3.4: המתנד ההרמוני הפשוט

הפתרון של איינשטיין לפאזל החום הספציפי

המתנד ההרמוני הפשוט, חלקיק לא רלטיביסטי בפוטנציאל\(\frac{1}{2}kx^2\), הוא מודל מצוין למגוון רחב של מערכות בטבע. למעשה, זמן לא רב לאחר גילויו של פלאנק שניתן להסביר את ספקטרום קרינת הגוף השחור על ידי הנחת החלפת אנרגיה בקוואנטה, איינשטיין יישם את אותו עיקרון על המתנד ההרמוני הפשוט, ובכך פתר חידה ארוכת שנים בפיזיקה של מצב מוצק - הירידה המסתורית בחום הספציפי של כל המוצקים בטמפרטורות נמוכות. התרמודינמיקה הקלאסית, תיאוריה מוצלחת מאוד במובנים רבים, לא ניבאה ירידה כזו - עם חלוקת האנרגיה הסטנדרטית, \(kT\) בכל מצב (פוטנציאל פלוס קינטי), החום הספציפי צריך להישאר קבוע פחות או יותר ככל שהטמפרטורה יורדת (בהנחה שאין שלב שינוי).

כדי להסביר את התנהגות הטמפרטורה הנמוכה החריגה, איינשטיין הניח שכל אטום הוא מתנד הרמוני פשוט עצמאי (קוונטי), ובדיוק כמו לקרינת גוף שחור, הוא הניח שהמתנדים יכולים לספוג או לפלוט אנרגיה רק בקוואנטה. כתוצאה מכך, בטמפרטורות נמוכות מספיק יש לעיתים רחוקות מספיק אנרגיה בעירורים התרמיים הסביבתיים כדי לרגש את המתנדים, והם קופאים החוצה, בדיוק כפי שעושים מתנדים כחולים בקרינת גוף שחור בטמפרטורה נמוכה. התמונה של איינשטיין הייתה מאוחר יותר מעודנת במקצת - מערך המתנדים הבסיסי נלקח כתנודות גלי קול עומדות במוצק ולא באטומים בודדים (מה שהופך את התמונה לדומה עוד יותר לקרינת גוף שחור בחלל) אך המסקנה העיקרית - הירידה בחום ספציפי בטמפרטורות נמוכות - לא הושפעה.

המתנד ההרמוני הפשוט הקלאסי

משוואת התנועה הקלאסית עבור מתנד הרמוני פשוט חד ממדי עם חלקיק מסה \(m\) המחובר למעיין בעל קבוע קפיץ היא \(k\) \[ m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx. \label{3.4.1}\]

הפתרון הוא \[ x=x_0\sin(\omega t+\delta),\;\; \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, \label{3.4.2}\]

ולמומנטום \(p=mv\) יש תלות בזמן \[ p=mx_0\omega\cos(\omega t+\delta). \label{3.4.3}\]

האנרגיה הכוללת \[ (1/2m)(p^2+m^2\omega^2x^2)=E \label{3.4.4}\]

ברור שהוא קבוע בזמן.

לעתים קרובות כדאי לדמיין את התפתחות הזמן של מערכת במרחב פאזה, במקרה זה עלילה דו ממדית עם מיקום על ציר x, מומנטום על ציר y. למעשה, כדי לקבל \((x,y)\) קואורדינטות עם אותם ממדים, אנו משתמשים\((m\omega x,p)\).

ניכר מהביטוי לעיל לאנרגיה הכוללת שבמשתנים אלה הנקודה המייצגת את המערכת בחלל פאזה נעה בכיוון השעון סביב מעגל רדיוס \(\sqrt{2mE}\) שבמרכזו המקור.

שים לב שבבעיה classica l נוכל לבחור כל נקודה\((m\omega x,p)\), למקם את המערכת שם ואז היא תעבור במעגל סביב המקור. בבעיית הקוונטים, לעומת זאת, איננו יכולים לציין את הקואורדינטות הראשוניות \((m\omega x,p)\) במדויק, בגלל העיקרון הבלתי בטוח. הטוב ביותר שאנחנו יכולים לעשות הוא למקם את המערכת בתחילה בתא קטן בחלל פאזה, בגודל\(\Delta x\cdot \Delta p=\hbar/2\). למעשה, נגלה שבמכניקת הקוונטים חלל הפאזה תמיד מחולק לתאים בגודל זה בעצם עבור כל זוג משתנים.

משוואת שרדינגר ותפקוד הגל של מצב הקרקע

מהביטוי הקלאסי לאנרגיה הכוללת שניתנה לעיל, משוואת שרדינגר עבור מתנד הקוונטים באה באופן סטנדרטי: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x)=E\psi(x). \label{3.4.5}\]

איך ייראו הפתרונות למשוואת שרדינגר זו? מכיוון שהפוטנציאל \(\frac{1}{2}m\omega^2x^2\) גדל ללא הגבלה על התרחקות\(x=0\), יוצא שלא משנה כמה אנרגיה קינטית יש לחלקיק, עבור מספיק גדול \(x\) האנרגיה הפוטנציאלית שולטת, ותפקוד הגל (המצב הקשור) מתפרק במהירות הולכת וגוברת לעלייה נוספת ב-. \(x\) (ברור שלמתנד פיזי אמיתי יש גבול לגובה הפוטנציאל - נניח שהגבול גדול בהרבה מהאנרגיות המעניינות בבעיה שלנו.)

אנו יודעים שכאשר חלקיק חודר למחסום בגובה קבוע \(V_0\) (גדול מהאנרגיה הקינטית של החלקיק) פונקציית הגל פוחתת באופן אקספוננציאלי לתוך המחסום, כמו, היכן \(e^{-\alpha x}\)

\[\alpha=\sqrt{2m(V_0-E)/\hbar^2}.\]

בניגוד למחסום גובה קבוע זה, "הגובה" של פוטנציאל המתנד ההרמוני הפשוט ממשיך לגדול ככל שהחלקיק חודר לגדול יותר\(x\). ברור שבמצב זה הריקבון יהיה מהיר יותר מאשר מעריכי. אם נניח (באופן נאיבי למדי) שהוא אקספוננציאלי מקומי פחות או יותר, אך עם \(\alpha\) משתנה מקומי עם\(V_0\), הזנחה \(E\) ביחס לביטוי עבור \(\alpha\) מרמזת כי\ אלפא עצמו פרופורציונלי ל \(x\) (מכיוון שהפוטנציאל פרופורציונלי ל\(x^2\), ו\(\alpha\propto \sqrt{V}\)) אז אולי פונקציית הגל מתפוררת כמו? \(V_0\) \(e^{-(constant)x^2}\)

כדי לבדוק רעיון זה, אנו \(\psi(x)=e^{-  x^2/2b^2}\) מכניסים את משוואת שרדינגר, באמצעות

\[ \frac{d^2\psi}{dx^2}=-\frac{1}{b^2}\psi+\frac{x^2}{b^4}\psi \label{3.4.6}\]

למצוא

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left( -\frac{1}{b^2}+\frac{x^2}{b^4}\right) \psi(x)+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x)=E\psi(x). \label{3.4.7}\]

\(\psi(x)\)זה רק גורם כאן, והוא אף פעם לא אפס, ולכן ניתן לבטל אותו. זה משאיר ביטוי ריבועי שחייב להיות בעל אותם מקדמים של\(x^0\), \(x^2\) משני הצדדים, כלומר המקדם של \(x^2\) בצד שמאל חייב להיות אפס: \[ \frac{\hbar^2}{2mb^4}=\frac{m\omega^2}{2}, so b=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}. \label{3.4.8}\]

זה מתקן את פונקציית הגל. השוואת המונחים הקבועים מקבעת את האנרגיה:

\[ E=\frac{\hbar^2}{2mb^2}=\frac{1}{2}\hbar\omega.\label{3.4.9}\]

אז הצורה המשוערת לתפקוד הגל היא למעשה הפיתרון המדויק למצב האנרגיה הנמוך ביותר! (זה המצב הנמוך ביותר מכיוון שאין לו צמתים.)

שימו לב גם כי גם במצב קרקע זה האנרגיה אינה אפסית, בדיוק כפי שהייתה עבור הבאר המרובעת. החלק המרכזי של פונקציית הגל חייב להיות בעל עקמומיות מסוימת כדי לחבר יחד את פונקציית הגל ההולכת ופוחתת משמאל לזו מימין. "אנרגיית נקודת אפס" זו מספיקה במקרה פיזי אחד כדי להמיס את הסריג - הליום נוזלי אפילו עד לטמפרטורת אפס מוחלטת (נבדק למיקרוקלווינים!) מכיוון שהתפשטות פונקציית הגל מערערת את הסריג המוצק שייווצר בלחץ חיצוני מספיק.

מצבי אנרגיה גבוהים יותר

ברור מהדיון לעיל על מצב הקרקע שהיא יחידת האורך הטבעית בבעיה זו, \(b=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\) \(\hbar\omega\) וזו של אנרגיה, ולכן כדי לחקור מצבי אנרגיה גבוהים יותר אנו מנסחים מחדש במשתנים חסרי ממדים, \[ \xi=\frac{x}{b}=x\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}},\;\; \varepsilon=\frac{E\hbar}{\omega}. \label{3.4.10}\]

המשוואה של שרדינגר הופכת \[ \frac{d^2\psi(\xi)}{d\xi^2}=(\xi^2-2\varepsilon)\psi(\xi). \label{3.4.11}\]

עמוק בתוך המחסום, \(\varepsilon\) המונח יהפוך לזניח, ובדיוק באשר לתפקוד הגל של מצב הקרקע, לתפקודי גל של מצב גבול גבוה יותר תהיה \(e^{-\xi^2/2}\) התנהגות, כפול גורם משתנה לאט יותר (מסתבר שהוא פולינום).

תרגיל: מצא את התרומות היחסיות לנגזרת השנייה משני המונחים ב\(x^ne^{-x^2/2}\). כמובן מאליו\(n\), מתי התרומות הכרוכות במונח הראשון הופכות לקטנות? הגדר "קטן".

הגישה הסטנדרטית לפתרון הבעיה הכללית היא להביא בחשבון את \(e^{-\xi^2/2}\) המונח, \[ \psi(\xi)=h(\xi)e^{-\xi^2/2} \label{3.4.12}\]

נותן משוואה דיפרנציאלית עבור\(h(\xi)\): \[ \frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(2\varepsilon-1)h=0 \label{3.4.13}\]

אנו מנסים לפתור זאת באמצעות סדרת כוח ב\(\xi\): \[ h(\xi)=h_0+h_1\xi+h_2\xi^2=... .\label{3.4.14}\]

הכנסת זה למשוואה הדיפרנציאלית, ודורשת שהמקדם של כל כוח \(\xi^n\) ייעלם זהה, מובילה לנוסחת הישנות עבור המקדמים: \(h_n\) \[ h_{n+2}=\frac{(2n+1-2\varepsilon)}{(n+1)(n+2)}h_n. \label{3.4.15}\]

ככל הנראה, סדרת הכוחות המוזרים ושל אפילו המעצמות הן פתרונות עצמאיים למשוואה של שרדינגר. (למעשה זה לא מפתיע: הפוטנציאל אפילו נמצא\(x\), ולכן מפעיל הזוגיות P נוסע עם המילטוניאן. לכן, אלא אם כן מצבים מתנוונים באנרגיה, פונקציות הגל יהיו אחידות או מוזרות) עבור גדול\(n\), יחס ההישנות מפשט ל \(x\) \[ h_{n+2}\approx \frac{2}{n}h_n,\;\; n\gg \varepsilon. \label{3.4.16}\]

לכן הסדרה נוטה \[ \sum \frac{2n\xi^{2n}}{(2n-2)(2n-4)...2}=2\xi^2\sum \frac{\xi^{2(n-1)}}{(n-1)!}= e^{\xi^2}. \label{3.4.17}\]

הכפל את זה \(e^{-\xi^2/2}\) בגורם כדי לשחזר את פונקציית הגל המלאה, אנו מוצאים \(\psi\) סטייה לגדולים \(\xi\) כמו. \(e^{+\xi^2/2}\)

למעשה היינו צריכים לצפות לכך - לערך כללי של האנרגיה, למשוואת שרדינגר יש את הפתרון \(\approx Ae^{+\xi^2/2}+Be^{-\xi^2/2}\) במרחקים גדולים, ורק באנרגיות מסוימות המקדם \(A\) נעלם כדי לתת פונקציית גל של מצב כבול לנורמליזציה.

אז איך אנחנו מוצאים את הפתרונות הלא מתפצלים? ברור שצריך לעצור את סדרת הכוח האינסופית! המפתח הוא ביחס הישנות.

אם האנרגיה מספקת

\[ 2\varepsilon=2n+1,\;\; n\; an\; integer, \label{3.4.18}\]

ואז \(h_{n+2}\) וכל המקדמים הגבוהים יותר נעלמים.

דרישה זו למעשה קובעת לחלוטין את הפולינום (למעט קבוע כולל) מכיוון שעם \(2\varepsilon=2n+1\) המקדמים hm עבור \(m<n\) נקבעים על ידי \[ h_{m+2}=\frac{(2m+1-2\varepsilon)}{(m+1)(m+2)}h_m=\frac{(2m+1-(2n+1))}{(m+1)(m+2)}h_m. \label{3.4.19}\]

פולינום \(n^{th}\) סדר זה נקרא פולינום הרמיט וכתוב. \(H_n(\xi)\) הנורמליזציה הסטנדרטית של הפולינומים ההרמיטים \(H_n(\xi)\) היא לקחת את המקדם של הכוח \(\xi^n\) הגבוה ביותר להיות. \(2^n\) המקדמים האחרים עוקבים אחר כך באמצעות יחס ההישנות לעיל, ונותנים:

\[ H_0(\xi)=1,\;\; H_1(\xi)=2\xi,\;\; H_2(\xi)=4\xi^2-2,\;\; H_3(\xi)=8\xi^3-\frac{1}{2}\xi,\;\; etc. \label{3.4.20}\]

אז השורה התחתונה היא שתפקוד הגל למצב הנרגש התשיעי, בעל אנרגיה \(\varepsilon=n+\frac{1}{2}\)\(\psi_n(\xi)=C_nH_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\), \(C_n\) הוא, היכן נקבע קבוע נורמליזציה בסעיף הבא.

ניתן להראות (ראה תרגילים בסוף הרצאה זו)\(H_n′(\xi)=2nH_{n-1}(\xi)\). באמצעות זה, החל ממצב הקרקע, אפשר בקלות לשכנע את עצמך שלמצבי האנרגיה העצמיים העוקבים כל אחד יש צומת אחד נוסף - \(n^{th}\) למדינה יש \(n\) צמתים. זה ניכר גם מפתרון מספרי באמצעות הגיליון האלקטרוני, וצופה כיצד פונקציית הגל מתנהגת \(x\) בכללותה כשהאנרגיה מופעלת.

ניתן להשתמש בגיליון האלקטרוני גם כדי לשרטט את פונקציית הגל לגדולים\(n\), נניח\(n=200\). מאלף להשוות את התפלגות ההסתברות לזו של מטוטלת קלאסית, אחת מתנדנדת עם משרעת קבועה ונצפית פעמים רבות במרווחים אקראיים. עבור המטוטלת, ההסתברות מגיעה לשיאה בסוף הנדנדה, שם המטוטלת היא האיטית ביותר ולכן מבלה את רוב הזמן. משרעת \(n=200\) ההפצה עוקבת אחר דפוס זה, אך כמובן מתנדנדת. עם זאת, \(n\) בגבול הגדול תנודות אלה מתרחשות על פני מרווחים קטנים שלא ניתן להבחין בהם.

למטוטלת הקלאסית כשהיא לא במנוחה יש בבירור התפלגות הסתברות תלוית זמן-היא מתנדנדת אחורה וקדימה. זה אומר שזה לא יכול להיות במצב עצמי של האנרגיה. למעשה, המצב הקוונטי הדומה ביותר לקלאסי הוא מצב קוהרנטי הבנוי ממצבים עצמיים של אנרגיה שכנה. נדון במצבים קוהרנטיים בהמשך הקורס.

גישת מפעיל למתנד ההרמוני הפשוט (מפעילי סולם)

לאחר שינוי קנה המידה של קואורדינטת המיקום \(x\) לחסר הממדים המוגדר כ \(\xi\)

\[\xi=x/b=x\sqrt{m\omega/\hbar}\]

ובואו גם להגדיל את המומנטום מ- \(p\) ל\(\pi=-i d/d\xi\), כך

\[\pi=\dfrac{bp}{\hbar}=p/\sqrt{\hbar m\omega}.\]

המילטוניאן הוא אז

\[ H=\frac{p^2+m^2\omega^2x^2}{2m}=\frac{\hbar\omega}{2}(\pi^2+\xi^2). \label{3.4.21}\]

לדיראק היה הרעיון המבריק של פקטוריזציה של הביטוי הזה: המחשבה הברורה \((\xi^2+\pi^2)=(\xi+i\pi)(\xi-i\pi)\) אינה נכונה, מכיוון שהיא לא מצליחה לקחת בחשבון את חוסר הקומוטטיביות של המפעילים, אלא את הגרסה הסימטרית \[ H=\frac{\hbar\omega}{4}[(\xi+i\pi)(\xi-i\pi)+(\xi-i\pi)(\xi+i\pi)] \label{3.4.22}\]

זה בסדר, ובקרוב נראה שזה מוביל לדרך קלה מאוד למצוא את הערכים העצמיים ורכיבי מטריצת המפעיל עבור המתנד, הרבה יותר פשוט משימוש בפונקציות הגל שמצאנו לעיל. מעניין לציין כי הפקטוריזציה של דיראק כאן של מפעיל דיפרנציאלי מסדר שני לתוצר של מפעילים מסדר ראשון קרובה לרעיון שהוביל להישג המפורסם ביותר שלו, משוואת דיראק, הבסיס לתיאוריה היחסית של אלקטרונים, פרוטונים וכו '.

כדי להמשיך, אנו מגדירים מפעילים חדשים\(a\), \(a^{\dagger}\) על ידי

\[ a=\xi+i\pi2√=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(m\omega x+ip),\;\; a^{\dagger}=\frac{\xi-i\pi}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(m\omega x-ip). \label{3.4.23}\]

(ביטאנו א במונחים של המשתנים המקוריים\(x\), \(p\) לשימוש מאוחר יותר.)

מיחס ההחלפה יוצא \( [i\pi,\xi]=1\) כי \[ [a,a^{\dagger}]=1. \label{3.4.24}\]

לכן ניתן לכתוב את המילטוניאן: \[ H=\hbar\omega(a^{\dagger}a+\frac{1}{2})=\hbar\omega(N+\frac{1}{2}),\;\; where\;\; N=a^{\dagger}a. \label{3.4.25}\]

שים לב שלמפעיל \(N\) יכולים להיות רק ערכים עצמיים לא שליליים, שכן

\[ \langle \psi|N|\psi\rangle=\langle \psi|a^{\dagger}a|\psi\rangle=\langle \psi_a|\psi_a\rangle \ge  0. \label{3..26}\]

עכשיו

\[\begin{align} [N,a^{\dagger}] &=a^{\dagger}aa^{\dagger}-a^{\dagger}a^{\dagger}a \\[5pt] &=a^{\dagger}[a,a^{\dagger}] \\[5pt] &=a^{\dagger} \label{3.4.27} \end{align}\]

נניח \(N\) שיש לו תפקוד עצמי \(|\nu\rangle\) עם ערך עצמי, \(\nu\)

\[ N|\nu\rangle =ν|\nu\rangle. \label{3.4.28}\]

משתי המשוואות לעיל

\[ Na^{\dagger}|\nu\rangle = a^{\dagger}N|\nu\rangle+a^{\dagger}|\nu\rangle =(\nu+1)a^{\dagger}|\nu\rangle \label{3.4.29}\]

כך \(a^{\dagger}|\nu\rangle\) גם תפקוד עצמי של \(N\) עם ערך עצמי. \(\nu+1\) אנו פועלים \(a^{\dagger}\) שוב ושוב, אנו מטפסים על סולם אינסופי של מצבים עצמיים המרווחים באותה מידה באנרגיה.

\(a^{\dagger}\)מכונה לעתים קרובות אופרטור יצירה, מכיוון שקוואנטום האנרגיה \(\hbar\omega\) שנוסף בכל פעם שהוא פועל שווה ערך לפוטון נוסף בקרינת גוף שחור (תנודות אלקטרומגנטיות בחלל).

קל לבדוק שהמדינה \(a|\nu\rangle\) היא מצב עצמי עם ערך עצמי\(\nu-1\), בתנאי שהוא לא אפס, כך שהמפעיל a מוריד אותנו בסולם. עם זאת, זה לא יכול להימשך ללא הגבלת זמן - קבענו כי \(N\) לא יכולים להיות ערכים עצמיים שליליים. בסופו של דבר עלינו להגיע למצב \(|\nu\rangle\) שעבורו \(a|\nu\rangle =0\) המפעיל \(a\) מחסל את המדינה. (בכל צעד למטה, \(a\) מחסל קוונט אחד של אנרגיה - כך \(a\) נקרא לעתים קרובות מפעיל השמדה או הרס.)

מכיוון שהנורמה בריבוע של \(a|\nu\rangle\)\(|a|\nu\rangle|^2=\langle\nu|a^{\dagger}a|\nu\rangle =\langle\nu|N|\nu\rangle =\nu\langle\nu|\nu\rangle\), ומכיוון שלכל \(\langle\nu|\nu\rangle  >  0\) מצב שאינו נעלם, זה חייב להיות המצב העצמי הנמוך ביותר (שעבורו). \(|\nu\rangle\) \(a|\nu\rangle =0\) \(ν=0\) מכאן נובע כי \(\nu\) ה- s על הסולם הם המספרים השלמים החיוביים, ולכן מנקודה זו ואילך אנו מתייגים מחדש את המצבים העצמיים במקום. \(n\) \(\nu\)

כלומר, הוכחנו שהערכים העצמיים היחידים האפשריים של \(N\) הם אפס והמספרים השלמים החיוביים: 0, 1, 2, 3....

\(N\)נקרא אופרטור המספרים: הוא מודד את מספר הקוונטים של האנרגיה במתנד מעל אנרגיית מצב הקרקע הבלתי ניתנת לצמצום (כלומר מעל "אנרגיית נקודת האפס" הנובעת מהטבע דמוי הגל של החלקיק).

מאז מלמעלה המילטוניאן

\[ H=\hbar\omega(a^{\dagger}a+\frac{1}{2})=\hbar\omega(N+\frac{1}{2}) \label{3.4.30}\]

הערכים העצמיים של האנרגיה הם \[ H|n\rangle=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega|n\rangle. \label{3.4.31}\]

חשוב להעריך שטריק הפקטוריזציה של דיראק ומעט מאוד מאמץ העניקו לנו את כל הערכים העצמיים של המילטוניאן \[ H=\frac{\hbar\omega}{2}(\pi^2+\xi^2). \label{3.4.32}\]

השווה את העבודה הדרושה בסעיף זה לזו בגישת שרדינגר הסטנדרטית. קבענו גם שמצב האנרגיה הנמוך ביותר\(|0\rangle\), בעל אנרגיה\(\frac{1}{2}\hbar\omega\), חייב לספק את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר ראשון\(a|0\rangle=0\), כלומר \[ (\xi+i\pi)∣0> =(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0(\xi)=0. \label{3.4.33}\]

הפתרון, לא מנורמל, הוא \[ \psi_0(\xi)=Ce^{-\xi^2/2}.\label{3.4.34}\]

(למעשה, ראינו את המשוואה הזו ואת הפתרון שלה בעבר: זה היה התנאי לתפקוד הגל ה"פחות לא בטוח "בדיון בעקרון אי הוודאות הכללי.)

אנו מציינים את הסט הנורמלי של מצבים עצמיים \(|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle,…|n\rangle…\) עם. \(\langle n|n\rangle =1\) עכשיו\(a^{\dagger}|n\rangle =C_n|n+1\rangle\), והוא \(C_n\) נמצא בקלות: \[ ∣C_n∣^2 = ∣Cn∣^2\langle n+1|n+1\rangle = \langle n|aa^{\dagger}|n\rangle =(n+1), \label{3.4.35}\]

ו \[ a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle. \label{3.4.36}\]

לכן, אם ניקח את קבוצת המצבים \(|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle,…|n\rangle…\) האורתונורמליים כבסיס במרחב הילברט, מרכיבי המטריצה הלא-אפסיים היחידים של הם. \(a^{\dagger}\) \(\langle n+1|a^{\dagger}|n\rangle =\sqrt{n+1}\) זאת אומרת,

\[ a^{\dagger}=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&\dots\\ \sqrt{1}&0&0&0&\dots\\ 0&\sqrt{2}&0&0&\dots\\ 0&0&\sqrt{3}&0&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix}. \label{3.4.37}\]

(לווקטורי העמודות במרחב שמטריצה זו פועלת עליו יש מספר אינסופי של אלמנטים: האנרגיה הנמוכה ביותר, רכיב מצב הקרקע, היא הכניסה בחלק העליון של הווקטור האינסופי - אז במעלה סולם האנרגיה נמצא במורד הווקטור!)

הצמוד

\[ a=\begin{pmatrix} 0&\sqrt{1}&0&0&\dots\\ 0&0&\sqrt{2}&0&\dots\\ 0&0&0&\sqrt{3}&\dots\\ 0&0&0&0&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix}. \label{3.4.38}\]

אז

\[ a|n\rangle =\sqrt{n}|n-1\rangle. \label{3.4.39}\]

לצורך חישובים מעשיים, עלינו למצוא את מרכיבי המטריצה של משתני המיקום והמומנטום בין המצבים העצמיים המנורמלים. עכשיו

\[ x=\sqrt{\hbar/2m\omega} (a^{\dagger}+a),\;\; p=i\sqrt{m\omega\hbar/2} (a^{\dagger}-a) \label{3.4.40}\]

לכן

\[x=\sqrt{\hbar/2m\omega}\begin{pmatrix} 0&\sqrt{1}&0&0&\dots\\ \sqrt{1}&0&\sqrt{2}&0&\dots\\ 0&\sqrt{2}&0&\sqrt{3}&\dots\\ 0&0&\sqrt{3}&0&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix},\;\; p=i\sqrt{m\omega\hbar/2}\begin{pmatrix} 0&-\sqrt{1}&0&0&\dots\\ \sqrt{1}&0&-\sqrt{2}&0&\dots\\ 0&\sqrt{2}&0&-\sqrt{3}&\dots\\ 0&0&\sqrt{3}&0&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix} \label{3.4.41}\]

מטריצות אלה הן, כמובן, הרמיטיות (לא שוכחות את \(i\) הגורם). \(p\)

כדי למצוא את מרכיבי המטריצה בין מצבים עצמיים של כל מוצר של \(x\) ושל ושל\(p\), בטא את כל \(x\) \(p\) ה-'s במונחים של \(a\)'s \(a^{\dagger}\) ו-'s, כדי לתת סכום של מוצרים של \(a\)'s \(a^{\dagger}\) ו-'s. ניתן להעריך כל מוצר בסכום זה ברצף מימין, מכיוון שלכל אחד \(a\) או \(a^{\dagger}\) יש רק רכיב מטריצה אחד שאינו אפס כאשר המוצר פועל על מצב עצמי אחד.

נורמליזציה של מדינות עצמיות במרחב x

פונקציית הגל של מצב הקרקע המנורמל היא

\[ \psi_0(\xi)=Ce^{-\xi^2/2}=\left( \frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-m\omega x^2/2\hbar}, \label{3.4.42}\]

שבו חזרנו \(x\) למשתנה, ונורמלנו באמצעות\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\pi/a}\).

כדי למצוא את פונקציות הגל המנורמלות עבור המצבים הגבוהים יותר, הן נבנות לראשונה באופן רשמי על ידי החלת מפעיל היצירה \(a^{\dagger}\) שוב ושוב על מצב \(|0\rangle\) הקרקע. לאחר מכן, התוצאה מתורגמת ל \(x\) - -space (למעשה\(\xi=x/b\)) על ידי כתיבה \(a^{\dagger}\) כמפעיל דיפרנציאלי, הפועל על\(\psi_0(\xi)\).

באמצעות\(\langle n|a^{\dagger}|n-1\rangle =\sqrt{n}\),

\[ |n\rangle =\frac{a^{\dagger}}{\sqrt{n}}|n-1\rangle =\cdots=\frac{(a^{\dagger})^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle. \label{3.4.43}\]

עכשיו

\[ a^{\dagger}=(1/\sqrt{2})(\xi-i\pi)=(1/\sqrt{2})(\xi-d/d\xi), \label{3.4.44}\]

לכן

\[ \psi_n(\xi)=\frac{(a^{\dagger})^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi-\frac{d}{d\xi})\right)^n\left( \frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\xi^2/2}. \label{3.4.45}\]

עלינו לבדוק שביטוי זה אכן זהה לתפקוד הגל הפולינומי ההרמטי שנגזר קודם לכן, וכדי לעשות זאת אנו זקוקים לכמה תכונות נוספות של הפולינומים ההרמיטים.

כמה מאפיינים של פולינומים הרמיטים

המתמטיקאים מגדירים את הפולינומים ההרמיטים על ידי:

\[ H_n(\xi)=(-)^ne^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2} \label{3.4.46}\]

לכן

\[ H_0(\xi)=1,\;\; H_1(\xi)=2\xi,\;\; H_2(\xi)=4\xi^2-2,\;\; H_3(\xi)=8\xi^3-\frac{1}{2}\xi,\;\; etc. \label{3.4.47}\]

זה נובע מיד מן ההגדרה כי מקדם הכוח המוביל הוא\(2^n\).

זהו תרגיל פשוט לבדוק כי \(H_n\) הוא פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית

\[ \left( \frac{d^2}{d\xi^2}-2\xi\frac{d}{d\xi}+2n\right) H_n(\xi)=0, \label{3.4.48}\]

אז אלה אכן אותם פולינומים שמצאנו על ידי הפתרון הסדרתי של משוואת שרדינגר קודם לכן (זכור את המשוואה למרכיב הפולינום של פונקציית הגל הייתה \[ \frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(2\varepsilon-1)h=0, \label{3.4.49}\]

עם

\[2\varepsilon=2n+1.\]

מצאנו \(\psi_n(\xi)\) בטופס

\[ \psi_n(\xi)=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi-\frac{d}{d\xi})\right)^n\left( \frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\xi^2/2}. \label{3.4.49b}\]

כעת נוכיח שהרכיב הפולינומי שווה בדיוק לפולינום ההרמי כפי שהוגדר בתחילת סעיף זה.

אנו מתחילים בזהות המפעיל:

\[ (\xi-\frac{d}{d\xi})=-e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2/2} \label{3.4.50}\]

יש לראות בשני הצדדים של ביטוי זה אופרטורים, כלומר ההנחה היא ששניהם פועלים על פונקציה כלשהי\(f(\xi)\).

עכשיו לקחת את \(n^{th}\) הכוח של שני הצדדים: בצד ימין, אנו מוצאים, למשל, \[ (-e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2/2})^3=(-)^3e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2/2}e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2/2}e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2/2}=(-)^3e^{\xi^2/2}\frac{d^3}{d\xi^3}e^{-\xi^2/2} \label{3.4.51}\]

מכיוון שהמונחים האקספוננציאליים הבינוניים מבטלים זה מול זה.

אז

\[ (\xi-\frac{d}{d\xi})n=(-)^ne^{\xi^2/2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2/2} \label{3.4.52}\]

ולהחליף את זה בביטוי \(\psi_n(\xi)\) לעיל,

\[ \begin{matrix} \psi_n(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}(-)^n(e^{\xi^2/2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2/2})\left( \frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\xi^2/2}\\ =\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}(-)^n\left( \frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\xi^2/2}(e^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2})\\ =\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}\left( \frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2},\;\; with\;\; \xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x. \end{matrix} \label{3.4.53}\]

זה קבע את השוויון בין שתי הגישות למשוואת שרדינגר למתנד ההרמוני הפשוט, ומספק לנו את קבועי הנורמליזציה הכוללים מבלי לעשות אינטגרלים. (הביטוי \(\psi_n(\xi)\) לעיל מספק\(\int |\psi_n|^2dx=1\).)

תרגיל \(\PageIndex{1}\)

תרגילים:

השתמש \(H_n(\xi)=(-)^ne^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2}\) כדי להוכיח:

1. המקדם של \(\xi_n\) הוא\(2^n\).
2. \(H_n′(\xi)=2nH_{n-1}(\xi)\)
3. \(H_{n+1}(\xi)=2\xi H_n(\xi)-2nH_{n-1}(\xi)\)
4. \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}H^2_n(\xi) d\xi=2^nn!\sqrt{\pi}\)(רמז: לשכתב כ\(\int_{-\infty}^{\infty}H_n(\xi)(-)^n\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2 }d\xi\), ולאחר מכן לשלב לפי \(n\) זמני חלקים, ולהשתמש (א).)
5. \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}H_n(\xi) H_m(\xi)d\xi=0\), עבור\(m\neq n\).

כדאי לבצע את התרגילים הללו כדי להכיר יותר את הפולינומים ההרמיטים, אך בהערכת מרכיבי המטריצה (ואכן בביסוס חלק מהתוצאות הללו) כמעט תמיד הרבה יותר פשוט לעבוד עם מפעילי היצירה וההשמדה.

תרגיל \(\PageIndex{2}\)

אתה רואה את מפעילי היצירה וההשמדה למצוא\(\langle n|x^4|n\rangle\). אלמנט מטריצה זה שימושי בהערכת שינוי האנרגיה הנובע מהוספת מונח אנרגיה פוטנציאלי לא הרמוני קטן למתנד הרמוני.

פונקציות גל תלויות זמן

מערך המצבים העצמיים המנורמלים \(|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle,\dots|n\rangle\dots\) שנדונו לעיל הם כמובן פתרונות למשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן, או במצבים עצמיים של סימון ket של המילטוניאן. \(H|n\rangle=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega|n\rangle\) לשים את תלות הזמן במפורש,

\[|n,t\rangle=e^{-iHt/\hbar}|n,t=0\rangle=e^{-i(n+\frac{1}{2})\omega t}|n\rangle.\]

יש צורך לכלול את תלות הזמן כאשר מתמודדים עם מצב שהוא סופרפוזיציה של מצבים של אנרגיות שונות, כגון\((1/\sqrt{2})(|0\rangle+|1\rangle)\), אשר לאחר מכן הופך

\[(1/\sqrt{2})(e^{-i\omega t/2}|0\rangle+e^{-3i\omega t/2}|1\rangle).\]

ערכי הציפייה של שילובים של מפעילי מיקום ו/או מומנטום במדינות כאלה מוערכים בצורה הטובה ביותר על ידי ביטוי הכל במונחים של מפעילי השמדה ויצירה.

פתרון משוואת שרדינגר במרחב המומנטום

בהרצאה על מרחבי פונקציות קבענו כי בסיס \(|x\rangle\) המצבים (מצבים עצמיים של מפעיל המיקום) ושל \(|k\rangle\) מצבים (מצבים עצמיים של מפעיל המומנטום) היו שניהם בסיסים שלמים במרחב הילברט (הגדרת הפיזיקאי) כך שנוכל לעבוד באותה מידה טוב עם אחד מנקודת מבט פורמלית. מדוע אם כן אנו כמעט תמיד עובדים \(x\) בחלל? ובכן, כנראה בגלל שאנחנו חיים \(x\) בחלל, אבל יש סיבה אחרת. אופרטור המומנטום בייצוג \(x\) -מרחב הוא\(p=-i\hbar d/dx\), ולכן המשוואה של שרדינגר, שנכתבה, עם \(p\) בצורת אופרטור\((p^2/2m+V(x))\psi(x)=E\psi(x)\), היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני. עכשיו שקול מה קורה למשוואה של שרדינגר אם אנחנו עובדים במרחב. \(p\) מכיוון שזהות המפעיל \([x,p]=i\hbar\) נכונה ללא קשר לייצוג, עלינו להיות\(x=i\hbar d/dp\). אז עבור חלקיק בפוטנציאל\(V(x)\), כתיבת משוואת שרדינגר \(p\) במרחב אנו מתמודדים עם המפעיל המגעיל למראה! \(V(i\hbar d/dp)\) זה יפיק משוואה דיפרנציאלית באופן כללי הרבה יותר קשה לפתרון מאשר משוואת \(x\) החלל הסטנדרטית - אז אנחנו נשארים במרחב\(x\).

אבל ישנם שני פוטנציאלים שניתן לטפל בהם במרחב המומנטום: ראשית, עבור פוטנציאל ליניארי\(V(x)=-Fx\), ניתוח מרחב המומנטום הוא למעשה קל יותר - זו רק משוואה מסדר ראשון. שנית, עבור חלקיק בפוטנציאל ריבועי - מתנד הרמוני פשוט - שתי הגישות מניבות את אותה משוואה דיפרנציאלית. המשמעות היא שהפונקציות העצמיות במרחב המומנטום (בקנה מידה מתאים) חייבות להיות זהות לאלה במרחב המיקום - הפונקציות העצמיות ההרמוניות הפשוטות הן טרנספורמציות פורייה משלהן!

תורם

• Template:ContribFowler