت.

مثال$\PageIndex{36}$

كانت درجة الحرارة في دنفر −6 درجات في وقت الغداء. عند غروب الشمس، انخفضت درجة الحرارة إلى −15 درجة. ما الفرق في درجات حرارة وقت الغداء وغروب الشمس؟

إجابة: كان الفرق في درجات الحرارة 9 درجات.

استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات.

اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
حدد ما يُطلب منا العثور عليه.
اكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها.
ترجم العبارة إلى تعبير.
قم بتبسيط التعبير.
أجب على السؤال بجملة كاملة.

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة باستخدام الأعداد الصحيحة.

طرح الأعداد الصحيحة باستخدام العدادات

المفاهيم الرئيسية

\[\begin{align} & −a \text{ means the opposite of the number }a \\ & \text{The notation} −a \text{ is read as “the opposite of }a \text{.”} \end{align} \]
القيمة المطلقة للرقم هي المسافة من 0 على خط الأعداد.
تتم كتابة القيمة المطلقة للرقم n$|n|$ كـ$|n|≥0$ ولجميع الأرقام.

تكون القيم المطلقة دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر.
\[\begin{array}{lclc} \text{Parentheses} & () & \text{Braces} & \{ \} \\ \text{Brackets} & [] & \text{Absolute value} & ||\end{array}\]
خاصية
$a−b=a+(−b)$
الطرح: طرح عدد هو نفس إضافة العكس.

لضرب وتقسيم رقمين موقعين:

نفس العلامات	النتيجة
• اثنان من الإيجابيات	إيجابية
• اثنين من السلبيات	إيجابية

إذا كانت العلامات هي نفسها، تكون النتيجة إيجابية.

علامات مختلفة	النتيجة
• إيجابي وسلبي	سلبي
• سلبي وإيجابي	سلبي

إذا كانت العلامات مختلفة، تكون النتيجة سلبية.

الضرب بواسطة$−1$
$−1a=−a$

ضرب عدد في إعطاء$−1$ نقيضه.
كيفية استخدام الأعداد الصحيحة في التطبيقات.
1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار
2. حدد ما يُطلب منا العثور عليه.
3. اكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها.
4. ترجم العبارة إلى تعبير.
5. قم بتبسيط التعبير.
6. أجب على السؤال بجملة كاملة.

مسرد المصطلحات

القيمة المطلقة: القيمة المطلقة للرقم هي المسافة التي تفصله$0$ عن خط الأعداد.

الأعداد الصحيحة: تسمى الأعداد الصحيحة وأضدادها بالأعداد الصحيحة.

أرقام سالبة: الأرقام الأقل من$0$ الأرقام السالبة.

مقابل: نقيض الرقم هو الرقم الذي هو نفس المسافة من الصفر على خط الأعداد ولكن على الجانب الآخر من الصفر.

ملخص

تبسيط التعبيرات ذات القيمة المطلقة

مقابل

الترميز المعاكس

تعريف: القيمة المطلقة

مثال\(\PageIndex{1}\)

مثال\(\PageIndex{2}\)

مثال\(\PageIndex{3}\)

رموز التجميع

مثال\(\PageIndex{4}\)

مثال\(\PageIndex{5}\)

مثال\(\PageIndex{6}\)

جمع الأعداد الصحيحة وطرحها

تعريف: الأعداد الصحيحة

مثال\(\PageIndex{7}\)

مثال\(\PageIndex{8}\)

مثال\(\PageIndex{9}\)

مثال\(\PageIndex{10}\)

مثال\(\PageIndex{11}\)

مثال\(\PageIndex{12}\)

تعريف: خاصية الطرح

مثال\(\PageIndex{13}\)

مثال\(\PageIndex{14}\)

مثال\(\PageIndex{15}\)

مثال\(\PageIndex{16}\)

مثال\(\PageIndex{18}\)

ضرب الأعداد الصحيحة وقسمتها

الضرب وقسمة الأرقام الموقعة

مثال\(\PageIndex{19}\)

مثال\(\PageIndex{20}\)

الضرب بنسبة −1

تبسيط التعبيرات باستخدام الأعداد الصحيحة

مثال\(\PageIndex{22}\)

مثال\(\PageIndex{24}\)

مثال\(\PageIndex{25}\)

مثال\(\PageIndex{27}\)

إيجاد قيمة التعبيرات المتغيرة باستخدام الأعداد الصحيحة

مثال\(\PageIndex{28}\)

مثال\(\PageIndex{29}\)

مثال\(\PageIndex{30}\)

ترجمة العبارات إلى التعبيرات مع الأعداد الصحيحة

مثال\(\PageIndex{31}\)

مثال\(\PageIndex{32}\)

مثال\(\PageIndex{33}\)

استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات

مثال\(\PageIndex{34}\): How to Solve Application Problems Using Integers

مثال\(\PageIndex{35}\)

مثال\(\PageIndex{36}\)

استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات.

المفاهيم الرئيسية

مسرد المصطلحات