3.7: אינטגרלים של נתיבים

תמונתו של הויגן על התפשטות הגלים

אם מקור אור נקודתי מופעל, חזית הגל היא כדור מתרחב שבמרכזו המקור. הויגנס הציע שניתן להבין זאת אם בכל רגע בזמן כל נקודה בחזית הגל נחשבה כמקור לגלים משניים, וחזית הגל החדשה כעבור רגע הייתה אמורה להיחשב כמובנית מסכום הגלים הללו. לאור שמאיר ברציפות, תהליך זה פשוט חוזר על עצמו.

מה התועלת ברעיון זה? ראשית, זה מסביר שבירה - שינוי הכיוון של חזית גל בכניסה למדיום אחר, כמו קרן אור העוברת מאוויר לזכוכית.

אם האור נע לאט יותר בזכוכית, המהירות \(v\) במקום, עם \(c\)\(v<c\), אז תמונתו של הויגן מסבירה את חוק סנל, שהיחס בין סינוסים של הזוויות לנורמלי האירוע והקורות המועברות הוא קבוע, ולמעשה הוא היחס. \(c/v\) זה ניכר מהתרשים שלהלן: בזמן שהגל שבמרכזו \(A\) התפשט ל\(C\), זה שהגיע\(D\), היחס בין האורכים \(AC/BD\) הוא\(c/v\). \(B\) אבל הזוויות בחוק סנל הן למעשה הזוויות \(ABC\)\(BCD\), ולמשולשים בעלי זווית ישרה יש היפוטוזה משותפת\(BC\), שממנה נובע החוק.

עקרון הזמן הנמוך ביותר של פרמה

כעת נשכח זמנית את אופי הגל של האור, ונשקול קרן צרה או קרן אור זורחת מנקודה \(A\) לנקודה\(B\), שם אנו מניחים \(A\) להיות \(B\) באוויר, בזכוכית. פרמה הראה כי דרכה של קרן כזו ניתנת על ידי עקרון הזמן הקטן ביותר: קרן אור שעוברת \(A\) מ-אל \(B\) בכל דרך אחרת תארך זמן רב יותר. איך אנחנו יכולים לראות את זה? ברור שכל סטייה מנתיב קו ישר באוויר או בזכוכית הולכת להוסיף לזמן שנדרש, אבל מה לגבי להזיז מעט את הנקודה בה הקורה נכנסת לזכוכית?

במקום בו האוויר פוגש את הזכוכית, שתי הקרניים, המופרדות במרחק קטן \(CD = d\) לאורך אותו ממשק, ייראו מקבילות:

(פיינמן נותן המחשה יפה: מציל על חוף מבחין בשחיין בצרות במרחק מה משם, בכיוון אלכסוני. הוא יכול לרוץ שלוש פעמים מהר יותר ממה שהוא יכול לשחות. מה הדרך המהירה ביותר לשחיין?)

הזזת נקודת הכניסה למרחק קטן d, האור צריך לנסוע תוספת \(d\sin\theta_1\) באוויר, אבל מרחק פחות בכוס, נותן זמן נסיעה נוסף\(\Delta t=d\sin\theta_1/c-d\sin\theta_2/v\). \(d\sin\theta_2\) עבור הדרך הקלאסית, חוק סנל נותן\(\sin\theta_1/\sin\theta_2=n=c/v\), כך \(\Delta t=0\) לסדר הראשון. אבל אם נסתכל על סדרה של שבילים אפשריים, כל אחד במרחק קטן d מהשני בנקודת המעבר מאוויר לזכוכית, \(\Delta t\) הופך לסדר \(d/c\) הרחק מהדרך הקלאסית.

נניח שעכשיו אנו מדמיינים שהאור למעשה עובר לאורך כל הנתיבים הללו במשרעת שווה בערך. מה תהיה התרומה הכוללת של כל הנתיבים ב\(B\)? מכיוון שהזמנים לאורך השבילים שונים, האותות לאורך הנתיבים השונים יגיעו \(B\) עם שלבים שונים, וכדי לקבל את משרעת הגל הכוללת עלינו להוסיף סדרה של \(2D\) וקטורי יחידה, אחד מכל נתיב. (מייצג את המשרעת והשלב של הגל במספר מרוכב לנוחות - עבור גל אמיתי, אנו יכולים לקחת את החלק האמיתי בסוף.)

כאשר אנו ממפים את \(2D\) וקטורי היחידה הללו, אנו מגלים שבשכונת הנתיב הקלאסי, השלב משתנה מעט, אך ככל שאנו מתרחקים ממנו הפאזה מתפתלת מהר יותר ויותר, כך שהנתיבים הללו מתערבים בינם לבין עצמם באופן הרסני. כדי לנסח זאת בצורה קצת יותר מדויקת, נניח שלחלק קרוב לנתיב יש הבדל פאזה \(\varphi\) מנתיב הזמן הנמוך ביותר, ועובר מאוויר לזכוכית \(x\) מרחק מנתיב הזמן הנמוך ביותר: ואז עבור אלה קרובים בשבילים,\(\varphi=ax^2\), שם תלוי בסידור הגיאומטרי ובאורך הגל. מכאן, הסכום על הנתיבים הקרובים הוא חלק בלתי נפרד מהצורה\(\int e^{iax^2}dx\). (אנו מניחים שאורך הגל של האור הוא הרבה פחות מגודל הציוד.) זהו אינטגרל סטנדרטי, ערכו הוא\(\sqrt{\pi/ia}\), כל משקלו מרוכז באזור רוחב מרכזי\(1/\sqrt{a}\), בדיוק כמו לתפקוד האמיתי\(e^{-ax^2}\).

זהו ההסבר לעקרון פרמה - רק בסמוך לנתיב הזמן הנמוך ביותר, שבילים נשארים בערך בשלב זה עם זה ומוסיפים באופן קונסטרוקטיבי. אז לכלל הנתיב הקלאסי הזה יש הסבר בסיסי של שלב הגל. למעשה, תפקידו המרכזי של השלב בניתוח זה מודגש לעיתים באומרו שקרן האור עוקבת אחר נתיב השלב הנייח.

כמובן, איננו מסכמים כאן את כל הנתיבים - אנו מניחים שהנתיב באוויר מהמקור לנקודת הכניסה לזכוכית הוא קו ישר, ברור נתיב המשנה של השלב הנייח.

מכניקה קלאסית: עקרון הפעולה הפחותה

הגבלת תשומת ליבנו כרגע למכניקה של חלקיק לא רלטיביסטי יחיד בפוטנציאל, עם \(L=T-V\) לגראנגיאן, הפעולה מוגדרת על ידי \(S\) \[ S=\int_{t_1}^{t_2}L(x,\dot{x})dt. \tag{3.7.1}\]

ניתן להראות כי חוקי התנועה של ניוטון שווים לאמירה כי חלקיק הנע בפוטנציאל מ- \(A\) AT \(t_1\) ל- \(B\) at \(t_2\) נוסע לאורך הנתיב שממזער את הפעולה. זה נקרא עקרון הפעולה הקטנה ביותר: לדוגמה, הנתיב הפרבולי ואחריו כדור שנזרק באוויר ממזער את האינטגרל לאורך מסלול הפעולה \(T-V\) היכן \(T\) נמצאת האנרגיה הקינטית של הכדור, האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית \(V\) שלו (הזנחת התנגדות האוויר, כמובן). שים לב כאן שהזמנים הראשוניים והאחרונים קבועים, ולכן מכיוון שנסכם נתיבים באורכים שונים, בהכרח מהירות החלקיקים תהיה שונה לאורך הנתיבים השונים. במילים אחרות, יהיו לו אנרגיות שונות לאורך הנתיבים השונים.

עם הופעתה של מכניקת הקוונטים, וההבנה שלכל חלקיק, כולל כדור שנזרק, יש תכונות דמויי גל, העיקרון המסתורי למדי של פעולה פחותה נראה הרבה כמו עקרון הזמן הקטן ביותר של פרמה. נזכיר כי עקרון פרמה פועל מכיוון שהשלב הכולל לאורך נתיב הוא הזמן המשולב שחלף לאורך השביל, ולנתיב שבו אותו אינטגרל נייח עבור וריאציות נתיבים קטנות, נתיבים שכנים מוסיפים באופן קונסטרוקטיבי, ואף קבוצות נתיבים אחרות לא עושות זאת. אם לעקרון הפעולה הקטנה יש הסבר דומה, אז משרעת הגל של חלקיק העובר בנתיב מ- \(A\) עד \(B\) חייבת להיות שלב השווה לכמה פעמים קבועות הפעולה לאורך אותו נתיב. אם זה המקרה, אז הנתיב הנצפה שאחריו יהיה בדיוק זה של הכי פחות פעולה, או, באופן כללי יותר, של פעולה נייחת, שכן רק ליד הנתיב הזה האמפליטודות יוסיפו באופן קונסטרוקטיבי, בדיוק כמו בניתוח קרני האור של פרמה.

מעבר ממכניקה קלאסית למכניקת קוונטים

כמובן שאם אנו כותבים גורם פאזה לנתיב \(e^{icS}\) בו \(S\) הפעולה לנתיב \(c\) והיא קבועה כלשהי, \(c\) חייבים בהכרח להיות בעלי ממדים של פעולה הפוכה. למרבה המזל, יש מועמד טבעי קבוע\(c\). אופי הגל של החומר נובע ממכניקת הקוונטים, והקבוע הבסיסי של מכניקת הקוונטים, הקבוע של פלאנק, הוא למעשה יחידת פעולה. (לפעולת הזכירה יש אותם ממדים כמו\(Et\), ולכן זהים\(px\), בעליל כמו המומנטום הזוויתי.) מסתבר שגורם שלב הנתיב המתאים הוא \(e^{iS/\hbar}\)

כי גורם הפאזה הוא\(e^{iS/\hbar}\), במקום, למשל\(e^{iS/h}\), ניתן לקבוע על ידי בחינת ניסוי החריץ הכפול לאלקטרונים (Peskin page 277).

זה מקביל לגלי האור העוברים ממקור באוויר לנקודה בזכוכית, אלא שעכשיו יש לנו ואקום לאורך כל הדרך (אלקטרונים לא מגיעים רחוק בזכוכית), ואנחנו סוגרים את כל הנתיבים מלבד שניים.

נניח שאלקטרונים מהחריץ העליון, נתיב I, עוברים מרחק \(D\) לגלאי, אלה מהחריץ התחתון, נתיב II, הולכים\(D+d\), עם\(d\ll D\). ואז אם לאלקטרונים יש אורך גל \(\lambda\) אנו יודעים שהפרש הפאזה בגלאי הוא\(2\pi d/\lambda\). לראות זאת מהנוסחה שלנו לסיכום נתיבים, בנתיב I הפעולה \(S=Et=\frac{1}{2}mv^2_1t\)\(v_1=D/t\), וכן הלאה \[S_1=\frac{1}{2}mD^2/t. \tag{3.7.2}\]

בשביל נתיב II, עלינו לקחת\(v_2=(D+d)/t\). שמירה על תנאי סדר מוביל בלבד ב-\(d/D\), הפרש הפעולה בין שני הנתיבים \[ S_2-S_1=mDd/t \tag{3.7.3}\]

כך שהפרש השלבים \[ \frac{S_2-S_1}{\hbar} =\frac{mvd}{\hbar}=\frac{2\pi pd}{h}=\frac{2\pi d}{\lambda}. \tag{3.7.4}\]

זוהי התוצאה הנכונה הידועה, וזה מתקן את הקבוע המכפיל את הפעולה/h בביטוי לשלב הנתיב.

במכניקת הקוונטים, כמו תנועת אלקטרון באטום, אנו יודעים שהחלקיק אינו הולך בדרך מוגדרת היטב, בניגוד למכניקה הקלאסית. היכן מתרחש המעבר לנתיב מוגדר היטב? אם ניקח את המקרה הפשוט ביותר האפשרי של חלקיק חופשי (ללא פוטנציאל) של מסה m הנע במהירות\(v\), הפעולה לאורך נתיב קו ישר שלוקח זמן \(t\) מ- \(A\) עד \(B\) היא\(\frac{1}{2}mv^2t\). אם פעולה זו היא בסדר הקבוע של פלאנק\(h\), אז גורם הפאזה לא יתנדנד באלימות במעבר לנתיבים שונים, ומגוון נתיבים יתרום. במילים אחרות, התנהגות קוונטית ולא קלאסית שולטת מתי \(\frac{1}{2}mv^2t\) היא בסדר\(h\). אבל \(vt\) הוא אורך הנתיב\(L\), והוא \(mv/h\) אורך הגל\(\lambda\), ולכן אנו מסיקים שעלינו להשתמש במכניקת הקוונטים כאשר אורך הגל \(h/p\) משמעותי בהשוואה לאורך הנתיב. ההפרעה מתחילה כאשר ההבדל בפעולות הנתיב הוא בסדר\(h\), ולכן במשטר האטומי יש לכלול נתיבים רבים.

פיינמן (בפיינמן והיבס) נותן תמונה נחמדה שתעזור לחשוב על סיכום שבילים. הוא מתחיל בניסוי החריץ הכפול לאלקטרון. אנו מניחים שהאלקטרון נפלט ממקור \(A\) כלשהו משמאל, ואנחנו מחפשים אותו בנקודה \(B\) על מסך מימין. באמצע מחסום אטום דק עם שני החריצים המוכרים. ככל הנראה, כדי למצוא את המשרעת של האלקטרון להגיע \(B\) אנו מסכמים על שני נתיבים. עכשיו נניח שנוסיף עוד מחסום דו-חריץ. אנחנו צריכים לסכם על ארבעה נתיבים. עכשיו להוסיף עוד. לאחר מכן, להחליף את שני חריצים בכל מחסום על ידי מספר חריצים. עלינו לסכם על מספר רב של שבילים! לבסוף, הגדילו את מספר החסמים למספר גדול כלשהו\(N\), ובמקביל הגדילו את מספר החריצים עד כדי כך שלא נותרו חסמים. נותר לנו סכום על כל הנתיבים האפשריים בחלל מ- \(A\) עד\(B\), ומכפילים כל נתיב בגורם שלב הפעולה המתאים. זה מזכיר את תמונת התפשטות הגלים המקורית של הויגנס: אם מצלמים אותה במרווחי זמן רצופים של פיקו-שניות, נניח, מכל נקודה על גלי חזית הגל יוצאים 3 מ"מ לכל הכיוונים, אז במרווח הזמן הבא כל אחד מאלה נבטים גלים נוספים לכל הכיוונים. אפשר לכתוב את זה כסכום על כל נתיבי הזיגזג בצעדים אקראיים של 3 מ"מ.

למעשה, סכום הנתיבים מרתיע עוד יותר ממה שמציעה תמונתו של פיינמן. כל הנתיבים העוברים דרך המחסומים המרובים הללו מתקדמים בכיוון קדימה, \(A\) מכיוונו. \(B\) למעשה, אם אנו מסכמים את כל הנתיבים, עלינו לכלול את האפשרות של שבילים מזגזגים גם אחורה וקדימה, ובסופו של דבר מגיעים ל. \(B\) בקרוב נראה כיצד להתמודד באופן שיטתי עם כל הדרכים האפשריות.

סקירה: הגדרה סטנדרטית של מפיץ האלקטרונים החופשי

כתרגיל חימום, שקול אלקטרון מוגבל לממד אחד, ללא פוטנציאל קיים, נע מ \(x'\) בזמן 0 ל \(x\) בזמן\(T\). נעקוב אחר פיינמן בשימוש \(T\) בפעם האחרונה, כדי שנוכל לשמור t עבור משתנה הזמן הרציף (אם כי לפעמים דיסקרטי) לאורך המרווח 0 עד. \(T\)

(כפי שהוסבר קודם לכן, כאשר אנו כותבים שהאלקטרון נמצא בתחילה\(x'\), אנו מתכוונים שתפקוד הגל שלו הוא מצב ניתן לנורמליזציה, כגון גאוס צר מאוד, שבמרכזו. \(x'\) המפיץ מייצג אז את משרעת ההסתברות, כלומר את פונקציית הגל, בנקודה \(x\) שלאחר הזמן הנתון\(T\).) המפיץ ניתן על ידי \[ |\psi(x,t=T)\rangle =U(T)|\psi(x,t=0)\rangle ,\tag{3.7.5}\]

או, בסימון פונקציית גל שרדינגר, \[ \psi(x,T)=\int U(x,T; x',0)\psi(x′,0) dx′. \tag{3.7.6}\]

ברור שכדי שזה יהיה הגיוני, כמו\(T\to0\), \(U(x,T;x',0)\to\Delta(x-x′).\)

בהרצאה על מפיצים מצאנו

\[ \langle x|U(T,0)|x′\rangle  =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\hbar k^2T/2m}\frac{dk}{2\pi}\langle x|k\rangle \langle k|x′\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\hbar k^2T/2m}\frac{dk}{2\pi}e^{-ik(x-x′)}=\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar iT}}e^{im(x-x′)2/2\hbar T}. \tag{3.7.7}\]

סיכום על נתיבים

הבה ננסח את סכום הנתיבים למקרה החד-ממדי הפשוט ביותר הזה, האלקטרון החופשי, ליתר דיוק. כל נתיב הוא פונקציה רציפה של זמן \(x(t)\) במרווח הזמן\(0\le t\le T\), עם תנאי גבול\(x(0)=x′, x(T)=x\). כל נתיב תורם מונח\(e^{iS/\hbar}\), שבו \[ S[x(t)]=\int_0^T L(x(t),\dot{x}(t))dt=\int_0^T \frac{1}{2}m\dot{x}^2(t)dt \tag{3.7.8}\]

(עבור מקרה האלקטרונים החופשיים) הוערך לאורך נתיב זה.

האינטגרל על כל הנתיבים כתוב: \[ \langle x|U(T,0)|x′\rangle =\int D[x(t)] e^{iS[x(t)]/\hbar} \tag{3.7.9}\]

אמירה רשמית למדי זו מעלה את השאלה כיצד בדיוק אנו מבצעים את הסכום על שבילים: מהו המדד המתאים במרחב הנתיבים?

גישה טבעית היא למדוד את הנתיבים מבחינת החריגה שלהם מהדרך הקלאסית, מכיוון שאנו יודעים שהדרך שולטת בגבול הקלאסי. הנתיב הקלאסי של האלקטרון החופשי הוא רק הקו הישר \(x'\) מ-to\(x\), חוצה במהירות קבועה, מכיוון שאין כוחות הפועלים על האלקטרון.

אנחנו כותבים \[x(t)=x_{cl}(t)+y(t) \tag{3.7.10}\]

איפה \[ x_{cl}(0)=x′,  x_{cl}(T)=x \tag{3.7.11}\]

ולכן \[ y(0)=0, y(T)=0. \tag{3.7.12}\]

ואז \[ \begin{matrix}\langle x|U(T,0)|x′\rangle =\int D[y(t)] e^{iS[x_{cl}(t)+y(t)]/\hbar} ,\\ S[x_{cl}(t)+y(t)]=\int_0^T \frac{1}{2}m(\dot{x}_{cl}(t)+\dot{y}(t))^2dt \\ =S[x_{cl}(t)]+\int_0^T m\dot{x}_{cl}(t)\dot{y}(t)dt+\int_0^T \frac{1}{2}m\dot{y}^2(t)dt. \end{matrix} \tag{3.7.13}\]

המונח האמצעי בשורה התחתונה הוא אפס, כפי שהוא צריך להיות מכיוון שהוא מונח ליניארי בסטייה מהנתיב המינימלי. כדי לראות זאת במפורש, ניתן להשתלב בחלקים: מונחי הסיום הם אפס, מתנאי הגבול ב- y, והמונח השני הוא האצת החלקיק לאורך הנתיב הקלאסי, שהוא אפס.

לכן \[ \langle x|U(T,0)|x′\rangle =e^{iS[x_{cl}(t)]/\hbar} \int D[y(t)] e^{iS[y(t)]/\hbar} \tag{3.7.14}\]

הנתיבים, בהיותם הסטייה מהדרך הקלאסית מ- \(x'\) to\(x\), בהכרח מתחילים ומסתיימים במקור, מכיוון שכל הנתיבים המסוכמים עוברים מ- \(x'\) אל\(x\). \(y\) \(y\)

הנתיב הקלאסי, תנועה מ \(x'\) אל \(x\) במהירות קבועה\(v=(x′-x)/T\), יש פעולה\(Et\), עם \(E\) האנרגיה הקלאסית\(\frac{1}{2}mv^2\), כך \[ U(x,T;x',0)=A(T)e^{im(x-x′)2/2\hbar T}. \tag{3.7.15}\]

זה נותן את המונח האקספוננציאלי הנכון. המקדם\(A\), המייצג את הסכום על פני נתיבי הסטייה y (t), אינו יכול להיות תלוי \(x\) או\(x'\), והוא קבוע על ידי הדרישה שכפי שהוא \(t\) הולך לאפס, \(U\) חייב להתקרב לפונקציה a \(\delta\) -, נותן את המקדם שנמצא בעבר.

הוכחה שהגדרת סכום-על-נתיבים של המפיץ שווה ערך להגדרת סכום-על-עצמיים

הצעד הראשון הוא לבנות שיטה מעשית של סיכום על נתיבים. הבה נתחיל עם חלקיק בממד אחד שעובר \(x'\) בזמן 0 ל \(x\) בזמן\(T\). ניתן למנות את הנתיבים בצורה גסה, המזכירה את שילוב רימן: חלקו את מרווח הזמן 0 \(T\) למרווחים \(N\) שווים כל אחד מהמשך\ varepsilon, כך. \(t_0=0, t_1=t_0+\varepsilon, t_2=t_0+2\varepsilon,…, t_N=T\)

לאחר מכן, הגדירו נתיב מסוים \(x\) מ-עד \(x'\) על ידי ציון מיקום החלקיק בכל אחד מזמני הביניים, כלומר הוא \(x_1\) בזמן\(t_1\), \(x_2\) בזמן \(t_2\) וכן הלאה. לאחר מכן, לפשט את הנתיב על ידי הצבת סיביות קו ישר חיבור \(x_1\)\(x_2\), \(x_0\) \(x_1\) אל, וכו 'ההצדקה היא כי בגבול של \(\varepsilon\) הולך לאפס, נלקח בסוף, זה הופך ייצוג אמיתי של הנתיב.

השלב הבא הוא לסכם את כל הנתיבים האפשריים עם גורם \(e^{iS/\hbar}\) לכל אחד מהם. הסכום מושג על ידי שילוב על כל הערכים האפשריים של עמדות הביניים\(x_1,x_2,…,x_{N-1}\), ולאחר מכן לוקח \(N\) עד אינסוף.

הפעולה על שביל הזיגזג היא \[ S=\int_0^T dt(\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x))\to\sum_i \left[ \frac{m(x_i+1-x_i)^2}{2\varepsilon}-\varepsilon V(\frac{x_i+1+x_i}{2}) \right] \tag{3.7.16}\]

אנו מגדירים את "אינטגרל על פני נתיבים" שנכתב \(\int D[x(t)]\) על ידי \[ \lim_{\begin{matrix} \varepsilon\to0 \\ N\to\infty \end{matrix}}\frac{1}{B(\varepsilon)}\int_{-\infty}^{\infty}\int \dots \int \frac{dx_1}{B(\varepsilon)} \dots  \frac{dx_{N-1}}{B(\varepsilon)} \tag{3.7.17}\]

שבו עדיין לא הבנו מה גורם הניפוח הכולל \(B(\varepsilon)\) הולך להיות. (זו מוסכמה סטנדרטית שיש את התוספת הזו \(B(\varepsilon)\) בחוץ.)

לסיכום: המפיץ \(U(x,T;x',0)\) הוא התרומה לפונקציית הגל \(x\) בזמן

\(t=T\)מזה \(x'\) בזמן מוקדם יותר t = 0.

כתוצאה מכך, \(U(x,T;x',0)\) הנחשב כפונקציה של\(x\), למעשה, \(T\) אינו אלא פונקציית גל שרדינגר\(\psi(x,T)\), ולכן עליו לספק את משוואת שרדינגר \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial T}U(x,T;x',0)=\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x) \right) U(x,T;x',0).\tag{3.7.18}\]

כעת נראה כי ההגדרה \(U(x,T;x',0)\) כסכום על פני נתיבים, היא אכן מספקת את משוואת שרדינגר, ויתרה מכך עוברת לפונקציה \(\delta\) - ככל שהזמן עובר לאפס. \[ U(x,T;x',0)=\int D[x(t)]e^{iS[x(t)]/\hbar} =\lim_{\begin{matrix} \varepsilon\to0 \\ N\to\infty \end{matrix}}\frac{1}{B(\varepsilon)}\int_{-\infty}^{\infty}\int \dots \int \frac{dx_1}{B(\varepsilon)} \dots  \frac{dx_{N-1}}{B(\varepsilon)}e^{iS(x_1,  \dots   ,x_{N-1})/\hbar} . \tag{3.7.19}\]

נקבע שקילות זו על ידי הוכחה שהיא עומדת באותה משוואה דיפרנציאלית. ברור שיש לו את אותו ערך ראשוני - כפי שהוא \(t\) עולה בקנה אחד, זה הולך \(\delta(x-x′)\) בשני \(t′\) הייצוגים.

כדי להבדיל \(U(x,T;x',0)\) ביחס ל\(t\), אנו מבודדים את האינטגרל על פני משתנה הנתיב האחרון,\(x_{N-1}\): \[ U(x,T;x',0)=\int \frac{dx_{N-1}}{B(\varepsilon)}e^{\left[ \frac{im(x-x_{N-1})^2}{2\hbar \varepsilon}-\frac{i}{\hbar} \varepsilon V(\frac{x+x_{N-1}}{2})\right] }U(x_{N-1},T-\varepsilon;x',0) \tag{3.7.20}\]

כעת בגבול \(\varepsilon\) העומד לאפס, כמעט כל התרומה לאינטגרל זה חייבת להגיע מקרוב לנקודת השלב הנייח, כלומר\(x_{N-1}=x\). בגבול הזה, אנחנו יכולים \(U(x_{N-1},t-\varepsilon;x',t′)\) לקחת להיות פונקציה משתנה לאט של\(x_{N-1}\), ולהחליף אותו במונחים המובילים בהרחבה של טיילור בערך\(x\), אז \[ U(x,T;x',0)=\int \frac{dx_{N-1}}{B(\varepsilon)}e^{\frac{im(x-x_{N-1})^2}{2\hbar \varepsilon}} \left(1-\frac{i}{\hbar} \varepsilon V\left( \frac{x+x_{N-1}}{2}\right) \right) \left( U(x,T-\varepsilon)+(x_{N-1}-x)\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{(x_{N-1}-x)^2}{2}\frac{\partial^2U}{\partial x^2}\right) \tag{3.7.21}\]

\(V\)ניתן להזניח את \(x_{N-1}\) התלות בפוטנציאל בסדר מוביל - שמשאיר אינטגרלים גאוסיים סטנדרטיים, ו \[ U(x,T;x',0)=\frac{1}{B(\varepsilon)} \sqrt{\frac{2\pi\hbar \varepsilon}{-im}} \left( 1-\frac{i\varepsilon}{\hbar} V(x)+\frac{i\varepsilon\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right) U(x,T-\varepsilon;x',0). \tag{3.7.22}\]

לקיחת הגבול של \(\varepsilon\) מעבר לאפס מתקנת את גורם הנורמליזציה הלא ידוע שלנו, \[ B(\varepsilon)=\sqrt{\frac{2\pi\hbar \varepsilon}{-im}} \tag{3.7.23}\]

נותן \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial T}U(x,T;x',0)=\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right) U(x,T;x',0), \tag{3.7.24}\]

ובכך נקבע כי המפיץ שמקורו בסכום הנתיבים מציית למשוואת שרדינגר, וכתוצאה מכך נותן את אותה פיזיקה כמו הגישה המקובלת.

הערכה מפורשת של אינטגרל הנתיב למקרה החלקיקים החופשיים

ההתאמה הנדרשת לתוצאת משוואת שרדינגר מתקנת את הגורם הנורמלי הלא ידוע, כפי שקבענו זה עתה. המשמעות היא שאנו נמצאים כעת בעמדה להעריך את הסכום על פני נתיבים במפורש, לפחות במקרה החלקיקים החופשיים, ולאשר את התוצאה המנופפת מעט ביד שניתנה לעיל.

סכום הנתיבים הוא \[ U(x,T;x',0)=\int D[x(t)]e^{iS[x(t)]/\hbar} =\lim_{\begin{matrix} \varepsilon\to0 \\ N\to\infty \end{matrix}}1B(\varepsilon)\int_{-\infty}^{\infty}\int ...\int \frac{dx_1}{B(\varepsilon)} ... \frac{dx_{N-1}}{B(\varepsilon)}e^{i\sum_i \frac{im(x_i+1-x_i)^2}{2\hbar \varepsilon}}. \tag{3.7.25}\]

הבה נבחן את הסכום עבור קטן אך סופי\(\varepsilon\). בפרט, נחלק את המרווח תחילה לחצאים, אחר כך לרבעים וכן הלאה, למרווחים \(2^n\) קטנים. הסיבה לבחירה זו תתבהר.

כעת, נשלב למעלה ממחצית הנתיבים: אלה \(i\) למוזרים, ומשאירים את \(x_i\) הערכים הזוגיים קבועים כרגע. האינטגרלים הם מהצורה \[ \begin{matrix} \int_{-\infty}^{\infty}dye^{(ia/2)[(x-y)^2+(y-z)^2]}=e^{(ia/2)(x^2+z^2)}\int_{-\infty}^{\infty} dye^{iay^2-iay(x+z)} \\ =e^{(ia/2)(x^2+z^2)}\sqrt{\frac{\pi}{-ia}}e^{(-ia/4)(x+z)^2}=\sqrt{\frac{\pi}{-ia}}e^{(ia/4)(x-z)^2} \end{matrix} \tag{3.7.26}\]

באמצעות התוצאה הסטנדרטית\(\int_{-\infty}^{\infty} dxe^{-ax^2+bx}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{b^2/4a}\).

כעת הכניסו את הערך\(a=m/\hbar \varepsilon\): הגורם \(\sqrt{\frac{\pi}{-ia}}=\sqrt{\frac{\pi\hbar \varepsilon}{-im}}\) מבטל את גורם הנורמליזציה \(B(\varepsilon)=\sqrt{\frac{2\pi\hbar \varepsilon}{-im}}\) למעט הגורם 2 בתוך השורש הריבועי. אבל אנחנו צריכים את הגורם הזה של 2, כי נשאר לנו אינטגרל - על המסלולים הנותרים אפילו ממוספרים - בדיוק כמו זה שלפני, אלא שמרווח הזמן הוכפל, הן בגורם הנורמליזציה והן במעריך,. \(\varepsilon\to2\varepsilon\)

אז חזרנו למקום בו התחלנו. כעת אנו יכולים לחזור על התהליך, לחצות שוב את מספר הנתיבים, ואז שוב, עד שלבסוף יש לנו את אותו הביטוי אך כאשר רק נקודות הקצה הקבועות מופיעות.

תורם

• Template:ContribFowler