3.1: A hipotézis tesztelésének alapjai
- Page ID
- 205315
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Az előző két fejezet bevezette a mintaadatok rendszerezésének és összegzésének módszereit, valamint a minta statisztikák felhasználását a populáció paramétereinek becslésére. Ez a fejezet bemutatja a következtetési statisztikák következő fő témáját: a hipotézis tesztelését.
Megjegyzés
A hipotézis egy állítás vagy állítás egy lakosság tulajdonáról.
A hipotézis tesztelésének alapjai
A tudományos kutatás során jellemzően van néhány ismert információ, talán valamilyen korábbi munkából vagy egy régóta elfogadott ötletből. Meg akarjuk vizsgálni, hogy ez az állítás hihető-e. Ez a hipotézis teszt alapgondolata:
- Mondja el, amit igaznak gondolunk.
- Számszerűsítse, mennyire bízunk az állításunkban.
- Használja a minta statisztikákat, hogy következtetéseket vonjon le a populáció paramétereiről.
Például a korábbi kutatások azt mondják, hogy a kolibri átlagos élettartama körülbelül négy év. Tanulmányozta a kolibrit az Egyesült Államok délkeleti részén, és a minta átlagos élettartama 4,8 év. El kell utasítania az ismert vagy elfogadott információkat az eredmények javára? Mennyire bízik a becslésében? Mikor mondaná, hogy elegendő bizonyíték áll rendelkezésre az ismert információk elutasításához és az alternatív állítás alátámasztásához? Mennyire lehet messze az ismert négyéves átlagtól a minta, mielőtt elutasítanánk azt az elképzelést, hogy a kolibri átlagos élettartama négy év?
Meghatározás: hipotézis tesztelés
A hipotézis tesztelés egy eljárás, minta bizonyítékain és valószínűségén alapul, amelyet a populáció jellemzőire vonatkozó állítások tesztelésére használnak.
A hipotézis egy állítás vagy állítás a számunkra érdekes populáció jellemzőiről. A hipotézis teszt egy módja annak, hogy minta statisztikáinkat felhasználjuk egy adott állítás tesztelésére.
Példa \(\PageIndex{1}\):
A populáció átlagos súlya ismert, hogy 157 font, tesztelni akarjuk azt az állítást, hogy az átlagos súly nőtt.
Példa \(\PageIndex{2}\):
Két évvel ezelőtt a fertőzött növények aránya 37% volt. Úgy gondoljuk, hogy egy kezelés segített, és tesztelni szeretnénk azt az állítást, hogy csökkent a fertőzött növények aránya.
A formális hipotézis teszt összetevői
A nullhipotézis egy populációs paraméter értékére vonatkozó állítás, például a populáció átlaga (µ) vagy a populáció aránya (p). Tartalmazza az egyenlőség feltételét, és H 0 (H-Naught) jelöli.
H 0: µ = 157 vagy H0: p = 0,37
Az alternatív hipotézis a tesztelendő állítás, a nullhipotézis ellentéte. Tartalmazza annak a paraméternek az értékét, amelyet hihetőnek tartunk, és amelyet H 1-nek jelölünk.
H 1: µ > 157 vagy H1: p ≠ 0,37
A tesztstatisztika a mintaadatokból kiszámított érték, amelyet a nullhipotézis elutasításáról szóló döntés meghozatalához használnak. A tesztstatisztika átalakítja a minta átlagát (x) vagy a minta arányát (p) Z- vagy t-pontszámra azzal a feltételezéssel, hogy a nullhipotézis igaz. Annak eldöntésére használják, hogy a minta statisztikája és a feltételezett állítás közötti különbség szignifikáns-e.
A p-érték a görbe alatti terület a tesztstatisztikától balra vagy jobbra. Összehasonlítják a szignifikancia szintjével (α).
A kritikus érték az az érték, amely meghatározza az elutasítási zónát (a tesztstatisztikai értékek, amelyek a nullhipotézis elutasításához vezetnének). Ezt a szignifikancia szintje határozza meg.
A szignifikancia szintje (α) annak a valószínűsége, hogy a tesztstatisztika a kritikus régióba esik, ha a nullhipotézis igaz. Ezt a szintet a kutató határozza meg.
A következtetés a hipotézis teszt végső döntése. A következtetést mindig egyértelműen meg kell határozni, közölve a döntést a teszt összetevői alapján. Fontos felismerni, hogy soha nem bizonyítjuk vagy fogadjuk el a nullhipotézist. Csupán azt mondjuk, hogy a minta bizonyítéka nem elég erős ahhoz, hogy indokolja a nullhipotézis elutasítását. A következtetés két részből áll:
1) Elutasítja vagy nem utasítja el a nullhipotézist, és 2) van vagy nincs elegendő bizonyíték az alternatív állítás alátámasztására.
1. lehetőség) Elutasítja a nullhipotézist (H0). Ez azt jelenti, hogy elegendő statisztikai bizonyítékkal rendelkezik az alternatív állítás alátámasztására (H 1).
2. lehetőség) Nem sikerült elutasítani a nullhipotézist (H0). Ez azt jelenti, hogy NEM rendelkezik elegendő bizonyítékkal az alternatív állítás alátámasztására (H 1).
A hipotézisek tesztelésének másik módja az, ha összehasonlítjuk az amerikai igazságszolgáltatási rendszerrel. A vádlott ártatlan, amíg bűnösségét be nem bizonyítják (Nullhipotézis - ártatlan). Az ügyész megpróbálja bizonyítani, hogy a vádlott bűnös (Alternatív hipotézis - bűnös). Két lehetséges következtetést vonhat le a zsűri. Először is, az alperes bűnös (Elutasítja a nullhipotézist). Másodszor, az alperes nem bűnös (nem utasítja el a nullhipotézist). Ez nem ugyanaz, mint azt mondani, hogy a vádlott ártatlan! Az első esetben az ügyésznek elegendő bizonyítéka volt ahhoz, hogy elutasítsa a nullhipotézist (ártatlan) és támogassa az alternatív állítást (bűnös). A második esetben az ügyésznek NEM volt elegendő bizonyítéka a nullhipotézis elutasításához (ártatlan) és az alternatív bűnösség állításának alátámasztásához.
A null és alternatív hipotézisek
Három különböző null- és alternatív hipotézispár létezik:
Táblázat\(PageIndex{1}\): A kétoldalas hipotézis teszt elutasítási zónája.
|
Kétoldalas |
Baloldali |
Jobb oldali |
|---|---|---|
|
\(\mathrm{H}_{\mathrm{O}}: \boldsymbol{\mu}=\mathrm{c}\) |
\(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}: \boldsymbol{\mu}=\mathbf{C}\) |
\(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}: \boldsymbol{\mu}=\mathbf{C}\) |
|
\(\mathbf{H}_{\mathbf{1}}: \boldsymbol{\mu \neq \mathbf { C }}\) |
\(\mathbf{H}_{\mathbf{1}}: \boldsymbol{\mu}< \mathbf{C}\) |
\(\mathbf{H}_{\mathbf{1}}: \boldsymbol{\mu}>\mathbf{C}\) |
ahol c valamilyen ismert érték.
Kétoldalas teszt
Ez azt teszteli, hogy a populációs paraméter egyenlő-e valamilyen konkrét értékkel, szemben azzal, hogy nem egyenlő.
Ho: μ = 12 vs. H 1: μ ≠ 12
A kritikus régió egyenlően oszlik meg a két farokra, és a kritikus értékek ± értékek, amelyek meghatározzák az elutasítási zónákat.
Példa \(\PageIndex{3}\):
A vörösfenyő átmérőjének növekedését vizsgáló erdész úgy véli, hogy az átlagos átmérőnövekedés eltérő lesz, ha trágyázási kezelést alkalmaznak az állományra.
- Ho: μ = 1,2 in./ év
- H 1: μ ≠ 1,2 in./ év
Ez kétoldalú kérdés, mivel az erdész nem mondja ki, hogy a népesség átlagos átmérőjének növekedése növekedni fog vagy csökken.
Jobb oldali teszt
Ez azt teszteli, hogy a populációs paraméter egyenlő-e valamilyen konkrét értékkel, szemben a nagyobb értékkel.
Ho: μ = 12 vs. H 1: μ > 12
A kritikus régió a jobb farokban van, a kritikus érték pedig egy pozitív érték, amely meghatározza az elutasítási zónát.
Példa \(\PageIndex{4}\):
Egy biológus úgy véli, hogy az utolsó öt évvel ezelőtti vizsgálat óta nőtt az invazív fajjal fertőzött tavak átlagos száma.
- Ho: μ = 15 tavak
- H1: μ > 15 tavak
Ez egy jobboldali kérdés, mivel a biológus úgy véli, hogy nőtt a fertőzött tavak népességének átlagos száma.
Bal oldali teszt
Ez azt teszteli, hogy a populációs paraméter egyenlő-e valamilyen konkrét értékkel, szemben a kisebb értékkel.
Ho: μ = 12 vs. H 1: μ < 12
A kritikus régió a bal farokban van, a kritikus érték pedig egy negatív érték, amely meghatározza az elutasítási zónát.
Példa \(\PageIndex{5}\):
Egy tudós kutatása azt mutatja, hogy megváltozott az egyes környezetvédelmi politikákat támogató emberek aránya. Tesztelni akarja azt az állítást, hogy csökkent az e politikákat támogató emberek aránya.
- Ho: p = 0,57
- H 1: p < 0,57
Ez egy baloldali kérdés, mivel a tudós úgy véli, hogy csökkent a valódi népességarány.
Statisztikailag szignifikáns
Ha a megfigyelt eredmények (a minta statisztikái) valószínűtlenek (alacsony valószínűség), feltételezve, hogy a nullhipotézis igaz, azt mondjuk, hogy az eredmény statisztikailag szignifikáns, és elutasítjuk a nullhipotézist. Ez az eredmény a szignifikancia szintjétől, a minta statisztikájától, a minta méretétől és attól függ, hogy ez egy- vagy kétoldalú alternatív hipotézis.
A hibák típusai
A tesztelés során arra a következtetésre jutunk, hogy elutasítjuk a nullhipotézist, vagy nem utasítjuk el a nullhipotézist. Az ilyen következtetések néha helyesek és néha helytelenek (még akkor is, ha minden helyes eljárást követtünk). Hiányos mintaadatokat használunk a következtetés levonásához, és mindig fennáll annak a lehetősége, hogy rossz következtetést vonjunk le. A hipotézisek teszteléséből négy lehetséges következtetést lehet levonni. A négy lehetséges eredmény közül kettő helyes, kettő NEM helyes.
Táblázat\(\PageIndex{2}\). A hipotézis teszt lehetséges eredményei.
|
|
H 0 igaz |
H 1 igaz |
|---|---|---|
|
Ne utasítsa el a H 0 |
Helyes következtetés |
II. Típusú hiba |
|
H 0 elutasítása |
I. típusú hiba |
Helyes következtetés |
Az I. típusú hiba az, amikor elutasítjuk a nullhipotézist, amikor igaz. Az α (alfa) szimbólum az I. típusú hibák ábrázolására szolgál. Ez ugyanaz az alfa, amelyet a szignifikancia szintjeként használunk. Azáltal, hogy az alfát a lehető legalacsonyabbra állítjuk, megpróbáljuk az I. típusú hibát a szignifikancia szintjén keresztül irányítani.
A II. Típusú hiba az, amikor nem utasítjuk el a nullhipotézist, ha hamis. A β (béta) szimbólum a II. Típusú hibák ábrázolására szolgál.
Általában az I. típusú hibákat súlyosabbnak tekintik. A hipotézisvizsgálati eljárás egyik lépése magában foglalja a szignifikancia szint kiválasztását (α), amely annak valószínűsége, hogy elutasítják a nullhipotézist, ha helyes. Így a kutató kiválaszthatja azt a szignifikanciaszintet, amely minimalizálja az I. típusú hibákat. Van azonban matematikai kapcsolat α, β és n között (minta mérete).
- Ahogy α növekszik, β csökken
- Ahogy α csökken, β növekszik
- Ahogy a minta mérete növekszik (n), mind α, mind β csökken
A természetes hajlam az α lehető legkisebb értékének kiválasztása, úgy gondolva, hogy minimalizálja az I. típusú hiba okozásának lehetőségét. Sajnos ez a II. Típusú hibák növekedését kényszeríti. Ha az elutasítási zónát túl kicsivé teszi, előfordulhat, hogy nem utasítja el a nullhipotézist, amikor valójában hamis. Általában a legjobb mintaméretet és szignifikanciaszintet választjuk ki, automatikusan beállítva β.
4. ábra.
A teszt ereje
A II. Típusú hiba (β) annak a valószínűsége, hogy nem utasítják el a hamis nullhipotézist. Ebből következik, hogy 1-β a hamis nullhipotézis elutasításának valószínűsége. Ezt a valószínűséget a teszt erejeként azonosítják, és gyakran használják a teszt hatékonyságának felmérésére annak felismerésében, hogy a nullhipotézis hamis.
Meghatározás: a teszt teljesítménye
Annak valószínűségét, hogy rögzített szinten α szignifikancia teszt elutasítja H0, ha a paraméter egy adott alternatív értéke igaz, a teszt erejének nevezzük.
A teljesítmény közvetlenül kapcsolódik a minta méretéhez is. Tegyük fel például, hogy a nullhipotézis az, hogy az átlagos haltömeg 8,7 lb. Tekintettel a mintaadatokra, 5% -os szignifikanciaszintre és 9,2 lb alternatív tömegre, kiszámíthatjuk a teszt erejét μ = 8.7 lb elutasítására. Ha kis mintaméretünk van, a teljesítmény alacsony lesz. A minta méretének növelése azonban növeli a teszt teljesítményét. A jelentőség szintjének növelése szintén növeli a hatalmat. Az 5% -os szignifikanciateszt nagyobb eséllyel utasítja el a nullhipotézist, mint egy 1% -os teszt, mivel az elutasításhoz szükséges bizonyítékok erőssége kisebb. A szórás csökkentésének ugyanaz a hatása, mint a minta méretének növelése: több információ található a μ -ról.