3.6: מדינות קוהרנטיות

מהי פונקציית הגל של מטוטלת מתנדנדת?

שקול מתנד הרמוני פשוט מקרוסקופי, וכדי לשמור על דברים פשוטים נניח שאין אינטראקציות עם שאר היקום. אנו יודעים לתאר את התנועה באמצעות מכניקה קלאסית: עבור מיקום ראשוני ותנופה נתונה, המכניקה הקלאסית מנבאת נכון את הנתיב העתידי, כפי שאושר על ידי ניסויים במערכות אמיתיות (אומנם לא מושלמות). אבל מההמילטוניאן נוכל גם לרשום את המשוואה של שרדינגר, ומתוך כך לחזות את ההתנהגות העתידית של המערכת. מכיוון שאנו כבר יודעים את התשובה מהמכניקה והניסוי הקלאסי, מכניקת הקוונטים חייבת לתת לנו את אותה התוצאה במקרה המגביל של מערכת גדולה.

זה תרגיל כדאי לראות איך זה קורה. ככל הנראה, איננו יכולים פשוט לעקוב אחר השיטה הקלאסית לציון המיקום הראשוני והמומנטום - עקרון אי הוודאות לא יאפשר זאת. עם זאת, מה שאנו יכולים לעשות הוא לנקוט במצב התחלתי בו המיקום והמומנטום מוגדרים בצורה מדויקת ככל האפשר. מצב כזה נקרא מצב אי וודאות מינימלי (ניתן למצוא את הפרטים בהרצאה הקודמת שלי על עקרון אי הוודאות הכללית).

למעשה, מצב הקרקע של מתנד הרמוני פשוט הוא מצב אי וודאות מינימלי. זה לא מפתיע מדי - זו רק חבילת גלים מקומית שבמרכזה המקור. המערכת קרובה למנוחה ככל האפשר, בעלת תנועת נקודת אפס בלבד. מה שמפתיע הוא שיש מצבים נרגשים של המטוטלת שבהם חבילת גלי מצב הקרקע הזו מתנדנדת אחורה וקדימה ללא הגבלת זמן, מימוש קוונטי של המערכת הקלאסית, וחבילת הגלים היא תמיד אחת של אי וודאות מינימלית. נזכיר שזה לא קורה עבור חלקיק חופשי בקו - במקרה כזה, חבילת גלי אי ודאות מינימלית ראשונית מתפשטת מכיוון שרכיבי המומנטום השונים נעים במהירויות שונות. אבל עבור המתנד, הפוטנציאל איכשהו שומר את חבילת הגלים יחד, חבילת גל אי וודאות מינימלית בכל עת. מצבים מעין קלאסיים יוצאי דופן אלה נקראים מצבים קוהרנטיים, והתגלו על ידי שרדינגר עצמו. הם חשובים בהקשרים מעין קלאסיים רבים, כולל קרינת לייזר.

המשימה שלנו כאן היא לבנות ולנתח מצבים קוהרנטיים אלה ולמצוא כיצד הם קשורים למצבי האנרגיה הרגילים של המתנד.

מכניקה קלאסית של המתנד ההרמוני הפשוט

כדי להגדיר את הסימון, הבה נסכם בקצרה את הדינמיקה של המתנד הקלאסי: האנרגיה הקבועה היא \[ E=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2 \label{3.6.1}\]

או \[ p^2+(m\omega x)^2=2mE,\;\; \omega =\sqrt{k/m}. \label{3.6.2}\]

התנועה הקלאסית מתוארת בפשטות במרחב פאזה, עלילה דו ממדית במשתנים\((m\omega x,p)\). במרחב זה, הנקודה \((m\omega x,p)\) המתאימה למיקום ולתנופה של המתנד ברגע של זמן נעה ככל שהזמן מתקדם במהירות זוויתית קבועה\ אומגה בכיוון השעון סביב מעגל הרדיוס \(\sqrt{2mE}\) שבמרכזו המקור.

(הערה: מרחב פאזה מוגדר בדרך כלל במונחים של המשתנים\((x,p)\), אך בתיאור המתנד ההרמוני הפשוט, המשתנים \((m\omega x,p)\) נוחים יותר, יש להם אותם ממדים.)

תנועה זו מתוארת באלגנטיות על ידי התייחסות למרחב הפאזה הדו-ממדי כמישור מורכב, והגדרת המשתנה המורכב חסר הממדים \[ z=\frac{m\omega x+ip}{\sqrt{2\hbar m\omega}}.\label{3.6.3}\]

התפתחות הזמן במרחב הפאזה היא פשוט \[ z(t)=z_0e^{-i\omega t}. \label{3.6.4}\]

הבחירה המסוימת של (קוונטי!) גורם קנה מידה בהגדרת \(z\) כמויות להגדרת יחידת האנרגיה \(\hbar\omega\) כיחידת הקוונטים הטבעית של המתנד: קל לבדוק שאם האנרגיה הקלאסית \(E=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega\) אז חסר הממדים \(|z|^2\) הוא פשוט המספר \(n+\frac{1}{2}\) (שהוא כמובן גדול מאוד, כך \(\frac{1}{2}\) שהוא לא משמעותי).

מנות גל מינימליות של אי וודאות

קבענו בהרצאה על עקרון אי הוודאות הכללית שכל אי ודאות מינימלית פונקציית גל חד ממדית (כך\(\Delta ​p\cdot\Delta ​ x=\hbar/2\)) עבור חלקיק חייבת לעמוד במשוואת הדיפרנציאל הליניארית (כאן) \(\hat{p}=-i\hbar d/dx\)

\[ (\hat{p}-\langle p\rangle)\psi(x)=\lambda(\hat{x}-\langle x\rangle)\psi(x) \label{3.6.5}\]

איפה\(\langle x\rangle\),\(\langle p\rangle\), \(\lambda\) הם קבועים, \(\lambda\) והוא דמיוני טהור. קל לפתור את המשוואה: כל פונקציית גל חד-ממדית מינימלית ללא ספק היא חבילת גל גאוסית, בעלת ערך ציפייה של מומנטום\(\langle p\rangle\), מרוכזת \(\langle x\rangle\) ובעלת רוחב\((\Delta x)^2=-\hbar/2i\lambda\). (\(\Delta x\)מוגדר למצב על ידי.) \(|\psi\rangle\) \((\Delta x)^2=\langle \psi|(x-\langle x\rangle)^2|\psi\rangle\)

כלומר, הפיתרון המינימלי ללא ספק הוא:

\[ \psi(x)=Ce^{i\langle p\rangle x/\hbar} e^{i\lambda(x-\langle x\rangle)^2/2\hbar}=Ce^{i\langle p\rangle x/\hbar} e^{-(x-\langle x\rangle)^2/4(\Delta x)^2} \label{3.6.6}\]

עם קבוע \(C\) הנורמליזציה.

למעשה, מצב הקרקע המתנד ההרמוני הפשוט \(\psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e-m\omega x^2/2\hbar\) הוא בדיוק מצב אי וודאות מינימלי כזה, עם

\[ \lambda=im\omega ,\;\; \langle x\rangle=\langle p\rangle=0 ;\;\; (\Delta x)^2=\frac{\hbar}{2m\omega} ,\;\; (\Delta p)^2=\frac{\hbar m\omega}{2},\;\; \Delta p\cdot\Delta x=\frac{\hbar}{2}. \label{3.6.7}\]

יתר על כן, קל לראות כי מצב הקרקע העקור\(\psi_0(x-x_0)=Ce^{-m\omega (x-x_0)^2/2\hbar}\), עם וכתיבת קבוע הנורמליזציה\(\langle x\rangle=x_0\), חייב להיות גם מצב אי ודאות מינימלי\((m\omega /\pi\hbar)^{1/4}=C\), עם אותו \(\ lambda=im\ omega\). (הוא עונה על המשוואה הדיפרנציאלית הדרושה.) כמובן שבניגוד למצב הקרקעי, מדינה עקורה זו אינה עוד מדינה עצמית של המילטוניאן, ולכן תשתנה עם הזמן.

(לשני המצבים הללו\(\langle x\rangle=0\), \(\langle x\rangle=x_0\) וגם, יש אותה התפשטות במרחב x\((\Delta x)^2=\hbar/2m\omega\), ואותה התפשטות במרחב p, ההבדל היחיד בכיוון p הוא גורם \(e^{ip\langle x_0\rangle/\hbar}\) פאזה למצב העקור.)

מה לגבי המצבים העצמיים הגבוהים יותר של המתנד המילטוניאן? הם אינם מצבים לא בטוחים באופן מינימלי - עבור \(n^{th}\) המדינה\(\Delta p\cdot\Delta x=n\hbar/2\), כפי שנבדק בקלות באמצעות\(\frac{1}{2}(\Delta p)^2/2m=\frac{1}{2}k(\Delta x)^2\sim\frac{1}{2}n\hbar\omega\). לכן, אם נבנה מצב אנרגיה גבוה יותר שאינו בטוח באופן מינימלי, זה לא יהיה מצב עצמי של המילטוניאן.

תרגיל \(\PageIndex{1}\)

תרגיל: להוכיח \(\Delta p\cdot\Delta x=n\hbar/2\) למצב העצמי \(n^{th}\) האנרגטי. (רמז: השתמש במפעילי יצירה והשמדה.)

מצבים עצמיים של מפעיל ההשמדה הם מצבי אי וודאות מינימליים

סימון: נכתוב

\[ \langle x(t=0)\rangle=x_0,\;\; \langle p(t=0)\rangle=p_0. \label{3.6.8}\]

אנו מגבילים את תשומת ליבנו כאן לאותם מצבי אי ודאות מינימליים בעלי רוחב מרחבי זהה למצב הקרקע של המתנד - אלה הם מה שאנחנו צריכים, ואלו הם אלה שנראה כמצבים עצמיים של מפעיל ההשמדה. (למעשה, מצבי אי וודאות מינימליים כלליים יותר, המכונים מצבים סחוטים, מעניינים וחשובים גם הם, אך לא נשקול אותם כאן.)

נניח שבתפקוד הגל \(t=0\) של המתנד נמצא מצב אי הוודאות המינימלי \[ \psi(x,t=0)=Ce^{ip_0x/\hbar} ei^{\lambda(x-x_0)^2/2\hbar}=Ce^{ip_0x/\hbar} e^{-m\omega (x-x_0)^2/2\hbar} \label{3.6.9}\]

מרוכז \((p_0, m\omega x_0)\) בחלל פאזה (כהגדרתו לעיל עבור המתנד הקלאסי), ועם \(\lambda=im\omega\) לתת לו את אותה מידה מרחבית כמו מצב הקרקע.

מהסעיף הקודם, זה \(\psi(x,0)\) עונה על משוואת אי הוודאות המינימלית \[ (\hat{p}-p_0)\psi(x,0)=im\omega (\hat{x}-x_0)\psi(x,0). \label{3.6.10}\]

סידור מחדש של משוואה זו (והכפלה ב\(-i\)) מראה אותה באור אחר: \[ (m\omega \hat{x}+i\hat{p})\psi(x,0)=(m\omega x_0+ip_0)\psi(x,0). \label{3.6.11}\]

זוהי משוואת ערך עצמי! חבילת הגל \(\psi(x,0)\) היא מצב עצמי של המפעיל \((m\omega \hat{x}+i\hat{p})\) עם ערך עצמי. \((m\omega x_0+ip_0)\) זה לא, כמובן, מצב עצמי של אחד מהם \(\hat{p}\) או \(\hat{x}\) נלקח בנפרד.

יתר על כן, המפעיל \((m\omega \hat{x}+i\hat{p})\) הוא רק פעמים קבועות מפעיל ההשמדה \(\hat{a}\) - זכור \[ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(m\omega \hat{x}+i\hat{p}). \label{3.6.12}\]

לכן, חבילת הגל הראשונית המינימלית הלא ודאית הזו \(\psi(x,0)\) היא מצב עצמי של מפעיל ההשמדה\(\hat{a}\), עם ערך עצמי. \((m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}\) (אגב, זה בסדר שיש ערכים עצמיים מורכבים, כי \(\hat{a}\) הוא לא מפעיל הרמיטי.) \(\hat{a}\)

כעת אנו יכולים ליצור את הקשר עם ייצוג המישור המורכב של המפעיל הקלאסי: הערך העצמי \((m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}\) הוא בדיוק הפרמטר המסמן את \(z_0\) מיקומו של המפעיל הקלאסי בחלל פאזה ביחידות טבעיות חסרות ממדים!

כלומר, חבילת גל מתנד אי וודאות מינימלית \[ \psi(x,t=0)=Ce^{ip_0x/\hbar} e^{-m\omega (x-x_0)^2/2\hbar} \label{3.6.13}\]

מרוכז \((m\omega x_0,p_0)\) במרחב פאזה ובעל היקף מרחבי זהה למצב הקרקע, הוא מצב עצמי של מפעיל ההשמדה \[ \hat{a}\psi(x,t=0)=z_0\psi(x,t=0). \label{3.6.14}\]

עם ערך עצמי את המיקום של מרכזו בחלל פאזה, כלומר, \[ z_0=\frac{m\omega x_0+ip_0}{\sqrt{2\hbar m\omega}}. \label{3.6.15}\]

פיתוח זמן של חבילת הגל המינימלית

פונה כעת להתפתחות הזמן של המדינה, נוח להשתמש בסימון ket \[ |\psi(x,t=0)\rangle=|x_0,p_0\rangle \label{3.6.16}\]

עם \(|x,p\rangle\) ציון חבילת גל מינימלית לא ברורה (עם רוחב מרחבי זהה למצב הקרקע) עם ערכי ציפייה אלה של מיקום ותנופה.

פיתוח הזמן של ket, כרגיל, ניתנת על ידי \[ |\psi(x,t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|x_0,p_0\rangle. \label{3.6.17}\]

נראה כי \(|\psi(x,t)\rangle\) נותר מצב עצמי של מפעיל ההשמדה לכל הזמנים\(t\): לכן הוא ממשיך להיות חבילת גל אי וודאות מינימלית! (וכמובן, בהיקף מרחבי קבוע.)

נקודת המפתח בביסוס זה היא שלמפעיל ההשמדה עצמו יש התפתחות זמן פשוטה בייצוג הייזנברג, \[ \hat{a}(t)=e^{iHt/\hbar}\hat{a}e^{-iHt/\hbar}=\hat{a}e^{-i\omega t}. \label{3.6.18}\]

כדי להוכיח זאת, שקול את מרכיבי המטריצה של \(\hat{a}(t)\) בין כל שני מצבים עצמיים \(|n\rangle\) של המילטוניאן \[ H|n\rangle=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega |n\rangle \label{3.6.19}\]

כך \[ \langle m|\hat{a}(t)|n\rangle = e^{i(m+\frac{1}{2})\hbar\omega t/\hbar} \langle m|\hat{a}|n\rangle e^{-i(n+\frac{1}{2})\hbar\omega t/\hbar} =\langle n-1|\hat{a}|n\rangle e^{-i\omega t}. \label{3.6.20}\]

מכיוון שמרכיבי המטריצה הלא-אפסיים היחידים של אופרטור ההשמדה \(\langle m|\hat{a}|n\rangle\) מיועדים\(m=n-1\), והמצבים העצמיים של האנרגיה יוצרים סט שלם, תלות הזמן הפשוטה הזו נכונה כמשוואת אופרטור \[ \hat{a}(t)=e^{iHt/\hbar}\hat{a}e^{-iHt/\hbar}=\hat{a}e^{-i\omega t}. \label{3.6.21}\]

עכשיו קל להוכיח את זה \[ |\psi(x,t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|x_0,p_0\rangle \label{3.6.22}\]

הוא תמיד מצב עצמי של: \(\hat{a}\) \[ \begin{matrix} \hat{a}|\psi(x,t)\rangle=\hat{a}e^{-iHt/\hbar}|x_0,p_0\rangle\\ =e^{-iHt/\hbar}(e^{iHt/\hbar}\hat{a}e^{-iHt/\hbar})|x_0,p_0\rangle\\ =e^{-iHt/\hbar} e^{-i\omega t}\hat{a}|x_0,p_0\rangle\\ =e^{-iHt/\hbar} e^{-i\omega t}(m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}|x_0,p_0\rangle\\ =(e^{-i\omega t}(m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}) |\psi(x,t)\rangle. \end{matrix} \label{3.6.23}\]

לכן מפעיל ההשמדה, \(t=0\) שהיה בעל הערך העצמי \[ z_0=(m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}, \label{3.6.24}\]

המקביל לחבילת גל מינימלית שבמרכזה \((m\omega x_0,p_0)\) בחלל פאזה, מתפתח בזמן \(t\) לחבילה מינימלית נוספת (מכיוון שהיא עדיין מצב עצמי של מפעיל ההשמדה), וכתיבה \[ |\langle x(t)\rangle,\langle p(t)\rangle\rangle=e^{-iHt/\hbar}|x_0,p_0\rangle, \label{3.6.25}\]

הערך העצמי החדש של \(\hat{a}\) \[ z(t)=\frac{(m\omega \langle x(t)\rangle+i\langle p(t)\rangle)}{\sqrt{2\hbar m\omega}}=\frac{(m\omega x_0+ip_0)}{\sqrt{2\hbar m\omega}}e^{-i\omega t}=z(0)e^{-i\omega t}. \label{3.6.26}\]

לכן, מרכז חבילת הגלים בחלל הפאזה עוקב אחר הנתיב הקלאסי בזמן. זה מפורש על ידי השוואת חלקים אמיתיים ודמיוניים: \[ \langle x(t)\rangle=x_0\cos\omega t+(p_0/m\omega )\sin\omega t,\langle p(t)\rangle=p_0\cos\omega t-m\omega x_0\sin\omega t. \label{3.6.27}\]

אז מצאנו את התיאור הקוונטי "הטוב ביותר האפשרי" של שרדינגר של מתנד קלאסי.

הערה על סימון

בחרנו לעבוד עם משתני המיקום והמומנטום המקוריים, והפרמטר המורכב המתבטא כפונקציה של אותם משתנים, לאורך כל הדרך. יכולנו להשתמש במשתנים חסרי הממדים שהוצגו בהרצאה על המתנד ההרמוני הפשוט, \[ \xi=x/b=x\sqrt{m\omega /\hbar},\;\; \pi=bp/\hbar=p/\sqrt{\hbar m\omega},\;\; \hat{a}=(\hat{\xi}+i\hat{\pi})/\sqrt{2}. \label{3.6.28}\]

זה כמובן גם ייתן \(z=(\xi+i\pi)/\sqrt{2}\) ייצוג קומפקטי יותר, אבל עוד דבר אחד שיש לזכור.

מקובל גם לציין את המצבים העצמיים של \(\hat{a}\) ידי\(\alpha\),, אלגנטי מאוד\(\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle\), אבל נהגנו להזכיר \(z\) לעצמנו שהערך העצמי הזה, בניגוד לרוב אלה שנתקלים במכניקת הקוונטים, הוא מספר מורכב. לבסוף, יש המשתמשים במשתנים חסרי הממדים \(X=\sqrt{2\hbar/m\omega}x\)\(P=\sqrt{1/(2m\omega \hbar)}p\), ונבדלים \(\xi,\;\pi\) מגורם של. \(\sqrt{2}\) משוואת הערך העצמי עבור אופרטור ההשמדה מסודרת מאוד בסימון זה:. \(\hat{a}|z\rangle=(X+iP)|z\rangle\) עם זאת, נמנענו מכך מכיוון שספר הלימוד המומלץ שלנו, שנקר, משתמש \(X,P\) עבור מפעילי המיקום והמומנטום הרגילים.

מפעיל התרגום

כדאי לחזור על התרגיל למקרה הפשוט של המתנד בתחילה במנוחה מרחק \(x_0\) מהמרכז. זה נותן קשר מסודר עם מפעיל התרגום (מוגדר להלן).

הבה ניקח את המצב ההתחלתי להיות \[ \psi(x,0)=Ce^{-m\omega (x-x_0)^2/2\hbar}=\psi_0(x-x_0) \label{3.6.29}\]

\(\psi_0(x)\)איפה פונקציית הגל של מצב הקרקע - אז העברנו את החבילה ימינה ליד\(x_0\).

עכשיו עשו הרחבה של סדרת טיילור (לוקח \(x_0\) להיות המשתנה!) : \[ \psi_0(x-x_0)=\psi_0(x)-x_0\frac{d}{dx}\psi_0(x)+\frac{x_0^2}{2!}\frac{d^2}{dx^2}\psi_0(x)-\dots=e^{-x_0\frac{d}{dx}}\psi_0(x). \label{3.6.30}\]

מכאן ברור שמפעיל התרגום \(e^{-x_0\frac{d}{dx}}\) מעביר את פונקציית הגל למרחק \(x_0\) ימינה.

מאז\(\hat{p}=-i\hbar d/dx\), מפעיל התרגום יכול גם להיות כתוב כמו\(e^{-ix_0\hat{p}/\hbar}\), ומכאן זה יכול לבוא לידי ביטוי במונחים של\(\hat{a}\),\(\hat{a}^{\dagger}\), שכן \[ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(m\omega \hat{x}+i\hat{p}),\;\; \hat{a}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(m\omega \hat{x}-i\hat{p}), \label{3.6.31}\]

(\(\hat{p}\), \(\hat{x}\) להיות הרמיטי) כך \[ \hat{p}=i\sqrt{\hbar m\omega}{2}(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}). \label{3.6.32}\]

לכן ניתן לכתוב את פונקציית הגל של מצב הקרקע העקור \[ \psi_0(x-x_0)=e^{-ix_0\hat{p}/\hbar}\psi_0(x)=e^{x_0\sqrt{m\omega /2\hbar}(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}\psi_0(x)=e^{z_0(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}\psi_0(x) \label{3.6.33}\]

לאמיתי\(z_0=x_0\sqrt{m\omega /2\hbar}\), שכן \(p_0\) הוא אפס למצב התחלתי זה (פונקציית הגל אמיתית).

בסימון ket, קבענו כי מצב אי הוודאות המינימלי שבמרכזו\(x_0\), ובעל ערך ציפייה אפס למומנטום, הוא \[ |x_0,0\rangle=e^{z_0(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}|0,0\rangle. \label{3.6.34}\]

אבל זה לא בדיוק ברור שמדובר במצב עצמי של \(\hat{a}\) ערך עצמי! \(z_0\) (כפי שהוא חייב להיות.)

כדאי לראות כיצד להוכיח שרק מתכונות המפעילים - אך לשם כך אנו זקוקים לכמה משפטים הנוגעים לאקספוננציאלים של מפעילים המופיעים בנספח.

ראשית, אם הקומוטטור \([A,B]\) נוסע עם \(A\) ו, ואז\(B\). \(e^{A+B}=e^Ae^Be-\frac{1}{2}[A,B]\) תוצאה זו מפשטת את הצד הימני של המשוואה לעיל, עבור \[ \begin{matrix} e^{z_0(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}|0,0\rangle=e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}e^{-z_0\hat{a}}e^{-z_0^2[\hat{a}^{\dagger},\hat{a}]/2}|0,0\rangle\\ =e^{-z_0^2/2}e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}|0,0\rangle \end{matrix} \label{3.6.35}\]

שבו השתמשנו\(e^{-z_0\hat{a}}|0,0\rangle=|0,0\rangle\).

זה פשוט יותר, אבל עדיין לא ברור שיש לנו מצב עצמי של\(\hat{a}\): אנחנו צריכים את הקומוטטור \[ [\hat{a},e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}]. \label{3.6.36}\]

המשפט השני שאנו זקוקים לו הוא: אם הקומוטטור של שני מפעילים עצמו \([A,B]=c\)

נוסע עם \(A\) ו\(B\), ולאחר מכן \[ [A,e^{\lambda B}]=\lambda ce^{\lambda B}. \label{3.6.37}\]

(ניתן להוכיח זאת בקלות על ידי הרחבת האקספוננציאלי - ראה נספח.)

להחיל את זה על המקרה שלנו, \[ [\hat{a},e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}]=z_0e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}. \label{3.6.38}\]

מכאן מיד \( e^{-z_0^2/2}e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}|0,0\rangle\) שזה אכן מצב עצמי של \(\hat{a}\) עם ערך עצמי. \(z_0=x_0\sqrt{m\omega /2\hbar}\) (עליו גם להיות מנורמל נכון מכיוון שהתרגום \(|x_0,0\rangle=e^{z_0(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}|0,0\rangle\) הוא פעולה יחידה אמיתית\(z_0\).)

כיצד אנו מכלילים את מפעיל התרגום הזה למצב שרירותי, עם nonzero\(\langle x\rangle\),? \(\langle p\rangle\) במחשבה במונחים של מרחב הפרמטרים המורכב\(z\), עלינו להיות מסוגלים לנוע הן בכיוונים והן \(p\) בכיוונים, תוך שימוש בשניהם \(\hat{p}=-i\hbar d/dx\) ו\(\hat{x}=i\hbar d/dp\). \(x\) זה מעט מסובך מכיוון שמפעילים אלה אינם נוסעים, אך הקומוטטור שלהם הוא רק מספר, ולכן (באמצעות המשפט שהוכח בנספח) הדבר ישפיע רק על הנורמליזציה הכוללת.

יתר על כן, שניהם \(\hat{p}\) \(\hat{x}\) והם שילובים של\(\hat{a}\),\(\hat{a}^{\dagger}\), כך שההכללה של \(e^{-i\langle x_0\rangle\hat{p}/\hbar}\) מממשי \(x_0\) \(z\) למורכב תהיה יחידה, עליה להיות שילוב אנטי-הרמיטי של, \(\hat{a}^{\dagger}\) במעריך - למפעיל יחידתי יש את הצורה\(\hat{a}\), היכן \(H\) הוא הרמיטי\(U=e^{iH}\), כך גם אנטי-הרמיטי. \(iH\)

אנו מובלים למסקנה כי \[ |\langle p\rangle,\langle x\rangle\rangle=e^{(z\hat{a}^{\dagger}-z^*\hat{a})}|0\rangle=|z\rangle, \label{3.6.39}\]

תיוג נוח של המצב הקוהרנטי באמצעות הפרמטר המורכב \(z\) של מרכזו בחלל פאזה. מאחר שמפעיל התרגום הכללי הזה הוא יחידתי, המצב החדש מנורמל באופן אוטומטי.

כיצד מצבים אלה קשורים למצבי האנרגיה העצמיים?

המשוואה לעיל מציעה אפשרות לייצג את המצב \(|z\rangle\) העקור בבסיס האנרגיה הסטנדרטי\(|n\rangle\). אנו יכולים לפשט עם אותו טריק המשמש למקרה העקירה המרחבית בחלק האחרון, כלומר המשפט \(e^{A+B}=e^Ae^Be-\frac{1}{2}[A,B]\) שבו כעת\(A=z\hat{a}^{\dagger}\),\(B=-z^*\hat{a}\): \[ |z\rangle=e^{z\hat{a}^{\dagger}-z^*\hat{a}}|0\rangle=e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}e^{-z^*\hat{a}}|0\rangle=e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle \label{3.6.40}\]

משתמש \(e^{-z^*\hat{a}}|0\rangle=|0\rangle\) מאז\(\hat{a}|0\rangle=0\).

כעת פשוט להרחיב את האקספוננציאלי: \[|z\rangle =e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle=e^{-|z|^2/2}(1+za^{\dagger}+(za^{\dagger})^22!+…)|0\rangle \label{3.6.41}\]

ונזכר כי מצבי האנרגיה המנורמלים הם \[ |n\rangle =\frac{(a^{\dagger})^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle \label{3.6.42}\]

אנו מוצאים \[ |z\rangle=e^{-|z|^2/2}(|0\rangle+z|1\rangle+\frac{z^2}{\sqrt{2!}}|2\rangle+\frac{z^3}{\sqrt{3!}}|3\rangle+…). \label{3.6.43}\]

תרגיל: בדוק שמצב זה מנורמל כהלכה, והוא מצב עצמי של. \(\hat{a}\)

פיתוח זמן של מצב עצמי של שימוש בבסיס האנרגיה

כעת, לאחר שהבענו את המצב העצמי \(|z\rangle\) כסכום על המצב העצמי \(|n\rangle\) של המילטוניאן, מציאת התפתחות הזמן שלו בייצוג זה היא פשוטה.

מאז\(|n(t)\rangle=e^{-in\omega t}|n\rangle\),

\[ |z(t)\rangle=e^{-|z_0|^2/2}(|0\rangle+z_0e^{-i\omega t}|1\rangle+\frac{z_0^2e^{-2i\omega t}}{\sqrt{2!}}|2\rangle+\sqrt{z_03e^{-3i\omega t}}{\sqrt{3!}}|3\rangle+\dots) \label{3.6.44}\]

אשר ניתן לכתוב \[ |z(t)\rangle=e^{-|z_0|^2/2}e^{z_0e^{-i \omega  t}\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle, \label{3.6.45}\]

שווה לתוצאה \(z(t)=z_0e^{-i\omega t}\) הנגזרת קודם לכן.

כמה מאפיינים של קבוצת המדינות העצמיות של \(\hat{a}\)

במכניקת הקוונטים, כל משתנה פיזיקלי מיוצג על ידי אופרטור הרמיטי. הערכים העצמיים הם אמיתיים, המצבים העצמיים הם אורתוגונליים (או שניתן לבחור כך עבור מצבים מנוונים) והמצבים העצמיים עבור קבוצה שלמה, המשתרעים על המרחב, כך שניתן לייצג כל וקטור במרחב בצורה ייחודית כסכום מעל מצבים אלה.

המפעיל \(\hat{a}\) אינו הרמיטי. הערכים העצמיים שלו הם כל המספרים במישור המורכב. המצבים העצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים לעולם אינם אורתוגונליים, כפי שמתברר מיד בהתחשב במצב הקרקע ובמצב קרקע עקורה. החפיפה כמובן פוחתת במהירות עבור מדינות רחוקות במרחב הפאזה.

ניתן לחשב את חפיפת המדינה באמצעות\(|z\rangle =e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle\):

\[ \langle w|z\rangle=\langle 0|e^{w^*\hat{a}}e^{-|w|^2/2}e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle \label{3.6.46}\]

ואז נוכל להחליף את המפעילים\(e^{-w^*\hat{a}}\), \(e^{z\hat{a}^{\dagger}}\) באמצעות המשפט מהנספח\(e^Be^A=e^Ae^Be-[A,B]\), אז מאז\(\langle 0|\hat{a}^{\dagger}=\hat{a}|0\rangle=0\), נשארנו עם

\[\langle w|z\rangle=\langle 0|e^{w^*z}e^{-|w|^2/2}e^{-|z|^2/2}|0\rangle,\label{3.6.47}\]

שממנו

\[ |\langle w|z\rangle|^2=e^{-|w-z|^2}. \label{3.6.48}\]

לבסוף, באמצעות\( |z\rangle=e^{-|z|^2/2}(|0\rangle+z|1\rangle+\frac{z^2}{\sqrt{2!}}|2\rangle+\frac{z^3}{\sqrt{3!}}|3\rangle+\dots)\), אנו יכולים לבנות מפעיל יחידה באמצעות\(|z\rangle\),

\[ I=\iint \frac{dxdy}{\pi}|z\rangle\langle z| \label{3.6.49}\]

כאשר האינטגרל נמצא על פני כל המישור המורכב \(z=x+iy\) (זה \(x\) כמובן לא המיקום המקורי\(x\), זכור לתפקוד הגל שזה עתה נעקר לאורך הציר\(z_0=x_0\sqrt{m\omega /2\hbar}\)). לכן, \(|z\rangle\) התוחלת את החלל כולו.

תורם

• Template:ContribFowler