8.2: קירוב WKB

קירוב WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) הוא, במובן שיש להבהיר להלן, שיטה מעין קלאסית לפתרון משוואת שרדינגר החד-ממדית (ולמעשה החד-ממדית, כגון רדיאלית) שאינה תלויה בזמן. השלב הלא טריוויאלי בשיטה הוא נוסחאות החיבור (ראה להלן), הבעיה נפתרה לראשונה על ידי לורד ריילי (Proc. רוי. Soc. A, 86, 1912, 207) וכפי שמציין ג'פריס (פיזיקה מתמטית, עמ '526) "הוא התגלה מחדש על ידי כמה סופרים מאוחרים יותר" המתייחס לכאורה ל- W, K ו- B אגב, האנגלים קוראים לזה קירוב ג'פריס, או, אם מרגישים מספיק אקומניים, קירוב WKBJ. (בהרצאה זו אנו מתייחסים רק למצבים קשורים: היישום המפורסם ביותר של WKB, \(\alpha\) - ריקבון, סוקר בפירוט בקורס מכניקת הקוונטים לתואר ראשון המבוסס על ספרו של גריפית'ס.)

נעקוב אחר ההתפתחות בלנדאו ובליפשיץ, הרואים את כל זה מספיק ברור שהם לא מזכירים אף אחד מהאנשים האלה. למעשה, הם קוראים לזה

הקירוב החצי-קלאסי לסדר מוביל

שקול חלקיק הנע לאורך פוטנציאל חד ממדי משתנה לאט. על ידי "משתנה לאט" אנו מתכוונים כאן שבכל אזור קטן פונקציית הגל מקורבת היטב על ידי גל מישורי, וכי אורך הגל משתנה רק למרחקים ארוכים בהשוואה לאורך גל. אנו גם מניחים כרגע שלחלקיק יש אנרגיה קינטית חיובית באזור. בתנאים אלה, קל לראות את הצורה הכללית של הפתרון למשוואת שרדינגר העצמאית בזמן

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) \tag{8.2.1}\]

בערך מאוד, \(\psi(x)\) ייראה \(A(x)e^{\pm ip(x)x/\hbar}\) \(p(x)\) איפה "המומנטום המקומי" שאנו מגדירים באופן קלאסי על ידי

\[ p(x)^2/2m+V(x)=E, \tag{8.2.2}\]

\(A(x)\)והוא משתנה לאט בהשוואה לגורם הפאזה.

ברור שמדובר בגבול חצי קלאסי: \(\hbar\) צריך להיות קטן מספיק כדי שיהיו תנודות רבות במרחק האופייני שעליו משתנה הפוטנציאל.

כדי להתמודד עם זה קצת יותר מדויק, אנו מדגישים את וריאציית הפאזה המהירה בגבול חצי קלאסי זה על ידי כתיבת פונקציית הגל

\[ \psi(x)=e^{(i/\hbar)\sigma(x)} \tag{8.2.3}\]

וכתיבת משוואת שרדינגר עבור. \(\sigma(x)\)

אז מ

\[ i\hbar\psi′(x)=-\sigma′(x)e^{(i/\hbar)\sigma(x)}, \tag{8.2.4}\]

ו

\[ -\hbar^2\psi′′(x)=-i\hbar\sigma′′(x)e^{(i/\hbar)\sigma(x)}+(\sigma′(x))^2e^{(i/\hbar)\sigma(x)}, \tag{8.2.5}\]

המשוואה של שרדינגר שנכתבה עבור פונקציית הפאזה היא:

\[ -i\hbar\sigma′′(x)+(\sigma′(x))^2=(p(x))^2. \tag{8.2.6}\]

ומכיוון שאנו מניחים שהמערכת קרובה לקלאסית, הגיוני להתרחב \(\sigma\) כסדרה ב \(\hbar\) (בעקבות לנדאו וליפשיץ):

\[ \sigma =\sigma_0+(\hbar/i)\sigma_1+(\hbar/i)^2\sigma_2+\dots \tag{8.2.7}\]

קירוב הסדר האפס הוא

\[ (\sigma′_0)^2=p^2 \tag{8.2.8}\]

ולתקן את הסימן של \(p\) על ידי

\[ p(x)=+\sqrt{2m(E-V(x))} \tag{8.2.9}\]

אנו מסיקים כי

\[ \sigma_0=\pm \int p(x)dx. \tag{8.2.10}\]

(כפי שדיברנו בהרצאה על אינטגרלים של נתיבים, בגבול הקלאסי נתיב אחד שולט, והשלב של פונקציית הגל הוא \((i/\hbar )\) פעמים הפעולה הקלאסית \(S\) לאורך אותו נתיב. במקרה הנוכחי,\(S=-Et\pm \int pdx\), כבר ביצענו בחשבון את \(Et\) מכיוון שאנו עוסקים כאן בפונקציית הגל הבלתי תלויה בזמן.)

אזור תוקף הקירוב

ממשוואת שרדינגר \(-i\hbar\sigma′′(x)+(\sigma′(x))^2=(p(x))^2\) ניכר כי פיתרון משוער זה תקף רק אם נוכל להתעלם מאותו מונח ראשון. זאת אומרת, אנחנו חייבים \[ |\hbar\sigma′′(x)/(\sigma′(x))^2|\ll 1, \tag{8.2.11}\]

או \[ \left| \frac{d(\hbar/\sigma′)}{dx}\right| \ll 1. \tag{8.2.12}\]

אבל בקירוב מוביל \(\sigma′=p\)\(p=2\pi \hbar/\lambda\), וכך המצב הוא \[ \frac{1}{2\pi} \left| \frac{d\lambda}{dx}\right|  \ll   1. \tag{8.2.13}\]

זה רק אומר שהשינוי באורך הגל לאורך מרחק של אורך גל אחד חייב להיות קטן. ברור שזה לא תמיד יכול להיות המקרה: אם החלקיק מוגבל על ידי פוטנציאל אטרקטיבי, בקצה האזור המותר באופן קלאסי, כלומר היכן\(E=V(x)\), \(p\) הוא אפס ואורך הגל הוא אינסופי. הקירוב טוב רק הרחק מאותה נקודה, אליה נחזור בקרוב.

לצד תיקון הזמנות מובילות

המונח השני \(\hbar\) בהרחבת השלב,

\[\sigma =\sigma_0+(\hbar/i)\sigma_1+\dots\]

מספק

\[ -i\hbar\sigma′′_0+2\sigma′_0(\hbar/i)\sigma′_1=0 \tag{8.2.14}\]

כך \[ \sigma′_1=-\sigma′′_0/2\sigma′_0=-p′/2p, \tag{8.2.15}\]

ו \[ \sigma_1=-\frac{1}{2}\ln p. \tag{8.2.16}\]

אז פונקציית הגל לפי הסדר הזה היא: \[ \psi(x)=\frac{C_1}{\sqrt{p(x)}}e^{(i/\hbar )\int pdx}+\frac{C_2}{\sqrt{p(x)}}e^{-(i/\hbar )\int pdx}. \tag{8.2.17}\]

(כזכור, קבענו \(p\) את הסימן להיות חיובי.)

כדי לפרש את \(\sqrt{p(x)}\) הגורם, שקול את המונח הראשון, גל נע ימינה. מכיוון \(p\) שהוא אמיתי, למעריכי יש אחדות מודולוס, והמשרעת המקומית בריבוע פרופורציונאלית \(1/p\)\(1/v\), \(v\) כלומר היכן מהירות החלקיק. זה פשוט להבנה פיזית: ההסתברות למצוא את החלקיק בכל מרווח קטן נתון פרופורציונאלית לזמן שהוא מבלה שם, ומכאן ביחס הפוך למהירותו.

אנו פונים כעת לפונקציית הגל באזור האסור באופן קלאסי, \[ p(x)^2/2m=E-V(x)<0. \tag{8.2.18}\]

\(p\)הנה כמובן דמיוני טהור, אך אותו פתרון פאזה פורמלי של משוואת שרדינגר עובד, שוב בתנאי שהחלקיק רחוק מהנקודות בהן. \(E=V(x)\)

פונקציית הגל היא:

\[ \psi(x)=\frac{C′_1}{\sqrt{|p(x)|}}e^{-(1/\hbar ) \int |p|dx}+\frac{C′_2}{\sqrt{|p(x)|}}e^{(1/\hbar )\int |p|dx}. \tag{8.2.19}\]

נוסחאות חיבור, תנאי גבול וכללי כימות

נניח שאנו מתמודדים עם פוטנציאל חד ממדי, והאזור המותר באופן קלאסי הוא. \(b\le x\le a\) (אני רק עוקב אחר הסימון של לנדאו כאן.) ברור שבאזור האסור מימין \(\psi(x)\) מופיע רק המונח הראשון במשוואה לעיל, ולמונח השני \(x<b\) בלבד. \(x>a\) יתר על כן, באזור "בפנים" (מותר קלאסית),\(b\le x\le a\), לפונקציית הגל יש את הצורה המתנדנדת שנדונה קודם לכן.

אבל איך נחבר את שלושת האזורים יחד? אנו מניחים הנחה: אנו לוקחים את זה שהפוטנציאל משתנה בצורה חלקה מספיק כדי שזה קירוב טוב לקחת אותו להיות ליניארי בסביבת נקודות המפנה הקלאסיות. כלומר, אנו מניחים כי פוטנציאל ליניארי הוא קירוב טוב מספיק עד לנקודה שבה תיאור אורך הגל הקצר (או אורך הריקבון לאזורי מנהור) מספיק.

לכן, קרוב\(x=a\), אנו לוקחים את הפוטנציאל להיות \[ E-V(x)\cong F_0(x-a) \tag{8.2.20}\]

(כך \(F_0\) יהיה הכוח) ולאחר מכן קירוב את פונקציית הגל על ידי הפתרון המדויק הידוע לפוטנציאל ליניארי בכל מקום: הפונקציה Airy.

זה ידוע כי עבור הפונקציה Airy, הפתרון שיש את הטופס \[ \psi(x)=\frac{C}{2\sqrt{|p(x)|}}e^{-(1/\hbar )\int_a^x |p|dx} \tag{8.2.21}\]

מימין הופך \[ \begin{matrix} \psi(x)=\frac{C}{|p(x)|}\cos\left( (1/h)\int_a^x pdx+\frac{1}{4}\pi \right) \\ =\frac{C}{|p(x)|}\sin\left( (1/h)\int_x^a pdx+\frac{1}{4}\pi \right) \end{matrix} \tag{8.2.22}\]

(הגזירה של "חיבור" זה ניתנת בהערות שלי כאן.)

ב\(b\), אותו טיעון נותן \[ \psi(x)=\frac{C}{|p(x)|}\sin\left( (1/h)\int_b^x pdx+\frac{1}{4}\pi \right) . \tag{8.2.23}\]

כדי ששני הביטויים הללו יהיו עקביים, עלינו להיות \[ \frac{1}{\hbar}\int_b^a pdx+\frac{1}{2}\pi =(n+1)\pi ,\; or\; \oint pdx=2\pi \hbar \left( n+\frac{1}{2}\right). \tag{8.2.24}\]

כאשר האינטגרל האחרון הוא על פני מחזור שלם של התנועה הקלאסית.

כאן \(n\) הוא מספר האפסים של פונקציית הגל: זהו מצב הקוונטיזציה.

התייחסות לזמן המעגל הקלאסי לרמות אנרגיה כמותיות

הזמן למעגל קלאסי שלם הוא

\[T=2\int_b^a dx/v=2m\int_b^a dx/p\]

הוא שטח הנתיב הקלאסי במרחב פאזה, ולכן אנו רואים שלכל מדינה יש אלמנט של מרחב פאזה\(2\pi \hbar\). מכאן אנו יכולים להבין את פיצול האנרגיה המשוער בין רמות בגבול הכמעט-קלאסי: השינוי באינטגרל עם אנרגיה \(\Delta E\) המתאימה לרמה אחת חייב להיות. \(2\pi \hbar\) כלומר, \[ \Delta E\oint (\partial p/\partial E)dx=2\pi \hbar . \tag{8.2.25}\]

עכשיו\((\partial E/\partial p)=v\), אז

\[\oint (\partial p/\partial E)dx=\oint dx/v=T.\]

לכן, \(\Delta E=2\pi \hbar/T=\hbar \omega.\)

זה רק אומר שאם החלקיק פולט פוטון אחד ויורד לשלב הבא, תדירות הפוטון הנפלט היא רק תדר המסלול של החלקיק, מסקנה טבעית מאוד בגבול הכמעט-קלאסי.

המקרה הרדיאלי

בניתוח לעיל עבור חלקיק המוגבל לממד אחד, ניתן להבין את נוסחאות החיבור בתמונה פשוטה: פונקציית הגל "נשפכת" למשטר האסור, והפיתול שלה שם נחשב כתוספת \(\frac{1}{4}\pi\) של שינוי פאזה, כך שבמצב הנמוך ביותר שינוי הפאזה הכולל באזור המותר צריך להיות \(\frac{1}{2}\pi\) רק. במקרה הרדיאלי, בהנחה שהפוטנציאל מתנהג היטב במקור, פונקציית הגל הולכת לאפס שם. מדינה מאוגדת עדיין תשפוך מעבר לנקודת המפנה הקלאסית ב\(r_0\), למשל, אבל ברור שחייב להיות שינוי פאזה כולל של \(\frac{3}{4}\pi\) באזור המותר עבור המדינה הנמוכה ביותר, מכיוון שלא יכולה להיות דליפה לשלילה\(r\).

הנוסחה הכללית תהיה

\[ \dfrac{1}{\hbar}\int_0^{r_0} p(r)dr=(n+34)\pi ,\; n=0,1,2,\dots , \tag{8.2.26}\]

הסדרה מסתיימת אם וכאשר נקודת המפנה מגיעה לאינסוף.

אזהרה: למעשה, פוטנציאלים מסוימים, כולל פוטנציאל קולומב והמחסום הצנטריפוגלי עבור\(l\neq 0\), הם למעשה ייחודיים ב. \(r=0\) מקרים אלה דורשים טיפול מיוחד.