1.7: הוסף וחסר שברים
בסוף פרק זה תוכל:
- הוסף או חיסור שברים עם מכנה משותף
- הוסף או חיסור שברים עם מכנים שונים
- השתמש בסדר הפעולות כדי לפשט שברים מורכבים
- הערך ביטויים משתנים עם שברים
מבוא יסודי יותר לנושאים המכוסים בחלק זה ניתן למצוא בפרק Prealgebra, שברים.
הוספה או הפחתה של שברים עם מכנה משותף
כשהכפלנו שברים, פשוט הכפלנו את המספרים והכפלנו את המכנים ישר לרוחב. כדי להוסיף או לחסר שברים, עליהם להיות מכנה משותף.
אםa,b, c והם מספרים איפהc≠0, אז
ac+bc=a+bcandac−bc=a−bc
כדי להוסיף או לחסר שברים, הוסף או גרע את המספרים והנח את התוצאה על המכנה המשותף.
ביצוע פעילויות המתמטיקה המניפולטיבית "תוספת שבר מודל" ו"חיסור שברי מודל "יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של הוספה וחיסור של שברים.
מצא את הסכום:x3+23.
- תשובה
-
x3+23Add the numerators and place the sum over the common denominatorx+23
מצא את הסכום:x4+34.
- תשובה
-
x+34
מצא את הסכום:y8+58.
- תשובה
-
y+58
מצא את ההבדל: −2324−1324
- תשובה
-
−2324−1324Subtract the numerators and place the −23−1324difference over the common denominatorSimplify.−3624Simplify. Remember, −ab=−ab−32
מצא את ההבדל: −1928−728
- תשובה
-
−2628
מצא את ההבדל: −2732−132
- תשובה
-
−78
מצא את ההבדל: −10x−4x
- תשובה
-
−10x−4xSubtract the numerators and place the −14xdifference over the common denominatorRewrite with the sign in front of the fraction.−14x
מצא את ההבדל: −9x−7x
- תשובה
-
−16x
מצא את ההבדל: −17a−5a
- תשובה
-
−22a
פשט: 38+(−58)−18
- תשובה
-
Add and Subtract fractions — do they have a 38+(−58)−18common denominator? Yes.Add and subtract the numerators and place 3+(−5)−18the result over the common denominator.Simplify left to right.−2−18Simplify.−38
פשט: 29+(−49)−79
- תשובה
-
−1
פשט: 25+(−49)−79
- תשובה
-
−23
הוסף או חיסור שברים עם מכנים שונים
כפי שראינו, כדי להוסיף או לחסר שברים, המכנים שלהם חייבים להיות זהים. המכנה הפחות משותף (LCD) של שני שברים הוא המספר הקטן ביותר שיכול לשמש כמכנה משותף לשברים. ה- LCD של שני השברים הוא הכפולה הפחות נפוצה (LCM) של המכנים שלהם.
המכנה הפחות משותף (LCD) של שני שברים הוא הכפולה הפחות משותפת (LCM) של המכנים שלהם.
ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "מציאת המכנה הפחות משותף" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של ה- LCD.
לאחר שנמצא את המכנה הפחות משותף לשני שברים, אנו ממירים את השברים לשברים שווים עם ה- LCD. חיבור שלבים אלה מאפשר לנו להוסיף ולחסר שברים מכיוון שהמכנים שלהם יהיו זהים!
הוסף: 712+518
- תשובה
-
הוסף: 712+1115
- תשובה
-
7960
הוסף: 712+1115
- תשובה
-
10360
- האם יש להם מכנה משותף?
- כן - עבור לשלב 2.
- לא - כתוב מחדש כל שבר עם ה- LCD (המכנה המשותף לפחות). מצא את ה- LCD. שנה כל שבר לשבר שווה ערך עם ה- LCD כמכנה שלו.
- הוסף או הפחת את השברים.
- פשט, אם אפשר.
כאשר מוצאים את השברים המקבילים הדרושים ליצירת המכנים המשותפים, יש דרך מהירה למצוא את המספר הדרוש לנו בכדי להכפיל גם את המונה וגם את המכנה. שיטה זו עובדת אם מצאנו את ה- LCD על ידי פקטורינג לפרימים ראשוניים.
תסתכל על הגורמים של LCD ולאחר מכן בכל עמודה מעל גורמים אלה. הגורמים ה"חסרים "של כל מכנה הם המספרים הדרושים לנו.

בתרגיל1.7.13, ל- LCD, 36, יש שני גורמים של 2 ושני גורמים של 3.
למונה 12 שני גורמים של 2 אך רק אחד מתוך 3 - כך שהוא "חסר" אחד 3 - אנו מכפילים את המונה והמכנה ב -3.
למונה 18 חסר גורם אחד של 2 - אז נכפיל את המונה והמכנה ב -2.
אנו נשתמש בשיטה זו כאשר אנו מחסירים את השברים בתרגיל1.7.16.
חיסור: 715−1924
- תשובה
-
האם לשברים יש מכנה משותף? לא, אז אנחנו צריכים למצוא את LCD.
מצא את ה- LCD. שימו לב, 15 "חסרים" שלושה גורמים של 2 ו -24 "חסרים" את ה- 5 מגורמי ה- LCD. אז אנו מכפילים 8 בשבר הראשון ו -5 בשבר השני כדי לקבל את ה- LCD. כתוב מחדש כשברים שווים עם ה- LCD. לפשט. לחסר. −39120 בדוק אם ניתן לפשט את התשובה. −13⋅340⋅3 גם 39 וגם 120 יש גורם של 3. לפשט. −1340 אל תפשט את השברים המקבילים! אם תעשה זאת, תחזור לשברים המקוריים ותאבד את המכנה המשותף!
חיסור: 1324−1732
- תשובה
-
196
חיסור: 715−1924
- תשובה
-
75224
בדוגמה הבאה, לאחד השברים יש משתנה במונה שלו. שימו לב שאנחנו עושים את אותם השלבים כמו כאשר שני המספרים הם מספרים.
הוסף: 35+x8
- תשובה
-
לשברים יש מכנים שונים.
מצא את ה- LCD. כתוב מחדש כשברים שווים עם ה- LCD. לפשט. להוסיף. זכור, אנו יכולים להוסיף רק מונחים דומים: 24 \(5x\) ואינם דומים למונחים.
הוסף: y6+79
- תשובה
-
3y+1418
הוסף: x6+715
- תשובה
-
15x+42153
כעת יש לנו את כל ארבע הפעולות לשברים. הטבלה 1.7.1 מסכמת את פעולות השבר.
כפל שברים | חטיבת שבר |
ab⋅cd=acbd הכפל את המספרים והכפיל את המכנים |
ab÷cd=ab⋅dc הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני. |
תוספת שבר | חיסור שבר |
ac+bc=a+bc הוסף את המספרים והנח את הסכום מעל המכנה המשותף. |
ac−bc=a−bc הפחת את המספרים והנח את ההפרש על המכנה המשותף. |
כדי להכפיל או לחלק שברים, ו- LCD אינו נחוץ. כדי להוסיף או לחסר שברים, יש צורך ב- LCD. |
פשט:
- 5x6−310
- 5x6⋅310.
- תשובה
-
ראשית שאל, "מהו הניתוח?" ברגע שנזהה את הפעולה שתקבע אם אנו זקוקים למכנה משותף. זכרו, אנו זקוקים למכנה משותף כדי להוסיף או לחסר, אך לא להכפיל או לחלק.
1. מהו המבצע? הפעולה היא חיסור.
Do the fractions have a common denominator? No.5x6−310Rewrite each fractions as an equivalent fraction with the LCD.5x⋅56⋅5−3⋅310⋅325x30−930Subtract the numerators and place the difference over the25x−930common denominators.Simplify, if possible. There are no common factors.The fraction is simplified.
2. מהו המבצע? כפל.
5x6⋅310To multiply fractions, multiply the numerators and multiply5x⋅36⋅10the denominatorsRewrite, showing common factors.⧸5x⋅⧸32⋅⧸3⋅2⋅⧸5common denominators.Simplify.x4
פשט:
- 3a4−89
- 3a4⋅89
- תשובה
-
- 27a−3236
- 2a3
פשט:
- 4k5−16
- 4k5⋅16
- תשובה
-
- 24k−530
- 2k15
השתמש בסדר הפעולות כדי לפשט שברים מורכבים
ראינו ששבר מורכב הוא שבר בו המספר או המכנה מכיל שבר. סרגל השבר מציין חלוקה. פישטנו את השבר המורכב 3458 על ידי חלוקה 34 לפי58.
כעת נבחן שברים מורכבים שבהם המונה או המכנה מכילים ביטוי שניתן לפשט. אז ראשית עלינו לפשט לחלוטין את המונה והמכנה בנפרד באמצעות סדר הפעולות. לאחר מכן אנו מחלקים את המונה במכנה.
פשט: (12)24+32
- תשובה
-
פשט: (13)223+2
- תשובה
-
190
פשט: 1+42(14)2
- תשובה
-
272
- פשט את המונה.
- פשט את המכנה.
- מחלקים את המונה על ידי המכנה. פשט במידת האפשר.
פשט: 12+2334−16
- תשובה
-
(12+23)(34−16)Simplify the numerator (LCD = 6) and simplify the denominator (LCD = 12).(36+46)(912−212)Simplify.(76)(712)Divide the numerator by the denominator.76÷712Simplify.76⋅127Divide out common factors.7⋅6⋅26⋅7Simplify.2
פשט: 13+1234−13
- תשובה
-
2
פשט: 23−1214+13
- תשובה
-
27
הערך ביטויים משתנים עם שברים
הערכנו ביטויים בעבר, אך כעת אנו יכולים להעריך ביטויים עם שברים. זכור, כדי להעריך ביטוי, אנו מחליפים את ערך המשתנה בביטוי ואז מפשטים.
להעריך x+13 מתי
- x=−13
- x=−34
- תשובה
-
1. כדי להעריך x+13 מתיx=−13, −13 תחליף x בביטוי.
לפשט. 0
2. כדי להעריך x+13 מתיx=−34, −34 תחליף x בביטוי.כתוב מחדש כשברים שווים עם ה- LCD, 12. לפשט. להוסיף. −512
להעריך x+34 מתי
- x=−74
- x=−54
- תשובה
-
- −1
- −12
להעריך y+12 מתי
- y=23
- y=−34
- תשובה
-
- 76
- −112
להעריך −56−y מתי y=−23
- תשובה
-
כתוב מחדש כשברים שווים עם ה- LCD,6. לחסר. לפשט. −16
להעריך y+12 מתי y=23
- תשובה
-
−14
להעריך y+12 מתי y=23
- תשובה
-
−178
להעריך 2x2y מתי x=14 וy=−23.
- תשובה
-
החלף את הערכים בביטוי.
2x2y פשט תחילה את המעריכים. 2(116)(−23) להכפיל. לחלק את הגורמים המשותפים. שימו לב שאנחנו כותבים 16 2⋅2⋅4 כדי להקל על ההסרה −⧸2⋅1⋅⧸2⧸2⋅⧸2⋅4⋅3 לפשט. −112
להעריך 3ab2 מתי a=−23 וb=−12.
- תשובה
-
−12
להעריך 4c3d מתי c=−12 וd=−43.
- תשובה
-
23
בדוגמה הבאה יהיו רק משתנים, ללא קבועים.
להעריך p+qr מתיp=−4,q=−2, וr=8.
- תשובה
-
כדי להעריך p+qr מתיp=−4,q=−2, וr=8, אנו מחליפים את הערכים בביטוי.
p+qr הוסף תחילה את המונה. −68 לפשט. −34
להעריך a+bc מתיa=−8,b=−7, וc=6.
- תשובה
-
−52
להעריך x+yz מתיx=9,y=−18, וz=−6.
- תשובה
-
32
מושגי מפתח
- חיבור וחיסור שברים: אםa,b, c והם מספרים היכןc≠0, ואז
ac+bc=a+bc ac−bc=a−bc
וכדי להוסיף או לחסר שברים, הוסף או גרע את המספרים והניח את התוצאה על המכנה המשותף.
- אסטרטגיה להוספה או חיסור של שברים
- האם יש להם מכנה משותף?
כן - עבור לשלב 2.
לא - כתוב מחדש כל שבר עם ה- LCD (המכנה המשותף לפחות). מצא את ה- LCD. שנה כל שבר לשבר שווה ערך עם ה- LCD כמכנה שלו. - הוסף או הפחת את השברים.
- פשט, אם אפשר. כדי להכפיל או לחלק שברים, אין צורך ב- LCD. כדי להוסיף או לחסר שברים, יש צורך ב- LCD.
- האם יש להם מכנה משותף?
- פשט שברים מורכבים
- פשט את המונה.
- פשט את המכנה.
- מחלקים את המונה על ידי המכנה. פשט במידת האפשר.