9.3: הוסף וחסר שורשים מרובעים

מטרות למידה

בסוף פרק זה תוכל:

• הוסף וחסר כמו שורשים מרובעים
• הוסף וחסר שורשים מרובעים הזקוקים לפישוט

להיות מוכן

לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

1. הוסף: ⓐ $3x+9x$ ⓑ$5m+5n$.
   אם פספסת בעיה זו, עיין ב [קישור].
2. פשט:$\sqrt{50x^3}$.
   אם פספסת בעיה זו, עיין ב [קישור].

אנו יודעים שעלינו לעקוב אחר סדר הפעולות כדי לפשט ביטויים עם שורשים מרובעים. הרדיקלי הוא סמל קיבוץ, ולכן אנו עובדים תחילה בתוך הרדיקל. אנו מפשטים $\sqrt{2+7}$ בדרך זו:

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{2+7}}\\ {\text{Add inside the radical.}}&{\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify.}}&{3}\\ \end{array}$$

אז אם עלינו להוסיף$\sqrt{2}+\sqrt{7}$, אסור לנו לשלב אותם לרדיקל אחד.

$\sqrt{2}+\sqrt{7} \ne \sqrt{2+7}$

לנסות להוסיף שורשים מרובעים עם רדיקדים שונים זה כמו לנסות להוסיף מונחים שלא כמו.

$$\begin{array}{llll} {\text{But, just like we can}}&{x+x}&{\text{we can add}}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}}\\ {}&{x+x=2x}&{}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

הוספת שורשים מרובעים עם אותו רדיקנד זה בדיוק כמו להוסיף מונחים דומים. אנו קוראים לשורשים מרובעים עם אותו רדיקנד כמו שורשים מרובעים כדי להזכיר לנו שהם עובדים כמו מונחים דומים.

הגדרה: כמו שורשים מרובעים

שורשים מרובעים עם אותו רדיקנד נקראים כמו שורשים מרובעים.

אנו מוסיפים ומחסירים כמו שורשים מרובעים באותו אופן שאנו מוסיפים ומחסירים מונחים דומים. אנו יודעים כי 3x+8x הוא 11x. באופן דומה אנו מוסיפים $3\sqrt{x}+8\sqrt{x}$ and the result is $11\sqrt{x}$.

הוסף וחסר כמו שורשים מרובעים

תחשוב על הוספת מונחים דומים עם משתנים כמו שאתה עושה את הדוגמאות הבאות. כשיש לך רדיקדים כמו, אתה פשוט מוסיף או מחסר את המקדמים. כאשר הרדיקדים אינם דומים, אינך יכול לשלב את המונחים.

דוגמא $\PageIndex{1}$

פשט:$2\sqrt{2}−7\sqrt{2}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{2}−7\sqrt{2}}\\ {\text{Since the radicals are like, we subtract the coefficients.}}&{−5\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{2}$

פשט:$8\sqrt{2}−9\sqrt{2}$.

תשובה

$−\sqrt{2}$

דוגמא $\PageIndex{3}$

פשט:$5\sqrt{3}−9\sqrt{3}$.

תשובה

$−4\sqrt{3}$

דוגמא $\PageIndex{4}$

פשט:$3\sqrt{y}+4\sqrt{y}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{3\sqrt{y}+4\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{7\sqrt{y}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{5}$

פשט:$2\sqrt{x}+7\sqrt{x}$.

תשובה

$9\sqrt{x}$

דוגמא $\PageIndex{6}$

פשט:$5\sqrt{u}+3\sqrt{u}$.

תשובה

$8\sqrt{u}$

דוגמא $\PageIndex{7}$

פשט: $4\sqrt{x}−2\sqrt{y}$

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are not like, we cannot subtract them. We leave the expression as is.}}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{8}$

פשט:$7\sqrt{p}−6\sqrt{q}$.

תשובה

$7\sqrt{p}−6\sqrt{q}$

דוגמא $\PageIndex{9}$

פשט:$6\sqrt{a}−3\sqrt{b}$.

תשובה

$6\sqrt{a}−3\sqrt{b}$

דוגמא $\PageIndex{10}$

פשט:$5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{11\sqrt{13}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{11}$

פשט:$4\sqrt{11}+2\sqrt{11}+3\sqrt{11}$.

תשובה

$9\sqrt{11}$

דוגמא $\PageIndex{12}$

פשט:$6\sqrt{10}+2\sqrt{10}+3\sqrt{10}$.

תשובה

$11\sqrt{10}$

דוגמא $\PageIndex{13}$

פשט:$2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ {\text{Since the first two radicals are like, we subtract their coefficients.}}&{−4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{14}$

פשט:$5\sqrt{5}−4\sqrt{5}+2\sqrt{6}$.

תשובה

$\sqrt{5}+2\sqrt{6}$

דוגמא $\PageIndex{15}$

פשט:$3\sqrt{7}−8\sqrt{7}+2\sqrt{5}$.

תשובה

$−5\sqrt{7}+2\sqrt{5}$

דוגמא $\PageIndex{16}$

פשט:$2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{−0\sqrt{5n}}\\ {\text{Simplify.}}&{0}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{17}$

פשט:$\sqrt{7x}−7\sqrt{7x}+4\sqrt{7x}$.

תשובה

$−2\sqrt{7x}$

דוגמא $\PageIndex{18}$

פשט:$4\sqrt{3y}−7\sqrt{3y}+2\sqrt{3y}$.

תשובה

$−3\sqrt{y}$

כאשר רדיקלים מכילים יותר ממשתנה אחד, כל עוד כל המשתנים והמעריכים שלהם זהים, הרדיקלים דומים.

דוגמא $\PageIndex{19}$

פשט:$\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{2\sqrt{3xy}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{20}$

פשט:$\sqrt{5xy}+4\sqrt{5xy}−7\sqrt{5xy}$.

תשובה

$−2\sqrt{5xy}$

דוגמא $\PageIndex{21}$

פשט:$3\sqrt{7mn}+\sqrt{7mn}−4\sqrt{7mn}$.

תשובה

0

הוסף וחסר שורשים מרובעים הזקוקים לפישוט

זכרו שאנחנו תמיד מפשטים שורשים מרובעים על ידי הסרת הגורם המרובע המושלם הגדול ביותר. לפעמים כשאנחנו צריכים להוסיף או לחסר שורשים מרובעים שלא נראים כמו רדיקלים, אנו מוצאים כמו רדיקלים לאחר פישוט השורשים הריבועיים.

דוגמא $\PageIndex{22}$

פשט:$\sqrt{20}+3\sqrt{5}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{20}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify the radicals, when possible.}}&{\sqrt{4}·\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {}&{2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{5\sqrt{5}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{23}$

פשט:$\sqrt{18}+6\sqrt{2}$.

תשובה

$9\sqrt{2}$

דוגמא $\PageIndex{24}$

פשט:$\sqrt{27}+4\sqrt{3}$.

תשובה

$7\sqrt{3}$

דוגמא $\PageIndex{25}$

פשט: $\sqrt{48}−\sqrt{75}$

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{48}−\sqrt{75}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{16}·\sqrt{3}−\sqrt{25}·\sqrt{3}}\\ {}&{4\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{26}$

פשט:$\sqrt{32}−\sqrt{18}$.

תשובה

$\sqrt{2}$

דוגמא $\PageIndex{27}$

פשט:$\sqrt{20}−\sqrt{45}$.

תשובה

$−\sqrt{5}$

בדיוק כמו שאנו משתמשים במאפיין האסוציאטיבי של הכפל כדי לפשט 5 (3x) ולקבל 15x, אנו יכולים לפשט $5(3\sqrt{x})$ and get $15\sqrt{x}$. We will use the Associative Property to do this in the next example.

דוגמא $\PageIndex{28}$

פשט:$5\sqrt{18}−2\sqrt{8}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{18}−2\sqrt{8}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{5·\sqrt{9}·\sqrt{2}−2·\sqrt{4}·\sqrt{2}}\\ {}&{5·3·\sqrt{2}−2·2·\sqrt{2}}\\ {}&{15\sqrt{2}−4\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{11\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{29}$

פשט:$4\sqrt{27}−3\sqrt{12}$.

תשובה

$6\sqrt{3}$

דוגמא $\PageIndex{30}$

פשט:$3\sqrt{20}−7\sqrt{45}$.

תשובה

$−15\sqrt{5}$

דוגמא $\PageIndex{31}$

פשט:$\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{3}{4}\sqrt{64}·\sqrt{3}−\frac{5}{6}\sqrt{36}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{3}{4}·8·\sqrt{3}−\frac{5}{6}·6·\sqrt{3}}\\ {}&{6\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{32}$

פשט:$\frac{2}{3}\sqrt{108}−\frac{5}{7}\sqrt{147}$.

תשובה

$−\sqrt{3}$

דוגמא $\PageIndex{33}$

פשט:$\frac{3}{5}\sqrt{200}−\frac{3}{4}\sqrt{128}$.

תשובה

0

דוגמא $\PageIndex{34}$

פשט:$\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{2}{3}\sqrt{16}·\sqrt{3}−\frac{3}{4}\sqrt{4}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{2}{3}·4·\sqrt{3}−\frac{3}{4}·2·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{8}{3}\sqrt{3}−\frac{3}{2}\sqrt{3}}\\ {\text{Find a common denominator to subtract the coefficients of the like radicals.}}&{\frac{16}{6}\sqrt{3}−\frac{9}{6}\sqrt{3}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{7}{6}\sqrt{3}} \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{35}$

פשט: $\frac{2}{5}\sqrt{32}−\frac{1}{3}\sqrt{8}$

תשובה

$\frac{14}{15}\sqrt{2}$

דוגמא $\PageIndex{36}$

פשט: $\frac{1}{3}\sqrt{80}−\frac{1}{4}\sqrt{125}$

תשובה

$\frac{1}{12}[\sqrt{5}$

בדוגמה הבאה נסיר גורמים קבועים ומשתנים מהשורשים הריבועיים.

דוגמא $\PageIndex{37}$

פשט: $\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}$

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{9n^4}·\sqrt{2n}−\sqrt{16n^4}·\sqrt{2n}}\\ {}&{3n^2\sqrt{2n}−4n^2\sqrt{2n}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−n^2\sqrt{2n}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{38}$

פשט:$\sqrt{32m^7}−\sqrt{50m^7}$.

תשובה

$−m^3\sqrt{2m}$

דוגמא $\PageIndex{39}$

פשט: $\sqrt{27p^3}−\sqrt{48p^3}$

תשובה

$−p^3\sqrt{p}$

דוגמא $\PageIndex{40}$

פשט: $9\sqrt{50m^2}−6\sqrt{48m^2}$.

תשובה

\[\begin{array}{ll} {}&{9\sqrt{50m^{2}}−6\sqrt{48m^{2}}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{9\sqrt{25m^{2}}·\sqrt{2}−6·\sqrt{16m^{2}}·\sqrt{3}}\\ {}&{9·5m·\sqrt{2}−6·4m·\sqrt{3}}\\ {}&{45m\sqrt{2}−24m\sqrt{3}}\\ \end{array}\]

דוגמא $\PageIndex{41}$

פשט:$5\sqrt{32x^2}−3\sqrt{48x^2}$.

תשובה

$20x\sqrt{2}−12x\sqrt{3}$

דוגמא $\PageIndex{42}$

פשט:$7\sqrt{48y^2}−4\sqrt{72y^2}$.

תשובה

$28y\sqrt{3}−24y\sqrt{2}$

דוגמא $\PageIndex{43}$

פשט:$2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}$.

תשובה

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{2\sqrt{4x^2}·\sqrt{2}−5x\sqrt{16}·\sqrt{2}+5\sqrt{9x^2}·\sqrt{2}}\\ {}&{2·2x·\sqrt{2}−5x·4·\sqrt{2}+5·3x·\sqrt{2}}\\ {}&{4x\sqrt{2}−20x\sqrt{2}+15x\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−x\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

דוגמא $\PageIndex{44}$

פשט: $3\sqrt{12x^2}−2x\sqrt{48}+4\sqrt{27x^2}$

תשובה

$10x\sqrt{3}$

דוגמא $\PageIndex{45}$

פשט:$3\sqrt{18x^2}−6x\sqrt{32}+2\sqrt{50x^2}$.

תשובה

$−5x\sqrt{2}$

גש למשאב מקוון זה לקבלת הדרכה ותרגול נוספים עם הוספה וחיסור של שורשים מרובעים.

• הוספה/חיסור שורשים מרובעים

רשימת מילים

כמו שורשים מרובעים

שורשים מרובעים עם אותו רדיקנד נקראים כמו שורשים מרובעים.