5.2: אטומים מולטי-אלקטרונים

Last updated
Save as PDF

Page ID: 207155

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

ניסוי שטרן-גרלאך

קבענו כי עבור אטום המימן, למומנטום הזוויתי של תנועת מסלול האלקטרון יש ערכים\(\sqrt{l(l+1)}\hbar\), היכן\(l=0, 1, 2, \dots\), ומרכיב המומנטום הזוויתי בכיוון z הוא\(m\hbar\), היכן \(m\) לוקח ערכים שלמים. \(- l, - l + 1, \dots , +l\) המשמעות היא שאם נמדוד את הזווית בין המומנטום הזוויתי הכולל לציר z, יכולות להיות רק תשובות \(2l +1\) אפשריות, המומנטום הזוויתי הכולל אינו יכול להצביע בכיוון שרירותי ביחס לציר z, מוזר אם כי מסקנה זו נראית. זה נקרא לפעמים "קוונטיזציה בחלל".

המומנטום הזוויתי הכולל של אלקטרון אינו יכול להצביע לכיוון שרירותי.

האם יש דרך שנוכל לראות השפעה כלשהי של קוונטיזציה כיוונית זו? התשובה היא כן - מכיוון שהאלקטרון הנע סביב מסלולו הוא לולאה זעירה של זרם חשמלי, ולכן אלקטרומגנט. לכן, אם נפעיל שדה מגנטי בכיוון ציר z, האנרגיה של האטום תהיה תלויה במידת היישור של הרגע המגנטי שלו עם השדה המגנטי המופעל החיצוני. השדה המגנטי מלולאת זרם קטנה הוא כזה ממגנט מוט קטן המיושר לאורך ציר הלולאה.

הדרך הפשוטה ביותר לראות כיצד האנרגיה הפוטנציאלית של המגנט הקטן תלויה באיזו דרך הוא מצביע ביחס לשדה היא לקחת מוט קטן עם מוט N של כוח \(+p\) בקצה אחד, מוט S של כוח \(-p\) בקצה השני. תחשוב על מחט מצפן, באורך\(d\), נניח. המומנט המגנטי מוגדר כחוזק מוט כפול המרחק בין הקטבים,\(\mu=pd\), ונחשב לווקטור המצביע לאורך ציר המגנט, מ- S ל- N האנרגיה הפוטנציאלית של מגנט קטן זה בשדה חיצוני \(H\) היא \(-\mu H\) הנמוכה ביותר כאשר המגנט מיושר במלואו עם השדה. קל לבדוק זאת: לספור כאפס אנרגיה פוטנציאלית את המגנט בזווית ישרה עם השדה, העבודה הדרושה בכדי לכוון אותו בזווית \(\theta\) היא\(2p(d/2)\cos\theta\).

הרגע המגנטי של זרם \(I\) העובר במעגל סביב אזור \(A\) הוא צודק\(IA\). לאלקטרון יש מטען ומהירות \(e\)\(v\), כך שהוא מסתובב \(v/2\pi r\) פעמים בשנייה. במילים אחרות, אם אתה עומד בנקודה מסוימת במסלול, המטען הכולל שעובר אותך בשנייה הוא\(ev/2\pi r = I\). מכאן שהרגע המגנטי, המצוין בדרך כלל\(\mu_L = IA\), הוא\(\pi r^2ev/2\pi r = rev/2\). המומנטום הזוויתי הוא\(L = mvr\), כך

\[ \mu_L = \dfrac{eL}{2m}. \label{5.2.1}\]

כך שאם האלקטרון נמצא \(l=1\) במסלול, הזרם יפיק רגע מגנטי\(e\hbar/2m\), שהוא 9.3 × 10 ^-24 ג'אול לטסלה, או 5.8 × 10 ^-5 eV לטסלה. שים לב שמשמעות הדבר היא שבשדה טסלה אחד רמת אנרגיה אטומית תנוע ~ ^10-4 eV, ייווצר שינוי שניתן לזהות בקלות בקווי הספקטרום.

אבל יש דרך ישירה יותר לראות כיצד מכוונים האטומים, מנגנון שטרן גרלך (1922). בניסוי זה, קרן אטומים נשלחת לשדה מגנטי לא אחיד. המשמעות היא שהקוטב הצפוני והדרומי של מגנט מוט קטן ירגיש כוחות חוזק שונים, כך שיהיה כוח נטו על מגנט קטן, ומכאן על אטום. יתר על כן, כיוון כוח זה יהיה תלוי בכיוון הדיפול.

נניח שהשדה הלא אחיד מצביע כלפי מעלה, והוא חזק יותר בחלקו העליון. ואז מגנט מוט קטן המכוון אנכית עם הקוטב הצפוני למעלה יידחף כלפי מעלה, מכיוון שהקוטב הצפוני יחווה את הכוח החזק יותר. אם הקוטב הדרומי נמצא למעלה, המגנט יידחף כלפי מטה. אם המגנט אופקי, לא יהיה כוח נטו (בהנחה שעוצמת השדה המגנטי משתנה רק באופן זניח בכיוון האופקי).

תארו לעצמכם, אם כן, זרם של אטומים עם רגעים מגנטיים הנכנסים לאזור של שדה מגנטי כמתואר. כל אטום ירגיש כוח אנכי בהתאם לכיוון הרגע המגנטי שלו. אם ללא שדה מגנטי קיים זרם האטומים יצר נקודה על מסך לאחר שעבר במנגנון, בעת הפעלת השדה ניתן היה לצפות שהנקודה תימתח לקו אנכי, אם מניחים סבירות שווה לכל הכיוונים של הרגע המגנטי. עם זאת, תורת הקוונטים מנבאת שזה לא המקרה - טענו כי עבור\(l=1\), למשל, יש רק שלושה כיוונים מותרים של המגנט (אטום) ביחס לשדה. לכן, היינו צופים כי שלוש נקודות (או, באופן מציאותי יותר, כתמים) יופיעו על המסך, לא קו רציף.

למעשה, כאשר הניסוי בוצע, היתה תוצאה מפתיעה מאוד. אולי הצורה הדרמטית ביותר של התוצאה החדשה הגיעה מאוחר יותר, בשנת 1927, כאשר נעשה שימוש באטומי \(l = 0\) מימן במצב הקרקע (Phipps and Taylor, Phys Rev 29, 309). לאטומים כאלה אין תנע זוויתי מסלולי, ולכן אין זרם מסלול, ולא היו צפויים להראות השפעות מגנטיות. עם זאת, במעבר דרך מנגנון שטרן-גרלאך, קרן אטומי המימן התפצלה לשניים! זה היה קשה לפרש, כי המומנטום הזוויתי הכי פחות מותר\(l=1\),, ייתן שלוש כתמים, \(l=0\) וייתן רק אחד. אתה יכול לצפות שתערובת תיתן כתם חזק אחד ושני חלשים, אבל שתי כתמים שווים לא נראו אפשריים, תיאורטית. שטרן וגרלך ראו בעצמם שני כתמים עם אטומי כסף בשנת 1922. אנו מזכירים תחילה את מקרה המימן מכיוון שהוא היה ללא ספק האטום המובן ביותר (ועדיין הוא!) כך שהצורך בפיזיקה חדשה היה ברור ביותר.

הפתרון לבעיה הוצע על ידי שני סטודנטים לתארים מתקדמים, גודסמית ואולנבק. הם הציעו כי לאלקטרון עצמו יש ספין. כלומר, האלקטרון גם הקיף את הפרוטון וגם הסתובב על צירו שלו, בדיוק כמו שכדור הארץ מקיף את השמש פעם בשנה וגם מסתובב על ציר משלו פעם ביום. אם מניחים שספין האלקטרונים הוא\(\hbar/2\), ואנו מניחים כמו קודם שרכיב z יכול להשתנות רק ביחידות שלמות של\(\hbar\), אז יש רק שני ערכים מותרים של רכיב z,. \(\pm\hbar/2\) כמובן, זהו טיעון מנופף ביד - הסיבה שרכיב z השתנה רק על ידי מספרים שלמים הייתה שפונקציית הגל הייתה צריכה להתאים למספר שלם של אורכי גל כשהם מסתובבים סביב ציר z. אבל פונקציית הגל שלנו לסיבוב חצי, אם היא באותה צורה כמו אלה של המומנטום הזוויתי, חייבת להיות בעלת מונח\(e^{i\varphi/2}\), וכך מוכפלת ב -1 על סיבוב דרך\(2\pi\)! (למעשה, ש- z -רכיב יכול להשתנות רק ביחידות שלמות של \(\hbar\) הבאים מתכונות כלליות מאוד של תנע זוויתי.)

קשיים נוספים התעוררו כאשר אנשים ניסו לבנות מודלים של איך לאלקטרון מסתובב יהיה רגע מגנטי משלו. זה לא קשה מדי לראות איך זה עלול להתרחש - אם האלקטרון הוא כדור טעון, או שיש לו מטען על פני השטח שלו, אז הסיבוב שלו מרמז שהמטען הזה מסתובב במעגלים, לולאות זרם קטנות, וכך ייתן שדה מגנטי.. הבעיה הייתה, שהיה ידוע שהאלקטרון הוא אובייקט קטן מאוד. התברר כי המהירות המשוונית של האלקטרון תצטרך להיות גדולה ממהירות האור כדי שהרגע המגנטי יהיה בעל הכוח הנצפה.

קשיים אלה בהבנת ספין האלקטרונים והרגע המגנטי היו רחוקים מלהיות טריוויאליים, ולמעשה לא נפתרו עד לסביבות 1930, על ידי דיראק, שנתן טיפול רלטיביסטי לחלוטין בבעיה, אשר, למרבה הפלא, ניבא נכון את הרגע המגנטי ובאותו הזמן התייחס לאלקטרון כאל חלקיק נקודתי. אין תמונה פשוטה המציגה זאת במונחים קלאסיים או סמי-קלאסיים, אך עבודתו של דיראק היא הבסיס להבנתנו המודרנית את פיזיקת החלקיקים. למרבה הצער זה מעבר להיקף הקורס הזה.

השורה התחתונה, מבחינתנו, היא שבהנחה שלאלקטרון יש ספין חצי ומכאן שני כיווני ספין אפשריים ביחס לציר נתון מסבירה את תוצאות שטרן-גרלאך שנצפו, וגם, חשוב מכך, עוזרת לנו לבנות את הטבלה המחזורית, כפי שנראה להלן.

בניית הטבלה המחזורית

המספר האטומי (מסומן בדרך כלל Z) של אלמנט מציין את מקומו בטבלה המחזורית, ולכן ל- H יש Z = 1; הוא, Z = 2; Li = 3, Be = 4, B = 5, C = 6, N = 7, O = 8, F = 9, Ne = 10 וכן הלאה. מספר זה שווה למספר הפרוטונים בגרעין, וגם שווה למספר האלקטרונים המקיפים את הגרעין, כדי לשמור על נייטרליות חשמלית.

כדי לנסות להבין כיצד האלקטרונים מקיפים את הגרעין, עלינו להניח כמה הנחות מפשטות. לא נוכל לפתור את המשוואה של שרדינגר אפילו לשני אלקטרונים בדיוק, אם נכלול את הדחייה שלהם זה מזה. עם זאת, נוכחותם של האלקטרונים האחרים חשובה בעליל - הדחייה שלהם במידה מסוימת נוגדת את המשיכה שיש לגרעין לאלקטרון נתון. עבור אלקטרון המדומיין שהוא נמצא במסלול חיצוני כלשהו, האלקטרונים הקרובים יותר למסלולי הגרעין מורידים את המטען הגרעיני היעיל. במחשבה כעת על הכוח שחש אלקטרון אחד, קירוב פשוט הוא לדמיין את כל האלקטרונים האחרים כמשנים את המשיכה החשמלית שהאלקטרון האחד מרגיש מהגרעין למשיכה מוגנת, כך שככל שהוא רחוק יותר מהגרעין, כך חלש יותר מטען אטרקטיבי שהוא רואה.

לאחר מכן אנו מניחים את ההנחה הנאיבית שכל האלקטרונים רואים את אותו פוטנציאל, פוטנציאל קולומב מוגן זה, כך שיש לנו אלקטרונים Z כולם באותה באר פוטנציאל, אך אנו מניחים שהם חלקיקים עצמאיים, במובן זה שהם אינם דוחים זה את זה, למעט במידה שכבר נלקחה בחשבון על ידי שינוי לפוטנציאל מוגן. אז השאלה היא, מהן פונקציות הגל האפשריות של אלקטרונים עצמאיים Z בבאר זו? הנקודה המכריעה היא שלמרות שהם אינם מתקשרים זה עם זה, הם זהים, ולכן יש לבצע אנטי-סימטריה של פונקציית הגל, כפי שדיברנו במקרה שני החלקיקים קודם לכן. המשמעות היא שהאלקטרונים חייבים להיות במצבים קשורים שונים בבאר - עקרון ההדרה של פאולי. אך כיצד נראות פונקציות גל המצב הכבול בפוטנציאל זה? מכיוון שפוטנציאל קולומב המוגן עדיין סימטרי כדורית, כל הטיעונים שלנו לגבי \(\varphi\) ההתנהגות של פוטנציאל קולומב הרגיל חלים באופן שווה על המקרה המוגן\(\theta\), בפרט למומנטום הזוויתי יש ערכים, היכן ומרכיב המומנטום הזוויתי ב- z -כיוון הוא \(\sqrt{l(l+1)}\hbar\)\(l=0, 1, 2, \dots\), היכן לוקח ערכים שלמים. \(m\hbar\) \(m\) \(- l,\; - l + 1,\; \dots , +l\) יתר על כן, לכל אלקטרון יש ספין\(\hbar/2\), ויש שני ערכים מותרים של ספין z -רכיב,\(\pm\hbar/2\). פונקציות הגל הרדיאלי R (r) שונות בבירור במקצת מאלו שבמקרה קולומב הטהור. ההבדל העיקרי הוא שמצבים בעלי תנע זוויתי שונה שהיו מנווונים במקרה קולומב אינם עוד אותה אנרגיה במקרה קולומב המוגן. אם תבחן פונקציות גל המתאימות לאותה אנרגיה אך לערכים שונים של\(l\), תראה שככל \(l\) שערך גבוה יותר, כך פונקציית הגל קטנה יותר ליד הגרעין. המשמעות היא שפונקציות \(l\) הגל הגבוהות יותר אינן מרגישות את הפוטנציאל הבלתי מוגן העוצמתי ליד הגרעין, ולכן אינן קשורות חזק כמו הפונקציות התחתונות \(l\).

סימון

סימון סטנדרטי משמש פיזיקאים אטומיים לתיאור מצבים אלה. המומנטה הזוויתית השונה מסומנת באותיות, s עבור, p עבור\(l=0\), d עבור\(l=1\), f עבור \(l= 2\)\(l=3\), g עבור \(l=4\) ולאחר מכן על אלפביתי. המספר הקוונטי העיקרי\(n\), כזה שעבור אטום המימן \(E =-1/n^2\) ביחידות רידברג, ניתן כמספר, כך שמצב אטום המימן הנמוך ביותר כתוב 1 שניות. שני מצבי \(n=2\) המסלול הם 2 שניות ו -2 p, ואז מגיעים 3 שניות, 3 p ו- 3 d וכן הלאה. מהדיון מיד למעלה, ל-2 שניות ו-2 p יש את אותה אנרגיה באטום המימן, אך עבור הפוטנציאל המוגן המשמש לקירוב לנוכחות אלקטרונים אחרים באטומים גדולים יותר 2 שניות יהיו קשורות חזק יותר, וכך באנרגיה נמוכה יותר, מאשר 2 עמ'.

מילוי אטום באלקטרונים

הבה נבחן כעת לקחת גרעין חשוף, לטעון Z ולהוסיף לו אלקטרונים Z בזה אחר זה. מעקרון ההדרה של פאולי, כל אלקטרון חייב להיות במצב אחר. אך זכור כי סיבוב שונה נחשב שונה (אתה יכול להבדיל ביניהם) כדי שנוכל להכניס שני אלקטרונים, עם ספינים מנוגדים, לכל מצב מסלול. לפיכך יש לו שני אלקטרונים במצב של 1 שניות. לי חייב להיות שני אלקטרונים ב-1 שניות, ואלקטרון אחד ב-2 שניות. זה מצביע על תמונה של אלקטרון אחד מחוץ ל"קליפה סגורה "של שני אלקטרונים 1s. המופע הבא של תמונה דומה הוא Na, בעל Z = 11, הדומה מאוד מבחינה כימית ל- Li. משמעות הדבר היא כי 10 אלקטרונים ממלאים פגזים סגורים. אנו יכולים להבין זאת מכיוון ש -2 נכנסים ל -1 שניות, 2 נכנסים ל -2 שניות ו -6 ממלאים 2 עמ '. אבל שימו לב באומרו שלוקח 6 אלקטרונים כדי למלא 3 p, אנו אומרים שיש שלושה \(l=1\) אורביטלים נפרדים. במילים אחרות, התכונות הכימיות של היסודות תומכות ומאשרות את ההשערה של "כימות חלל" - שיש רק שלוש פונקציות גל \(l=1\) זוויתיות מובחנות, אלה הניתנות על ידי \(m= 1, 0\) ו. \(-1\)

אטומים מתקשרים כימית על ידי שיתוף או העברה חלקית של אלקטרונים. קל יותר להעביר אלקטרון שקשור באופן רופף, וקל יותר לקבל אותו אם יש "חור" בקליפה. באופן לא מפתיע, אטומים עם קליפות מלאות בלבד, כמו He ו- Ne, אינם מגיבים מבחינה כימית. הערכיות, באופן גס, היא מספר האלקטרונים הזמינים להעברה (כך שללי ונא יש ערכיות 1) או אתרים זמינים לקליטת אלקטרונים - לפלואור יש מעטפת חיצונית עם מקום פנוי אחד, כך שערכיות של 1. במידה מסוימת, ערכיות יכולה להשתנות בהתאם לחוזק המשיכה של אטומים אחרים בסביבה הכימית.

מילוי קופסה באלקטרונים

כאשר אטומי Li רבים מורכבים ליצירת מוצק, נמצא כי האלקטרונים החיצוניים המחוברים באופן רופף עוזבים את האטומים המקוריים שלהם ומשוטטים בחופשיות ברחבי המתכת. פונקציות הגל שלהם מיוצגות היטב על ידי גלי מישור עומדים בקופסה (בואו ניקח קוביית מתכת, של צד\(L\)). כל מצב גל מישורי כזה בתיבה יכול להיות מיוצג על ידי שלושה מספרים\(n_z\), \(n_x,\; n_y\) ומייצג את מספר הצמתים של הגל העומד בכיווני x, y ו - z בהתאמה. בהרחבת מעט הניתוח שלנו של אלקטרון בתיבה דו מימדית, האנרגיה של מצב כזה תהיה

\[E=\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\pi^2}{L^2} \left(n^2_x+n^2_y+n^2_z \right).\]

כך אם נדמיין לשפוך אלקטרונים לתוך סריג ריק של אטומי Li כל אחד עם אלקטרון אחד חסר (לא הליך מציאותי פיזית!) שני אלקטרונים (ספינים מנוגדים) ייכנסו לכל מצב, תחילה (0, 0, 0) ואז (1, 0, 0) או באותה מידה (0, 1, 0) וכו ', ומצורת האנרגיה אנו יכולים לראות \((n_x, n_y, n_z)\) שבחלל האלקטרונים ימלאו את כל הנקודות השלמות החיוביות בתוך כדור עד לאנרגיה מקסימלית שנקבעת על ידי כמה אלקטרונים הכנסנו. שימו לב \(n\) שמכיוון שה- s כולם מספרים שלמים חיוביים, החלל המלא הוא רק שמינית מנפח הכדור המתאים לכדור \(n_x > 0,\; n_y > 0\) שבמרכזו המקור. \(n_z> 0\)

פיזיקאים מנסחים לפעמים את המילוי הזה של מצבי אלקטרונים בצורה שונה במקצת, על ידי הטלת תנאי גבול תקופתיים על פיסת מתכת, כמו החלפת קו סופי בטבעת. זה לא קל לעשות בשלושה ממדים, אבל נוח לדבר עליו. היתרון הוא שבמקום גלים עומדים, לכל האלקטרונים יש מומנטה מוגדרת. המומנטה המותרת יוצרת רשת ב"מרחב מומנטום "בדומה למספרים השלמים המותרים בגלים העומדים למעלה. למעשה מתברר שיש אותו מספר של מומנטה מותרת עד לאנרגיה מסוימת כמו שיש מצבי גל עומדים מותרים. ההבדל הוא שבמרחב המומנטום, אם מומנטום \(k\) מותר, כך גם במצב הקרקע מצבי המומנטום מתמלאים עד למשטח כדורי, הנקרא "משטח פרמי" - פוטנציאל שווה אנרגיה ב"אנרגיית פרמי". \(-k\) אנרגיות פרמי אופייניות הן בסדר גודל של וולט אלקטרונים. על ידי התפשטות דרך המתכת בדרך זו האלקטרונים מגיעים למצב אנרגיה נמוך יותר מאשר אם כל אחד נשאר עם האטום שלו. זו הסיבה שהמוצק יציב. בהפעלת חום על האלקטרונים, אפילו 1000K הוא 0.1eV בלבד, כך שרק אלה הסמוכים לפני השטח של הכדור המלא חופשיים לנוע, בגלל עקרון ההדרה, האחרים נעולים בפנים. המשמעות היא שקיבולת החום של האלקטרונים נמוכה בהרבה מכל \((3/2)kT\) חלקיק, כפי שניתן היה לחזות באופן קלאסי. זו הייתה עוד חידה קלאסית ארוכת שנים שנפתרה על ידי הופעתה של מכניקת הקוונטים.