9.2: פשט שורשים מרובעים
- Page ID
- 205494
בסוף פרק זה תוכל:
- השתמש במאפיין המוצר כדי לפשט שורשים מרובעים
- השתמש במאפיין Quotient כדי לפשט שורשים מרובעים
בחלק האחרון הערכנו את השורש הריבועי של מספר בין שני מספרים שלמים רצופים. אנו יכולים לומר כי \(\sqrt{50}\) הוא בין 7 ל 8. זה די קל לעשות כאשר המספרים קטנים מספיק כדי שנוכל להשתמש ב - [קישור].
אבל מה אם אנחנו רוצים להעריך\(\sqrt{500}\)? אם נפשט תחילה את השורש הריבועי, נוכל להעריך אותו בקלות. ישנן גם סיבות אחרות לפשט שורשים מרובעים כפי שתראה בהמשך פרק זה.
שורש ריבועי נחשב לפשוט אם הרדיקנד שלו אינו מכיל גורמים מרובעים מושלמים.
\(\sqrt{a}\)נחשב לפשוט אם אין גורמים מרובעים מושלמים.
אז \(\sqrt{31}\) הוא פשוט. אבל \(\sqrt{32}\) לא פשוט, כי 16 הוא גורם מרובע מושלם של 32.
השתמש במאפיין המוצר כדי לפשט שורשים מרובעים
המאפיינים בהם נשתמש כדי לפשט ביטויים עם שורשים מרובעים דומים לתכונות של אקספונסנטים. אנחנו יודעים את זה\((ab)^m=a^{m}b^{m}\). המאפיין המקביל של שורשים מרובעים אומר את זה\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
אם a, b הם מספרים ממשיים לא שליליים, אז\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
אנו משתמשים במאפיין המוצר של שורשים מרובעים כדי להסיר את כל הגורמים המרובעים המושלמים מרדיקל. אנו נראה כיצד לעשות זאת בדוגמה.
כיצד להשתמש במאפיין המוצר כדי לפשט שורש ריבועי
פשט:\(\sqrt{50}\).
- תשובה
-
פשט:\(\sqrt{48}\).
- תשובה
-
\(4\sqrt{3}\)
פשט:\(\sqrt{45}\).
- תשובה
-
\(3\sqrt{5}\)
שימו לב בדוגמה הקודמת כי הצורה הפשוטה של \(\sqrt{50}\) is \(5\sqrt{2}\), which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.
- מצא את הגורם המרובע המושלם הגדול ביותר של הרדיקנד. כתוב מחדש את הרדיקנד כמוצר באמצעות הגורם הריבועי המושלם.
- השתמש בכלל המוצר כדי לשכתב את הרדיקל כתוצר של שני רדיקלים.
- פשט את השורש הריבועי של הריבוע המושלם.
פשט:\(\sqrt{500}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{500}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{100·5}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{100}·\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify}}&{10\sqrt{5}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{288}\).
- תשובה
-
\(12\sqrt{2}\)
פשט:\(\sqrt{432}\).
- תשובה
-
\(12\sqrt{3}\)
נוכל להשתמש בטופס הפשוט \(10\sqrt{5}\) כדי להעריך\(\sqrt{500}\). אנחנו יודעים \(\sqrt{5}\) הוא בין 2 ל 3, \(\sqrt{500}\) והוא\(10\sqrt{5}\). כך \(\sqrt{500}\) גם בין 20 ל -30.
הדוגמה הבאה דומה מאוד לדוגמאות הקודמות, אך עם משתנים.
פשט:\(\sqrt{x^3}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{x^3}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{x^2·x}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{x^2}·\sqrt{x}}\\ {\text{Simplify}}&{x\sqrt{x}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{b^5}\).
- תשובה
-
\(b^2\sqrt{b}\)
פשט:\(\sqrt{p^9}\).
- תשובה
-
\(p^4\sqrt{p}\)
אנו עוקבים אחר אותו נוהל כאשר יש מקדם גם ברדיקל.
פשט:\(\sqrt{25y^5}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{25y^5}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{25y^4·y}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{25y^4}·\sqrt{y}}\\ {\text{Simplify.}}&{5y^2\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{16x^7}\).
- תשובה
-
\(4x^3\sqrt{x}\)
פשט:\(\sqrt{49v^9}\).
- תשובה
-
\(7v^4\sqrt{v}\)
בדוגמה הבאה הן לקבוע והן למשתנה יש גורמים מרובעים מושלמים.
פשט:\(\sqrt{72n^7}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{72n^7}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{36n^{6}·2n}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{36n^{6}}·\sqrt{2n}}\\ {\text{Simplify.}}&{6n^3\sqrt{2n}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{32y^5}\).
- תשובה
-
\(4y^2\sqrt{2y}\)
פשט:\(\sqrt{75a^9}\).
- תשובה
-
\(5a^4\sqrt{3a}\)
פשט:\(\sqrt{63u^{3}v^{5}}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{63u^{3}v^{5}}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}·7uv}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}}·\sqrt{7uv}}\\ {\text{Simplify.}}&{3uv^{2}\sqrt{7uv}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{98a^{7}b^{5}}\).
- תשובה
-
\(7a^{3}b^{2}\sqrt{2ab}\)
פשט:\(\sqrt{180m^{9}n^{11}}\).
- תשובה
-
\(6m^{4}n^{5}\sqrt{5mn}\)
ראינו כיצד להשתמש בסדר הפעולות כדי לפשט כמה ביטויים עם רדיקלים. כדי לפשט \(\sqrt{25}+\sqrt{144}\) we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.
\(\sqrt{17}+\sqrt{7}\)לא ניתן לפשט את הביטוי - כדי להתחיל נצטרך לפשט כל שורש ריבועי, אך לא 17 ולא 7 מכילים גורם מרובע מושלם.
בדוגמה הבאה, יש לנו סכום של מספר שלם ושורש ריבועי. אנו מפשטים את השורש הריבועי אך איננו יכולים להוסיף את הביטוי המתקבל למספר השלם.
פשט:\(3+\sqrt{32}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{3+\sqrt{32}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{3+\sqrt{16·2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{3+\sqrt{16}·\sqrt{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{3+4\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
התנאים אינם דומים ולכן איננו יכולים להוסיף אותם. לנסות להוסיף מספר שלם ורדיקל זה כמו לנסות להוסיף מספר שלם ומשתנה - הם לא כמו מונחים!
פשט:\(5+\sqrt{75}\).
- תשובה
-
\(5+5\sqrt{3}\)
פשט:\(2+\sqrt{98}\).
- תשובה
-
\(2+7\sqrt{2}\)
הדוגמה הבאה כוללת שבר עם רדיקל במונה. זכור שכדי לפשט שבר אתה זקוק לגורם משותף במונה ובמכנה.
פשט:\(\frac{4−\sqrt{48}}{2}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{4−\sqrt{48}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using thelargest perfect square factor.}}&{\frac{4−\sqrt{16·3}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\frac{4−\sqrt{16}·\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{4−4\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Factor the common factor from thenumerator.}}&{\frac{4(1−\sqrt{3})}{2}}\\ {\text{Remove the common factor, 2, from thenumerator and denominator.}}&{2(1−\sqrt{3})}\\ \end{array}\]
פשט:\(\frac{10−\sqrt{75}}{5}\).
- תשובה
-
\(2−\sqrt{3}\)
פשט:\(\frac{6−\sqrt{45}}{3}\).
- תשובה
-
\(2−\sqrt{5}\)
השתמש במאפיין המנה כדי לפשט שורשים מרובעים
בכל פעם שאתה צריך לפשט שורש ריבועי, הצעד הראשון שעליך לעשות הוא לקבוע אם הרדיקנד הוא ריבוע מושלם. שבר מרובע מושלם הוא שבר בו גם המונה וגם המכנה הם ריבועים מושלמים.
פשט:\(\sqrt{\frac{9}{64}}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{9}{64}}}\\ {\text{Since} (\frac{3}{8})^2}&{\frac{3}{8}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{\frac{25}{16}}\).
- תשובה
-
\(\frac{5}{4}\)
פשט:\(\sqrt{\frac{49}{81}}\).
- תשובה
-
\(\frac{7}{9}\)
אם למונה ולמכנה יש גורמים משותפים, הסר אותם. אתה עלול למצוא שבר מרובע מושלם!
פשט:\(\sqrt{\frac{45}{80}}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45}{80}}}\\ {\text{Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator.}}&{\sqrt{\frac{5·9}{5·16}}}\\ {\text{Simplify the fraction by removing common factors.}}&{\sqrt{\frac{9}{16}}}\\ {\text{Simplify.} (\frac{3}{4})^2 =\frac{9}{16}}&{\frac{3}{4}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{\frac{75}{48}}\).
- תשובה
-
\(\frac{5}{4}\)
פשט:\(\sqrt{\frac{98}{162}}\).
- תשובה
-
\(\frac{7}{9}\)
בדוגמה האחרונה, הצעד הראשון שלנו היה לפשט את השבר מתחת לרדיקל על ידי הסרת גורמים משותפים. בדוגמה הבאה נשתמש במאפיין Quotient כדי לפשט תחת הרדיקל. אנו מחלקים את הבסיסים הדומים על ידי חיסור המעריכים שלהם,,. \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) \(a \ne 0\)
פשט:\(\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first}}&{}\\ {}&{\sqrt{m^2}}\\ {\text{Divide the like bases by subtracting the exponents.}}&{}\\ {\text{Simplify.}}&{m}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{\frac{a^8}{a^6}}\).
- תשובה
-
א
פשט:\(\sqrt{\frac{x^{14}}{x^{10}}}\).
- תשובה
-
\(x^2\)
פשט:\(\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first.}}&{\sqrt{16p^4}}\\ {\text{Simplify.}}&{4p^2}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{\frac{75x^5}{3x}}\).
- תשובה
-
\(5x^2\)
פשט:\(\sqrt{\frac{72z^{12}}{2z^{10}}}\).
- תשובה
-
6z
זוכרים את המנה לנכס כוח? הוא אמר שנוכל להעלות שבריר לכוח על ידי העלאת המונה והמכנה לכוח בנפרד.
\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^{m}}{b^{m}}\), \( b \ne 0\)
אנו יכולים להשתמש במאפיין דומה כדי לפשט שורש ריבועי של שבר. לאחר הסרת כל הגורמים הנפוצים מהמונה והמכנה, אם השבר אינו ריבוע מושלם אנו מפשטים את המונה והמכנה בנפרד.
אם a, b הם מספרים ממשיים לא שליליים\(b \ne 0\), ואז
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
פשט:\(\sqrt{\frac{21}{64}}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{21}{64}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{64}}}\\ {\text{Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified.}}&{\frac{\sqrt{21}}{8}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{\frac{19}{49}}\).
- תשובה
-
\(\frac{\sqrt{19}}{7}\)
פשט: \(\sqrt{\frac{28}{81}}\)
- תשובה
-
\(\frac{2\sqrt{7}}{9}\)
כיצד להשתמש במאפיין המנה כדי לפשט שורש ריבועי
פשט:\(\sqrt{\frac{27m^3}{196}}\).
- תשובה
-
פשט: \(\sqrt{\frac{24p^3}{49}}\)
- תשובה
-
\(\frac{2p\sqrt{6p}}{7}\)
פשט: \(\sqrt{\frac{48x^5}{100}}\)
- תשובה
-
\(\frac{2x^2\sqrt{3x}}{5}\)
- פשט את השבר ברדיקנד, במידת האפשר.
- השתמש במאפיין Quotient כדי לשכתב את הרדיקל כמנה של שני רדיקלים.
- פשט את הרדיקלים במונה ובמכנה.
פשט:\(\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{y^4}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9x^4}\sqrt{5x}}{y^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3x^2\sqrt{5x}}{y^2}}\\ \end{array}\]
פשט: \(\sqrt{\frac{80m^3}{n^6}}\)
- תשובה
-
\(\frac{4m\sqrt{5m}}{n^3}\)
פשט:\(\sqrt{\frac{54u^7}{v^8}}\).
- תשובה
-
\(\frac{3u^3\sqrt{6u}}{v^4}\)
הקפד לפשט תחילה את השבר ברדיקנד, במידת האפשר.
פשט:\(\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{81d^5}{25}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{81d^5}}{\sqrt{25}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{81d^4}\sqrt{d}}{5}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{9d^2\sqrt{d}}{5}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{\frac{64x^7}{9x^3}}\).
- תשובה
-
\(\frac{8x^2}{3}\)
פשט:\(\sqrt{\frac{16a^9}{100a^5}}\).
- תשובה
-
\(\frac{2a^2}{5}\)
פשט:\(\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{9p^4q^5}{16}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^5}}{\sqrt{16}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^4}\sqrt{q}}{4}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3p^2q^2\sqrt{q}}{4}}\\ \end{array}\]
פשט:\(\sqrt{\frac{50x^5y^3}{72x^4y}}\).
- תשובה
-
\(\frac{5y\sqrt{x}}{6}\)
פשט:\(\sqrt{\frac{48m^7n^2}{125m^5n^9}}\).
- תשובה
-
\(\frac{4m\sqrt{3}}{5n^3\sqrt{5n}}\)
מושגי מפתח
- שורש ריבועי מפושט \(\sqrt{a}\) נחשב לפשוט אם אין לו גורמים מרובעים מושלמים.
- מאפיין המוצר של שורשים מרובעים אם a, b הם מספרים ממשיים לא שליליים, אז
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\)
- פשט שורש ריבועי באמצעות מאפיין המוצר כדי לפשט שורש ריבועי באמצעות מאפיין המוצר:
- מצא את הגורם המרובע המושלם הגדול ביותר של הרדיקנד. כתוב מחדש את הרדיקנד כמוצר באמצעות הגורם המרובע המושלם.
- השתמש בכלל המוצר כדי לשכתב את הרדיקל כתוצר של שני רדיקלים.
- פשט את השורש הריבועי של הריבוע המושלם.
- מאפיין מנה של שורשים מרובעים אם a, b הם מספרים ממשיים לא שליליים, ואז \(b \ne 0\)
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
- פשט שורש ריבועי באמצעות המאפיין Quotient כדי לפשט שורש ריבועי באמצעות המאפיין Quotient:
- פשט את השבר ברדיקנד, במידת האפשר.
- השתמש בכלל המנה כדי לשכתב את הרדיקל כמנה של שני רדיקלים.
- פשט את הרדיקלים במונה ובמכנה.