Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.7: הוסף וחסר שברים

מטרות למידה

בסוף פרק זה תוכל:

  • הוסף או חיסור שברים עם מכנה משותף
  • הוסף או חיסור שברים עם מכנים שונים
  • השתמש בסדר הפעולות כדי לפשט שברים מורכבים
  • הערך ביטויים משתנים עם שברים
הערה

מבוא יסודי יותר לנושאים המכוסים בחלק זה ניתן למצוא בפרק Prealgebra, שברים.

הוספה או הפחתה של שברים עם מכנה משותף

כשהכפלנו שברים, פשוט הכפלנו את המספרים והכפלנו את המכנים ישר לרוחב. כדי להוסיף או לחסר שברים, עליהם להיות מכנה משותף.

חיבור וחיסור שברים

אםa,b, c והם מספרים איפהc0, אז

ac+bc=a+bcandacbc=abc

כדי להוסיף או לחסר שברים, הוסף או גרע את המספרים והנח את התוצאה על המכנה המשותף.

מתמטיקה מניפולטיבית

ביצוע פעילויות המתמטיקה המניפולטיבית "תוספת שבר מודל" ו"חיסור שברי מודל "יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של הוספה וחיסור של שברים.

תרגיל 1.7.1

מצא את הסכום:x3+23.

תשובה

x3+23Add the numerators and place the sum over the common denominatorx+23

תרגיל 1.7.2

מצא את הסכום:x4+34.

תשובה

x+34

תרגיל 1.7.3

מצא את הסכום:y8+58.

תשובה

y+58

תרגיל 1.7.4

מצא את ההבדל: 23241324

תשובה

23241324Subtract the numerators and place the 231324difference over the common denominatorSimplify.3624Simplify. Remember, ab=ab32

תרגיל 1.7.5

מצא את ההבדל: 1928728

תשובה

2628

תרגיל 1.7.6

מצא את ההבדל: 2732132

תשובה

78

תרגיל 1.7.7

מצא את ההבדל: 10x4x

תשובה

10x4xSubtract the numerators and place the 14xdifference over the common denominatorRewrite with the sign in front of the fraction.14x

תרגיל 1.7.8

מצא את ההבדל: 9x7x

תשובה

16x

תרגיל 1.7.9

מצא את ההבדל: 17a5a

תשובה

22a

כעת נעשה דוגמא שיש בה גם חיבור וגם חיסור.
תרגיל 1.7.10

פשט: 38+(58)18

תשובה

Add and Subtract fractions — do they have a 38+(58)18common denominator? Yes.Add and subtract the numerators and place 3+(5)18the result over the common denominator.Simplify left to right.218Simplify.38

תרגיל 1.7.11

פשט: 29+(49)79

תשובה

1

תרגיל 1.7.12

פשט: 25+(49)79

תשובה

23

הוסף או חיסור שברים עם מכנים שונים

כפי שראינו, כדי להוסיף או לחסר שברים, המכנים שלהם חייבים להיות זהים. המכנה הפחות משותף (LCD) של שני שברים הוא המספר הקטן ביותר שיכול לשמש כמכנה משותף לשברים. ה- LCD של שני השברים הוא הכפולה הפחות נפוצה (LCM) של המכנים שלהם.

המכנה הכי פחות משותף

המכנה הפחות משותף (LCD) של שני שברים הוא הכפולה הפחות משותפת (LCM) של המכנים שלהם.

הערה

ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "מציאת המכנה הפחות משותף" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של ה- LCD.

לאחר שנמצא את המכנה הפחות משותף לשני שברים, אנו ממירים את השברים לשברים שווים עם ה- LCD. חיבור שלבים אלה מאפשר לנו להוסיף ולחסר שברים מכיוון שהמכנים שלהם יהיו זהים!

תרגיל 1.7.13

הוסף: 712+518

תשובה

באיור זה יש לנו טבלה עם כיוונים משמאל, רמזים או הסברים באמצע, והצהרות מתמטיות מימין. בשורה הראשונה יש לנו "שלב 1. האם יש להם מכנה משותף? לא - לשכתב כל שבר עם ה- LCD (המכנה המשותף לפחות)." מימין לכך, יש לנו את ההצהרה "לא. מצא את LCD 12, 18." מימין לכך, יש לנו 12 שווים 2 פעמים 2 פעמים 3 ו 18 שווה 2 פעמים 3 פעמים 3. LCD הוא לפיכך 2 פעמים 2 פעמים 3 פעמים 3, אשר שווה 36. כרמז נוסף, יש לנו "שנה לשברים שווים עם ה- LCD,. אל תפשט את השברים המקבילים! אם תעשה זאת, תחזור לשברים המקוריים ותאבד את המכנה המשותף!" מימין לכך, יש לנו 7/12 פלוס 5/18, שהופך לכמות (7 פעמים 3) על הכמות (12 פעמים 3) בתוספת הכמות (5 פעמים 2) על הכמות (18 פעמים 2), שהופכת ל 21/36 פלוס 10/36.השלב הבא כתוב "שלב 2. הוסף או הפחת את השברים." הרמז קורא "הוסף". ויש לנו 31/36.השלב האחרון קורא "שלב 3. פשט, אם אפשר." ההסבר אומר "מכיוון ש- 31 הוא מספר ראשוני, אין לו גורמים משותפים עם 36. התשובה פשוטה".

תרגיל 1.7.14

הוסף: 712+1115

תשובה

7960

תרגיל 1.7.15

הוסף: 712+1115

תשובה

10360

הוסף או חיסור שברים.
  1. האם יש להם מכנה משותף?
    • כן - עבור לשלב 2.
    • לא - כתוב מחדש כל שבר עם ה- LCD (המכנה המשותף לפחות). מצא את ה- LCD. שנה כל שבר לשבר שווה ערך עם ה- LCD כמכנה שלו.
  2. הוסף או הפחת את השברים.
  3. פשט, אם אפשר.

כאשר מוצאים את השברים המקבילים הדרושים ליצירת המכנים המשותפים, יש דרך מהירה למצוא את המספר הדרוש לנו בכדי להכפיל גם את המונה וגם את המכנה. שיטה זו עובדת אם מצאנו את ה- LCD על ידי פקטורינג לפרימים ראשוניים.

תסתכל על הגורמים של LCD ולאחר מכן בכל עמודה מעל גורמים אלה. הגורמים ה"חסרים "של כל מכנה הם המספרים הדרושים לנו.

המספר 12 נחשב ל 2 פעמים 2 פעמים 3 עם רווח נוסף אחרי 3, ואת המספר 18 נחשב 2 פעמים 3 פעמים 3 עם רווח נוסף בין 2 ו 3 הראשון. ישנם חצים המצביעים על רווחים נוספים אלה המסומנים "גורמים חסרים". LCD מסומן 2 פעמים 2 פעמים 3 פעמים 3, אשר שווה ל 36. המספרים שיוצרים את ה- LCD הם הגורמים בין 12 ל -18, כאשר הגורמים הנפוצים נספרים פעם אחת בלבד (כלומר, 2 הראשונים ו -3 הראשונים).
איור: 1.7.1

בתרגיל1.7.13, ל- LCD, 36, יש שני גורמים של 2 ושני גורמים של 3.

למונה 12 שני גורמים של 2 אך רק אחד מתוך 3 - כך שהוא "חסר" אחד 3 - אנו מכפילים את המונה והמכנה ב -3.

למונה 18 חסר גורם אחד של 2 - אז נכפיל את המונה והמכנה ב -2.

אנו נשתמש בשיטה זו כאשר אנו מחסירים את השברים בתרגיל1.7.16.

תרגיל 1.7.16

חיסור: 7151924

תשובה

האם לשברים יש מכנה משותף? לא, אז אנחנו צריכים למצוא את LCD.

מצא את ה- LCD. .  
שימו לב, 15 "חסרים" שלושה גורמים של 2 ו -24 "חסרים" את ה- 5 מגורמי ה- LCD. אז אנו מכפילים 8 בשבר הראשון ו -5 בשבר השני כדי לקבל את ה- LCD.  
כתוב מחדש כשברים שווים עם ה- LCD. .
לפשט. .
לחסר. 39120
בדוק אם ניתן לפשט את התשובה. 133403
גם 39 וגם 120 יש גורם של 3.  
לפשט. 1340

אל תפשט את השברים המקבילים! אם תעשה זאת, תחזור לשברים המקוריים ותאבד את המכנה המשותף!

תרגיל 1.7.17

חיסור: 13241732

תשובה

196

תרגיל 1.7.18

חיסור: 7151924

תשובה

75224

בדוגמה הבאה, לאחד השברים יש משתנה במונה שלו. שימו לב שאנחנו עושים את אותם השלבים כמו כאשר שני המספרים הם מספרים.

תרגיל 1.7.19

הוסף: 35+x8

תשובה

לשברים יש מכנים שונים.

  .
מצא את ה- LCD. .  
כתוב מחדש כשברים שווים עם ה- LCD. .
לפשט. .
להוסיף. .

זכור, אנו יכולים להוסיף רק מונחים דומים: 24 \(5x\) ואינם דומים למונחים.

תרגיל 1.7.20

הוסף: y6+79

תשובה

3y+1418

תרגיל 1.7.21

הוסף: x6+715

תשובה

15x+42153

כעת יש לנו את כל ארבע הפעולות לשברים. הטבלה 1.7.1 מסכמת את פעולות השבר.

כפל שברים חטיבת שבר
abcd=acbd
הכפל את המספרים והכפיל את המכנים
ab÷cd=abdc
הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני.
תוספת שבר חיסור שבר
ac+bc=a+bc
הוסף את המספרים והנח את הסכום מעל המכנה המשותף.
acbc=abc
הפחת את המספרים והנח את ההפרש על המכנה המשותף.
כדי להכפיל או לחלק שברים, ו- LCD אינו נחוץ. כדי להוסיף או לחסר שברים, יש צורך ב- LCD.
טבלה 1.7.1
תרגיל 1.7.22

פשט:

  1. 5x6310
  2. 5x6310.
תשובה

ראשית שאל, "מהו הניתוח?" ברגע שנזהה את הפעולה שתקבע אם אנו זקוקים למכנה משותף. זכרו, אנו זקוקים למכנה משותף כדי להוסיף או לחסר, אך לא להכפיל או לחלק.

1. מהו המבצע? הפעולה היא חיסור.

Do the fractions have a common denominator? No.5x6310Rewrite each fractions as an equivalent fraction with the LCD.5x5653310325x30930Subtract the numerators and place the difference over the25x930common denominators.Simplify, if possible. There are no common factors.The fraction is simplified.

2. מהו המבצע? כפל.

5x6310To multiply fractions, multiply the numerators and multiply5x3610the denominatorsRewrite, showing common factors.5x32325common denominators.Simplify.x4

תרגיל 1.7.23

פשט:

  1. 3a489
  2. 3a489
תשובה
  1. 27a3236
  2. 2a3
תרגיל 1.7.24

פשט:

  1. 4k516
  2. 4k516
תשובה
  1. 24k530
  2. 2k15

השתמש בסדר הפעולות כדי לפשט שברים מורכבים

ראינו ששבר מורכב הוא שבר בו המספר או המכנה מכיל שבר. סרגל השבר מציין חלוקה. פישטנו את השבר המורכב 3458 על ידי חלוקה 34 לפי58.

כעת נבחן שברים מורכבים שבהם המונה או המכנה מכילים ביטוי שניתן לפשט. אז ראשית עלינו לפשט לחלוטין את המונה והמכנה בנפרד באמצעות סדר הפעולות. לאחר מכן אנו מחלקים את המונה במכנה.

תרגיל 1.7.25: How to simplify complex fractions

פשט: (12)24+32

תשובה

באיור זה יש לנו טבלה עם כיוונים משמאל והצהרות מתמטיות מימין. בשורה הראשונה יש לנו "שלב 1. פשט את המונה. זכור שחצי בריבוע פירושו חצי כפול חצי." מימין לכך, יש לנו את הכמות (1/2) בריבוע בכל הכמות (4 פלוס 3 בריבוע). לאחר מכן, יש לנו 1/4 מעל הכמות (4 פלוס 3 בריבוע).
שלב 2.
השלב האחרון הוא "שלב 3. מחלקים את המונה על ידי המכנה. פשט במידת האפשר. זכור, שלוש עשרה שווה שלוש עשרה מעל 1." מימין יש לנו 1/4 חלקי 13. אז יש לנו 1/4 פעמים 1/13, אשר שווה 1/52.

תרגיל 1.7.26

פשט: (13)223+2

תשובה

190

תרגיל 1.7.27

פשט: 1+42(14)2

תשובה

272

פשט שברים מורכבים.
  1. פשט את המונה.
  2. פשט את המכנה.
  3. מחלקים את המונה על ידי המכנה. פשט במידת האפשר.
תרגיל 1.7.28

פשט: 12+233416

תשובה

(12+23)(3416)Simplify the numerator (LCD = 6) and simplify the denominator (LCD = 12).(36+46)(912212)Simplify.(76)(712)Divide the numerator by the denominator.76÷712Simplify.76127Divide out common factors.76267Simplify.2

תרגיל 1.7.29

פשט: 13+123413

תשובה

2

תרגיל 1.7.30

פשט: 231214+13

תשובה

27

הערך ביטויים משתנים עם שברים

הערכנו ביטויים בעבר, אך כעת אנו יכולים להעריך ביטויים עם שברים. זכור, כדי להעריך ביטוי, אנו מחליפים את ערך המשתנה בביטוי ואז מפשטים.

תרגיל 1.7.31

להעריך x+13 מתי

  1. x=13
  2. x=34
תשובה

1. כדי להעריך x+13 מתיx=13, 13 תחליף x בביטוי.

  .
. .
לפשט. 0


2. כדי להעריך x+13 מתיx=34, 34 תחליף x בביטוי.
  .
. .
כתוב מחדש כשברים שווים עם ה- LCD, 12. .
לפשט. .
להוסיף. 512
תרגיל 1.7.32

להעריך x+34 מתי

  1. x=74
  2. x=54
תשובה
  1. 1
  2. 12
תרגיל 1.7.33

להעריך y+12 מתי

  1. y=23
  2. y=34
תשובה
  1. 76
  2. 112
תרגיל 1.7.34

להעריך 56y מתי y=23

תשובה
  .
. .
כתוב מחדש כשברים שווים עם ה- LCD,6. .
לחסר. .
לפשט. 16
תרגיל 1.7.35

להעריך y+12 מתי y=23

תשובה

14

תרגיל 1.7.36

להעריך y+12 מתי y=23

תשובה

178

תרגיל 1.7.37

להעריך 2x2y מתי x=14 וy=23.

תשובה

החלף את הערכים בביטוי.

  2x2y
. .
פשט תחילה את המעריכים. 2(116)(23)
להכפיל. לחלק את הגורמים המשותפים. שימו לב שאנחנו כותבים 16 224 כדי להקל על ההסרה 2122243
לפשט. 112
תרגיל 1.7.38

להעריך 3ab2 מתי a=23 וb=12.

תשובה

12

תרגיל 1.7.39

להעריך 4c3d מתי c=12 וd=43.

תשובה

23

בדוגמה הבאה יהיו רק משתנים, ללא קבועים.

תרגיל 1.7.40

להעריך p+qr מתיp=4,q=2, וr=8.

תשובה

כדי להעריך p+qr מתיp=4,q=2, וr=8, אנו מחליפים את הערכים בביטוי.

  p+qr
. .
הוסף תחילה את המונה. 68
לפשט. 34
תרגיל 1.7.41

להעריך a+bc מתיa=8,b=7, וc=6.

תשובה

52

תרגיל 1.7.42

להעריך x+yz מתיx=9,y=18, וz=6.

תשובה

32

מושגי מפתח

  • חיבור וחיסור שברים: אםa,b, c והם מספרים היכןc0, ואז
    ac+bc=a+bc acbc=abc
    וכדי להוסיף או לחסר שברים, הוסף או גרע את המספרים והניח את התוצאה על המכנה המשותף.
  • אסטרטגיה להוספה או חיסור של שברים
    1. האם יש להם מכנה משותף?
      כן - עבור לשלב 2.
      לא - כתוב מחדש כל שבר עם ה- LCD (המכנה המשותף לפחות). מצא את ה- LCD. שנה כל שבר לשבר שווה ערך עם ה- LCD כמכנה שלו.
    2. הוסף או הפחת את השברים.
    3. פשט, אם אפשר. כדי להכפיל או לחלק שברים, אין צורך ב- LCD. כדי להוסיף או לחסר שברים, יש צורך ב- LCD.
  • פשט שברים מורכבים
    1. פשט את המונה.
    2. פשט את המכנה.
    3. מחלקים את המונה על ידי המכנה. פשט במידת האפשר.