3.5: מפיצים וייצוגים
- Page ID
- 207234
בילינו את רוב הקורס עד כה בהתמקדות במצבים העצמיים של המילטוניאן, מדינות שתלות הזמן שלהן היא רק שלב משתנה. הזכרנו הרבה יותר מוקדם סופרפוזיציה של שני מצבי אנרגיה שונים בבאר אינסופית, וכתוצאה מכך פונקציית גל יורדת קדימה ואחורה. הגיע הזמן להעביר את ניתוח המצבים התלויים בזמן לשפת החזיות, החזיות והמפעילים. ניקח המילטוניאן עצמאי בזמן\( H\), עם סט שלם של מצבים עצמיים אורתונורמליים, וכרגיל
\[ iℏ \dfrac{∂}{\partial t}ψ(x,t) =−\dfrac{ℏ^2}{2m} \frac{∂^2}{∂x^2} ψ(x,t) +V(x)ψ(x,t),\]
או, כפי שהיינו כותבים את זה עכשיו
\[iℏ\dfrac{∂}{∂t}|ψ(x,t)⟩=H|ψ(x,t)⟩.\]
מכיוון \( H\) שהוא עצמו עצמאי בזמן, קל מאוד לשלב את זה!
\[|ψ(x,t)⟩=e^{−iH(t−t_0)/ℏ} |ψ(x,t_0)⟩.\]
האופרטור האקספוננציאלי שיוצר את תלות הזמן נקרא המפיץ, מכיוון שהוא מתאר כיצד הגל מתפשט מהתצורה הראשונית שלו, ובדרך כלל מסומן על ידי: \( U\)
\[|ψ(x,t)⟩=U(t−t_0)|ψ(x,t_0) ⟩.\]
ראוי להתקשר למפיץ\(U\), מכיוון שהוא מפעיל יחיד:
\[U(t−t_0)=e^{−iH}(t−t_0) \]
לכן
\[ U^†(t−t_0)=e^{iH^†}(t−t_0)=e^{iH}(t−t_0)=U−1(t−t_0).\]
מכיוון ש- H הוא הרמיטי, \(U\) הוא יחידי. זה מיד לאחר מכן
\[⟨ψ(x,t)|ψ(x,t)⟩=⟨ψ(x,t_0)|U^† U(t−t_0 )|ψ(x,t_0)⟩=⟨ψ(x,t_0)|ψ(x,t_0)⟩\]
הנורמה של וקטור ket נשמרת, או, בתרגום לשפת פונקציות גל, פונקציית גל מנורמלת כראוי כדי לתת הסתברות כוללת שאחד יישאר כך. (ניתן להוכיח זאת גם ממשוואת שרדינגר, כמובן, אך זה מהיר יותר.)
כל זה תמציתי מאוד, אך למרבה הצער האקספוננציאלי של מפעיל דיפרנציאלי מסדר שני לא נשמע קל מדי לעבוד איתו. נזכיר, עם זאת, שלכל פונקציה של מפעיל הרמיטי יש אותה קבוצה של מצבים עצמיים כמו המפעיל המקורי. המשמעות היא שהמצבים העצמיים של \(e^{−iH(t−t_0)/ℏ}\) זהים למצבים העצמיים של\(H\), ואם, אז \(H|ψ_n⟩=E_n |ψ_n⟩\)
\[e^{−iH(t−t_0)/ℏ} | ψ_n ⟩ =e^{−iEn(t−t_0)/ℏ}|ψ_n⟩.\]
זה כמובן אינו אלא גורם הפאזה התלוי בזמן עבור המצבים העצמיים שמצאנו קודם - וכמו קודם, כדי למצוא את תלות הזמן של כל מצב כללי עלינו לבטא אותו כסופרפוזיציה של העצמיות הללו, שלכל אחת מהן תלות זמן משלה. אבל איך עושים את זה בשפת המפעיל? קל: אנחנו פשוט מכניסים מפעיל זהות, זה שנבנה מתוך סט שלם של eigenkets, ובכך:
\[|ψ(t)⟩=e^{−iH(t−t_0)/ℏ} \sum_{n=1}^∞ |ψ_n⟩⟨ψ_n|ψ(t_0)⟩=\sum_{n=1}^∞e^{−iE_n(t−t_0)/ℏ}|ψ_n⟩⟨ψ_n|ψ(t_0)⟩.\]
בבהייה בזה אנו רואים שזה בדיוק מה שהיה לנו קודם: בזמן \(t=t_0\) הראשוני ניתן לכתוב את פונקציית הגל כסכום על גבי העצמיות:
\[|ψ(t_0)⟩=∑|ψ_n(t_0) ⟩ ⟨ψ_n (t_0)|ψ(t_0)⟩= \sum c_n|ψ_n(t_0)⟩\]
עם
\[c_n=⟨ψ_n| ψ⟩\]
ו
\[\sum |c_n|^2=1\]
וההכללה הרגילה לערכים עצמיים של רצף, והתפתחות הזמן ניתנת רק על ידי הכנסת השלבים:
\[|ψ(t)⟩=\sum c_n e^{−iE_n(t−t_0) /ℏ} |ψ_n(t_0)⟩.\]
ערך הציפייה של האנרגיה \(E\) ב\(|ψ⟩\),
\[⟨E⟩=⟨ψ|H|ψ⟩=\sum |c_n|^2E_n\]
והוא (כמובן) עצמאי בזמן.
ערך הציפייה של מיקום החלקיקים \(x\) הוא
\[⟨ψ(t)|x|ψ(t)⟩=\sum _{n,m} c^∗_n c_m e^{i(E_n−E_m)(t−t_0)/ℏ}⟨ψ_n(t_0)|x|ψ_m(t_0)⟩\]
ואינו עצמאי באופן כללי בזמן. (זה אמיתי, כמובן\(n\), על הוספת \(m\) המונח \(m\) \(n\) למונח.)
ניתוח זה תקף רק למילטוניאן שאינו תלוי בזמן. ההרחבה החשובה למערכת בשדה חיצוני תלוי זמן, כגון אטום בקרן אור, תינתן בהמשך הקורס.
מפיץ החלקיקים החופשי
כדי לקבל קצת תובנה כיצד \(U\) נראה המפיץ, ננתח תחילה את המקרה של חלקיק בממד אחד ללא פוטנציאל כלל. אנחנו גם ניקח \(t_0=0\) כדי להפוך את המשוואות פחות מסורבלות. לחלקיק חופשי בממד אחד
\[E=\dfrac{p^2}{2m}=\dfrac{ℏ^2 k^2}{2m}\]
מצבי האנרגיה העצמיים הם גם מצבים עצמיים של מומנטום, אנו מתייגים אותם, כך \(|k⟩\)
\[U(t)=e^{−iHt/ℏ}=\in_{−∞}^{∞} e^{−iH t/ℏ dk^2π} |k⟩⟨k|= \int _{−∞}^{∞}e^{−iℏ }k^2t/2mdk^2π|k⟩⟨k|.\]
חלקיק נמצא ב \(x_0\)\(ψ(x,t=0)=δ(x−x_0)=|x_0⟩\):: מהי משרעת ההסתברות למציאתו \(x\) במועד מאוחר יותר\(t\)? (זו תהיה רק פונקציית הגל שלה במועד מאוחר יותר.)
\[⟨x|U(t,0)|x_0⟩ = \int_{−∞}^{∞} e^{−iℏk^2t/ 2m} dk^2π⟨x |k⟩⟨k|x0⟩=\int _{−∞}^{∞} e^{−iℏ k^2t/2m} dk2πe^{−ik(x_0−x)}=m^2πℏit−−−−√e^{im(x_0−x)2}{2ℏ}t, \label{eq30}\]
תרגיל \(\PageIndex{1}\)
על בחינת משוואה\ ref {eq30}, עם זאת, מתברר להיות שטויות! מציין כי המונח באקספקטנט הוא דמיוני טהור, \(|ψ(x,t)|^2=\dfrac{m}{2πℏt}\) בלתי תלוי! \(x\) חלקיק זה ממלא ככל הנראה באופן מיידי את כל החלל, אך אז ההסתברות שלו מתה כ- 1/t...
שאלה: איפה טעינו?
תשובה: שימו לב תחילה \(|ψ(x,t)|^2\) שהוא קבוע בכל החלל. המשמעות היא שהנורמליזציה, |ψ (איקס, ט) |2dx=∞! וכפי שראינו לעיל, הנורמליזציה נשארת קבועה בזמן - המפיץ הוא יחיד. לכן, לתפקוד הגל הראשוני שלנו בוודאי הייתה נורמה אינסופית. זה בדיוק נכון - לקחנו את פונקציית הגל הראשונית
\] [ψ (איקס, ט=0) =δ (איקס−איקס_0) =| איקס_0 ⟩.\]
חשבו על הפונקציה δ כגבול של פונקציה השווה ל- 1/Δ על פני מרווח אורך Δ, כאשר Δ הולך לאפס, וברור שהנורמליזציה עוברת לאינסוף כ- 1/Δ. זו אינה פונקציית גל משמעותית עבור חלקיק. נזכיר כי רצף kets כמו |איקס0⟩ מנורמלים על ידי ⟨איקס|איקס′= δ (איקס−איקס′), הם אינם מייצגים פונקציות גל הניתנות לנורמליזציה בנפרד במובן הרגיל. פונקציות הגל המשמעותיות היחידות הן אינטגרלים בטווח של kets כאלה, כגון dxψ (x) |איקס⟩. באינטגרל כזה, שימו לב שמצבים |איקס⟩ בתוך איזה x -מרווח זעיר באורך δאיקס, נניח, יש משקל כולל ψ (איקס) δאיקס, שהולך לאפס כאשר δאיקס נעשה קטן יותר, אך על ידי כתיבה ψ (איקס, ט=0) =δ (איקס−איקס0) =| איקס0 ⟩ לקחנו מצב אחד כזה ונתנו לו משקל סופי. את זה אנחנו לא יכולים לעשות.
כמובן, אנו רוצים לדעת כיצד מתפתחת פונקציית גל הממוקמת בתחילה ליד נקודה. כדי לברר זאת, עלינו להחיל את המפיץ על פונקציית גל לגיטימית - כזו שניתן לנרמל מלכתחילה. פונקציית הגל הפשוטה ביותר של "חלקיק מקומי" מנקודת מבט מעשית היא חבילת גל גאוסית,
\[ψ(x′,0)=e^{ip_0x′/ℏ}e^{−x′2/2d^2(πd^2)}1/4.\]
(השתמשתי כאן ב- d במקום Δ של שנקר כדי לנסות למזער את הבלבול עם Δ x וכו ')
פונקציית הגל במועד מאוחר יותר ניתנת לאחר מכן על ידי פעולת המפיץ על פונקציית הגל הראשונית הזו:
\[ψ(x,t)=∫U(x,t;x′,0)eip0x′/ℏ e−x′2 /2d2(πd2)1/4dx′=m2πℏit−−−−√∫eim(x−x′)2/2ℏteip0x′/ℏe−x′2/2d2(πd2)1/4dx′.\]
האינטגרל מעל x ′ הוא רק עוד אינטגרל גאוסי, ולכן אנו משתמשים באותה תוצאה,
\[∫−∞∞dx′e−ax′2 +bx′=πa−−√eb2/4a .\]
כשמסתכלים על הביטוי למעלה, אנו יכולים לראות זאת
\[b=−imℏt⋅(x−p0tm ) , a=12d2 −im2ℏt .\]
זה נותן
\[ψ(x,t)=π−1/4d(1+iℏtmd2 ) √exp(imx22ℏt)exp(−imℏt(x−p0tm)22(1+iℏtmd2))\]
כאשר האקספוננציאלי השני הוא המונח eb2/4a. כפי שנכתב, מגבלת ה- t הקטנה אינה ניכרת במיוחד, אך סידור מחדש אלגברי כלשהו מניב:
\[ψ(x,t)=π−1/4d(1+iℏt/md2) √exp(−(x−p0t/m)22d2(1+iℏt/md2))exp(ip0ℏ(x−p0t/2m)) .\]
ברור שביטוי זה עובר לחבילת הגל הראשונית כאשר t הולך לאפס. למרות שלשלב יש תרומות מכל שלושת המונחים כאן, תנודת הפאזה העיקרית היא במונח השלישי, וניתן לראות שמהירות הפאזה היא מחצית ממהירות הקבוצה, כפי שנדון קודם לכן.
צפיפות ההסתברות המתקבלת:
\[|ψ(x,t)|2=1π(d2+ℏ2 t2/m2d2)√⋅exp−(x−p0t/m)2(d2+ℏ2t2/m2d2) .\]
זוהי חבילת גל גאוסית, בעלת רוחב שהולך כ- t/md לזמנים גדולים, כאשר d הוא רוחב המנה הראשונית במרחב x - אז /md הוא ההתפשטות במהירויות ⟨Δv⟩ בתוך החבילה, ומכאן ההתפשטות ההדרגתית ⟨Δvt במרחב x.
משעשע להסתכל על הגבול של זה כשהרוחב d של המנה הגאוסית הראשונית הולך לאפס, ולראות איך זה קשור לתוצאת הפונקציה δ שלנו. נניח שאנחנו במרחק x מהמקור, ויש בתחילה חבילת גל גאוסית שבמרכזה המקור, רוחב דאיקס. בזמן t∼mxd/, חבילת הגל התפשטה ל- x ויש לה |ψ (x, t) |2 בסדר 1/איקס ב איקס. לאחר מכן, הוא ממשיך להתפשט בקצב ליניארי בזמן, כך מקומית |ψ (x, t) |2 חייב לרדת כ-1/t כדי לשמור על ההסתברות. במגבלת הפונקציה δ d → 0, פונקציית הגל מתפשטת באופן מיידי בנפח עצום, אך לאחר מכן עוברת כ- 1/t כשהיא מתפשטת לנפח ענק עוד יותר. או משהו.
ייצוגים של שרדינגר והייזנברג
בהנחה של המילטוניאן ללא תלות מפורשת בזמן, למשוואת שרדינגר התלויה בזמן יש את הצורה
\[iℏ\dfrac{∂}{∂t} |ψ(x,t)⟩=H|ψ(x,t)⟩\]
וכפי שנדון לעיל, הפתרון הפורמלי יכול לבוא לידי ביטוי כ:
\[|ψ(x,t)⟩=e^{−iHt/ℏ}|ψ(x,t=0)⟩.\]
כעת, כל מדידה במערכת מסתכמת במדידת אלמנט מטריצה של אופרטור בין שני מצבים (או, באופן כללי יותר, פונקציה של רכיבי מטריצה כאלה).
במילים אחרות, הכמויות התלויות בזמן המשמעותיות פיזית הן מהצורה
\[⟨φ(t)|A|ψ(t)⟩=⟨φ(0)|e^{iHt/ℏ} Ae^{−iHt/ℏ} |ψ(0)⟩\]
\(A\)איפה מפעיל, שאנו מניחים שאין לו תלות מפורשת בזמן.
אז בתמונה זו של שרדינגר, תלות הזמן של הערך הנמדד של אופרטור כמו x או p נוצרת מכיוון שאנו מודדים את אלמנט המטריצה של מפעיל בלתי משתנה בין חזיות לקטים המשתנים בזמן.
הייזנברג נקט בגישה אחרת: הוא הניח שהקט המתאר מערכת קוונטית לא השתנה בזמן, הוא נשאר על |ψ (0) ⟩, אך המפעילים התפתחו על פי:
\[AH(t)=e^{iHt/ℏ} AH (0)e^{−iHt/ℏ}.\]
ברור שזה מוביל לאותה פיזיקה כמו קודם. משוואת התנועה של המפעיל היא:
\[iℏ\dfrac{d}{dt} AH(t) =[AH (t),H].\]
המילטוניאן עצמו אינו משתנה בזמן - האנרגיה נשמרת, או, במילים אחרות, H נוסע עם E−Iht/. אבל עבור המילטוניאן לא טריוויאלי, נניח לחלקיק בממד אחד בפוטנציאל,
\[H=\dfrac{p^2}{2m}+V(x)\]
לרכיבים הנפרדים תהיה תלות בזמן, במקביל למקרה הקלאסי: האנרגיה הקינטית של מטוטלת מתנדנדת משתנה עם הזמן. (עבור חלקיק בפוטנציאל במצב עצמי אנרגטי ערך הציפייה של האנרגיה הקינטית הוא קבוע, אך זה לא המקרה בשום מצב אחר, כלומר לסופרפוזיציה של מצבים עצמיים שונים.) אף על פי כן, הקומוטטור של\(x\), \(p\) ויהיה בלתי תלוי בזמן:
\[[xH(t),pH(t)]=e^{iHt/ℏ} [xH(0),pH(0)]e^{−iHt/ℏ}=e^{iHt/ℏ}iℏe^{−iHt/ℏ}=iℏ.\]
(מפעילי הייזנברג זהים למפעילי שרדינגר ב- t = 0.)
החלת תוצאת הקומוטטור הכללית [A, BC] = [A, B] C+B [A, C],
\[[xH(t), p2H(t) 2m]=iℏpH(t)m\]
לכן
\[dxH(t)dt =pH (t)m\]
ומאז
\[[xH(t),pH(t)] =iℏ, pH (t)=−iℏd/dxH(t) ,\]
\[dpH(t)dt = 1iℏ [pH(t),V(xH(t))]=−∇V(xH(t)).\]
תוצאה זו יכולה להיגזר גם על ידי כתיבת V (x) כהרחבה בכוחות של x, ואז נטילת הקומוטטור עם p.
תרגיל \(\PageIndex{1}\)
תרגיל: בדוק זאת.
שימו לב מהמשוואות לעיל כי המפעילים בייצוג הייזנברג מצייתים לחוקי התנועה הקלאסיים! משפט ארנפסט, שערכי הציפייה של אופרטורים במצב קוונטי עוקבים אחר חוקי התנועה הקלאסיים, עוקב מיד, על ידי לקיחת ערך הציפייה של שני צידי משוואת התנועה האופרטורית במצב קוונטי.
מתנד הרמוני פשוט בייצוג הייזנברג
עבור המתנד ההרמוני הפשוט, המשוואות משולבות בקלות כדי לתת:
\[xH(t)=xH(0)cosωt+(pH (0)/mω)sinωtpH(t)=pH(0)cosωt−mωxH(0)sinωt.\]
הכנסנו את כתב ה- H כדי להדגיש שמדובר במפעילים. בדרך כלל ברור מההקשר כי נעשה שימוש בייצוג הייזנברג, וניתן להשמיט את כתב המשנה הזה בבטחה.
תלות הזמן של מפעיל ההשמדה a היא:
\[a(t)=eiHt/ℏa(0)e−iHt/ℏ\]
עם
\[H=ℏω(a†(t)a(t)+12/ ).\]
שים לב שוב שלמרות ש- H עצמו אינו תלוי בזמן, יש צורך לכלול את תלות הזמן של אופרטורים בודדים בתוך H.
\[iℏddta(t)=[a(t),H]=ℏω[a(t),a†(t)a(t)] =ℏω[a(t),a†(t)]a(t)=ℏω a(t)\]
לכן
\[a(t)=a(0)e−iωt.\]
למעשה, יכולנו לראות זאת באופן הבא: אם |n⟩ הם מצבי האנרגיה העצמיים של המתנד ההרמוני הפשוט,
\[e−iHt/ℏ|n⟩=e−in ℏωt/ℏ |n⟩=e−inωt|n⟩.\]
כעת מרכיבי המטריצה היחידים שאינם אפסיים של מפעיל ההשמדה aבין מצבי אנרגיה עצמיים הם מהצורה
\[⟨n−1|a(t)|n⟩=⟨n−1|eiHt/ℏa(0)e−iHt/ℏ |n⟩=eiω(n−1)t⟨n−1|a(0)|n⟩e−iωnt=⟨n−1|a(0)|n⟩e−iωt.\]
מכיוון שתלות זמן זו נכונה לגבי כל מרכיבי מטריצת האנרגיה (באופן טריוויאלי עבור רובם, מכיוון שהם אפס זהה), והמצבים העצמיים של המילטוניאן משתרעים על החלל, זה נכון כמשוואת אופרטור.
ככל הנראה, ערך הציפייה של האופרטור a (t) בכל מצב הולך בכיוון השעון במעגל שבמרכזו המקור במישור המורכב. כי זו אכן התנועה הקלאסית של המתנד ההרמוני הפשוט מאושרת על ידי זכירת ההגדרה a=+iπ2√ = 12mω√ (mωx+ip), כך שהמישור המורכב מתאים לחלל הפאזה (mωx, p) שנדון בסמוך לתחילת ההרצאה על המתנד ההרמוני הפשוט. נדון בכך בפירוט רב יותר בהרצאה הבאה, על מדינות קוהרנטיות.
תלות הזמן של מפעיל היצירה היא רק המשוואה המשותפת:
\[a†(t)=a† (0)eiωt .\]