1.3: משוואות גלים, מנות גל וסופרפוזיציה

אתגר לשרדינגר

עבודת הדוקטורט של דה ברולי, שהוגנה בסוף 1924, יצרה התרגשות רבה בחוגי הפיזיקה האירופיים. זמן קצר לאחר שפורסם בסתיו 1925 פיטר דבי, תיאורטיקן בציריך, הציע לארווין שרדינגר להעביר סמינר על עבודתו של דה ברוגלי. שרדינגר הציג מצגת מלוטשת, אך בסופו של דבר העיר דבי כי הוא רואה את כל התיאוריה ילדותית למדי: מדוע גל צריך להגביל את עצמו למעגל בחלל? זה לא היה כאילו המעגל הוא מיתר מעגלי מנופף, גלים אמיתיים בחלל מפוזרים ומפוזרים, למעשה הם צייתו למשוואות גל תלת מימדיות, וזה מה שהיה צריך. זה היה אתגר ישיר לשרדינגר, שבילה כמה שבועות בהרים השוויצרים בעבודה על הבעיה, ובנה את המשוואה שלו.

אין נגזרת קפדנית של משוואת שרדינגר מהתיאוריה שנקבעה בעבר, אך ניתן להפוך אותה לסבירה מאוד על ידי חשיבה על הקשר בין גלי אור לפוטונים, ובניית מבנה אנלוגי לגלים ואלקטרונים של דה ברולי (ומאוחר יותר, חלקיקים אחרים).

משוואת הגלים של מקסוול

הבה נבחן מה משוואות מקסוול מספרות לנו על תנועתו של הסוג הפשוט ביותר של גל אלקטרומגנטי - גל מונוכרומטי בחלל ריק, ללא זרמים או מטענים.

כפי שדיברנו בהרצאה האחרונה, מקסוול מצא את משוואת הגלים \[ \nabla^2 \vec E -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} =0 \tag{1.3.1}\]

מה שמפחית ל \[ \frac{\partial^2 \vec E}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} =0 \tag{1.3.2} \]

לגל מישורי הנע בכיוון x, עם פתרון \[ \vec E (x,t) =\vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} \tag{1.3.3} \]

החלת האופרטור הדיפרנציאלי של משוואת הגלים על פתרון גל מישור זה \[ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} =\left( k^2-\frac{\omega^2}{c^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} =0 \tag{1.3.4} \]

כך \[ \omega =ck \tag{1.3.5} \]

זו רק ההצהרה המוכרת שהגל חייב לנסוע בה\(c\).

מה מספרת לנו משוואת הגלים על הפוטון?

אנו יודעים מהאפקט הפוטואלקטרי ופיזור קומפטון כי אנרגיית הפוטון והמומנטום קשורים לתדר ואורך הגל של האור על ידי \[ E= h\nu =\hbar \omega \tag{1.3.6} \]

\[ p=\frac{h}{\lambda} =\hbar k \tag{1.3.7} \]

שימו לב, אם כן, שמשוואת הגלים אומרת לנו את זה \(\omega =ck\) ומכאן\(E = cp\).

במילים אחרות, אם נחשוב על תיאור \(e^{i(kx-\omega t)}\) חלקיק (פוטון) יהיה טבעי יותר לכתוב את גל המישור כ \[ \vec E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} \tag{1.3.8} \]

כלומר מבחינת האנרגיה והתנופה של החלקיק.

במונחים אלה, החלת אופרטור משוואת הגלים (מקסוול) על תשואות גל המישור \[ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} = \left( p^2 -\frac{E^2}{c^2} \right) \vec E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} =0 \tag{1.3.9} \]

או

\[ E^2=c^2p^2 \tag{1.3.10} \]

אופרטור משוואת הגלים המופעל על גל המישור המתאר את התפשטות החלקיקים מניב את יחסי האנרגיה-מומנטום עבור החלקיק.

בניית משוואת גל לחלקיק בעל מסה

הדיון לעיל מציע כיצד נוכל להרחיב את מפעיל משוואת הגלים ממקרה הפוטון (אפס מסת מנוחה) לחלקיק בעל מסת מנוחה\(m_0\). אנו זקוקים למפעיל משוואת גלים שכאשר הוא פועל על גל מישורי, מניב

\[ E^2=c^2p^2 +m_0^2 c^4 \tag{1.3.11} \]

כתיבת פונקציית גל המישור

\[ \varphi (x,t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} \tag{1.3.12} \]

היכן \(A\) הוא קבוע, אנו מוצאים שאנו יכולים לקבל \(E^2=c^2p^2 +m_0^2 c^4 \) על ידי הוספת מונח קבוע (מסה) למונחי הבידול במפעיל הגל:

\[ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} -\frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2} \right) Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} =-\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 -\frac{E^2}{c^2} +m_0^2 c^2 \right) Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} =0 \tag{1.3.13} \]

משוואת גל זו נקראת משוואת קליין-גורדון ומתארת נכון את התפשטותם של חלקיקי מסה רלטיביסטיים. \(m_0\) עם זאת, זה קצת לא נוח לחלקיקים לא רלטיביסטיים, כמו האלקטרון באטום המימן, בדיוק כפי \(E^2=m_0^2 c^4 +c^2p^2\) שהוא פחות שימושי מאשר \(E= p^2/2m\) במקרה זה.

משוואת גל לא רלטיביסטית

בהמשך לאותם קווים, נניח שאלקטרון לא רלטיביסטי במרחב הפנוי (ללא פוטנציאלים, ולכן אין כוחות) מתואר על ידי גל מישורי: \( \psi (x,t) =Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} \tag{1.3.14} \)

עלינו לבנות אופרטור משוואת גלים אשר, המיושם על פונקציית הגל הזו, רק נותן לנו את יחסי האנרגיה-מומנטום הלא רלטיביסטיים הרגילים,. \(E = p^2/2m\) \(p^2\)ברור שזה בא כרגיל מהבחנה פעמיים ביחס ל\(x\), אבל הדרך היחידה שאנחנו יכולים להשיג \(E\) היא על ידי בידול יחיד ביחס לזמן, כך שזה נראה שונה ממשוואות הגל הקודמות: \[ i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi (x,t)}{\partial x^2} \tag{1.3.15} \]

זוהי משוואת שרדינגר לחלקיק חופשי. קל לבדוק שאם \( \psi (x,t)\) יש את צורת גל המישור שניתנה לעיל, התנאי שהוא יהיה פיתרון של משוואת הגל הזו הוא צודק \(E = p^2/2m\).

שימו לב לתכונה יוצאת דופן אחת של המשוואה לעיל - \(i\) משמאל פירושו שלא \(\psi\) יכול להיות פונקציה אמיתית.

כיצד פוטנציאל משתנה משפיע על גל דה ברוגלי?

ההשפעה של פוטנציאל על גל דה ברולי נחשבה על ידי זומרפלד בניסיון להכליל את התנאים המגבילים למדי במודל האטום של בוהר. מכיוון שהאלקטרון הסתובב בכוח מרובע הפוך, ממש כמו כוכבי הלכת סביב השמש, זומרפלד לא הצליח להבין מדוע לאטום של בוהר יש רק מסלולים מעגליים, ללא אליפסות דמויות קפלר. (נזכיר כי כל קווי הספקטרום הנצפים של מימן נלקחו בחשבון על ידי הבדלי אנרגיה בין מסלולים מעגליים.)

ניתן לנסח את הניתוח של דה ברוגלי על המסלולים המעגליים המותרים על ידי הנחה ברגע כלשהו בזמן שהווריאציה המרחבית של פונקציית הגל במסלול כוללת מונח פאזה של הצורה\( e^{ipq/\hbar} \), כאשר כאן הפרמטר \(q\) מודד מרחק סביב המסלול. כעת עבור פונקציית גל מקובלת, שינוי הפאזה הכולל בהסתובבות במסלול חייב להיות\( 2n\pi \), היכן \(n\) הוא מספר שלם. עבור המסלול המעגלי הרגיל של בוהר, \(p\) הוא קבוע להסתובב, \(q\) משתנה על ידי\( 2\pi r \), היכן \(r\) רדיוס המסלול, נותן \[ \frac{1}{\hbar} p2\pi r=2n\pi , \: so \: pr=n\hbar , \tag{1.3.16} \]

כימות המומנטום הזוויתי הרגיל.

מה שעשה זומרפלד היה לשקול מסלול אליפסה כללי של קפלר, ולדמיין את הגל שמסתובב במסלול כזה. בהנחה שהקשר הרגיל\( p=h/\lambda \), אורך הגל ישתנה ככל שהחלקיק נע סביב המסלול, ויהיה הקצר ביותר במקום בו החלקיק נע הכי מהר, בגישתו הקרובה ביותר לגרעין. עם זאת, שינוי הפאזה בתנועה למרחק קצר עדיין \( \Delta q \) צריך להיות\( p\Delta q/\hbar \), ודורש מפונקציית הגל להתחבר בצורה חלקה בהליכה פעם אחת במסלול נותן \[ \oint pdq=nh \tag{1.3.17} \]

כך מותר רק מסלולים אליפטיים מסוימים. המתמטיקה אינה טריוויאלית, אך מסתבר שלכל מסלול אליפטי מותר יש אותה אנרגיה כמו אחד המסלולים המעגליים המותרים. לכן התיאוריה של בוהר נתנה את כל רמות האנרגיה. למעשה, כל הניתוח הזה מיושן (הוא נקרא "תורת הקוונטים הישנה") אך עברנו עליו כדי להציג את הרעיון של גל בעל אורך גל משתנה, המשתנה עם המומנטום כאשר החלקיק נע בפוטנציאל משתנה.

הקורא עשוי בהחלט לתהות בשלב זה מדוע כדאי בכלל לדמיין גל אמיתי שמסתובב במסלול, כאשר הצהרנו כי כל פיתרון במשוואת שרדינגר הוא בהכרח פונקציה מורכבת. כפי שנראה, לעתים קרובות ניתן למצוא פתרונות, כולל אלה המתאימים לרמות האנרגיה של בוהר, שבהם האופי המורכב של פונקציית הגל מופיע רק בגורם פאזה משתנה בזמן,\( e^{-iEt/\hbar} \). עלינו להוסיף גם שאם התלות המרחבית היא פונקציה אמיתית, כגון\(\sin kx\), היא מייצגת גל עומד, לא חלקיק המסתובב בכיוון אחד, שיהיה\(e^{ikx}\), או\( e^{ipx/\hbar} \). בהתחשב בכל זה בחשבון, זה עדיין לעתים קרובות מאלף לשרטט פונקציות גל אמיתיות, במיוחד עבור בעיות חד ממדיות.

משוואת שרדינגר לחלקיק בפוטנציאל

הבה נבחן תחילה את המצב החד-ממדי של חלקיק העובר בכיוון x בכפוף לפוטנציאל "רכבת הרים". איך אנו מצפים שפונקציית הגל תיראה? היינו מצפים שאורך הגל יהיה הקצר ביותר במקום בו הפוטנציאל הוא הנמוך ביותר, בעמקים, מכיוון ששם החלקיק הולך הכי מהר - מומנטום מקסימלי.

עם פוטנציאל שאינו אפס קיים, יחסי האנרגיה-מומנטום של החלקיק הופכים למשוואת האנרגיה \[ E=\frac{p^2}{2m} +V(x) \tag{1.3.18} \]

עלינו לבנות משוואת גלים המובילה באופן טבעי לקשר זה. בניגוד למקרי החלקיקים החופשיים שנדונו לעיל, פונקציית הגל הרלוונטית כאן כבר לא תהיה גל מישורי, מכיוון שאורך הגל משתנה עם הפוטנציאל. עם זאת, בכל נתון\(x\), המומנטום נקבע על ידי "אורך הגל המקומי", כלומר, \[ p=-i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} \tag{1.3.19} \]

מכאן נובע שמשוואת הגלים המתאימה היא: \[ i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} +V(x)\psi(x,t) \tag{1.3.20} \]

זוהי משוואת שרדינגר החד-ממדית הסטנדרטית.

בשלושה ממדים, הטיעון מקביל בדיוק. ההבדל היחיד הוא שריבוע המומנטום הוא כעת סכום של שלושה רכיבים בריבוע, עבור, \(y\) \(z\) וכיוונים\(x\), כך \( \frac{\partial^2}{\partial x^2} \) הופך\( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2} =\nabla^2 \),

אז עכשיו \[ i\hbar \frac{\partial \psi(x,y,z,t)}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,y,z,t) +V(x,y,z)\psi(x,y,z,t) \tag{1.3.21} \]

זוהי משוואת שרדינגר השלמה. עד כה, כמובן, הוא מבוסס על טיעוני סבירות ונופף ביד. למה שמישהו יאמין שזה באמת מתאר גל אלקטרונים? המבחן של שרדינגר למשוואה שלו היה אטום המימן. הוא חיפש את "המצבים הנייחים" של בוהר: מצבים שבהם האלקטרון היה מקומי אי שם ליד הפרוטון, ובעל אנרגיה מוגדרת. תלות הזמן תהיה זהה לגל מישורי של אנרגיה מוגדרת\( e^{-iEt/\hbar} \), התלות המרחבית תהיה פונקציה בלתי תלויה בזמן שתרד במהירות במרחקים גדולים מהפרוטון. כלומר, הוא לקח \[ \psi(x,y,z,t) = e^{-iEt/\hbar} \psi(x,y,z) \tag{1.3.22} \]

הוא ניצל את הסימטריה הכדורית על ידי ביטוי מחדש של פונקציית הגל המרחבי בקואורדינטות קוטביות כדוריות, ומצא שהמשוואה שלו הפכה למשוואה דיפרנציאלית סטנדרטית שנפתרה במאה התשע עשרה. הפתרון נתן צורה של פונקציות גל אפשריות, וגם אפשר ערכים של אנרגיה ותנע זוויתי. ערכים אלה היו זהים לחלוטין לזה של בוהר (אלא שלמצב הנמוך ביותר המותר בתיאוריה החדשה היה אפס תנע זוויתי): עדות מרשימה לכך שהתיאוריה החדשה נכונה.

שימור נוכחי

כאשר פרסם שרדינגר את התוצאה הזו בשנת 1926, הוא גם רשם את המשוואה המצומדת המורכבת, והוכיח שלקח אותם יחד לא היה קשה להסיק משוואת המשכיות:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} +div \vec j =0 \tag{1.3.23} \]

\[ where \: \rho =\psi^{\ast} \psi =|\psi |^2 \tag{1.3.24} \]

\[ and \; \: \vec j =\frac{\hbar}{2mi} (\psi^{\ast} \vec \nabla \psi -\psi \vec \nabla \psi^{\ast} ) \tag{1.3.25} \]

אבל מה המשמעות של משוואות אלה?

שרדינגר האמין שמשוואות ההמשכיות הנ"ל מייצגות את שימור המטען החשמלי, ולא הייתה לה משמעות נוספת. הוא חשב שאחרי הכל המשוואה שלו הראתה שהאלקטרון הוא רק גל קלאסי חלק ברמה העמוקה ביותר. למעשה, הוא הצליח לפתור את המשוואה התלת מימדית עם פוטנציאל קולומב והוא מצא את רמות האנרגיה של בוהר של אטום המימן. ברור שהוא היה בדרך הנכונה! גישת התחייה הקלאסית הזו, לעומת זאת, לא יכלה להתמודד עם הבלתי צפוי של מכניקת הקוונטים, כגון היכן שפוטון בודד - או אלקטרון - ינחת בתבנית עקיפה של שני חריצים.

האמת היא, שרדינגר לא הבין את המשוואה שלו. פיזיקאי אחר, מקס בורן, פרסם מאמר כמה ימים לאחר זה של שרדינגר בו הציע \( |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz \) שזו ההסתברות היחסית למצוא את האלקטרון בנפח \(dxdydz\) קטן בזמן. \( (x,y,z) \) \(t\) פרשנות זו התבססה ישירות על האנלוגיה עם גלי אור ופוטונים, והתבררה כנכונה.

הערה

\(\psi\)נקרא "משרעת" או לפעמים "משרעת ההסתברות".

פוטונים ואלקטרונים

ראינו שאלקטרונים ופוטונים מתנהגים בצורה דומה מאוד - שניהם מציגים השפעות עקיפה, כמו בניסוי החריץ הכפול, לשניהם יש התנהגות דמוית חלקיקים או קוונטית. כפי שכבר דנו, כעת יש לנו מסגרת להבנת פוטונים - ראשית אנו מבינים כיצד הגל האלקטרומגנטי מתפשט, באמצעות משוואות מקסוול, כלומר אנו מוצאים כפונקציה של. \(E\) \(x,y,z,t\) לאחר הערכה\(E(x,y,z,t)\), ההסתברות למצוא פוטון בנפח קטן נתון של שטח\(dxdydz\), בזמן\(t\), היא פרופורציונלית \( |E(x,y,z,t)|^2 dxdydz \) לצפיפות האנרגיה.

בורן הניח שתפקוד הגל של שרדינגר לאלקטרון תואם את הגל האלקטרומגנטי של הפוטון במובן זה שריבוע המודולוס של משרעת גל שרדינגר בנקודה הוא צפיפות ההסתברות היחסית למציאת האלקטרון באותה נקודה. אז השגרה זהה: עבור תנאי גבול נתונים ופוטנציאל נתון, ניתן לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית של שרדינגר ולהעריך את פונקציית הגל. \(\psi(x,y,z,t)\) לאחר מכן, \( |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz \) נותן את ההסתברות היחסית למצוא את האלקטרון \((x,y,z)\) בזמן\(t\).

שים לב, עם זאת, כי פרשנות זו של פונקציית הגל אינה חיונית במציאת רמות האנרגיה המותרות בפוטנציאל נתון, כגון אנרגיות מסלול בוהר, ששרדינגר גזר לפני שהובנה המשמעות הפיזית של תפקוד הגל שלו.

כיצד משרעת הגל משתנה בפוטנציאל רכבת הרים

הזכרנו לעיל כי עבור אלקטרון הנוסע לאורך פוטנציאל רכבת הרים, אורך הגל המקומי קשור לתנופה של האלקטרון כשהוא עובר את הנקודה הזו.

אולי מעט פחות ברור הוא שמשרעת הגל משתנה: הוא יהיה הגדול ביותר בראש הגבעות (בתנאי שלחלקיק יש מספיק אנרגיה להגיע לשם) מכיוון ששם החלקיק נע הכי לאט, ולכן סביר להניח שהוא נמצא.

לשמור על הגל והחלקיק ביחד?

נניח שבעקבות דה ברוגלי נרשום את הקשר בין "תכונות החלקיקים" של האלקטרון ל"תכונות הגל "שלו: \[ \frac{1}{2} mv^2 =E=hf \, , \; \; mv=p=h/\lambda \tag{1.3.26} \]

נראה כי אנו יכולים מיד להבין את מהירות הגל, רק באמצעות\(\lambda f=c\), נניח. אנו מוצאים: \[ \lambda f=\frac{h}{mv} \cdot \frac{\frac{1}{2} mv^2}{h} =\frac{1}{2} v \tag{1.3.27} \]

אז נראה שמהירות הגל היא רק חצי ממהירות האלקטרון! איך הם יכולים להישאר ביחד? מה רע בחישוב הזה?

לוקליזציה של אלקטרון

כדי לענות על שאלה זו, יש צורך לחשוב קצת יותר בזהירות על פונקציית הגל המתאימה לאלקטרון הנוסע דרך צינור קרן קתודה, נניח. האלקטרון עוזב את הקתודה, יורה דרך הוואקום ופוגע במסך. בנקודת ביניים בתהליך זה, הוא נע דרך הוואקום ופונקציית הגל חייבת להיות ללא אפס על פני נפח כלשהו, אך אפס במקומות אליהם אולי האלקטרון עדיין לא הגיע, ואפס במקומות שהוא בהחלט עזב.

עם זאת, אם לאלקטרון יש אנרגיה מדויקת, נניח בדיוק אלף וולט אלקטרונים, יש לו גם מומנטום מדויק. זה בהכרח מרמז כי הגל יש אורך גל מדויק. אבל הגל היחיד עם אורך גל מדויק \(\lambda\) יש את הצורה \[ \psi(x,t) =Ae^{i(kx-\omega t)} \tag{1.3.28}\]

איפה\(k=2\pi /\lambda\), ו\(\omega =2\pi f\). הבעיה היא שגל הסינוס המישורי הזה משתרע עד אינסוף בשני הכיוונים המרחביים, ולכן אינו יכול לייצג חלקיק שתפקוד הגל שלו אינו אפס באזור מוגבל של החלל.

לכן, כדי לייצג חלקיק מקומי, עלינו להציב גלים בעלי אורכי גל שונים. כעת, הגלים המייצגים אלקטרונים, בניגוד לגלי האור המייצגים פוטונים, נעים במהירויות שונות לאנרגיות שונות. כל אינטואיציה המתקבלת על ידי חשיבה על הצבת גלי אור באורכי גל שונים עלולה להטעות אם היא מיושמת על גלי אלקטרונים!

למרבה המזל, ישנן דוגמאות רבות בטבע הגלים שמהירותם תלויה באורך הגל. דוגמה פשוטה היא גלי מים על האוקיינוס. אנו רואים גלים בעלי אורך גל קצר בהרבה מעומק האוקיאנוס. מה \(k\) הקשר \(\omega\) בין הגלים האלה? אנו יודעים שזה לא\(\omega =Ck\), עם קבוע\(C\), מכיוון שגלים באורכי גל שונים נעים במהירויות שונות. למעשה, קל להבין את \(k\) הקשר\(\omega\), המכונה יחס הפיזור, לגלים אלה מתוך טיעון ממדי פשוט. באילו פרמטרים פיזיים תדר הגל יכול להיות תלוי? ברור, אורך הגל\(\lambda\). אנו נשתמש \(k=2\pi /\lambda\) כמשתנה שלנו. \(k\)יש ממדים\(L^{-1}\).

גלים אלה מונעים על ידי כוח הכבידה, ולכן\(g\), עם ממדים\(LT^{-2}\), הוא רלוונטי. למעשה, זה הכל. עבור גלי האוקיינוס, מתח פני השטח הוא בהחלט זניח, כמו גם צפיפות האוויר, ואת צמיגות המים. אתה עשוי לחשוב שצפיפות המים חשובה, אך גלים אלה דומים למדי למטוטלת, בכך שהם מונעים על ידי כוח הכבידה, כך שהגדלת הצפיפות תגדיל את הכוח ואת המסה האינרציאלית באותה כמות.

עבור גלי מים עמוקים אלה, אם כן, ניתוח ממדי נותן מיד:

\[ \omega^2 =Cgk \tag{1.3.29} \]

היכן \(C\) יש קבוע חסר ממדים שאיננו יכולים לתקן על ידי טיעון ממדי, אך למעשה מתברר שהוא 1.

מנות גל ועקרון הסופרפוזיציה

כדי לחזור לרגע לאלקטרון הנוסע דרך ואקום, ברור פיזית שהוא חייב להיות בעל פונקציית גל שמגיעה לאפס רחוק לשני הכיוונים (עדיין נעבוד בממד אחד, לפשטות). פונקציית גל מקומית מסוג זה נקראת "חבילת גל". נגלה שניתן לבנות חבילת גל על ידי הוספת גלי מישור יחד. כעת, גלי המישור שאנו מוסיפים יחד יהיו בנפרד פתרונות של משוואת שרדינגר.

אך האם נובע מכך שסכום הפתרונות הללו של משוואת שרדינגר הוא בעצמו פיתרון למשוואה? התשובה היא כן - במילים אחרות, משוואת שרדינגר \[ i\hbar \frac{\partial \psi(x,y,z,t)}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,y,z,t) +V(x,y,z)\psi(x,y,z,t) \tag{1.3.21} \]

היא משוואה ליניארית, כלומר, אם\(\psi_1(x,y,z,t)\), \(\psi_2(x,y,z,t)\) שני הפתרונות של המשוואה, אז כך הוא \[ \psi(x,y,z,t) =c_1\psi_1(x,y,z,t)+c_2 \psi_2(x,y,z,t) \tag{1.3.30} \]

איפה \(c_1\) \(c_2\) והם קבועים שרירותיים, כפי שקל לבדוק. זה נקרא עקרון הסופרפוזיציה.

הנקודה המהותית היא שבמשוואה של שרדינגר כל מונח מכיל גורם\(\psi\), אך אף מונח אינו מכיל גורם \(\psi^2\) (או כוח עליון). לזה הכוונה במשוואה "לינארית". אם המשוואה אכן הכילה מונח קבוע, או מונח כולל\(\psi^2\), סופרפוזיציה לא תעבוד - סכום שני הפתרונות למשוואה לא היה כשלעצמו פיתרון למשוואה.

למעשה, הנחנו את הליניאריות הזו לאורך כל הדרך: כאשר אנו מנתחים הפרעות ודיפרקציה של גלים, אנו פשוט מוסיפים את שתי אמפליטודות הגל בכל נקודה. עבור החריץ הכפול, אנו לוקחים שאם הגל המקרין מחריץ אחד עונה על משוואת הגל, אז הוספת שני הגלים יחד תיתן גל חדש אשר עונה גם על המשוואה.

השלב הראשון בבניית חבילת גל: הוספת שני גלי סינוס

אם נוסיף יחד שני גלי סינוס עם תדרים קרובים זה לזה, נקבל פעימות. ניתן לראות דפוס זה כמחרוזת של מנות גל, והוא שימושי להבנה מדוע מהירות האלקטרונים המחושבת \( \lambda f=c \) מלמעלה היא ככל הנראה חצי ממה שהיא צריכה להיות.

אנו משתמשים בנוסחת התוספת הטריגונומטרית:

\[ \sin((k-\Delta k)x -(\omega-\Delta \omega)t) +\sin((k+\Delta k)x -(\omega+\Delta \omega)t) =2\sin(kx-\omega t)\cos((\Delta k)x-(\Delta \omega)t) \tag{1.3.31} \]

נוסחה זו מייצגת את תופעת הפעימות בין הגלים הקרובים בתדירות. המונח הראשון,\(\sin(kx-\omega t)\), מתנדנד בממוצע של שני התדרים. הוא מווסת על ידי המונח השני המשתנה לאט, המכונה לעתים קרובות "פונקציית המעטפה", המתנדנדת פעם אחת בהיקף סדר מרחבי. \(\pi/\Delta k\) זהו המרחק שעליו גלים בתחילה בשלב במקור יוצאים לחלוטין מהשלב. כמובן, במרחק נוסף של סדר\(\pi/\Delta k\), הגלים יסונכרנו שוב.

כלומר, הכאת שני תדרים קרובים זה לזה מפרקת את הגל הרציף לסדרת מנות, פעימות. כדי לתאר אלקטרון בודד הנע בחלל, אנו זקוקים לחבילה אחת. ניתן להשיג זאת על ידי הצבת גלים בעלי התפלגות רציפה של אורכי גל, או מספרי גלים בסדר\(\Delta k\), נניח, של\(k\). במקרה זה, הגלים יהיו מחוץ לשלב לאחר מרחק של סדר, \(\pi/\Delta k\) אך מכיוון שיש להם אורכי גל רבים ושונים, הם לעולם לא יחזרו לשלב שוב.

מהירות שלב ומהירות קבוצתית

מיד יתברר שיש שתי מהירויות שונות בדינמיקה: ראשית, המהירות שבה הפסגות הבודדות נעות ימינה, ושנית המהירות שבה פונקציית המעטפה המשתנה לאט - דפוס הקצב - נעה. מהירות השיא \(\lambda f=c\) האישית נקבעת על ידי המונח\(\sin(kx-\omega t)\), היא\(\omega/k\): זה נקרא מהירות הפאזה. המהירות בה נע דפוס הקצב, לעומת זאת, נקבעת על ידי המונח\(\cos((\Delta k)x-(\Delta \omega)t)\), מהירות זו \(\Delta\omega/\Delta k =d\omega/dk\) מיועדת לתדרים קרובים.

אם נחזור פעם נוספת לחבילת הגל האלקטרונים, חמושה בתובנה החדשה הזו, אנו יכולים לראות מיד שמהירות הגל ממנה חישבנו \(\lambda f=c\) הייתה מהירות הפאזה של הגלים. החבילה עצמה כמובן תעבור במהירות הקבוצתית - וקל לבדוק שזה רק v.

הוספת גלים נוספים

ראינו כיצד שני גלי סינוס בעלי משרעת שווה קרובים זה לזה בתדר מייצרים פעימות: אם הגלים נמצאים בשלב במקור, כשאנחנו הולכים לאורך ציר ה - x הם נופלים בהדרגה מהפאזה, ומבטלים זה את \(2\Delta\) זה במרחק\(x=\pi/2\Delta\), איפה ההבדל בין שני \(\sin kx\) הגלים. \(k\) (כרגע אנו מתעלמים מהתפתחות הזמן של הגלים האלה: אנחנו רק מסתכלים על t = 0.). אם נמשיך לאורך ציר ה- x ל\(\pi/\Delta\), שני הגלים יחזרו לשלב שוב, זה הקצב הבא. עכשיו, אם במקום להוסיף שני גלים, נוסיף גלים רבים, כולם שונים\(k\), אבל עם ה-s שנלקחו \(k\) מאיזה מרווח קטן של סדר\(\Delta k\), וכל הגלים האלה נמצאים בשלב במקור, ואז, שוב, כולם יישארו פחות או יותר בשלב למרחק של סדר\(x=\pi/2\Delta\). עם זאת, ככל שאנו עוברים מעבר לנקודה זו, הסיכוי שכולם יחזרו לשלב שוב קטן במהירות ככל שאנו מגדילים את מספר הגלים השונים.

זה מציע דרך לבנות חבילת גל: הוסף הרבה גלים מתוך טווח תדרים צר, והם יהיו רק בשלב באזור המכיל את המקור.

הוספת גלים בדרך זו מובילה לגזירה כללית יותר של הנוסחה \(d\omega/dk\) למהירות הקבוצה. הגישה הסטנדרטית היא להחליף את הסכום על גלי מישור באינטגרל, עם מספר הגל \(k\) כמשתנה האינטגרציה, והמוסכמה היא לשים גורם \(2\pi\) במכנה:

\[ \psi(x,t) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{ikx-i\omega(k)t} \, \phi(k) \tag{1.3.32} \]

מכיוון שאנו בונים חבילת גל עם מומנטום מוגדר למדי, ניקח את הפונקציה לשיא חזק\(k_0\), \(\phi(k)\) ונלך במהירות לאפס מערך זה, כך שהתרומה המשמעותית היחידה לאינטגרל היא מהשכונה של. \(k_0\) לכן, אם \(\omega(k)\) הוא חלק למדי (וזה) זה בטוח לשים

\[ \omega(k) =\omega(k_0)+(k-k_0)\omega'(k_0) \tag{1.3.33} \]

ב אקספוננציאלי.

זה נותן

\[ \psi(x,t) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{ikx-i\omega(k_0)t-i(k-k_0)\omega'(k_0)t} \, \phi(k) =e^{i(k_0x-\omega(k_0)t)} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{i(k-k_0)(x-\omega'(k_0)t)} \, \phi(k) \tag{1.3.34} \]

המונח הראשון מייצג רק גל בודד ב\(k_0\), והפסגות נעות במהירות הפאזה \[ v_{phase}=\omega/k \tag{1.3.35} \]

המונח השני, האינטגרל, הוא פונקציית המעטפה: כאן x מופיע רק בשילוב \[ x-\omega'(k_0)t \tag{1.3.36} \]

כך שהמעטפה, ומכאן חבילת הגל, נעה ימינה במהירות הקבוצתית:\( v_{group} =\omega'(k_0) \). שים לב שאם כלול גם המונח הבא בהרחבת טיילור של\(\omega(k)\), זה מסתכם בהוספת מנות גל עם מהירויות קבוצתיות מעט שונות יחד, וחבילת הגל הראשונית (הכוללת) תתרחב בהדרגה.

חבילת הגל הגאוסית

למרבה המזל, יש מימוש מתמטי מפורש פשוט של הוספת גלי מישור ליצירת פונקציה מקומית: חבילת הגל הגאוסית, \[ \psi(x,t=0) =Ae^{ik_0x}e^{-x^2/2\Delta^2} \tag{1.3.37}\]

איפה\(p_0=\hbar k_0\). כדי שחבילת גל זו תייצג אלקטרון אחד, עם ההסתברות למצוא את האלקטרון בקטע קטן באורך \(x\) שווה ל \(dx\) -\(|\psi|^2 dx\), וההסתברות הכוללת למצוא את האלקטרון איפשהו שווה לאחד, \(A\) נקבע הקבוע באופן ייחודי (מלבד מכפיל פאזה אפשרי\(e^{i\delta}\), שלא ישפיע על ההסתברות).

שימוש בתוצאה הסטנדרטית \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} \, dx =\sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{1.3.38} \]

אנו מוצאים \(|A|^2=(\pi \Delta^2)^{-1/2}\) כך \[ \psi(x,t=0) =\frac{1}{(\pi\Delta^2)^{1/4}} e^{ik_0x}e^{-x^2/2\Delta^2} \tag{1.3.39} \]

אך כיצד אנו בונים את חבילת הגל הספציפית הזו על ידי הצבת גלי מישור? כלומר, אנחנו צריכים ייצוג של הטופס: \[ \psi(x) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \, \phi(k) \tag{1.3.40} \]

הפונקציה \(\phi(k)\) מייצגת את שקלול גלי המישור בשכונת מספר הגל\(k\). זוהי דוגמה מסוימת לשינוי פורייה - נדון בפירוט במקרה הכללי מעט מאוחר יותר במהלך הקורס. שים לב שאם \(\phi(k)\) היא פונקציה מוגבלת, כל \(k\) ערך מסוים נותן תרומה קטנה ונעלמת, תרומת גל המישור לטווח היא. \(y(x)\) \(dk\) \(\phi(k) dk/2\pi\) למעשה, \(\phi(k)\) ניתן במונחים של \(\psi(x)\) על ידי \[ \phi(k) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} dxe^{-ikx} \, \psi(x) \tag{1.3.41} \]

אולי ראוי להזכיר בשלב זה שניתן להבין זאת באופן איכותי על ידי התבוננות כי מקדם גל המישור \(e^{-ikx}\) יפריע באופן הרסני לכל מרכיבי גל המישור \(\psi(x)\) למעט זה של מספר הגל\(k\), שם עשוי להיראות בהתחלה כי התרומה היא אינסופית, אך נזכיר כי כאמור לעיל, לכל \(k\) רכיב מסוים יש משקל קטן ונעלם - ולמעשה זו התשובה הנכונה, כפי שנראה בצורה משכנעת יותר בהמשך.

במקרה הנוכחי, הטיעון המנופף לעיל אינו נחוץ, מכיוון שניתן לבצע את שני האינטגרלים בדיוק, תוך שימוש בתוצאה הסטנדרטית: \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2+bx} \, dx =e^{b^2/4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{1.3.42} \]

נותן \[ \phi(k) =(4\pi\Delta^2)^{\frac{1}{4}} e^{-\Delta^2(k-k_0)^2/2} \tag{1.3.43}\]

החזרת זה לאינטגרל עבור \(\psi(x)\) מראה כי המשוואות האינטגרליות עקביות.

שימו לב לאינטגרלי הנורמליזציה ב- x -space ו- k -space הם:

\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |\psi|^2 dx =1, \; \; \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |\phi(k)|^2 \frac{dk}{2\pi} =1 \tag{1.3.44} \]

המשמעות הפיזית של המשוואה השנייה לעיל היא שאם חבילת הגל עוברת דרך סורג עקיפה כך שרכיבי k השונים מתפזרים לכיוונים שונים, כמו הצבעים באור לבן, וגלאי מסודר לרשום את האלקטרון אם יש לו מספר גל בין \(k\) לבין\(k + dk\), ההסתברות למצוא אותו בטווח מספרי הגל הזה היא. \(|\phi(k)|^2 dk/2\pi\)

ערכי ציפיות ועקרון אי הוודאות

ברור מהביטויים עבור \(\psi(x)\) והתמרת הפורייה שלה \(\phi(k)\) למעלה כי התפשטות פונקציית הגל במרחב x קשורה הפוך להתפשטותה במרחב k: פונקציית הגל x -space התפשטה\(\sim\Delta\), פונקציית הגל k-space. \(\sim 1/\Delta\) זו אולי הדוגמה הפשוטה ביותר לעקרון אי הוודאות המפורסם של הייזנברג: במכניקת הקוונטים לא ניתן לדעת בדיוק את המיקום וגם את המומנטום של חלקיק באותו הרגע; ככל שמצוין אחד מדויק יותר כך השני ידוע פחות טוב. זוהי תוצאה בלתי נמנעת של אופי הגל של התפלגות ההסתברות. כפי שכבר ראינו, לחלקיק בעל תנופה מדויקת יש גל באורך גל ספציפי, והגל היחיד כזה הוא גל מישורי המשתרע ממינוס אינסוף לאינסוף, כך שמיקום החלקיק אינו מוגדר לחלוטין. חלקיק עם מיקום מוגדר במדויק מתואר על ידי חבילת גל הכוללת את כל אורכי הגל במשקל שווה - המומנטום אינו מוגדר לחלוטין. ניתן דוגמאות נוספות לעקרון האי-ודאי, למאמצים להתחמק ממנו ולשימושיו באומדנים, בהרצאה הבאה.

הגדרות של \(\Delta x,\Delta p\)

הסימון הסטנדרטי לערך הציפייה של אופרטור במצב קוונטי נתון הוא \[ \langle x \rangle =\int x|\psi(x)|^2 dx \tag{1.3.45} \]

במילים אחרות, \(\langle x\rangle\) תהיה התוצאה הממוצעת הסטטיסטית של ביצוע מדידות רבות של \(x\) מערכות שהוכנו זהה במצב הקוונטי \(\psi(x)\) (תוך התעלמות מתלות הזמן כאן למען הפשטות).

כאשר אנו מדברים על "אי הוודאות" ב\(x\), אנו מתכוונים במכניקת הקוונטים לשורש הממוצע לסטייה הריבועית במדידות. זה כתוב בדרך כלל \(\Delta x\) (מצער לאור השימוש שלנו - גם הסטנדרטי - \(\Delta\) בפונקציה הגאוסית לעיל, כך שהקורא צריך לצפות בזהירות!).

לכן \[ \Delta x=\sqrt{\int (x-\langle x\rangle)^2|\psi(x)|^2 dx} \tag{1.3.46} \]

עבור חבילת הגל שלנו,\(\langle x\rangle=0\). קל לבדוק זאת

\[ \Delta x=\frac{\Delta}{\sqrt{2}}, \;\; and \; writing \;\; p=\hbar k, \;\; \Delta p=\frac{\hbar}{\Delta\sqrt{2}} \;\; giving \;\; \Delta x\cdot\Delta p =\frac{\hbar}{2} \tag{1.3.47} \]

תורם

• Template:ContribFowler