Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.6: Factoring Polynomials

Malengo ya kujifunza

Katika sehemu hii wanafunzi:

  • Sababu ni sababu kubwa ya kawaida ya polynomial.
  • Sababu ya trinomial.
  • Sababu kwa kikundi.
  • Factor kamili mraba trinomial.
  • Sababu tofauti ya mraba.
  • Fanya jumla na tofauti ya cubes.
  • Maneno ya sababu kwa kutumia vielelezo vya sehemu au hasi.

Fikiria kwamba tunajaribu kupata eneo la lawn ili tuweze kuamua ni kiasi gani cha mbegu za majani kununua. Lawn ni sehemu ya kijani katika Kielelezo1.6.1.

Mstatili mkubwa na viwanja vidogo na mstatili ndani. Urefu wa mstatili wa nje ni 6x na upana ni 10x. Urefu wa mraba ni 4 na urefu wa upana wa mstatili wa ndani ni 4.
Kielelezo1.6.1

Eneo la mkoa mzima linaweza kupatikana kwa kutumia formula kwa eneo la mstatili.

A=lw=10x×6x=60x2units2

Sehemu za sehemu ambazo hazihitaji mbegu za nyasi zinahitaji kuondolewa kutoka eneo la kanda nzima. Mikoa miwili ya mraba kila mmoja ina eneo laA=s2=42=16units2. Mkoa mwingine wa mstatili una upande mmoja wa urefu10x8 na upande mmoja wa urefu4, kutoa eneo la

A=lw=4(10x8)=40x32units2.

Hivyo kanda ambayo lazima subtracted ina eneo la

2(16)+40x32=40xunits2.

Eneo la kanda linalohitaji mbegu za nyasi hupatikana kwa kuondoa60x240xunits2. Eneo hili pia inaweza walionyesha katika fomu factored kama20x(3x2)units2. Tunaweza kuthibitisha kwamba hii ni kujieleza sawa kwa kuzidisha.

Maneno mengi ya polynomial yanaweza kuandikwa kwa fomu rahisi kwa kuzingatia. Katika sehemu hii, tutaangalia mbinu mbalimbali ambazo zinaweza kutumika kwa sababu ya maneno ya polynomial.

Kufanya sababu kubwa ya kawaida ya Polynomial

Tunapojifunza sehemu ndogo, tunajifunza kuwa sababu kubwa zaidi (GCF) ya namba mbili ni idadi kubwa ambayo hugawanya sawasawa katika namba zote mbili. Kwa mfano,4 ni GCF ya16 na20 kwa sababu ni idadi kubwa ambayo hugawanya sawasawa katika wote16 na20 GCF ya polynomials kazi kwa njia sawa:4x ni GCF ya16x na20x2 kwa sababu ni polynomial kubwa kwamba mgawanyiko sawasawa katika wote wawili16x na20x2.

Wakati wa kutafakari maneno ya polynomial, hatua yetu ya kwanza inapaswa kuwa kuangalia kwa GCF. Angalia GCF ya coefficients, na kisha utafute GCF ya vigezo.

Ufafanuzi: Sababu kuu ya kawaida

Sababu kubwa zaidi ya kawaida (GCF) ya polynomials ni polynomial kubwa ambayo hugawanya sawasawa katika polynomials.

Jinsi ya: Kutokana na kujieleza polynomial, sababu nje ya sababu kubwa ya kawaida
  1. Tambua GCF ya coefficients.
  2. Tambua GCF ya vigezo.
  3. Kuchanganya ili kupata GCF ya kujieleza.
  4. Kuamua nini GCF inahitaji kuzidishwa na kupata kila neno katika kujieleza.
  5. Andika kujieleza kwa sababu kama bidhaa ya GCF na jumla ya maneno tunayohitaji kuzidisha.
Mfano1.6.1: Factoring the Greatest Common Factor

Factor6x3y3+45x2y2+21xy.

Suluhisho

Kwanza, tafuta GCF ya maneno. GCF ya6,45, na21 ni3. GCF yax3,x2, nax nix. (Kumbuka kuwa GCF ya seti ya maneno katika fomu daimaxn kuwa exponent ya shahada ya chini.) Na GCF yay3,y2, nay niy. Kuchanganya hizi ili kupata GCF ya polynomial,3xy.

Kisha, tambua nini GCF inahitaji kuzidishwa na kupata kila muda wa polynomial. Tunaona kwamba

  • 3xy(2x2y2)=6x3y3,
  • 3xy(15xy)=45x2y2, na
  • 3xy(7)=21xy.

Hatimaye, kuandika kujieleza factored kama bidhaa ya GCF na jumla ya maneno tuliyohitaji kuzidisha na.

(3xy)(2x2y2+15xy+7)

Uchambuzi

Baada ya kuzingatia, tunaweza kuangalia kazi yetu kwa kuzidisha. Tumia mali ya kusambaza ili kuthibitisha kwamba

(3xy)(2x2y2+15xy+7)=6x3y3+45x2y2+21xy

Zoezi1.6.1

Sababux(b2a)+6(b2a) kwa kuunganisha nje GCF.

Jibu

(b2a)(x+6)

Kuzingatia Trinomial na Mgawo wa Uongozi 1

Ingawa tunapaswa daima kuanza kwa kutafuta GCF, kuunganisha nje GCF sio njia pekee ambayo maneno ya polynomial yanaweza kuhesabiwa. Polynomialx2+5x+6 ina GCF ya1, lakini inaweza kuandikwa kama bidhaa ya mambo(x+2) na(x+3).

Trinomials ya fomux2+bx+c inaweza kuhesabiwa kwa kutafuta namba mbili na bidhaa yac na jumla yab. Trinomialx2+10x+16, kwa mfano, inaweza kuhesabiwa kwa kutumia namba2 na8 kwa sababu bidhaa ya namba hizo ni16 na jumla yao ni10. Trinomial inaweza kuandikwa upya kama bidhaa ya(x+2) na(x+8).

KUZINGATIA TRINOMIAL NA MGAWO WA KUONGOZA1

Trinomial ya fomux2+bx+c inaweza kuandikwa kwa fomu ya sababu kama(x+p)(x+q) wapipq=c nap+q=b.

Q & A: Je, kila trinomial inaweza kuchukuliwa kama bidhaa ya binomials?

Hapana. Baadhi ya polynomials haiwezi kuelezewa. Polynomials hizi zinasemekana kuwa mkuu.

Jinsi ya: Kutokana na trinomial katika fomux2+bx+c, factor it
  1. Orodha ya mambo yac.
  2. Kupatap naq, jozi ya mambo yac pamoja na jumla yab.
  3. Andika kujieleza kwa sababu(x+p)(x+q).
Mfano1.6.2: Factoring a Trinomial with Leading Coefficient 1

Factorx2+2x15.

Suluhisho

Tuna trinomial na mgawo wa kuongoza1,b=2, nac=15. Tunahitaji kupata namba mbili na bidhaa ya15 na jumla ya2. Katika Jedwali1.6.1, tunaorodhesha mambo mpaka tunapata jozi na jumla ya taka.

Jedwali1.6.1
Mambo ya -15 Jumla ya Mambo
1, -15 -14
—1,15 14
3, -5 -2
-3,5  

Sasa kwa kuwa tuna kutambuliwap3 naq kama na5, kuandika fomu factored kama(x3)(x+5).

Uchambuzi

Tunaweza kuangalia kazi yetu kwa kuzidisha. Tumia FOIL ili kuthibitisha hilo(x3)(x+5)=x2+2x15.

Q & A: Je, utaratibu wa mambo ni jambo?

Hapana. Kuzidisha ni commutative, hivyo utaratibu wa mambo haijalishi.

Zoezi1.6.2

Factorx27x+6.

Jibu

(x6)(x1)

Kuzingatia kwa Kundi

Trinomials na coefficients inayoongoza zaidi ya1 ni ngumu zaidi kwa sababu. Kwa hizi trinomials, tunaweza sababu kwa kambi kwa kugawa neno x katika jumla ya maneno mawili, factoring kila sehemu ya kujieleza tofauti, na kisha factoring nje GCF ya kujieleza nzima. Trinomial2x2+5x+3 inaweza kuandikwa upya kama(2x+3)(x+1) kutumia mchakato huu. Tunaanza kwa kuandika tena usemi wa awali kama2x2+2x+3x+3 na kisha sababu kila sehemu ya kujieleza ili kupata2x(x+1)+3(x+1). Sisi kisha kuvuta nje GCF ya kupata(x+1) kujieleza factored.

Kipengele kwa Kundi

Ili kuzingatia trinomial katika fomuax2+bx+c kwa kikundi, tunapata namba mbili na bidhaaac na jumla yab. Tunatumia namba hizi kugawanyax neno katika jumla ya maneno mawili na sababu kila sehemu ya kujieleza tofauti, kisha fikiria nje GCF ya kujieleza nzima.

Jinsi ya: Kutokana na trinomial katika fomuax2+bx+c, factor by grouping.
  1. Orodha ya mambo yaac.
  2. Kupatap naq, jozi ya mambo yaac pamoja na jumla yab.
  3. Andika upya usemi wa awali kamaax2+px+qx+c.
  4. Kuvuta nje GCF yaax2+px.
  5. Kuvuta nje GCF yaqx+c.
  6. Factor nje GCF ya kujieleza.
Mfano1.6.3: Factoring a Trinomial by Grouping

Sababu5x2+7x6 kwa kikundi.

Suluhisho

Tuna trinomial naa=5,b=7, nac=6. Kwanza, tambuaac=30. Tunahitaji kupata namba mbili na bidhaa ya30 na jumla ya7. Katika meza hapa chini, tunaorodhesha mambo mpaka tunapata jozi na jumla ya taka.

Jedwali1.6.2
Mambo ya -30 Jumla ya Mambo
1, -30 -29
-1,30 29
2, -15 —13
—2,15 13
3, -10 -7
-3,10 7

Hivyop=3 naq=10.

5x23x+10x6Andika upya usemi wa awali kamaax2+px+qx+c.

x(5x3)+2(5x3)Factor nje GCF ya kila sehemu

(5x3)(x+2)Factor nje GCF ya kujieleza.

Uchambuzi

Tunaweza kuangalia kazi yetu kwa kuzidisha. Tumia FOIL ili kuthibitisha hilo(5x3)(x+2)=5x2+7x6.

Zoezi1.6.3

Sababu:

  1. 2x2+9x+9
  2. 6x2+x1
Jibu

(2x+3)(x+3)

Jibu b

(3x1)(2x+1)

Kufanya Mraba Mzuri wa Utatu

Mraba kamili ya trinomial ni trinomial ambayo inaweza kuandikwa kama mraba wa binomial. Kumbuka kwamba wakati binomial ni mraba, matokeo yake ni mraba wa muda wa kwanza aliongeza kwa mara mbili bidhaa ya maneno mawili na mraba wa muda wa mwisho.

a2+2ab+b2=(a+b)2

na

a22ab+b2=(ab)2

Tunaweza kutumia equation hii kwa sababu yoyote kamili mraba trinomial.

Perfect Square Trinomials

Mraba kamili ya trinomial inaweza kuandikwa kama mraba wa binomial:

a2+2ab+b2=(a+b)2

Jinsi ya: Kutokana na trinomial mraba kamili, factor ndani ya mraba wa binomial
  1. Thibitisha kwamba muda wa kwanza na wa mwisho ni mraba kamilifu.
  2. Thibitisha kwamba muda wa kati ni mara mbili ya bidhaa yaab.
  3. Andika fomu iliyosababishwa kama(a+b)2.
Mfano1.6.4: Factoring a Perfect Square Trinomial

Factor25x2+20x+4.

Suluhisho

Kumbuka kwamba25x2 na4 ni mraba kamili kwa sababu25x2=(5x)2 na4=22. Kisha angalia ili uone kama muda wa kati ni mara mbili ya bidhaa5x na2. Muda wa kati ni, kwa kweli, mara mbili ya bidhaa:2(5x)(2)=20x. Kwa hiyo, trinomial ni trinomial kamili ya mraba na inaweza kuandikwa kama(5x+2)2.

Zoezi1.6.4

Factor49x214x+1.

Jibu

(7x1)2

Kuzingatia Tofauti ya Viwanja

Tofauti ya mraba ni mraba kamilifu iliyotolewa kutoka mraba kamilifu. Kumbuka kwamba tofauti ya mraba inaweza kuandikwa upya kama sababu zenye maneno sawa lakini ishara kinyume kwa sababu maneno ya kati kufuta kila mmoja nje wakati mambo mawili ni kuzidisha.

a2b2=(a+b)(ab)

Tunaweza kutumia equation hii kwa sababu tofauti yoyote ya mraba.

Tofauti ya Viwanja

Tofauti ya mraba inaweza kuandikwa upya kama mambo mawili yaliyo na maneno sawa lakini ishara tofauti.

a2b2=(a+b)(ab)

Jinsi ya: Kutokana na tofauti ya mraba, fanya ndani ya binomials
  1. Thibitisha kwamba muda wa kwanza na wa mwisho ni mraba kamilifu.
  2. Andika fomu iliyosababishwa kama(a+b)(ab).
Mfano1.6.5: Factoring a Difference of Squares

Factor9x225.

Suluhisho

Kumbuka kwamba9x2 na25 ni mraba kamili kwa sababu9x2=(3x)2 na25=52. Polynomial inawakilisha tofauti ya mraba na inaweza kuandikwa upya kama(3x+5)(3x5).

Zoezi1.6.5

Factor81y2100.

Jibu

(9y+10)(9y10)

Q & A: Je, kuna formula kwa sababu jumla ya mraba?

Hapana. Jumla ya mraba haiwezi kufananishwa.

Kuzingatia Jumla na Tofauti ya Cubes

Sasa, tutaangalia bidhaa mbili mpya maalum: jumla na tofauti ya cubes. Ingawa jumla ya mraba haiwezi kuhesabiwa, jumla ya cubes inaweza kuhesabiwa kuwa binomial na trinomial.

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

Vile vile, jumla ya cubes inaweza kuhesabiwa katika binomial na trinomial, lakini kwa ishara tofauti.

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

Tunaweza kutumia SOAP kifupi kukumbuka ishara wakati factoring jumla au tofauti ya cubes. Barua ya kwanza ya kila neno inahusiana na ishara: Same Inapingana Daima Chanya. Kwa mfano, fikiria mfano unaofuata.

x323=(x2)(x2+2x+4)

Ishara ya 2 ya kwanza ni sawa na ishara kati yax323. Ishara ya2x neno ni kinyume na ishara kati yax323. Na ishara ya muda wa mwisho,4, daima ni chanya.

Jumla na Tofauti ya Cubes

Tunaweza sababu jumla ya cubes mbili kama

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

Tunaweza sababu tofauti ya cubes mbili kama

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

Jinsi ya: Kutokana na jumla ya cubes au tofauti ya cubes, factor it
  1. Thibitisha kwamba muda wa kwanza na wa mwisho ni cubes,a3+b3 aua3b3.
  2. Kwa jumla ya cubes, kuandika fomu factored kama(a+b)(a2ab+b2). Kwa tofauti ya cubes, andika fomu iliyowekwa kama(ab)(a2+ab+b2).
Mfano1.6.6: Factoring a Sum of Cubes

Factorx3+512.

Suluhisho

Kumbuka kwambax3 na512 ni cubes kwa sababu83=512. Andika upya jumla ya cubes kama(x+8)(x28x+64).

Uchambuzi

Baada ya kuandika jumla ya cubes kwa njia hii, tunaweza kufikiri tunapaswa kuangalia ili kuona kama sehemu ya trinomial inaweza kuwa factored zaidi. Hata hivyo, sehemu ya trinomial haiwezi kuhesabiwa, kwa hivyo hatuhitaji kuangalia.

Zoezi1.6.6

Factor jumla ya cubes:216a3+b3.

Jibu

(6a+b)(36a26ab+b2)

Mfano1.6.7: Factoring a Difference of Cubes

Factor8x3125.

Suluhisho

Kumbuka kwamba8x3 na125 ni cubes kwa sababu8x3=(2x)3 na125=53. Andika tofauti ya cubes kama(2x5)(4x2+10x+25).

Uchambuzi

Kama ilivyo kwa jumla ya cubes, hatuwezi kuimarisha sehemu ya trinomial.

Zoezi1.6.7

Fanya tofauti ya cubes:1000x31

Jibu

(10x1)(100x2+10x+1)

Maneno ya kutafakari na vielelezo vya Fractional au Hasi

Maneno yenye vielelezo vya sehemu au hasi yanaweza kuzingatiwa kwa kuunganisha GCF. Angalia kwa variable au exponent kwamba ni kawaida kwa kila muda wa kujieleza na kuvuta nje kwamba variable au exponent alimfufua kwa nguvu ya chini kabisa. Maneno haya yanafuata sheria sawa za factoring kama wale walio na exponents integer. Kwa mfano,2x14+5x34 inaweza kuwa factored kwa kuunganisha njex14 na kuandikwa upya kamax14(2+5x12).

Mfano1.6.8: Factoring an Expression with Fractional or Negative Exponents

Factor3x(x+2)13+4(x+2)23.

Suluhisho

Factor nje mrefu na thamani ya chini ya exponent. Katika kesi hiyo, hiyo itakuwa(x+2)13.

(x+2)13(3x+4(x+2))Factor out the GCF (x+2)13(3x+4x+8)Simplify (x+2)13(7x+8)

Zoezi1.6.8

Factor2(5a1)34+7a(5a1)14.

Jibu

(5a1)14(17a2)

vyombo vya habari

Kupata rasilimali hizi online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na factoring polynomials.

1. Tambua GCF

2. Factor Trinomials wakati Sawa 1

3. Factor Trinomials wakati si sawa na 1

4. Kiasi cha Kiasi au Tofauti ya Cubes

Mlinganyo muhimu

tofauti ya mraba a2b2=(a+b)(ab)
mraba kamili trinomial a2+2ab+b2=(a+b)2
jumla ya cubes a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)
tofauti ya cubes a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
  • Sababu kubwa ya kawaida, au GCF, inaweza kuhesabiwa nje ya polynomial. Kuangalia kwa GCF lazima hatua ya kwanza katika tatizo lolote factoring. Angalia Mfano.
  • Trinomials na mgawo wa kuongoza 1 inaweza kuhesabiwa kwa kutafuta namba zilizo na bidhaa ya muda wa tatu na jumla ya muda wa pili. Angalia Mfano.
  • Trinomials inaweza kuhesabiwa kwa kutumia mchakato unaoitwa factoring kwa kikundi. Angalia Mfano.
  • Vipande vya mraba kamili na tofauti za mraba ni bidhaa maalum na zinaweza kuzingatiwa kwa kutumia equations. Angalia Mfano na Mfano.
  • Jumla ya cubes na tofauti ya cubes inaweza kuhesabiwa kwa kutumia equations. Angalia Mfano na Mfano.
  • Polynomials zenye vielelezo vya sehemu na hasi vinaweza kuhesabiwa kwa kuunganisha GCF. Angalia Mfano.